福建福州高级中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

福州高级中学2025-2026学年第三学段考试 高二数学试题 试卷总分：150分 完卷时间：120分钟 第I卷 一、单选题：本题共有8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数，则（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 8 2. 已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则的值为（ ） 0 1 2 3 0.12 0.16 A. 0.16 B. 0.09 C. 0.59 D. 3. 若函数存在极值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 的展开式中项的系数为（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙、丙、丁、戊、己六名同学参加数学考试，已知成绩各不相同．甲和乙去询问老师成绩，老师对甲说：“很遗憾，你和乙都不是第一名．”对乙说：“你不是最后一名．”从这两个回答分析，从第一名到第六名的排列有多少种不同情况?（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 6. 已知函数在上的导函数为，且在处取得极大值，则函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，过点可向曲线引3条切线，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把系数列成一张表，借助它发现了一些规律．在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中，出现了这个表，我们称这个表为杨辉三角，杨辉三角是中国古代数学中十分精彩的篇章．如图1所示，杨辉三角第6行的7个数依次为，．将杨辉三角中第行的第个数乘以，第0行的一个数为0，得到一个新的三角数阵如图2，则在这个新的三角数阵中，第100行的所有数的和为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于二项式的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式的所有系数和为1 B. 展开式的第4项二项式系数最大 C. 展开式中不含项 D. 展开式的常数项为240 10. 给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记．若在上恒成立，则称在上是“下凸函数”．下列函数中在定义域上是“下凸函数”的是（ ） A. B. C. D. 11. 设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如果随机变量，且，则_______. 13. 校运会期间，高二有甲、乙、丙、丁4名志愿者随机派往铅球、跳远、跳高三个比赛区域，每个区域至少派1名志愿者，每名志愿者只能去一个区域，则在甲被派往铅球区域的条件下，乙也被派往铅球区域的概率为______． 14. 已知不等式，对恒成立，则a的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 一个袋子中有个大小相同的球，其中有4个红球、8个绿球，分别采用有放回和不放回的方式从中随机抽取3个球，设采用有放回方式抽取时抽到红球的个数为，采用不放回方式抽取时抽到红球的个数为. （1）求的概率; （2）求Y的分布列与数学期望. 16. 已知抛物线：的焦点到直线的距离为. （1）求抛物线的标准方程； （2）过点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，且的面积为，求直线的方程. 17. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，恒成立，求的取值范围． 18. 将椭圆面沿着垂直于其所在平面的空间向量平移得到的封闭几何体叫做椭圆柱体.如图所示的椭圆柱体，点和分别为上、下椭圆面的对称中心，椭圆的长轴长，短轴长为，，均垂直于椭圆面，且，过下底面椭圆的右焦点的动直线交椭圆于，两点，是上一点，且满足平面. （1）求的值； （2）求点到平面距离的最大值； （3）若，求二面角的余弦值. 19. 某湿地公园有两条散步路线，分别记为路线和路线．湿地附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率均为；前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率分别为和．已知居民第一天选择路线的概率为，选择路线的概率为． （1）若有4位居民连续两天去湿地散步，记其中第二天选择路线散步的人数为，求的分布列和数学期望； （2）若某居民每天都去湿地散步，记他第天选择路线的概率为． （i）证明：数列是等比数列； （ii）设，证明：． 福州高级中学2025-2026学年第三学段考试 高二数学试题 试卷总分：150分 完卷时间：120分钟 第I卷 一、单选题：本题共有8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】ABC 【11题答案】 【答案】ACD 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2）分布列 0 1 2 3 【16题答案】 【答案】（1） （2）或 【17题答案】 【答案】（1）当时，的增区间为，无减区间；当时，函数的减区间为，增区间为 （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3）. 【19题答案】 【答案】（1） 0 1 2 3 4 ； （2） （i）当第天选择路线时，第天选择路线的概率为； 当第天选择路线时，第天选择路线的概率为， 由全概率公式得， 所以，而， 于是数列是首项为，公比为的等比数列， 因此，即； （ii）由（i）知， 当时，， 而，所以； 当时，，而， 所以 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $