期中培优提升试卷（范围：第19～21章）2025-2026学年人教版数学八年级下学期

期中培优提升试卷（范围：第19~21章） （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版八年级下册第19~21章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．能使等式成立的的取值范围是（   ） A．且 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵等式成立， ∴， 解得． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的混合运算，按照二次根式的运算法则逐个计算选项，即可得到正确答案． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、是最简二次根式，无法化简为，即，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意． 3．在中，、、的对应边分别是a，b，c．下列条件中，不能判断是直角三角形的是（   ） A． B．，，（m为常数） C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理的逆定理、三角形内角和定理，根据所给条件结合判定方法逐项判断即可． 【详解】解：A、，则，故是直角三角形，故A不符合题意； B、，符合勾股定理逆定理，是直角三角形，故B不符合题意； C、，且，则，整理得，即，故是直角三角形，故C不符合题意； D、，，则 最大角，三角形没有直角，不能判定是直角三角形，故D符合题意． 4．下图是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”（图1）和梅花图案（图2）（图中的每把折扇都完全展开且无重叠），则梅花图案中的五角星的五个锐角均为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式，解题的关键是根据图形得出折扇都完全展开时，展开的度数为，． 【详解】解∶如图， 由图2可知，折扇都完全展开时，展开的度数为， 又∵， ∴， ∴， ∵正五边形的每一个内角， ∴梅花图案中的五角星的五个锐角均为：． 5．如图，在中，连接，过点作，垂足为．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质得到，，求出，，即可得到，即可求出答案． 【详解】解：在中，， ，， ，， ， ， ， ． 6．如图所示，小明在荡秋千时发现：当秋千自然下垂时，座板在点的位置，此时点到地面的距离米；秋千的固定点为到座板的绳长米．当小明把秋千座板向前推动1米时，座板摆动到点位置，且米，则此时座板到地面的距离的长度为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】过点B作于点F，得到，，根据勾股定理，求出，则，即可解答． 【详解】解：过点B作于点F，如图 ∴， 由题意，得，， ∴， ∴， 则此时座板到地面的距离的长度为． 7．如图所示，工人师傅用边长均为a的正三角形、正六边形和一个角为的菱形地砖绕着点O进行铺设．若将一块边长为a的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【详解】解：由题意得：，正六边形的内角为， ∴， ∴这块正多边形地砖的边数为． 8．中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在中，分别取、的中点、，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成矩形．若，，则的面积是（    ） A．6 B．8 C．12 D．24 【答案】D 【分析】根据中位线的性质得，根据即可求解． 【详解】解：∵点、分别是的中点， ∴， 由题意可得：， ∴． 9．二次根式除法可以这样解：如．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化，判断下列选项正确的是（   ） ①若是的小数部分，则的值为； ②比较两个二次根式的大小； ③计算； ④对于式子，对它的分子分母同时乘以或或，均不能对其分母有理化； ⑤设实数x，y满足，则； ⑥若，且，则正整数． A．①④⑤ B．②③④ C．②④⑤⑥ D．②④⑥ 【答案】C 【分析】本题主要考查分母有理化，熟练掌握分母有理化是解题的关键；因此此题可根据分母有理化依次排除选项即可． 【详解】解：①若是的小数部分，则， 故①错误，不符合题意； ②， ，故②正确，符合题意： ③ ，故③错误； ④， ， ， 均不能对其分母有理化，故④正确； ⑤， ， ， 同理， 两式相加得，，，故⑤正确； ⑥， ， ， ， ， ， ， ，故⑥正确； 故选：C． 10．如图，已知四边形ABCD为正方形，，点E为对角线AC上一点，连接DE．过点E作，交BC延长线于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：①矩形DEFG是正方形；②；③CG平分；④．其中正确的结论有（    ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，过作于点, 过作于点，根据正方形的性质得到，，推出四边形为正方形，由矩形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，推出矩形为正方形；故正确；根据正方形的性质得到，，推出，得到，求得，故错误；当时，点与点重合，所以不一定等于，故错误；掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于点, 过作于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形为正方形，故正确； ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴平分，故正确； ∴，故错误； 当时，点与点重合， ∴不一定等于，故错误； 综上可得：正确； 故选：A． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．已知是整数，写出一个符合题意的自然数n的值：_______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据二次根式的定义，先确定被开方数的取值范围，再结合是整数，得到为不大于18的非负完全平方数，即可求出符合题意的自然数． 【详解】解：根据二次根式的定义，得， 解得， 是自然数，是整数， 为不大于18的完全平方数，到之间的完全平方数有， 当时，，符合题意． 12．已知三条线段的长分别为6，10，x，以这三条线段为边，恰好可以构成一个直角三角形，则________． 【答案】 8或 【分析】已知直角三角形两边长求第三边，需分两种情况讨论，利用勾股定理求解即可. 【详解】解：当和都是直角边，为斜边时，根据勾股定理得 . 当为斜边，为直角边，为直角边时，根据勾股定理得 . 两种结果均满足三角形三边关系，故的值为或. 13．如图，已知，，，，在一条直线上，，请添加一个条件______，使四边形是平行四边形． 【答案】（或或或） 【分析】利用全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定证明即可． 【详解】解：， ； 添加， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； 添加， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； 添加， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形； 添加， ， ，， ，， 四边形是平行四边形； 故答案为：（或或或）． 14．机械狗可用于开展水质监测工作，如图，机械狗从A点出发，计划沿与河岸垂直的方向到达B处，由于受水流的影响，实际上岸地点C与目的地B处相差50米，机械狗实际行走的路程为130米，则的长为_______米． 【答案】 【分析】由题意可得：米，再利用勾股定理进行计算即可． 【详解】解：由题意可得：，为130米 在中，（米）． 15．如图，在矩形中，已知，，为中点，点在上，且，动点从点出发沿射线运动，动点从点出发沿射线运动，两点同时出发，并且速度相同，连接、，当、运动时，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．以点为原点，所在直线为轴，方向为正方向，所在的直线为轴，方向为正方向，建立坐标系，设，则，，，以为斜边作等腰直角三角形，作轴于，作于，可证得，从而，，进而得出，当、、共线时，最小，进一步得出结果． 【详解】解：如图， 以点为原点，所在直线为轴，方向为正方向，所在的直线为轴，方向为正方向，建立坐标系， 设，则，，， 以为斜边作等腰直角三角形，则， 作轴于，作于， ，， ，， ， ， ，， 当、、共线时，最小值为 即的最小值为 故答案为：． 16．如图，在中，于点D，，于点H，AD和CH交于点E，于点G，交AC于点F，下列结论：①；②；③若，则点E是AD的中点，④若，则．其中正确结论序号是_______． 【答案】①②③ 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正方形的判定和性质等，理解题意，作出辅助线，构造全等三角形是解题关键 根据等腰三角形的判定和性质得出，再由全等三角形的判定和性质即可证明①；根据同角的余角相等即可判断②；在上取一点M使，构造全等三角形，，即可证明③；根据全等三角形的判定得出，过点D作，得出，确定为等腰直角三角形，设，结合图形求解即可． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，①正确； ②于点G， ， ， ， ，②正确； 在上取一点M使， ∵，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴E为中点，故③正确； ④由③可得E为中点， ， ∵， ∴， ， 过点D作，如图所示： ∴四边形为矩形， 由①得， ∴， ∴， ∴， ， 平分， ， 为等腰直角三角形， 设， ， ， ， 由①中全等可得， ∴， ∴ ，④错误； 故答案为：①②③． 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17-21每题8分，22-23题每题10分，24题12分。 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据二次根式的化简以及零指数幂的运算求解即可． （2）根据完全平方公式以及平方差公式求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 18．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】根据分式混合运算进行化简，再将数值代入，分母有理化进行求值． 【详解】解：原式 ； 将代入，原式 19．阅读与思考 下图是小明和小红的对话内容，请认真阅读并解答下列问题． 我在计算一个凸多边形的内角和时，把所有的内角度数加起来，和是． 不可能吧！我帮你检查一下．你看，你的计算式子中把一个外角也加进来了！ (1)求多加的外角度数及多边形的边数． (2)若剪去该凸多边形的一个角，剪完后所形成的新多边形的外角和为______，内角和为______． 【答案】(1)多加的外角度数为，多边形的边数为 (2)；或或 【分析】（1）设多加的外角度数为，多边形的边数为，由多边形内角和公式可得，则，再由建立不等式组求解即可； （2）由于多边形的外角和始终为，则剪完后所形成的新多边形的外角和不变；然后分三种情况求解剪完后所形成的新多边形的内角和． 【详解】（1）解：设多加的外角度数为，多边形的边数为， 由题意得，， ∴ ∵ ∴， 解得， ∵为正整数， ∴， ∴ ∴多加的外角度数为，多边形的边数为； （2）解：剪去该凸多边形的一个角，剪完后所形成的新多边形的外角和为； 剪去该凸多边形的一个角，如图：此时新多边形为八边形，则内角和为； 剪去该凸多边形的一个角，如图：此时新多边形为七边形，则内角和为； 剪去该凸多边形的一个角，如图：此时新多边形为六边形，则内角和为； 综上：剪完后所形成的新多边形的内角和为或或． 20．如图，在中，，，，过点作，且点在点的右侧．点从点出发沿射线方向以每秒个单位的速度运动，同时点从点出发沿射线方向以每秒个单位的速度运动，在线段上取点，使得，连接，设点的运动时间为秒． (1)①________，________（用含的式子表示）； ②若，求的长． (2)请问是否存在的值，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①，；② (2)存在，或12 【分析】（1）①由运动知，，即可得出结论； ②作于M，由已知条件得出，由等腰三角形的性质得出，由直角三角形斜边上的中线性质得出，证出和是等腰直角三角形，得出，，由得出方程，解方程即可； （2）分两种情况：当点Q、E在线段上时；当点Q、E在线段的延长线上时；由平行四边形的判定得出，得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：①由运动知，，， ∵在线段上取点，使得， ∴； ②作于M，如图所示， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴和是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：存在， ∵， ∴若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，则， 分以下两种情况讨论： （ⅰ）当点Q、E在线段上时， 若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形， 则， ∴， ∴， 解得：； （ⅱ）当点Q、E在线段的延长线上时， 若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形， 则， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，此时或12秒． 21．如图1，一圆柱的底面半径为是底面直径，高为，求一只蚂蚁从点出发沿圆柱表面爬行到点（点与点正对）的最短路线，小明设计了两条路线． 路线1：侧面展开图中的线段，如图2所示． 设路线1的长度为，则． 路线2：高线底面直径． 设路线2的长度为，则． 为比较的大小，采用“作差法”： 因为，所以，所以，所以小明认为路线2较短． (1)小亮对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成“圆柱的底面半径为，高为”．请你用上述方法帮小亮比较出与的大小． (2)请你帮他们继续研究：在一般情况下，若圆柱的底面半径为，高为．蚂蚁从点出发沿圆柱表面爬行到点，当满足什么条件时，路线2较短？请说明理由． 【答案】(1)路线1较短， (2)当时，路线2较短 【分析】(1) 分别求出两种路线的长度的平方，利用作差法比较大小． (2) 用表示两种路线的长度的平方，通过作差法建立不等式，求解的范围． 【详解】（1）解：由题意，圆柱底面半径，高， 路线1：侧面展开图中，水平距离为半圆弧长，垂直距离为， ， 路线2：， ， ， 又， ， ， 路线1较短． （2）解：圆柱底面半径为，高为， 路线1：， 路线2：， ， ， ， ， 当路线2较短时，， 即， ， ， ， 又， ， ． 22．如图1，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，且顶点位于原点，顶点、分别位于轴、轴上．若满足． (1)求点的坐标； (2)取的中点，连接，将沿翻折得到，连接并延长交轴于点．求证：点为的中点； (3)如图2，在（2）的条件下，点位于线段上，且．点为平面内一动点，且满足，连接．请你直接写出线段长度的最大值__________． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据已知条件，算术平方根的非负性以及偶次幂的非负性求得的值，即可求解； （2）证明，得到（），则，即可求解； （3）当点、、三点共线时，的长度最大，进而求解． 【详解】（1）解：∵满足即． ∴， ∴，即 （2）与关于所在直线对称， ，， 连接， ， ，， 设，， 在中，，即， ， ； ，， ， 同理， ， ，， （）， ， 点为的中点； （3）取的中点，连接，． ， ∴ ，点是的中点， ∴， ∵，则， 当点、、三点共线时，的长度最大， 则的最大值． 故答案为． 【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的性质与判定，矩形的性质，轴对称的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 23．城市规划师小李正在设计一个位于街角的直角三角形公园，其中为连接道路尽头的斜向步道，而南北走向的景观大道和东西走向的生态停车场在控制中心点处汇聚，且．如图①，小李打算在景观大道和生态停车场上分别修建一座云端瞭望塔，，且为结构美观，需要它们到控制中心的距离相等，即．连接，，分别在，，中点处设置志愿者服务站，，． (1)连接，，，小李发现为三个志愿者服务站所构成的图形结构稳定均衡，请帮助他计算______°； (2)由于公园有扩建计划，现决定云端瞭望塔不再局限于只能设计在和上，只需要保持到控制中心的距离相等，且走向互相垂直即可（），小李进行了新的尝试，将瞭望塔建立在了景观大道上，而瞭望塔建立在了的延长线上，如图②，仍然分别在，，中点处设置志愿者服务站，，，判断的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，小李将图②中绕点旋转进行多次测算，记旋转角为，，为方便游客，他希望志愿者服务站之间的距离均不超过1500米，直接写出公园扩建后四边形所需的最大占地面积． 【答案】(1) (2)为等腰直角三角形，理由见解析 (3)平方米 【分析】（1）根据三角形的中位线定理和平行线的性质，即可解答； （2）先连接，连接并延长与交于点，与交于点，再根据三角形的中位线定理，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，以及三角形的内角和定理，即可解答； （3）先连接，，再根据三角形的中位线定理和勾股定理，得出米，再由三角形的三边关系易得，当旋转角，即时，四边形的面积取得最大值，最后利用面积公式即可解答． 【详解】（1）解：如图，延长交于点， ，，分别为，，中点， ，分别为，的中位线， ，即，， ，． （2）解：为等腰直角三角形，理由如下： 如图，连接，连接并延长与交于点，与交于点， ，，分别为，，中点， ，分别为，的中位线， ，且， ，且， ，， ． ， ， ． 又，， ， ，， ． ， ， ， ，，即， 为等腰直角三角形． （3）解：如图，连接，， 由（2）可知，为等腰直角三角形，，，，， 由题意得，三边最大边长米， 由勾股定理易得，（米）， 由三角形的中位线定理易得，，， （米）． 由三角形的三边关系易得，当旋转角，即时，四边形的面积取得最大值， 此时，四边形的面积为（平方米）． 24．问题情境：如图1，在正方形中，点、分别在边、上，且，垂足为M．那么与相等吗？ (1)直接判断∶______（填“”或“”）； 在“问题情境”的基础上，继续探索： 问题探究： (2)如图2，在正方形中，点E、F、G分别在边、和上，且，垂足为M．那么与相等吗？证明你的结论； 问题拓展： (3)如图3，点E在边上，且，垂足为H，当H在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点H落在点处． ①四边形是正方形吗？请说明理由； ②若，点在上，，直接写出的最小值为 ． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)①四边形是正方形，理由见解析；② 【分析】（）证明即可得出结论； （）过点作，证明，由此可得； （）如图， 连接，证明，所以，，由折叠可知，，，由四边形内角和和平角的定义可得，所以，则，所以四边形是菱形，再由“有一个角是直角的菱形是正方形”可得结论； 作交的延长线于点，作于点，可证明，由此可得，易证是等腰直角三角形，所以，则，可得，则，作关于的对称点，则 ，可得， 求出的值即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 如图，过点作交于点，交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：四边形是正方形，理由如下： 如图，连接， 由（）的结论可知，， ∵四边形是正方形，是正方形的对角线， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由折叠可知，，， ∴， ∴四边形是菱形, ∵， ∴菱形是正方形； 如图，作交的延长线于点，作于点， ∴， 由上知四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图，作关于的对称点，则，过点作交延长线于点，则是等腰直角三角形， ∴， ∴当，，三点共线时，最小，最小值为的长， ∵， ∴由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即的最小值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中培优提升试卷（范围：第19~21章） （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版八年级下册第19~21章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．能使等式成立的的取值范围是（   ） A．且 B． C． D． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．在中，、、的对应边分别是a，b，c．下列条件中，不能判断是直角三角形的是（   ） A． B．，，（m为常数） C． D． 4．下图是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”（图1）和梅花图案（图2）（图中的每把折扇都完全展开且无重叠），则梅花图案中的五角星的五个锐角均为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，连接，过点作，垂足为．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图所示，小明在荡秋千时发现：当秋千自然下垂时，座板在点的位置，此时点到地面的距离米；秋千的固定点为到座板的绳长米．当小明把秋千座板向前推动1米时，座板摆动到点位置，且米，则此时座板到地面的距离的长度为（    ） A． B．2 C． D． 7．如图所示，工人师傅用边长均为a的正三角形、正六边形和一个角为的菱形地砖绕着点O进行铺设．若将一块边长为a的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在中，分别取、的中点、，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成矩形．若，，则的面积是（    ） A．6 B．8 C．12 D．24 9．二次根式除法可以这样解：如．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化，判断下列选项正确的是（   ） ①若是的小数部分，则的值为； ②比较两个二次根式的大小； ③计算； ④对于式子，对它的分子分母同时乘以或或，均不能对其分母有理化； ⑤设实数x，y满足，则； ⑥若，且，则正整数． A．①④⑤ B．②③④ C．②④⑤⑥ D．②④⑥ 10．如图，已知四边形ABCD为正方形，，点E为对角线AC上一点，连接DE．过点E作，交BC延长线于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：①矩形DEFG是正方形；②；③CG平分；④．其中正确的结论有（    ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．已知是整数，写出一个符合题意的自然数n的值：_______． 12．已知三条线段的长分别为6，10，x，以这三条线段为边，恰好可以构成一个直角三角形，则________． 13．如图，已知，，，，在一条直线上，，请添加一个条件______，使四边形是平行四边形． 14．机械狗可用于开展水质监测工作，如图，机械狗从A点出发，计划沿与河岸垂直的方向到达B处，由于受水流的影响，实际上岸地点C与目的地B处相差50米，机械狗实际行走的路程为130米，则的长为_______米． 15．如图，在矩形中，已知，，为中点，点在上，且，动点从点出发沿射线运动，动点从点出发沿射线运动，两点同时出发，并且速度相同，连接、，当、运动时，则的最小值为______． 16．如图，在中，于点D，，于点H，AD和CH交于点E，于点G，交AC于点F，下列结论：①；②；③若，则点E是AD的中点，④若，则．其中正确结论序号是_______． 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17-21每题8分，22-23题每题10分，24题12分。 17．计算： (1)； (2)． 18．先化简，再求值：，其中． 19．阅读与思考 下图是小明和小红的对话内容，请认真阅读并解答下列问题． 我在计算一个凸多边形的内角和时，把所有的内角度数加起来，和是． 不可能吧！我帮你检查一下．你看，你的计算式子中把一个外角也加进来了！ (1)求多加的外角度数及多边形的边数． (2)若剪去该凸多边形的一个角，剪完后所形成的新多边形的外角和为______，内角和为______． 20．如图，在中，，，，过点作，且点在点的右侧．点从点出发沿射线方向以每秒个单位的速度运动，同时点从点出发沿射线方向以每秒个单位的速度运动，在线段上取点，使得，连接，设点的运动时间为秒． (1)①________，________（用含的式子表示）； ②若，求的长． (2)请问是否存在的值，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 21．如图1，一圆柱的底面半径为是底面直径，高为，求一只蚂蚁从点出发沿圆柱表面爬行到点（点与点正对）的最短路线，小明设计了两条路线． 路线1：侧面展开图中的线段，如图2所示． 设路线1的长度为，则． 路线2：高线底面直径． 设路线2的长度为，则． 为比较的大小，采用“作差法”： 因为，所以，所以，所以小明认为路线2较短． (1)小亮对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成“圆柱的底面半径为，高为”．请你用上述方法帮小亮比较出与的大小． (2)请你帮他们继续研究：在一般情况下，若圆柱的底面半径为，高为．蚂蚁从点出发沿圆柱表面爬行到点，当满足什么条件时，路线2较短？请说明理由． 22．如图1，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，且顶点位于原点，顶点、分别位于轴、轴上．若满足． (1)求点的坐标； (2)取的中点，连接，将沿翻折得到，连接并延长交轴于点．求证：点为的中点； (3)如图2，在（2）的条件下，点位于线段上，且．点为平面内一动点，且满足，连接．请你直接写出线段长度的最大值__________． 23．城市规划师小李正在设计一个位于街角的直角三角形公园，其中为连接道路尽头的斜向步道，而南北走向的景观大道和东西走向的生态停车场在控制中心点处汇聚，且．如图①，小李打算在景观大道和生态停车场上分别修建一座云端瞭望塔，，且为结构美观，需要它们到控制中心的距离相等，即．连接，，分别在，，中点处设置志愿者服务站，，． (1)连接，，，小李发现为三个志愿者服务站所构成的图形结构稳定均衡，请帮助他计算______°； (2)由于公园有扩建计划，现决定云端瞭望塔不再局限于只能设计在和上，只需要保持到控制中心的距离相等，且走向互相垂直即可（），小李进行了新的尝试，将瞭望塔建立在了景观大道上，而瞭望塔建立在了的延长线上，如图②，仍然分别在，，中点处设置志愿者服务站，，，判断的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，小李将图②中绕点旋转进行多次测算，记旋转角为，，为方便游客，他希望志愿者服务站之间的距离均不超过1500米，直接写出公园扩建后四边形所需的最大占地面积． 24．问题情境：如图1，在正方形中，点、分别在边、上，且，垂足为M．那么与相等吗？ (1)直接判断∶______（填“”或“”）； 在“问题情境”的基础上，继续探索： 问题探究： (2)如图2，在正方形中，点E、F、G分别在边、和上，且，垂足为M．那么与相等吗？证明你的结论； 问题拓展： (3)如图3，点E在边上，且，垂足为H，当H在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点H落在点处． ①四边形是正方形吗？请说明理由； ②若，点在上，，直接写出的最小值为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $