精品解析：2026年山东省淄博市高青县初中学业水平第一次模拟考试 九年级数学试题

2026年山东省淄博市高青县 初中学业水平第一次模拟考试+九年级数学试题 一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不得分） 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. 0 B. 2 C. D. 2. 对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年．下面四个标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的几何体，从上面观察这个图形，得到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 4. 基于嫦娥六号月背样品，来自中国科学院地质与地球物理研究所等单位的科研人员首次揭示，月球背面月幔的水含量小于，数据0.000002用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，若随机闭合开关，，中的两个，则能让灯泡发光的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多六客，一房八客一房空．”诗中后面两句的意思：如果一间客房住7人，那么有6人无房可住；如果一间客房住8人，那么就空出一间客房．若设该店有房客人，客房间，则下列二元一次方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，为的中点，连接，为的中点，以点为圆心，的长为半径作，交于点，若，，则图中阴影部分的面积是（） A. B. C. D. 9. 如图，是坐标原点，反比例函数与直线交于点，点在的图象上，直线与轴交于点．连结．若，则的长为（ ）． A. 5 B. C. D. 10. 如图为函数的部分图象，则关于函数的图象与性质的描述正确的是（ ） A. 该函数图象关于y轴对称 B. 函数值y随自变量x的增大而减少 C. 函数值y有最小值为0 D. 当时， 二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分） 11. 若，则的值为___________． 12. 如图，A和B的坐标为（2，0），（0，1），若将线段AB平移至，则ab的值为________． 13. 若a，b是方程的两个根，则的值为___． 14. 若直线与两坐标轴围成的三角形面积为8，则___________ 15. 如图，已知：，点、、在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为______． 三、解答题（共8小题，共90分．请写出必要的解答过程．） 16. 计算、化简并求值 （1） （2）先化简：，然后在1，2，3中选一个你认为合适的数代入求值． 17. 如图，，平分，平分． （1）证明：； （2）若，求的度数． 18. 机器人是人工智能与机器人技术()的结合体．它不仅仅是能执行重复任务的机械臂，而是具备了“感知、思考、决策、行动”能力的智能体．某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料．已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运材料，A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等． （1）求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料； （2）该公司计划采购 A，B两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于，则至少购进A型号AI机器人多少台？ 19. 国家卫生健康委员会宣布将2025年定为“体重管理年”，并实施为期三年的体重管理行动．某校响应号召，计划组织全校学生开展系列体育活动，筹备足球、排球、篮球、羽毛球四个球类运动的体育社团，倡导学生全员参加，为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取各个校区的部分学生，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”问卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_____； （2）被调查学生中最喜欢打篮球的人数是_____人； （3）扇形统计图中，“足球”对应扇形的圆心角为_____， （4）若全校总共有9000名学生，请你估计该校最喜爱篮球运动的学生有多少人？ 20. 如图，已知反比例函数与直线交于点，点C是x轴上的一点，连接、． （1）求反比例函数表达式； （2）若，求点C的坐标； （3）直接写出 的解集． 21. 某公园有个观望台可以俯瞰全园风景，有左、右两个步道可以登顶，观望台的高为3.04米，如图所示．左侧步道的长度为42米，倾斜角为，右侧步道的倾斜角为支架都与地面垂直，都与地面平行，两支架之间的距离为2米（点B，C，F，E在同一条直线上）． （1）求右侧步道的长度； （2）两步道的底端分别为B，E，求的长．（结果精确到0.1．参考数据：） 22. 某城市广场的一处喷泉景观，喷出的水柱呈抛物线形状在如图所示的平面直角坐标系中，喷水头到水面轴的距离为，抛物线、是从喷水头处喷出的两股水流．经测量得，抛物线的最高点距离水面，且与喷水头的水平距离为，设抛物线的表达式为，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距水面的高度． （1）求抛物线的表达式； （2）若抛物线可以看作是向左平移个单位长度得到的． ①求的值； ②求抛物线与轴的交点的横坐标； （3）在（2）的条件下，管理人员操控无人机在抛物线，之间阴影区域飞行，为了无人机的安全，要求无人机在竖直方向上的活动范围大于（不得接触水面和水柱）．设无人机与喷水头的水平距离为，直接写出的取值范围． 23. 如图，矩形中，，，点是线段上异于点的一个动点，连接，把沿直线折叠，使点落在点处． （1）【初步感知】如图1，当为的中点时，延长交于点，求证：． （2）【深入探究】如图2，点在线段上，，点在移动过程中，求的最小值． （3）【拓展运用】如图3，点在线段上，，点在移动过程中，点在矩形内部，当P、D、N是以为斜边的直角三角形时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年山东省淄博市高青县 初中学业水平第一次模拟考试+九年级数学试题 一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不得分） 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. 0 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查有理数的大小比较，需依据有理数大小比较法则：负数小于0和正数，两个负数比较时绝对值大的反而小来判断． 【详解】解：∵，且， ∴， 又∵， ∴四个数中最小的数是． 故选：C． 2. 对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年．下面四个标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形、轴对称图形的定义，关键是熟练应用定义判断；根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：∵中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合； 轴对称图形是将图形沿一条直线折叠两边完全重合的图形． ∴A：是轴对称图形，不是中心对称图形； B：不是轴对称图形，是中心对称图形； C：不是轴对称图形，不是中心对称图形； D：是轴对称图形，是中心对称图形； 故选：D． 3. 如图所示的几何体，从上面观察这个图形，得到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查从不同方向看几何体，熟练掌握几何体的特征是解题的关键；因此此题可根据几何体的特征进行求解即可． 【详解】解：由图可知：从上面观察这个图形，得到的平面图形是： ； 故选D． 4. 基于嫦娥六号月背样品，来自中国科学院地质与地球物理研究所等单位的科研人员首次揭示，月球背面月幔的水含量小于，数据0.000002用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法表示较小数的形式为，其中，为正整数，的值等于原数左边第一个非零数字前所有零的个数（包括小数点前的零）． 【详解】解：数据0.000002用科学记数法表示为． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查幂的乘方、同底数幂相乘、积的乘方和合并同类项，准确的计算是解决本题的关键． 根据相关运算规则进行判断即可． 【详解】解：A、，该选项错误，不符合题意； B、，该选项错误，不符合题意； C、，该选项错误，不符合题意； D、，该选项正确，符合题意． 故选D． 6. 如图，若随机闭合开关，，中的两个，则能让灯泡发光的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等可能事件概率的计算与电路通路的判断，关键是先确定所有闭合两个开关的等可能情况，再筛选出能使发光的情况，最后利用概率公式计算． 【详解】解：随机闭合开关，，中的两个，所有等可能的情况为：、、，共3种，其中能让灯泡发光的情况只有， ∴能让灯泡发光的概率为． 故选：A． 7. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多六客，一房八客一房空．”诗中后面两句的意思：如果一间客房住7人，那么有6人无房可住；如果一间客房住8人，那么就空出一间客房．若设该店有房客人，客房间，则下列二元一次方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设该店有房客人，客房间，依题意列出方程组即可，正确理解题意是解题的关键． 【详解】解：设该店有房客人，客房间，依题意得： ， 故选：C． 8. 如图，在中，，为的中点，连接，为的中点，以点为圆心，的长为半径作，交于点，若，，则图中阴影部分的面积是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，直角三角形斜边上的中线的性质，扇形的面积，等腰三角形的性质，掌握相关知识是解题的关键． 连接，解得到，根据直角三角形斜边上中线的性质得到，因此的半径，再求出，根据扇形的面积公式求得．过点O作于点F，解得到，，再由三线合一得到，根据三角形的面积公式求得，因此根据即可解答． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴． 过点O作于点F， ∴在中，， ， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 9. 如图，是坐标原点，反比例函数与直线交于点，点在的图象上，直线与轴交于点．连结．若，则的长为（ ）． A. 5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，平行线分线段成比例，勾股定理，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键． 分别过点、作轴的垂线，垂足为、，由可得，，从而得到点的坐标，进一步算出点的坐标，最后使用勾股定理计算出的长． 【详解】解：如图，分别过点、作轴的垂线，垂足为、， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 由勾股定理可得，． 故选：D． 10. 如图为函数的部分图象，则关于函数的图象与性质的描述正确的是（ ） A. 该函数图象关于y轴对称 B. 函数值y随自变量x的增大而减少 C. 函数值y有最小值为0 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了从函数图象获取信息．分析函数的对称性、增减性、最值后即可得到答案． 【详解】解：A. 设点在函数的图象上，则， 当时，，即在函数的图象上， ∴该函数图象关于原点对称， 故此选项错误，不符合题意； B. 当时，函数值y随自变量x的增大而减少，当时，函数值y随自变量x的增大而增大，故此选项错误，不符合题意； C. 函数值y没有最小值为，故此选项错误，不符合题意； D. 当时，， ∵该函数图象关于原点对称， ∴当时，， 故选项正确， 故选：D 二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分） 11. 若，则的值为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查平方差公式．根据进行计算即可． 【详解】解：， ， 又， ， 故答案为：2． 12. 如图，A和B的坐标为（2，0），（0，1），若将线段AB平移至，则ab的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】由图可得到点的纵坐标是如何变化的，让的纵坐标也做相应变化即可得到的值；看点的横坐标是如何变化的，让的横坐标也做相应变化即可得到的值，相加即可得到所求． 【详解】解：由题意可知：；； ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，熟知在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键． 13. 若a，b是方程的两个根，则的值为___． 【答案】4 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，得到与的值，代入计算即可． 【详解】解：，是方程的两个根， 根据根与系数的关系可得 ，， ∴． 14. 若直线与两坐标轴围成的三角形面积为8，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题．先求直线与坐标轴的交点坐标，再根据三角形面积公式列方程求解． 【详解】解：当时，； 当时，，则； 故直线与坐标轴的交点为和 由题意可得： 化简得： 解得： 故答案为：． 15. 如图，已知：，点、、在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了图形类规律探究，等边三角形的性质，三角形外角的性质，含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会探究规律的方法． 根据等腰三角形的性质以及含30度角的直角三角形得出，得出，，…进而得出答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵、是等边三角形， 同理可得：， ∴， ， ， …， 则的边长为． 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共90分．请写出必要的解答过程．） 16. 计算、化简并求值 （1） （2）先化简：，然后在1，2，3中选一个你认为合适的数代入求值． 【答案】（1）4 （2），当时，原式 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式 ； ∵， ∴， ∴当时，原式． 17. 如图，，平分，平分． （1）证明：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：平分 ； （2） 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解答的关键． （1）先根据角平分线的定义，结合已知得到，然后根据平行线的判定可得结论； （2）先求得，再证明，利用平行线的性质求得，再根据角平分线的定义和平行线的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ， 平分 ． 18. 机器人是人工智能与机器人技术()的结合体．它不仅仅是能执行重复任务的机械臂，而是具备了“感知、思考、决策、行动”能力的智能体．某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料．已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运材料，A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等． （1）求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料； （2）该公司计划采购 A，B两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于，则至少购进A型号AI机器人多少台？ 【答案】（1）A型每小时搬运，B型每小时搬运 （2）至少购进A型机器人14台 【解析】 【分析】本题考查分式方程和一元一次不等式的实际应用，读懂题意，根据所给关系列出分式方程和不等式是解题的关键，注意分式方程求出解后要进行检验． （1）设B型机器人每小时搬运材料，则A型机器人每小时搬运，根据“A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等”列分式方程，即可求解； （2）设购进A型a台，根据题意列不等式，求出不等式的最小整数解即可． 【小问1详解】 解：设B型机器人每小时搬运材料，则A型机器人每小时搬运， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 此时． 答：A型每小时搬运，B型每小时搬运； 【小问2详解】 解：设购进A型a台，B型台，由题意得： ， 解得，， ∵a为整数， ∴a的最小值为14， 答：至少购进14台A型机器人． 19. 国家卫生健康委员会宣布将2025年定为“体重管理年”，并实施为期三年的体重管理行动．某校响应号召，计划组织全校学生开展系列体育活动，筹备足球、排球、篮球、羽毛球四个球类运动的体育社团，倡导学生全员参加，为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取各个校区的部分学生，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”问卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_____； （2）被调查学生中最喜欢打篮球的人数是_____人； （3）扇形统计图中，“足球”对应扇形的圆心角为_____， （4）若全校总共有9000名学生，请你估计该校最喜爱篮球运动的学生有多少人？ 【答案】（1）24 （2）16 （3） （4）估计该校最喜爱篮球运动的学生有2880人 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）用排球的人数除以可得样本容量，再用足球的人数除以样本容量即可求出的值； （2）用样本容量分别减去其它三个球类的人数可得篮球人数； （3）用乘足球对应的百分比即可得到答案； （4）用样本估计总体进行计算即可． 【小问1详解】 解：样本容量为：， 故． 故答案为：24． 【小问2详解】 解：篮球人数为：． 故答案为：16． 【小问3详解】 解：扇形统计图中，“足球”对应扇形的圆心角为：． 故答案为：． 【小问4详解】 解：依题意，（人）． 答：估计该校最喜欢篮球运动的学生约有2880人． 20. 如图，已知反比例函数与直线交于点，点C是x轴上的一点，连接、． （1）求反比例函数表达式； （2）若，求点C的坐标； （3）直接写出 的解集． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，求一次函数和反比例函数解析式，三角形面积公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）先点代入，求出点，即可得到反比例函数关系式，； （2）求出点B的坐标，设交轴于点，先求出，设点的坐标为得到，根据，即可求解； （3）直接根据图象可得答案． 【小问1详解】 解：把点代入得：， ∴点， 把点代入得：， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：把代入，得：， ∴， ∴， 设交轴于点，如图： 当时，， ∴， ∴， 设点的坐标为， ∴， ∵， ∴，即， 解得：或5， ∴点的坐标为或； 【小问3详解】 解：∵点， ∴由图象可得，的解集为或． 21. 某公园有个观望台可以俯瞰全园风景，有左、右两个步道可以登顶，观望台的高为3.04米，如图所示．左侧步道的长度为42米，倾斜角为，右侧步道的倾斜角为支架都与地面垂直，都与地面平行，两支架之间的距离为2米（点B，C，F，E在同一条直线上）． （1）求右侧步道的长度； （2）两步道的底端分别为B，E，求的长．（结果精确到0.1．参考数据：） 【答案】（1）50米 （2）78.8米 【解析】 【分析】本题考查了解三角形的应用，包括已知正余弦值求解边长，解决本题的关键是熟练掌握正弦与余弦的计算． （1）根据角B的正弦值可求解的长，由此可求解的长度，即可求解的长度； （2）先求解和的长度，由此可求解的长度． 【小问1详解】 解：在中，米，， ． ， ． 在中， 答：右侧步道的长度为50米． 【小问2详解】 解：在中，． 在中，， ． 答：的长约为78.8米． 22. 某城市广场的一处喷泉景观，喷出的水柱呈抛物线形状在如图所示的平面直角坐标系中，喷水头到水面轴的距离为，抛物线、是从喷水头处喷出的两股水流．经测量得，抛物线的最高点距离水面，且与喷水头的水平距离为，设抛物线的表达式为，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距水面的高度． （1）求抛物线的表达式； （2）若抛物线可以看作是向左平移个单位长度得到的． ①求的值； ②求抛物线与轴的交点的横坐标； （3）在（2）的条件下，管理人员操控无人机在抛物线，之间阴影区域飞行，为了无人机的安全，要求无人机在竖直方向上的活动范围大于（不得接触水面和水柱）．设无人机与喷水头的水平距离为，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② （3） 【解析】 【分析】（1）设抛物线的表达式为代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）①根据平移的性质，设抛物线的解析式为：代入，即可求解； ②由①可知抛物线解析式为：令，解方程，即可求解； （3）根据题意且解不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意抛物线的顶点为， 则抛物线的表达式为 将点代入得：， 解得 所以抛物线的解析式为： 【小问2详解】 解：①根据平移的性质，设抛物线的解析式为： 由于抛物线经过点，则 解得： ②由①可知抛物线解析式为： 令，则 解得：或（舍去） 点B的横坐标为 【小问3详解】 解：根据题意且解 即且 解得： 23. 如图，矩形中，，，点是线段上异于点的一个动点，连接，把沿直线折叠，使点落在点处． （1）【初步感知】如图1，当为的中点时，延长交于点，求证：． （2）【深入探究】如图2，点在线段上，，点在移动过程中，求的最小值． （3）【拓展运用】如图3，点在线段上，，点在移动过程中，点在矩形内部，当P、D、N是以为斜边的直角三角形时，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形为矩形， ∴， 如图，连接， ， ∵把沿直线折叠，使点落在点处， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质可得，连接，由折叠的性质可得，，结合题意得出，再证明，即可得证； （2）由矩形的性质可得，，由折叠的性质可得，结合题意可得点在以点为圆心，为半径的的弧上，连接、，由，得出当点在线段上时，有最小值，由勾股定理可得，即可得解； （3）过点作于，延长交于点，连接、，则，四边形为矩形，从而可得，，证明，得出，设，则，，由折叠的性质可得，，由勾股定理可得，从而可得，求出，，，最后再由勾股定理计算即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵矩形中，，， ∴，， 由折叠的性质可得：， ∵点在移动过程中，不变， ∴点在以点为圆心，为半径的的弧上， 如图，连接、， ， ∵， ∴当点在线段上时，有最小值， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：如图，过点作于，延长交于点，连接、， ， 则，四边形为矩形， ∴，， ∵P、D、N是以为斜边的直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴由折叠的性质可得：，， 由勾股定理可得， ∴， ∴， 解得， ∴，， ∴，， 由勾股定理可得， ∴， ∴， 解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $