精品解析：福建福州第三中学2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试卷

福州三中2025-2026学年第二学期期中考 高二数学试卷 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数z满足(1+i)z=2i，则∣z∣=（ ） A. B. C. D. 2 3. 一物体做直线运动，其位移与时间的关系是，则物体的初速度为(　　) A. 0 B. 3 C. －2 D. 3－2t 4. 在等差数列中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（　　） A. 48种 B. 72种 C. 96种 D. 144种 6. 某同学喜爱球类和游泳运动.暑假期间，该同学上午去打球的概率为.若该同学上午不去打球，则下午一定去游泳；若上午去打球，则下午去游泳的概率为.已知该同学在某天下午去游了泳，则上午打球的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线上任意一点，定点，若点是圆上的动点，则的最小值为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 8. 已知实数满足，则的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间中三点，则（ ） A. B. 方向上的单位向量是 C. 是平面的一个法向量 D. 在上的投影向量的模为 10. 若，则（ ） A. B. C. D. 11. 双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则（ ） A. B. C. C的离心率为 D. 当时，四边形的面积为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列的前项和为，，，则______． 13. 曲线在点处的切线在轴上的截距为__________. 14. 切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫（）在研究统计规律时发现的，其内容是：对于任一随机变量，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数，有.在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列，现连续发射信号次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号“1”的次数为随机变量，为了至少有的把握使发射信号“1”的频率在区间内，估计信号发射次数的值至少为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽选了50名男生和50名女生，统计数据如下表所示： 经常锻炼 不经常锻炼 合计 男生 40 10 50 女生 30 20 50 合计 70 30 100 （1）从这100人中随机选一人，已知选到的学生不经常锻炼，求此人是女生的概率； （2）试依据小概率值的独立性检验，判断学生体育锻炼的经常性与性别是否有关.附：，其中. 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 16. 已知数列的前项和满足． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 17. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 18. 设为坐标原点，椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为. （1）当与轴垂直时，求直线的方程； （2）求面积的最大值； （3）证明：. 19. 如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网络外卖也开始成为不少人日常生活中重要的一部分，其中大学生更是频频使用网络外卖服务.市教育主管部门为掌握网络外卖在该市各大学的发展情况，在某月从该市大学生中随机调查了人，并将这人在本月的网络外卖的消费金额制成如下频数分布表（已知每人每月网络外卖消费金额不超过元）： 消费金额（单位：百元） 频数 20 35 25 10 5 5 （1）由频数分布表可以认为，该市大学生网络外卖消费金额（单位：元）近似服从正态分布，其中近似为样本平均数（每组数据取区间的中点值，）．现从该市任取名大学生，记其中网络外卖消费金额恰在元至元之间的人数为，求的数学期望； （2）市某大学后勤部为鼓励大学生在食堂消费，特地给参与本次问卷调查的大学生每人发放价值元的饭卡，并推出一档“勇闯关，送大奖”的活动．规则是：在某张方格图上标有第格、第格、第格、…、第格共个方格．棋子开始在第格，然后掷一枚均匀的硬币（已知硬币出现正、反面的概率都是，其中），若掷出正面，将棋子向前移动一格（从到），若掷出反面，则将棋子向前移动两格（从到）．重复多次，若这枚棋子最终停在第格，则认为“闯关成功”，并赠送元充值饭卡；若这枚棋子最终停在第格，则认为“闯关失败”，不再获得其他奖励，活动结束． ①设棋子移到第格的概率为，求P2的值，并证明：当时，是等比数列； ②若某大学生参与这档“闯关游戏”，试比较该大学生闯关成功与闯关失败的概率大小，并说明理由． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州三中2025-2026学年第二学期期中考 高二数学试卷 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合后结合交集的定义可求. 【详解】，故， 故选：D. 2. 设复数z满足(1+i)z=2i，则∣z∣=（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】求出即得解. 【详解】解：由题意可得，所以， 所以. 故选：C 3. 一物体做直线运动，其位移与时间的关系是，则物体的初速度为(　　) A. 0 B. 3 C. －2 D. 3－2t 【答案】B 【解析】 【分析】求函数的导数，令即可得到结论 【详解】位移与时间的关系是， 则 故物体的初速度为 故选 【点睛】本题是一道关于导数应用的题目，解答本题的关键在于位移与初速度的转化关系，物体的速度为位移关于时间的导数，不要误以为初速度是当时是的值． 4. 在等差数列中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差中项的性质，结合充分不必要条件的判定判断即可． 【详解】解：等差数列中，若，则， 等差数列中，当公差，，可以为任意正整数， 综上，“”是“”的充分不必要条件． 5. 如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（　　） A. 48种 B. 72种 C. 96种 D. 144种 【答案】B 【解析】 【分析】 区域与其他区域都相邻，从开始分步进行其它区域填涂可解 【详解】解：根据题意，如图，假设5个区域依次为，分4步分析： ①，对于 区域，有4种涂法， ②，对于区域，与 相邻，有3种涂法， ③，对于区域，与 相邻，有2种涂法， ④，对于区域，若其与 区域同色，则 有2种涂法， 若 区域与 区域不同色，则 有1种涂法，则 区域有2+1＝3种涂色方法， 则不同的涂色方案共有4×3×2×3＝72种； 故选： B． 【点睛】本题考查两个计数原理的综合问题 使用两个计数原理进行计数的基本思想：对需用两个计数原理解决的综合问题要“先分类，再分步”，即先分为若干个“既不重复也不遗漏”的类，再对每类中的计数问题分成若干个“完整的步骤”，求出每个步骤的方法数，按照分步乘法计数原理计算各类中的方法数，最后再按照分类加法计数原理得出总数． 6. 某同学喜爱球类和游泳运动.暑假期间，该同学上午去打球的概率为.若该同学上午不去打球，则下午一定去游泳；若上午去打球，则下午去游泳的概率为.已知该同学在某天下午去游了泳，则上午打球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】上午打球为事件A，下午游泳为事件B，利用全概率公式求出，再利用条件概率公式计算即得. 【详解】设上午打球为事件A，下午游泳为事件B， 则，， 于是， 因此，所以上午打球的概率为. 7. 已知抛物线上任意一点，定点，若点是圆上的动点，则的最小值为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的定义及圆的性质可得． 【详解】解：由题可知抛物线焦点，准线方程为， 圆心为，半径为， 则． 8. 已知实数满足，则的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，可得时，，，，时，，结合图像可得当时，，当时，，当时，，然后逐项判断即可． 【详解】解： 令， 时，，即， 时，，即， 时，，即， 又、在单调递增， 所以、的函数图像如下： 当时，，当时，，当时，， 故不可能成立． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间中三点，则（ ） A. B. 方向上的单位向量是 C. 是平面的一个法向量 D. 在上的投影向量的模为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据向量的模及单位向量的定义求解选项AB，根据法向量定义求解选项C，根据投影向量概念求解选项D. 【详解】对于选项A，，，故A错误； 对于选项B，,方向上的单位向量是，故B错误； 对于选项C，，由于共面且不共线， , 所以，是平面的一个法向量，故C正确； 对于选项D, , 在上的投影向量的模为,故D正确. 10. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用赋值法求解二项式展开式中系数问题. 【详解】对于选项A，令，得 ，故A错误； 对于选项B, 令,得 即，故B正确； 对于选项C, 设展开式通项为， 所以，， 故C正确； 对于选项D,对两边同时求导可得 ， 令，得 ，故D错误. 11. 双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则（ ） A. B. C. C的离心率为 D. 当时，四边形的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由平行四边形的性质判断A；由且结合在渐近线上可求的坐标，从而可判断B的正误，或者利用三角函数定义和余弦定理也可判断；由中线向量结合B的结果可得，计算后可判断C的正误，或者利用并结合离心率变形公式即可判断；结合BC的结果求出面积后可判断D的正误. 【详解】不妨设渐近线为，在第一象限，在第三象限， 对于A，由双曲线的对称性可得为平行四边形，故， 故A正确； 对于B，方法一：因为在以为直径的圆上，故且， 设，则，故，故， 由A得，故即，故B错误； 方法二：因为，因为双曲线中，， 则，又因为以为直径的圆与的一条渐近线交于、，则， 则若过点往轴作垂线，垂足为，则，则点与重合，则轴，则，则为直角三角形，且，则， 方法三：在利用余弦定理知，， 即，则， 则为直角三角形，且，则，故B错误； 对于C，方法一：因为，故， 由B可知， 故即， 故离心率，故C正确； 方法二：因为，则，则，故C正确； 对于D，当时，由C可知，故， 故，故四边形为， 故D正确， 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列的前项和为，，，则______． 【答案】24 【解析】 【分析】先依题意计算，判断和均是等差数列，求得通项公式，再利用等差数列的求和公式分类计算即可. 【详解】因为，，所以，即. 又①， 则②， 由②-①，得， 所以是以3为首项，2为公差的等差数列，是以为首项，2为公差的等差数列， 所以，， 所以，， 所以 . 故答案为：24. 13. 曲线在点处的切线在轴上的截距为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数值确定切线斜率，再用点斜式写出切线方程，得到在轴上的截距. 【详解】， 当时其值为， 故所求的切线方程为，即， 当时，， 故切线在轴上的截距为. 14. 切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫（）在研究统计规律时发现的，其内容是：对于任一随机变量，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数，有.在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列，现连续发射信号次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号“1”的次数为随机变量，为了至少有的把握使发射信号“1”的频率在区间内，估计信号发射次数的值至少为__________. 【答案】1250 【解析】 【分析】由题意知，可求出，由得，再由切比雪夫不等式列不等式求解即可. 【详解】连续发射信号次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的,那么， ， 由得，即， 由切比雪夫不等式可得 可知 为了至少有的把握使发射信号“1”的频率在区间内，则 ，解得. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽选了50名男生和50名女生，统计数据如下表所示： 经常锻炼 不经常锻炼 合计 男生 40 10 50 女生 30 20 50 合计 70 30 100 （1）从这100人中随机选一人，已知选到的学生不经常锻炼，求此人是女生的概率； （2）试依据小概率值的独立性检验，判断学生体育锻炼的经常性与性别是否有关.附：，其中. 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】（1） （2）不能认为学生体育锻炼经常性与性别有关 【解析】 【分析】（1）根据列联表，结合古典概型概率公式，即可求解； （2）首先假设，再计算，再比较参考数据，即可得到结论. 【小问1详解】 解：记事件为“选到的学生不经常锻炼”，事件为“选到的人是女生”， 根据条件概率公式，故； 即在选到的学生不经常锻炼条件下，是女生的概率为； 【小问2详解】 解：提出假设为学生体育锻炼经常性与性别无关， 则， 根据小概率值的独立性检验， 没有充分的证据推断不成立， 因此不能认为学生体育锻炼经常性与性别有关． 16. 已知数列的前项和满足． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由可得，得数列是等比数列，得解； （2）由（1）求出，利用裂项相消法求和. 【小问1详解】 因为①， 所以，解得， 对任意的， ②-①得，即， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，则， 所以， 则 . 17. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）. 【解析】 【详解】（1）的定义域为，， （ⅰ）若，则，所以在单调递减. （ⅱ）若，则由得. 当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增. （2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点. （ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为. ①当时，由于，故只有一个零点； ②当时，由于，即，故没有零点； ③当时，，即. 又，故在有一个零点. 设正整数满足，则. 由于，因此在有一个零点. 综上，的取值范围为. 点睛:研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数有2个零点求参数a的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断与其交点的个数，从而求出a的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点. 18. 设为坐标原点，椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为. （1）当与轴垂直时，求直线的方程； （2）求面积的最大值； （3）证明：. 【答案】（1）或 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据l与轴垂直，且过点，求得直线l的方程为，代入椭圆方程求得点的坐标为或，利用两点式求得直线的方程； （2）由题可知直线l斜率不为零，设直线l的方程为，，，联立得到，再根据结合基本不等式求最值即可； （3）当直线l与x轴重合时，显然有，当l与x轴不重合时，设点A关于x轴的对称点，再证明直线过即可． 【小问1详解】 由已知得，的方程为,代入椭圆， 可得,即得点的坐标为或. 所以的方程为或； 【小问2详解】 由题可知直线l斜率不为零，设直线l的方程为，，， 由消去,可得． 显然,则，又， 又，当且仅当时取等， ， 即面积的最大值为； 【小问3详解】 当直线l与x轴重合时，显然有； 当直线l与x轴不重合时，设直线l的方程为，，， 由（2）知． 点A关于x轴的对称点， 则直线的方程为． 令，， 则直线过点M，故． 19. 如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网络外卖也开始成为不少人日常生活中重要的一部分，其中大学生更是频频使用网络外卖服务.市教育主管部门为掌握网络外卖在该市各大学的发展情况，在某月从该市大学生中随机调查了人，并将这人在本月的网络外卖的消费金额制成如下频数分布表（已知每人每月网络外卖消费金额不超过元）： 消费金额（单位：百元） 频数 20 35 25 10 5 5 （1）由频数分布表可以认为，该市大学生网络外卖消费金额（单位：元）近似服从正态分布，其中近似为样本平均数（每组数据取区间的中点值，）．现从该市任取名大学生，记其中网络外卖消费金额恰在元至元之间的人数为，求的数学期望； （2）市某大学后勤部为鼓励大学生在食堂消费，特地给参与本次问卷调查的大学生每人发放价值元的饭卡，并推出一档“勇闯关，送大奖”的活动．规则是：在某张方格图上标有第格、第格、第格、…、第格共个方格．棋子开始在第格，然后掷一枚均匀的硬币（已知硬币出现正、反面的概率都是，其中），若掷出正面，将棋子向前移动一格（从到），若掷出反面，则将棋子向前移动两格（从到）．重复多次，若这枚棋子最终停在第格，则认为“闯关成功”，并赠送元充值饭卡；若这枚棋子最终停在第格，则认为“闯关失败”，不再获得其他奖励，活动结束． ①设棋子移到第格的概率为，求P2的值，并证明：当时，是等比数列； ②若某大学生参与这档“闯关游戏”，试比较该大学生闯关成功与闯关失败的概率大小，并说明理由． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． 【答案】（1） （2）①，证明见解析 ；②该大学生闯关成功的概率大于闯关失败的概率，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据数据算出，由服从正态分布算出概率，即，进而算出的数学期望； （2）棋子开始在第格为必然事件，.第一次掷硬币出现正面，棋子移到第1格，其概率为，即，棋子移到第格的情况是下列两种，即棋子先到第格，又掷出反面，其概率为；棋子先到第格，又掷出正面，其概率为，所以即，进而求证当时，是等比数列，计算符号即可判断. 【小问1详解】 ， 因为服从正态分布， 所以． 所以，所以的数学期望为． 【小问2详解】 ①棋子开始在第格为必然事件，． 第一次掷硬币出现正面，棋子移到第格，其概率为，即． 棋子移到第格的情况是下列两种，而且也只有两种： 棋子先到第格，又掷出反面，其概率为； 棋子先到第格，又掷出正面，其概率为， 所以， 即，且， 所以当时，数列是首项，公比为的等比数列． ②由①知，，，，， 以上各式相加，得， 所以． 所以闯关成功的概率为， 闯关失败的概率为． ， 所以该大学生闯关成功的概率大于闯关失败的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $