浙江宁波市镇海中学2025-2026学年第二学期期中考试高一年级数学试卷

**基本信息** 镇海中学高一年级期中数学试卷，涵盖向量、复数、立体几何等核心知识，通过翻折问题、动点最值等设计，考查空间观念、推理能力与创新意识，适配高一学段中期学情。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|8/40|单位向量性质、复数运算、线面关系|基础巩固，如第3题线面相交判定，考查空间观念| |多项选择题|3/18|复数性质、向量共线垂直|能力区分，如第11题翻折问题，融合几何直观与推理| |填空题|3/15|圆锥体积、长方体动点最值|情境创新，第14题三棱锥线面角与二面角综合| |解答题|5/77|四棱锥证明、斜三棱柱二面角、三棱锥动点|分层递进，第19题结合内切球与动点最值，体现探究与创新意识|

镇海中学2025学年第二学期期中考试 高一年级数学试卷解析 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如果是两个单位向量，则下列说法中正确的是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A项：方向不同时，故错误；B项：时，，故错误；C项：，故错误；D项：由C项知正确． 故选择：D 2．已知复数满足，则 A．B．C．D． 【答案】B 【解析】． 故选择： 3．若直线与平面相交，则下列说法中正确的是 A．内的所有直线与都相交B．内的所有直线与都是异面直线 C．内不存在与垂直的直线D．内不存在与平行的直线 【答案】D 【解析】A项：设，平面中总能找到，而与不相交，故错误； B项：过作任意平面与共面，故错误； C项：根据三垂线定理，内过交点即可作与垂直的直线，故错误； D项：与平行的直线都与相交，故正确． 故选择：D 4．如图，是水平放置的用斜二测画法得到的直观图，其中，则原图形的面积是 A． B．1 C． D． 【答案】A 【解析】，所以． 故选择： 5．已知为空间中一点，为互不相同的直线，为互不相同的平面，则下列推理中正确的是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A项：面面相交于直线，故错误； B项：反例如图，故错误； C项：面面垂直的性质，故正确； D项：反例如图，故错误． 故选择： 6．如图，是圆台的两条母线，若圆台的高为，上底面半径为3，下底面半径为6，则截面面积的最大值为 A． B． C．18 D．24 【答案】C 【解析】，圆锥高， 当且仅当时取等． 故选择： 7．如图，在直角梯形中，，点分别是中点，在线段上运动（包含端点），则的最大值与最小值之和为 A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【解析】， 当与点重合时，取到最大值，当与点重合时，取到最小值． 故选择： 8．已知二面角的大小为，，，且，为内异于的任意一点，且的最大值是，则 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】最大时，最小． 当时，的最小值为，余弦值为，不合题意； 当时，，解得， 此时为直线与平面所成线面角． 故选择： 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9．已知复数，则下列说法中错误的是 A．若，则为实数 B． C．若，则在复平面内对应的点在第二象限 D．存在，使得为纯虚数 【答案】BD 【解析】A项：，由可得，故正确； B项：，由得，故错误； C项：，在第二象限，故正确； D项：，故错误． 故选择：BD 10．已知平面向量，则下列说法中正确的是 A．可能共线 B．可能垂直 C．不可能为3 D．若，则在方向上的投影向量为 【答案】ACD 【解析】A项：共线，则，故正确； B项：垂直，则，故错误； C项：，故正确；D项：若，则，故正确． 故选择：ACD 11．如图，在直角梯形中，，，，取中点，将沿翻折至（，不重合），则下列说法中正确的是 A．在翻折的过程中，与平面始终平行 B．在翻折的过程中，与始终不垂直 C．若二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为 D．记四面体的外接球为球是球上一动点，则当直线与直线所成角最大时，四面体体积的最大值为 【答案】ABD 【解析】 A选项：因为且，四边形是平行四边形，所以平面，平面，所以平面，故正确； B选项：若，作平面，投影落在上， ，矛盾． C选项：为二面角的平面角，， ，在中，，由余弦定理得 ，故错误； D选项：是等腰直角三角形，外接圆圆心落在中点，是等腰直角三角形，外接圆圆心落在中点．因此外接球球心的投影落在中点，当与球相切且与平面底面时，四面体底面三角形面积固定，高最大，此时体积最大．，，解得，故正确． 故选择：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若两个体积相等的圆锥底面半径之比为2：1，则它们对应的高之比为_____． 【答案】1：4 【解析】 故答案为：1：4 13．如图，在长方体中，，，为线段上的一个动点（不含端点），则的最小值为_____． 【答案】 【解析】把和长方形单独拿出来，并沿公共边旋转到共面： 显然与共线时最小， ， 故答案为： 14．如图，在三棱锥中，，，平面平面．若为线段上的动点（不含端点），记与平面所成角为，锐二面角的平面角为，则的最大值为_____． 【答案】 【解析】（官方标答） 在平面内过作，在平面内过作，连结， 可知，故， ，当且仅当时取到等号． 故答案为： 四、解答题：本题共5题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分13分）如图，四棱锥的底面为矩形，平面为的中点，为的中点，为的中点． （1）证明：平面； （2）求异面直线和所成角的余弦值． 【解析】（1）因为是的中点，所以，又因为平面平面，所以平面． （2）因为，所以即为和所成角（或其补角），因为在中解得，所以异面直线和所成角的余弦值为． 16．（本题满分15分）已知复数满足． （1）求复数； （2）若复数是关于的方程的一个根，求实数的值． 【解析】（1）将复数代入等式，得到，由复数相等条件得，解得，所以． （2）是方程的根，则其共轭复数也是方程的根，根据韦达定理得，解得． 17．（本题满分15分）在中，角的对边分别是的面积为，外接圆半径，且． （1）求； （2）若，的平分线交于，求的长度． 【解析】（1），化简得，得， 所以，所以，所以． （2），解得，， 因为是角平分线，所以， 得， 化简得，解得． 18．【解析】（1）取中点，连接，， 因为且为中点，所以， 又因为且为中点，所以， ， 在三棱柱中有，故． （2）作，连接． ， 因为，所以即为二面角的平面角， ，解得，同理，，故二面角的平面角的余弦值为 （3）法一：定义法 取中点为中点为，作， 平面，所以是在平面上的射影，即为与平面所成角， 在菱形中，解得， 由余弦定理可得，， 在Rt中，． 在菱形中，， 故直线与平面所成角的正弦值为． 法二：等积法 由题意，三棱锥为正棱锥，连结与底面重心可知底面， 设直线与平面所成角为， 可证平面，故点与点到平面的距离相等，设为，故由，得，在中可解得，可得，又因为，所以，故直线与平面所成角的正弦值为． 19．（本题满分17分）如图，在三棱锥中，，点分别是棱上的动点（不含端点）． （1）若平面， ①求的长度； ②求直线与平面所成角的正弦值； （2）若三棱锥的内切球半径，求长度的最小值． 【解析】（1）①， 在Rt中，，所以， 在Rt中，，所以， ②法一：定义法 平面， 是在平面上的射影，为直线与平面所成角， 在中解得，在中解得， 故直线与平面所成角的正弦值为． 法二：等积法 平面平面．．平面， ，解得． 设点到平面的距离为，直线与平面所成角为， 故由， 得， 解得． 故直线与平面所成角的正弦值为． （2）因为平面，所以． 设， 因为， 所以 ． 又因为， 所以， 化简得，即． 所以， 又由可得， 故的最小值为，当且仅当时取到． 学科网（北京）股份有限公司 $ 镇海中学2025学年第二学期期中考试 高一年级数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如果是两个单位向量，则下列说法中正确的是 A． B． C． D． 2．已知复数满足，则 A． B． C． D． 3．若直线与平面相交，则下列说法中正确的是 A．内的所有直线与都相交 B．内的所有直线与都是异面直线 C．内不存在与垂直的直线 D．内不存在与平行的直线 4．如图，是水平放置的用斜二测画法得到的直观图，其中，，则原图形的面积是 A． B．1 C． D． 5．已知为空间中一点，为互不相同的直线，为互不相同的平面，则下列推理中正确的是 A． B． C． D． 6．如图，、是圆台的两条母线，若圆台的高为， 上底面半径为3，下底面半径为6，则截面面积的最大值为 A． B． C．18 D．24 7．如图，在直角梯形中，，点分别是中点，在线段上运动（包含端点），则的最大值与最小值之和为 A．0 B．1 C． D． 8．已知二面角的大小为，，且，为内异于的任意一点，且的最大值是，则 A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9．已知复数，则下列说法中错误的是 A．若，则为实数 B． C．若，则在复平面内对应的点在第二象限 D．存在，使得为纯虚数 10．已知平面向量，则下列说法中正确的是 A．可能共线 B．可能垂直 C．不可能为3 D．若，则在方向上的投影向量为 11．如图，在直角梯形中，，取中点，将沿翻折至，则下列说法中正确的是 A．在翻折的过程中，与平面始终平行 B．在翻折的过程中，与始终不垂直 C．若二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为 D．记四面体的外接球为球（为球心），是球上一动点，则当直线与直线所成角最大时，四面体体积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若两个体积相等的圆锥底面半径之比为，则它们对应的高之比为_____． 13．如图，在长方体中，，为线段上的一个动点（不含端点），则的最小值为_____． 14．如图，在三棱锥中，，，平面平面．若为线段上的动点（不含端点），记与平面所成角为，锐二面角的平面角为，则的最大值为_____． 四、解答题：本题共5题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分13分）如图，四棱锥的底面为矩形，平面， ，为的中点，为的中点，为的中点． （1）证明：平面； （2）求异面直线和所成角的余弦值． 16．（本题满分15分）已知复数满足． （1）求复数； （2）若复数是关于的方程的一个根，求实数的值． 17．（本题满分15分）在中，角的对边分别是，的面积为，外接圆半径，且． （1）求； （2）若，的平分线交于，求的长度． 18．（本题满分17分）如图，斜三棱柱的底面是边长为2的正三角形， 且． （1）证明：； （2）求二面角的余弦值； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 19．（本题满分17分）如图，在三棱锥中，， ，点分别是棱上的动点（不含端点）． （1）若平面， ①求的长度； ②求直线与平面所成角的正弦值； （2）若三棱锥的内切球半径， 求长度的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $