精品解析：浙江省宁波市镇海中学2024-2025学年下学期高一下学期期中考试数学试卷

镇海中学2024学年第二学期期中考试 高一数学试题卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卷上． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案标号涂黑． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液． 4．考生必须保持答题卷的整洁，不要折叠、不要弄破． 选择题部分（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则的实部与虚部之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的乘方和除法可求，从而可求其实部和虚部的和. 【详解】由题设有，故， 所以，故， 故的实部与虚部之和为， 故选：C. 2. 已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，且，则“”是“”的（   ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据面面平行的判定定理和性质，结合充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】由，，若，由面面平行的性质知：，必要性成立； 由，，若，则或相交，充分性不成立． 相交情况如下： 则“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 3. 若斜二测画法的直观图是边长为2的正三角形，则原图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜二测画法求出原三角形的高后可得其面积. 【详解】如图，直观图是边长为的正三角形，则其高， 过作轴，交于，则， 则在原中，，边上的高为， 故的面积为， 故选：D. 4. 已知的方差为2，则的方差为（ ） A. 12 B. 18 C. 19 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】根据方差的性质可求新数据的方差，故可得正确的选项. 【详解】因为的方差为2，故为， 故选：B. 5. 已知圆锥的高为2，底面半径为，过圆锥任意两条母线所作的截面中，截面面积的最大值为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据余弦定理计算圆锥的轴截面三角形顶角的余弦值，判断得出其为钝角，再根据三角形的面积公式可知，当截面顶角为直角时截面面积最大. 【详解】如图，为母线，为底面圆心，其中为轴截面三角形， 则，，则， 则在中利用余弦定理可得，， 则为钝角， 设过圆锥任意两条母线所作的截面三角形的顶角，则， 则截面三角形的面积为， 则当，即时，截面三角形的面积最大，最大值为. 故选：B 6. 如图，棱长为2的正方体中，为棱中点，为棱中点，点在侧面上运动（含边界），若平面，则点的轨迹长度为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】取的中点分别为，连接，则可证平面平面，故的轨迹为线段，故可求其长度. 【详解】取的中点分别为，连接， 在正方形中，因为为中点，故且， 由正方体可得且， 所以，，故四边形为平行四边形， 故，而，故， 同理，故， 而平面，平面，故平面， 同理平面，而平面， 故平面平面，而平面平面， 结合平面，故的轨迹为线段，其长度为， 故选：A. 7. 如图，已知满足，为中点，为线段上的动点，记．将四边形沿着翻折成几何体，在翻折过程中，总存在某一个位置使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据可得在平面上的投影在上（不含端点），故可求的取值范围. 【详解】由题设不妨设，， 如图，取的中点为，的中点为，连接， 延长交于，过作平面，垂足为，连接， 则且，而，故， 若，则，而平面， 故平面，而平面，故， 而平面，故， 因为，平面，故平面， 而平面，故，但， 故，故与重合， 而，故，故在上（不含端点）， 过作，交于，连接，同理可证， 由旋转不变性得， 故三点共线， 因此问题转化为如下平面问题： 当在如何变化，使得在上（不含端点）. 设，而，设， 则，而，结合可得： 故，故，令， 故，当时，，当时，， 故， 故选:B 8. 体积为1的正四棱锥的侧棱上分别有三点，且，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立适当直角坐标系，利用向量依次求出，面的法向量，接着求出点B到面的距离和即可由锥体体积公式计算求解. 【详解】连接相交于点，连接，则由题意可知平面， 故可得两两垂直，故以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设正四棱锥底面边长为，则正四棱锥的体积为， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 故， 所以， 设平面的一个法向量为，则， 所以，取，则， 所以点B到平面的距离为， 所以三棱锥的体积为. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 已知是复数，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则或 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由共轭复数的概念，复数模长的计算逐个判断即可. 【详解】设，， 对于A：取时，满足，但不能得出，故A错误； 对于B：， ， ， 所以， 若， ，所以或，可得或，故B正确； 对于C： ， 所以 ，两式相等，故C成立. 对于D：， ， 故正确； 故选：BCD 10. 亚运会期间，宁波市要选拔射击运动员参加比赛，已知射击标靶的环数是0到10环，若要求连续10次射击均不小于7环．下面是四位选手各自连续10次的射击情况的数据特征，其中肯定能通过选拔的是（） A. 甲选手：平均数为8，众数为7 B. 乙选手：平均数为9，方差为1 C. 丙选手：中位数为7，众数为8 D. 丁选手：中位数为9，极差为2 【答案】BD 【解析】 【分析】根据选项，结合平均数，方差，中位数，极差的定义逐选项判断即可. 【详解】对于A，平均数为8，众数为7，则总环数为，假如存在一个6环， 则其余9个环数需满足和为，则平均环数为环， 其可能为：6，7，7，7，7，8，9，9，10，10，此时众数为7，平均数为8，但存在6环，故A不符题意； 对于B，平均数为9，方差为1，则总环数为，假如存在一个6环， 则其余9个环数需满足和为，则平均环数为环， 此时方差，所以不可能存在6环，故B正确； 对于C，中位数为7，众数为8，则第5，6个数为7，且8环次数最多， 可能为，0，1，2，7，7，7，8，8，8，8，故C不符题意； 对于D，中位数为9，极差为2，则从小大排列环数时，第5，6位上数为9，最大值为9，最小值为7，故D正确， 故选：BD. 11. 如图，正四面体中，是线段上的动点，是线段上的动点，记与平面的所成角为，与的夹角为，平面与平面的夹角为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】取中点，利用平面，证明平面平面，再由线面所成角定义找到，借助平行关系找到，借助棱的垂面找到，利用最小角定理可证；通过解直角三角形可得与，再由可比较大小；CD项可分别取在特殊位置处求相应角并比较大小，排除法即可得. 【详解】如图，在正四面体中，取中点，连接， 过作，垂足为，连接. 则，，平面， 则平面，又平面， 所以平面平面，平面平面， 平面，则平面， 则即为在平面内的射影， 故即为与平面的所成角. 由平面，平面， 则，又， 故即为平面与平面的夹角. 如图，过作交于，连接交于，连接， 则即为与的夹角，且. A项，由直线与平面所成角是与平面内所有直线夹角中的最小角， 又平面， 故，故A正确； B项， 如图，在中，； 在中，； 由可知，，又， 故，故B正确； C项，当与重合，与重合时， 如图，分别取中点， 则在平面内的射影即为， 则与平面的所成角即， 由，平面，， 则平面，平面，则， 故与的夹角， 由，则即平面与平面的夹角， 设正四面体棱长，则在中，， 故，为锐角， 故此时，C项错误； D项，当与重合，与重合时， 如图，为平面与平面的夹角， ，则， 此时与的夹角即， 故此时，D项错误； 故选：AB. 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 有一组数据：则这组数据的第百分位数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先排序，再根据第百分位数的定义可求该值. 【详解】6个数由小到大的排列为， 而，故第百分位数为， 故答案为:. 13. 已知正四棱台的高为，上、下底面边长分别为和，若在它的内部有一个球，那么该球表面积的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先作正四棱台的截面，取轴中点并作侧面的垂线，利用余弦定理和三角形的面积公式求出垂线段长，并与高的一半比较，垂线段小于高的一半时，则需将轴中点往下底面方向移动，使其到下底面的距离和到侧面的距离相等，即可求出半径. 【详解】作正四棱台过上下底面中心且平分两个侧面的截面如图，分别取的中点，连接，取的中点，连接，过作，过作， 由题意可知，，， 则，, ， 则在中利用余弦定理可得，， 则， 因， 则， 在线段上取点，过作，使得，连接， 此时， 因，则，则， 则， 故球的半径最大值为，则球表面积的最大值为 故答案为： 14. 如图，在棱长为1的正方体中，点在线段上运动，点在线段上运动，点在底面运动（含边界），则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由时，长度最短，底面时，长度最小，再过作，连接，，进而可求解. 【详解】 易知时，长度最短， 底面时，长度最小，由正方体的结构性质易知在上， 过作，连接，易证， 由，可得：， 所以， 连接，可知三点共线，且， 在正方体中易知 所以， 所以的最小值为， 故答案为： 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，已知圆台的轴截面为等腰梯形，满足，点为（不包括端点）上一点，为线段的中点， （1）证明：平面； （2）若圆台的体积为，求圆台的表面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，，利用平面平面，证明平面； （2）根据圆台体积，求出圆台的高，进而得到圆台的母线长，再根据表面积公式求得答案. 【小问1详解】 连接，， 因为四边形为等腰梯形， 所以， 因为，为中点， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面， 又因为为的中点， 所以为三角形的中位线， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面，， 所以平面平面， 又因为平面， 所以平面. 【小问2详解】 设上底面圆半径为，则，， 上底面圆半径为，则，， 设圆台高为，体积为， 则， 解得， 在截面等腰梯形中，过作的垂线，垂足为，如图， 则， 所以圆台母线长， 所以圆台的表面积. 16. 宁波市政府为了鼓励居民节约用电，计划调整居民生活用电收费方案，拟确定一个合理的月用电量标准（千瓦时）：月用电量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费．为了了解居民用电情况，通过抽样，获得了100位居民每人的月均用电量（千瓦时），将数据按照分成7组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求直方图中a的值以及所有样本的平均用电量； （2）宁波市有900万居民，估计全市居民中月均用电量不低于400千瓦时的人数，并说明理由： （3）宁波市政府希望使的居民每月的用电量不超过标准（千瓦时），估计的值（保留整数），并说明理由． 【答案】（1），（千瓦） （2）万人. （3）（千瓦） 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1可求参数，利用组中值可求平均值； （2）求出后三组的频率之和，从而可求估计全市居民中月均用电量不低于400千瓦时的人数； （3）由前6组、前7组的频率可判断分位数在第7组，利用公式可求第百分位数. 【小问1详解】 由频率和为1可得解得， 样本的平均用电量为：（千瓦）. 【小问2详解】 由直方图可得用电量不低于千瓦的频率为， 故全市居民中月均用电量不低于千瓦的人数为万人. 【小问3详解】 由直方图得前组的频率之和为， 前组的频率之和为， 故第百分位数在中，故， 故，故（千瓦）. 17. 如图，已知四棱锥的底面为平行四边形，其中， （1）证明：； （2）求直线与平面的所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过求证平面，即可求解； （2）由等体积法求得到平面的距离，再结合线面角的定义即可求解. 【小问1详解】 因为， 由余弦定理可得：， 所以，即， 所以，又，可得：， 又，为平面内两条相交直线， 所以平面，又在平面内， 所以，又，为平面内两条相交直线， 所以平面，在平面内， 所以，又，为平面内两条相交直线， 所以平面，在平面， 所以； 【小问2详解】 由（1）平面，在平面内， 所以， 又， 所以， 则，所以， 所以， 设到平面的距离为， 由等体积法：， 可得， 解得：， 又，在平面内，在平面外， 所以平面， 所以到平面的距离为， 所以直线与平面的所成角的正弦值为 18. 如图，已知四边形满足，现将沿着翻折得到形成四棱锥，记二面角的平面角大小为． （1）若，证明：． （2）在线段上是否存在一点使得平面，若存在，求出；若不存在，请说明理由． （3）三棱锥的外接球球心为，二面角和的平面角大小分别为，求（记，结果用表示）． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在且满足，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）在平面内过作，垂足为，连接，则利用空间中垂直关系的转化可得，结合勾股定理可得. （2）利用面面平行的判定定理可证平面平面，故可得时平面； （3）利用球心的性质结合二面角的构造方法构造出各二面角，根据关联直角三角形的边角关系可得. 【小问1详解】 若，则平面平面， 在平面内过作，垂足为，连接， 因为平面平面，平面平面， 平面，故平面，而平面，故. 在直角中，，，故， 而，故在直角中，， 所以， 而，故. 【小问2详解】 存在且满足，使得平面，证明如下： 取（1）中，由（1）可得，连接，由旋转不变性可得， 而且平面，故， 而平面，平面，故平面， 而且，故，同理可得平面， 而平面，故平面平面， 而平面，故平面. 【小问3详解】 由旋转过程中形成四棱锥，故， 若，取的中点分别为，连接， 因为为三棱锥的外接球球心，故平面，平面， 因为平面，故，而为中位线，故， 故，因，平面， 故平面，而平面，故， 故为二面角的平面角，故， 同理可证：，， 在直角三角形中，，同理， 故在直角三角形中有， 故即， 且， 故. 当时，此时重合，且， 满足， 当，此时且在平面的下方， 同理可得， 综上，. 19. 已知为虚数单位，定义的解称为次单位根或单位根，这个单位根分别为．复数单位根在代数、分析、信号处理和几何学等领域都有广泛的应用．例如在平面几何中，记对应的复数为，将绕原点逆时针旋转得到，则对应的复数为．此外，在数字信号处理中，单位根用于设计滤波器，以选择或抑制特定频率的示性信号． （1）方程在复数域上的两根为，将对应的向量逆时针旋转后得到，记对应的复数为，请求出（结果用代数形式表示）； （2）已知定义在整数集上的示性函数，在复平面上的正三角形顶点三点分别对应的复数为，若存在使得，则称为正三角形数．若为正三角形数，求； （3）一个圆环上系有个绳结，且圆环上每个绳结的位置都不相同，现有两种打结方式分别可以得到型绳结，每个绳结等可能地采用两种打结方式．记顺序相邻的5个绳结中恰有1，2，3，4个型绳结的组数分别为，证明：是5的倍数． 【答案】（1） （2）1 （3）证明过程见解析 【解析】 【分析】（1）直接计算即可求解； （2）合理的取，根据新定义求得，进一步得，从而即可求解； （3）把原式变成，故只需想办法证明是5的倍数即可. 【小问1详解】 对于，它的两个根为， 不妨设， 从而； 【小问2详解】 由题意不妨设正的边长为，它的三个顶点分别为， 则， 若存在使得， 即若存在使得， 注意到，从而有， 对两边同时乘以，可得； 对两边同时乘以，可得， 观察发现具有轮换对称性，从而地位一样， 故， 又因为， 所以， 当时， 设， 此时； 当时， 设， 此时； 当时， 设， 此时； 综上所述，； 【小问3详解】 为了方便起见，记顺序相邻的5个绳结中恰有1，2，3，4个型绳结的组数分别为， 故只需证明是五的倍数， 所以， 设圆环上总共有个型绳结，由于每个型绳结属于5个不同的顺序相邻的5个绳结组， 故所有顺序相邻的5个绳结组中绳结的总数为，其中表示顺序相邻的5个绳结中全是绳结的绳结组的组数， 所以，也就是说是5的倍数， 又因为也是5的倍数， 从而是5的倍数，命题得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 镇海中学2024学年第二学期期中考试 高一数学试题卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卷上． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案标号涂黑． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液． 4．考生必须保持答题卷的整洁，不要折叠、不要弄破． 选择题部分（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则的实部与虚部之和为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，且，则“”是“”的（   ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若斜二测画法的直观图是边长为2的正三角形，则原图形的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知的方差为2，则的方差为（ ） A. 12 B. 18 C. 19 D. 36 5. 已知圆锥的高为2，底面半径为，过圆锥任意两条母线所作的截面中，截面面积的最大值为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 6. 如图，棱长为2的正方体中，为棱中点，为棱中点，点在侧面上运动（含边界），若平面，则点的轨迹长度为（ ） A. B. C. 2 D. 1 7. 如图，已知满足，为中点，为线段上的动点，记．将四边形沿着翻折成几何体，在翻折过程中，总存在某一个位置使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 体积为1的正四棱锥的侧棱上分别有三点，且，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 已知是复数，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则或 C. D. 10. 亚运会期间，宁波市要选拔射击运动员参加比赛，已知射击标靶的环数是0到10环，若要求连续10次射击均不小于7环．下面是四位选手各自连续10次的射击情况的数据特征，其中肯定能通过选拔的是（） A. 甲选手：平均数为8，众数为7 B. 乙选手：平均数为9，方差为1 C. 丙选手：中位数为7，众数为8 D. 丁选手：中位数为9，极差为2 11. 如图，正四面体中，是线段上的动点，是线段上的动点，记与平面的所成角为，与的夹角为，平面与平面的夹角为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 有一组数据：则这组数据的第百分位数为___________． 13. 已知正四棱台的高为，上、下底面边长分别为和，若在它的内部有一个球，那么该球表面积的最大值为___________． 14. 如图，在棱长为1的正方体中，点在线段上运动，点在线段上运动，点在底面运动（含边界），则的最小值为___________． 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，已知圆台的轴截面为等腰梯形，满足，点为（不包括端点）上一点，为线段的中点， （1）证明：平面； （2）若圆台的体积为，求圆台的表面积． 16. 宁波市政府为了鼓励居民节约用电，计划调整居民生活用电收费方案，拟确定一个合理的月用电量标准（千瓦时）：月用电量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费．为了了解居民用电情况，通过抽样，获得了100位居民每人的月均用电量（千瓦时），将数据按照分成7组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求直方图中a的值以及所有样本的平均用电量； （2）宁波市有900万居民，估计全市居民中月均用电量不低于400千瓦时的人数，并说明理由： （3）宁波市政府希望使的居民每月的用电量不超过标准（千瓦时），估计的值（保留整数），并说明理由． 17. 如图，已知四棱锥的底面为平行四边形，其中， （1）证明：； （2）求直线与平面的所成角的正弦值． 18. 如图，已知四边形满足，现将沿着翻折得到形成四棱锥，记二面角的平面角大小为． （1）若，证明：． （2）在线段上是否存在一点使得平面，若存在，求出；若不存在，请说明理由． （3）三棱锥的外接球球心为，二面角和的平面角大小分别为，求（记，结果用表示）． 19. 已知为虚数单位，定义的解称为次单位根或单位根，这个单位根分别为．复数单位根在代数、分析、信号处理和几何学等领域都有广泛的应用．例如在平面几何中，记对应的复数为，将绕原点逆时针旋转得到，则对应的复数为．此外，在数字信号处理中，单位根用于设计滤波器，以选择或抑制特定频率的示性信号． （1）方程在复数域上的两根为，将对应的向量逆时针旋转后得到，记对应的复数为，请求出（结果用代数形式表示）； （2）已知定义在整数集上的示性函数，在复平面上的正三角形顶点三点分别对应的复数为，若存在使得，则称为正三角形数．若为正三角形数，求； （3）一个圆环上系有个绳结，且圆环上每个绳结的位置都不相同，现有两种打结方式分别可以得到型绳结，每个绳结等可能地采用两种打结方式．记顺序相邻的5个绳结中恰有1，2，3，4个型绳结的组数分别为，证明：是5的倍数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $