第二章 平面向量及其应用（高效培优单元测试·提升卷）高一数学北师大版必修第二册

第二章 平面向量及其应用单元测试卷·提升卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在中，是边的中点，是边上靠近的一个三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的加法法则可得，再结合条件利用，表示，即可. 【详解】， 故选：C. 2．已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（    ）    A．11 B．7 C．3 D． 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，根据向量数量积的坐标表示即可求解． 【详解】以向量的起点为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示：    则，， 所以. 故选：C. 3．在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】利用余弦定理列出方程，整理得到，即可求解. 【详解】在中，因为，，， 由余弦定理得，即， 可得，解得或（舍去）. 故选：D. 4．如图：在平行四边形中，已知，直线交于O，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，用表示出，根据共线定理推论求出，然后可求解. 【详解】设，则， 又，所以， 因为三点共线，所以，解得， 所以. 故选：D 5．已知，，分别为内角，，的对边，，，则的面积为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由正弦定理可得：，化简利用余弦定理可求得角,由可求得，根据面积公式即可求得结果. 【详解】由已知及正弦定理得，化简得， ∴，， ∴，∴， ∴． 故选：C 【点睛】本题主要考查了数量积公式，考查解三角形中的正余弦定理以及面积公式的运用，属于中档题. 6．已知点为外接圆的圆心，且，则的内角 等于(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】A 【分析】由题意可得，又因为，所以四边形为菱形，且，即可得答案. 【详解】解：由得，， 由为外接圆的圆心， 所以， 结合向量加法的几何意义知， 四边形为菱形，且， 故. 故选：A. 7．位于处的雷达接收到在其正东方向相距海里的处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后，即刻通知位于处雷达北偏东且与处雷达相距30海里的处的甲船前往救援，则甲船至少需要航行的海里数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由余弦定理解三角形可得. 【详解】如图，由题意可得．在中，由余弦定理可得 海里， 故甲船至少需要航行的海里数为． 故选：C.    8．在平行四边形中，，，，分别是上的点，且，，（其中），且.若线段的中点为，则当取最小值时，的值为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用，结合向量线性运算、数量积运算，以及，求得当为何值时取得最小值，进而求得的值. 【详解】依题意可知， ，所以 ①.由于，所以①可化为②，根据二次函数的性质可知，，当时，②取得最小值，此时，所以. 故选：B 【点睛】本小题主要考查平面向量线性运算、数量积运算，模的运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的有（    ） A．若与是单位向量，则 B．若非零向量与是相反向量，则 C． D．若与共线，与共线，则与共线 【答案】BC 【分析】对于A，只需与不共线即可排除；对于B，由相反向量的定义即可求解；对于C，由数量积的定义即可判断；对于D，只需为零向量，、不共线即可排除. 【详解】与是单位向量且方向不同时，，A错误； 根据相反向量的定义可知，与方向相反且两个向量模相等，即，B正确； ，C正确； 若为零向量，、为非零向量，则与不一定共线，D错误． 故选：BC. 10．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列命题为真命题的是（    ）． A．若，则 B．若，则是钝角三角形 C．若，则为等腰三角形 D．若，，，则满足条件的三角形有且只有一个 【答案】ABD 【分析】由正弦定理结合结论大角对大边可判断A；由余弦定理结合正弦定理的边角互换可判断B；由正弦定理的边角互换结合二倍角的正弦公式可判断C；由余弦定理求出可判断D. 【详解】对A选项，根据结论大角对大边，则有， 又因为正弦定理，所以，故A正确； 对B选项，由可得， ∴，为钝角三角形，故B正确； 对C选项，由可得，∴， ∴或，是直角三角形或等腰三角形，故C错误； 对D选项，由， 则，解得， 故，满足条件的三角形有且只有一个，故D正确. 故选：ABD． 11．在中，已知，，，若，则（   ） A． B． C．是在上的投影向量 D． 【答案】BC 【分析】根据向量的线性运算以及投影向量的求法判断各选项的准确性. 【详解】对于，由，则有，即， 所以可得，故错误； 对于，因，， 展开则有，移项整理可得，故正确； 对于，由投影向量求法可知在上的投影向量为， 因为，，， 代入上式可求得在上的投影向量为， 故正确； 对于， ， 故错误. 故选： 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．，，，均为非零向量，且，，，则四边形ABCD的形状是______． 【答案】矩形 【分析】由向量关系得到对角线互相平分且相等，进而可得四边形ABCD的形状. 【详解】由已知，， 则且共线反向，且共线反向， 则四边形ABCD为平行四边形， 又，对角线相等， 所以四边形ABCD为矩形. 故答案为：矩形. 13．中，角A，B，C对边分别为a，b，c，点P是所在平面内的动点，满足.射线BP与边AC交于点D.若，则面积的最小值为______. 【答案】 【分析】首先根据向量的几何意义，确定是的角平分线，再根据余弦定理，以及三角形的面积公式和基本不等式，求得 最小值，即可求解. 【详解】表示与方向相同的单位向量，表示与方向相同的单位向量， 根据向量加法的几何意义可知，点在的角平分线上，即是的角平分线， 由，得，，所以， 依题意， 根据三角形的面积公式有， 整理得，所以，即，当且仅当时等号成立， 所以面积的最小值为. 故答案为： 14．若平面向量，满足，，则当最小时，______；记与的夹角为，则的最大值为______. 【答案】 1 【分析】①先根据已知条件求出，然后化简，然后根据数量积的定义确定其最值.②先利用向量夹角的余弦公式求出，然后利用同角的三角函数关系式求出，进而列出的表达式，然后进行化简、换元，根据基本不等式的性质确定最大值. 【详解】因为平面向量，满足，所以等式两边平方得 ，展开化简得. 因为，所以. 所以， 设向量的夹角为时，， 所以，所以. 由于取最小值时，取最大值， 所以此时，所以. 因为，所以. 所以. 令 ，则 ，令 ，则 . 由基本不等式，当 即 时， 取得最大值 . 故答案为：①1；②. 4、 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知向量，， (1)若，求实数； (2)若，求实数. 【答案】(1) (2)或3 【分析】（1）由向量平行的坐标表示，列出等式求解即可； （2）由向量垂直的坐标表示，列出等式求解即可. 【详解】（1）， 由，得， 解得； （2）， 由，得， 解得或3. 16．已知向量，，满足，，，． (1)求向量与的夹角； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，，解得，再由结合向量的数量积，向量夹角公式即可得出答案． （2）根据，由向量的数量积的运算性质，即可得出答案． 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以，解得． 而，所以， 设，则， 又，所以． （2）因为，， 所以， 所以． 17．记的内角的对边分别为，已知. (1)若，证明：是等边三角形； (2)若，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，得到，再由余弦定理得到，化简得到，得到，进而证得为等边三角形； （2）由正弦定理得，结合，得到，求得，再利用余弦定理，即可求解. 【详解】（1）证明：由，可得， 因为，由正弦定理可得，所以， 即，可得， 结合，所以为等边三角形. （2）解：因为，由正弦定理得， 平方可得, 又因为，可得，可得， 所以，即，则， 由余弦定理，可得. 18．如图， 在正六边形中，，为上一点， 且 交于点 (1)当 时， 试用表示； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正六边形的性质和平面向量的线性运算结合图形可得； （2）记，，借助F、G、H共线可得和之间的关系，然后根据平面向量的线性运算表示出所求，利用对勾函数的性质可得. 【详解】（1）由正六边形性质可知，， 因为，所以 所以 （2）记， 则，…① 将代入①整理得 因为F、G、H共线，所以，即 又 ， 所以 将代入上式整理可得 令，则 由对勾函数可知，当在区间上单调递减， 所以当时，取得最大值6；当时，取得最小值4. 所以的取值范围为. 19．在中，角A，B，所对的边分别为，，，且． (1)求的值； (2)点在边上，，． （i）求面积的最大值； （ii）求的最小值． 【答案】(1) (2)；. 【分析】（1）由正弦定理边角互化结合余弦定理可得答案； （2）（i）由题可得，则，然后由基本不等式可得 ，结合可得答案； （ii）设，由，则，结合， 可得，然后由分离常数，整体代换结合基本不等式可得答案. 【详解】（1）因，由正弦定理边角互化可得： ； （2）（i）因，则， 又注意到， ，则 ，由基本不等式，， 又由（1），，则. 当且仅当，即时取等号. （ii）设，则，其中. 又，则. 由（1）可得， 则. 注意到. 对于，令，其中. 则， ， 当且仅当，即时取等号. 则， 则. 【点睛】关键点睛：对于三角形中的最值问题，常利用正余弦定理，向量，基本不等式处理；对于分式型代数式的最值，常利用分离常数，上下同除，整体换元等方法来处理. 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 平面向量及其应用单元测试卷·提升卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在中，是边的中点，是边上靠近的一个三等分点，则（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（    ）    A．11 B．7 C．3 D． 3．在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则（    ） A． B． C．3 D． 4．如图：在平行四边形中，已知，直线交于O，若，则（    ） A． B． C． D． 5．已知，，分别为内角，，的对边，，，则的面积为（    ） A． B．2 C． D． 6．已知点为外接圆的圆心，且，则的内角 等于(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 7．位于处的雷达接收到在其正东方向相距海里的处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后，即刻通知位于处雷达北偏东且与处雷达相距30海里的处的甲船前往救援，则甲船至少需要航行的海里数为（   ） A． B． C． D． 8．在平行四边形中，，，，分别是上的点，且，，（其中），且.若线段的中点为，则当取最小值时，的值为（      ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的有（    ） A．若与是单位向量，则 B．若非零向量与是相反向量，则 C． D．若与共线，与共线，则与共线 10．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列命题为真命题的是（    ）． A．若，则 B．若，则是钝角三角形 C．若，则为等腰三角形 D．若，，，则满足条件的三角形有且只有一个 11．在中，已知，，，若，则（   ） A． B． C．是在上的投影向量 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．，，，均为非零向量，且，，，则四边形ABCD的形状是______． 13．中，角A，B，C对边分别为a，b，c，点P是所在平面内的动点，满足.射线BP与边AC交于点D.若，则面积的最小值为______. 14．若平面向量，满足，，则当最小时，______；记与的夹角为，则的最大值为______. 4、 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知向量，， (1)若，求实数； (2)若，求实数. 16．已知向量，，满足，，，． (1)求向量与的夹角； (2)求． 17．记的内角的对边分别为，已知. (1)若，证明：是等边三角形； (2)若，求. 18．如图， 在正六边形中，，为上一点， 且 交于点 (1)当 时， 试用表示； (2)求的取值范围． 19．在中，角A，B，所对的边分别为，，，且． (1)求的值； (2)点在边上，，． （i）求面积的最大值； （ii）求的最小值． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $