精品解析：福建省厦门市海沧区厦门双十中学海沧附属学校2025-2026学年下学期八年级期中考试卷 数学

2025-2026学年（下）初二年期中考试卷数学 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 考生注意： 1．全卷三大题，25小题，试卷共6页，另有答题卡； 2．答案一律写在答题卡上，否则不能得分； 3．可以直接使用2B铅笔作图，如痕迹太浅可再用黑色签字笔描黑． 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分） 1. 要使二次根式有意义，则的取值可以是（ ） A. 5 B. 3 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，形如的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据被开方数是非负数列式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴x的取值可以是5． 故选：A． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，需掌握二次根式的加减乘除法则． 根据二次根式的加减法，乘法，除法进行计算，逐项分析即可． 【详解】解：选项A： 无法合并，结果不等于，故错误． 选项B：，不等于，故错误． 选项C：，计算正确． 选项D：，结果不等于，故错误． 故选C． 3. 如图，在中，平分．若，则的大小为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平分求出，再根据邻角互补求解即可． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴． 故选：A． 4. 完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．展示了数学与艺术的完美结合，它不仅是数学领域中的一个重要发现，还在建筑设计、艺术创作等领域中具有重要的美学价值．如图，五边形是人类发现的第15种完美五边形的示意图，其中，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多边形的外角和，熟练掌握多边形的外角和为是关键．直接利用多边形的外角和为即可得出答案． 【详解】解：多边形的外角和为， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 5. 如图，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点都在格点上，点D，E分别是边与网格对角线的交点，连结，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，熟练掌握正方形性质，矩形性质，勾股定理 ，三角形中位线性质，是解题的关键 根据正方形和矩形性质，证明出是的中位线，求出的值，即得的䐈． 【详解】解：∵点D是正方形对角线的交点，E是矩形对角线的交点，如图， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 6. 一个同学整理了平行四边形和特殊平行四边形之间的关系图，如图所示，从下列条件， ①②③④中，选择其中一个条件填入（）中，补全关系图，其中所有正确选项的序号是（ ） A. ①②③ B. ②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的判定，菱形的性质与判定等知识，掌握正方形的判定是解答本题的关键．结合图形可知，由菱形变形到正方形所需要的条件，根据菱形的性质以及正方形的判定判断即可作答． 【详解】解：由图可知： 平行四边形中，当时，平行四边形为菱形， 菱形中，， 当时，菱形为正方形，当时，菱形为正方形， ∴所有正确选项的序号是②④． 故选：B． 7. 已知两个型号的圆柱形笔筒的底面直径相同，高度分别是8cm和12cm．将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为3cm和1cm，则铅笔的长是（ ） A. 22cm B. 21cm C. 20cm D. 19cm 【答案】A 【解析】 【分析】两个笔筒粗细相同，底面直径相等，再根据勾股定理，构造方程即可求解． 【详解】解：设铅笔的长度为， 则， 解得：， 则铅笔的长度为． 8. 如图，在中，，，为的中点，为的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 连接，根据平行四边形的对边相等，对角线互相平分可得，，推得，根据等腰三角形底边上的中线和底边上的高重合，可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：连接，如图： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， 在中，为的中点， ∴． 故选：A． 9. 中经过两条对角线的交点，分别交、于点、，在对角线上通过作图得到点、，如图1，图2，图3，下面关于以点F、M、E、N为顶点的四边形的形状说法正确的是（ ） 以点为圆心，的长为半径作弧，交于点、 分别作、中、边上的中线、 分别作、中、的平分线、 A. 都为矩形 B. 都为菱形 C. 图1为平行四边形，图2、图3为矩形 D. 图1为矩形，图2、图3为平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】图1：连接、、、，证明，得到，然后推出，即可得到四边形为矩形； 图2：连接、，证明，得到，然后推出，即可得到四边形为平行四边形； 图3：连接、，证明，得到，然后证明，得到，即可证明四边形为平行四边形． 【详解】解：图1：连接、、、，如图所示： 在中，对角线与交于， ，， ， 在和中， ， ， ， 以点为圆心，以为半径作弧，交于点， ，即， 四边形为矩形，即图1为矩形； 图2：连接、，如图所示： 在中，对角线与交于， ，， ， 在和中， ， ， ， 为，的中线， ， 四边形为平行四边形，即图2为平行四边形； 图3：连接、，如图所示： 同理得，， ， 为的角平分线， ∴ ，， ∴， 四边形为平行四边形，即图3为平行四边形． 综上所述，图1为矩形，图2、图3为平行四边形． 10. 如图，在矩形中，，对角线交于点 O，过点 O 作 交于点 E，平分 交于点 F．若矩形的周长为定值，则下列线段的长度为定值的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，三角形中位线定理，等腰直角三角形的性质与判定，取的中点M，连接，由矩形的性质可得，，则可证明为的中位线，可得，则；由等边对等角和三角形内角和定理可得，则，由角平分线的定义得到，则，可证明是等腰直角三角形，得到，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，取的中点M，连接， ∵四边形是矩形， ∴，， 又∵M为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分 ， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵矩形的周长为定值， ∴为定值， ∴的长为定值， 故选：A． 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 如图，在四边形中，，如果，那么的度数是_____． 【答案】##70度 【解析】 【分析】本题考查了四边形的内角和，根据四边形的内角和为求解即可． 【详解】解：在四边形中，， ， ∴． 故答案为：． 12. 如图，已知菱形的一个内角，对角线，相交于点，点在上，且，则________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质求得的度数，再根据，求得的度数，即可求解． 【详解】解：在菱形中， ∴，， 又∵ ∴ ∴ 故答案为25． 【点睛】此题考查了菱形的性质，涉及了等腰三角形的性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键． 13. 公元3世纪，我国数学家刘徽就能利用公式得到二次根式的近似值．其中，a取最大的正整数，r取正整数，则利用公式估算______． 【答案】 【解析】 【分析】先把17写成，然后求出公式中的a和r，再根据公式求出答案即可 本题主要考查了无理数的估算，解题关键是理解已知条件中的方法估算无理数的大小． 【详解】解：， ，， ， 故答案为： 14. 如图，在正方形中，，O、E、F、分别为、、、的中点，则的长等于______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据勾股定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线的性质求出，再根据三角形中位线定理计算即可． 本题考查的是正方形的性质，三角形中位线的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，掌握勾股定理、三角形中位线定理是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 四边形为正方形， ，， 是的中点， ， 由勾股定理得：， 在中，F是的中点， 则， 、M分别为、的中点， 是的中位线， ， 故答案为：． 15. 图1是一种常见的倾斜式停车位．将其中一个停车位抽象成，车辆停放区域的轮廓近似看成矩形，如图2所示．已知，，．现有一辆长，宽的轿车，_____（填“能”或“不能”）完全停入矩形内．（参考数值：，） 【答案】不能 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得出的长，在中利用勾股定理或三角函数求出和的长，进而求出的长，即矩形的长，再与轿车的长进行比较即可得出结论． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， 四边形是矩形， ，， 在中，， ∴， ， ， ， ， ， ， 轿车长，宽，， 轿车不能完全停入矩形内． 16. 定义：作的一组邻角的角平分线，设交点为P，P与这组邻角的公共边组成的三角形为的“伴侣三角形”，△PBC为平行四边形的伴侣三角形．AB＝m，BC＝4，连接AP并延长交直线CD于点Q，若Q点落在线段CD上（包括端点C、D），则m的取值范围 _____． 【答案】2≤m≤4 【解析】 【分析】找到Q点的两个边界点，利用平行四边形的性质和全等三角形的性质进行求解即可． 【详解】在平行四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD＝180°， ∵BP平分∠ABC，PC平分∠BCD， ∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠BCD， ∴∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠BCD）＝90°， ∴∠BPC＝90°， 当点Q与点C重合时，如图所示： ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠CBP， ∵∠BPC＝90°， ∴∠APB＝∠BPC＝90°， ∵BP＝BP， ∴△ABP≌△CBP（ASA）， ∴AB＝BC， ∵BC＝4， ∴m＝4， 当点Q与点D重合时，如图所示： 延长CP交BA的延长线于点K， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠CBP， ∵∠BPC＝90°， ∴∠KPB＝∠BPC＝90°， ∵BP＝BP， ∴△KBP≌△CBP（ASA）， ∴BK＝BC，KP＝CP， ∵ABCD， ∴∠K＝∠DCP， 又∵∠KPA＝∠CPD， ∴△KPA≌△CPD（ASA）， ∴CD＝AK， ∵AB＝CD， ∴BC＝2AB＝4， ∴AB＝2， ∴m＝2， 综上所述：当点Q落在线段CD上时，m的取值范围是2≤m≤4， 故答案为：2≤m≤4． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，以及全等三角形的判定和性质，通过平行四边形的性质推出三角形全等是解题的关键． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 原式 18. 如图，已知四边形为平行四边形，过点作交于点，过点作交于点． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：于点，于点， ， 四边形为平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， （2）的长是 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键． （1）由于点，于点，得，由平行四边形的性质得，，所以，可根据“”证明，则； （2）由，，，得，所以，由，，，得，求得 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，，， ， ， ，，， ， ， 的长是 19. 梦想科技小组在实践课上制作机器人的零件如图1所示，该零件内有两个小滑块，，由一根连杆连接，滑块，分别可以在互相垂直的两个滑道上滑动，滑块大小忽略不计，零件图的集成几何图，如图2所示，开始时，滑块距点厘米，滑块距点厘米， （1）求的长； （2）当滑块向下滑厘米至点处时，滑块滑动到点的位置，则的长为多少厘米？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）先求出，根据勾股定理求出，最后利用，即可求解． 【小问1详解】 解：，，， ； 【小问2详解】 ，， ， ，， ， ． 20. 如图，在中，点E，F分别是，的中点，连接，，是的一个外角． （1）用尺规完成作图：作的角平分线，交的延长线于点M，连接．（保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图形中，若，求证：四边形是矩形． 【答案】（1） 如图，射线即为求作的； （2） 证明：是的角平分线， ． 点E，F分别是，的中点， ． ． ． ， ． ， ∴四边形是平行四边形 ，， ． ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质、三角形中位线定理、平行四边形的判定和矩形的判定． （1）利用基本作图作的平分线即可； （2）先利用角平分线的定义得到，再利用三角形中位线性质得到，则，所以，于是得到，接着利用对角线互相平分的四边形是平行四边形可判断四边形是平行四边形，然后根据对角线相等的平行四边形为矩形得到四边形是矩形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，菱形的对角线与交于点，为的中点，延长到点，使，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求平行四边形的面积． 【答案】（1） 证明：菱形 ． 为中点 为的中位线 ． 四边形是平行四边形． （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，勾股定理，三角形的中位线定理等知识点，熟练掌握菱形的性质，平行四边形的判定是解题的关键． （1）先得到为的中位线，则根据三角形中位线的性质以及已知添加证明，即可证明； （2）先求出，再由勾股定理求出，然后过点作于点，由面积法得到，即可求解，再由平行四边形面积公式求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作于点 菱形 ， 解得：． ． 22. 嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一般”的方法探究二次根式的运算规律．下面是嘉嘉的探究过程： 等式①：；等式②：； 等式③：；等式④：______________；…… （1）【特例探究】将题目中的横线处补充完整； （2）【归纳猜想】若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立； （3）【应用规律】嘉嘉写出一个等式（均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为______． 【答案】（1） （2） 解：若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律为， 证明如下：等式左边右边； （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出存在的规律． （1）根据前个的规律即可得出答案； （2）根据特例中数字的变化规律分析求解即可，对等式的坐标进行整理，即可求证； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：等式④：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵（均为正整数）， ∴，， ∴ ． 23. 如图1，在矩形中，，，连接，点P为上的一点，过点P的线段分别交边，于点E，F． （1）若，求证：． （2）在（1）的条件下，请再添加一个条件（不再连线和添加字母），使得四边形为菱形，并说明理由． （3）当且四边形有且仅有两条边相等时，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，在矩形中，， ． 又，， ． ， 平行且等于． 四边形是平行四边形． ； （2） 方法1：添加（或）， 理由如下：四边形是平行四边形，， 四边形是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）． 方法2：添加（或）． 理由如下：四边形是平行四边形，， 四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）． 方法3：添加平分（或平分）， 理由如下：在中，， ． 平分， ． ， ， ∴四边形是菱形. （3）的长为3或5 【解析】 【分析】（1）证明．可得平行且等于，可得四边形是平行四边形，从而可得结论； （2）方法1：添加（或），方法2：添加（或）．方法3：添加平分（或平分），再利用菱形的判定可得结论； （3）①如图2，当时，设，则，再进一步利用勾股定理求解即可；②如图3，当时， 证明，可得，结合，如图3，当时，同理可得：，不合题意，舍去．③如图4，当时，设，则，再进一步利用勾股定理求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①如图2，当时，设，则． 在中有：，解得：． 此时． ②如图3，当时， ∵，， ∴， ∵， ∴． ∴， ∵，矩形， ∴四边形为矩形， ∴， ， 此时．不合题意，舍去． 如图3，当时，同理可得：． 不合题意，舍去． ③如图4，当时，设，则 在中有，， 解得：． 同理可得：． 综上所述，的长为3或5． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，菱形的判定，勾股定理的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键. 24. 在矩形中，，两边的长满足的平分线交边于点于点，连接，，线段的延长线交于点，交于点． （1）如图1，当时，求证：； （2）如图2，当时， ①求证：点为线段的中点； ②用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1） 证明：如图． 四边形为矩形， ． 的平分线交于点， ． ， ． ． ． ． ， ． （2） ①证明：如图，连接． 已证． ． ． ． ， ， ． ． ． ，即点为线段的中点． ②解：． 证明：如图，连接，取的中点，连接，． 的中点为， 分别是的外角， 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据矩形的性质和角平分线的定义得到，进而得到即可解题； （2）①连接，证明即可得到，然后根据等角的余角相等得到，然后根据等角对等边得到结论即可； ②连接，取的中点，连接，，根据直角三角形斜边上中线的性质得到，进而求出，利用勾股定理解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②略 25. 正方形，点E是线段上一点，作射线，交于点F，．点A关于射线的对称点为点G，连接，，线段与，分别交于点P，Q． （1）①补全图形； ②求的度数； （2）延长交射线于点H，连接，若，用等式表示，，的数量关系，并证明． 【答案】（1） ①补全图形如下； ② （2） ， 理由：如图，连接 交于点，连接， ，， ，， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ，， ，， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，轴对称的性质，正确地添加辅助线是解题的关键． （1）①根据题意补全图形即可； ②由点，关于射线对称，得到，，根据等腰三角形的性质得到，求得，得到，推出，于是得到； （2）连接交于点，连接，求得，，得到，求得，根据全等三角形的性质得到，，得到，求得，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：①略 ②点，关于射线对称， ，， ， ， 四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年（下）初二年期中考试卷数学 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 考生注意： 1．全卷三大题，25小题，试卷共6页，另有答题卡； 2．答案一律写在答题卡上，否则不能得分； 3．可以直接使用2B铅笔作图，如痕迹太浅可再用黑色签字笔描黑． 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分） 1. 要使二次根式有意义，则的取值可以是（ ） A. 5 B. 3 C. 0 D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，平分．若，则的大小为( ) A. B. C. D. 4. 完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．展示了数学与艺术的完美结合，它不仅是数学领域中的一个重要发现，还在建筑设计、艺术创作等领域中具有重要的美学价值．如图，五边形是人类发现的第15种完美五边形的示意图，其中，则等于（　　） A. B. C. D. 5. 如图，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点都在格点上，点D，E分别是边与网格对角线的交点，连结，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 一个同学整理了平行四边形和特殊平行四边形之间的关系图，如图所示，从下列条件， ①②③④中，选择其中一个条件填入（）中，补全关系图，其中所有正确选项的序号是（ ） A. ①②③ B. ②④ C. ①③④ D. ②③④ 7. 已知两个型号的圆柱形笔筒的底面直径相同，高度分别是8cm和12cm．将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为3cm和1cm，则铅笔的长是（ ） A. 22cm B. 21cm C. 20cm D. 19cm 8. 如图，在中，，，为的中点，为的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 中经过两条对角线的交点，分别交、于点、，在对角线上通过作图得到点、，如图1，图2，图3，下面关于以点F、M、E、N为顶点的四边形的形状说法正确的是（ ） 以点为圆心，的长为半径作弧，交于点、 分别作、中、边上的中线、 分别作、中、的平分线、 A. 都为矩形 B. 都为菱形 C. 图1为平行四边形，图2、图3为矩形 D. 图1为矩形，图2、图3为平行四边形 10. 如图，在矩形中，，对角线交于点 O，过点 O 作 交于点 E，平分 交于点 F．若矩形的周长为定值，则下列线段的长度为定值的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 如图，在四边形中，，如果，那么的度数是_____． 12. 如图，已知菱形的一个内角，对角线，相交于点，点在上，且，则________________． 13. 公元3世纪，我国数学家刘徽就能利用公式得到二次根式的近似值．其中，a取最大的正整数，r取正整数，则利用公式估算______． 14. 如图，在正方形中，，O、E、F、分别为、、、的中点，则的长等于______． 15. 图1是一种常见的倾斜式停车位．将其中一个停车位抽象成，车辆停放区域的轮廓近似看成矩形，如图2所示．已知，，．现有一辆长，宽的轿车，_____（填“能”或“不能”）完全停入矩形内．（参考数值：，） 16. 定义：作的一组邻角的角平分线，设交点为P，P与这组邻角的公共边组成的三角形为的“伴侣三角形”，△PBC为平行四边形的伴侣三角形．AB＝m，BC＝4，连接AP并延长交直线CD于点Q，若Q点落在线段CD上（包括端点C、D），则m的取值范围 _____． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 计算 （1）； （2）． 18. 如图，已知四边形为平行四边形，过点作交于点，过点作交于点． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 19. 梦想科技小组在实践课上制作机器人的零件如图1所示，该零件内有两个小滑块，，由一根连杆连接，滑块，分别可以在互相垂直的两个滑道上滑动，滑块大小忽略不计，零件图的集成几何图，如图2所示，开始时，滑块距点厘米，滑块距点厘米， （1）求的长； （2）当滑块向下滑厘米至点处时，滑块滑动到点的位置，则的长为多少厘米？ 20. 如图，在中，点E，F分别是，的中点，连接，，是的一个外角． （1）用尺规完成作图：作的角平分线，交的延长线于点M，连接．（保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图形中，若，求证：四边形是矩形． 21. 如图，菱形的对角线与交于点，为的中点，延长到点，使，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求平行四边形的面积． 22. 嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一般”的方法探究二次根式的运算规律．下面是嘉嘉的探究过程： 等式①：；等式②：； 等式③：；等式④：______________；…… （1）【特例探究】将题目中的横线处补充完整； （2）【归纳猜想】若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立； （3）【应用规律】嘉嘉写出一个等式（均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为______． 23. 如图1，在矩形中，，，连接，点P为上的一点，过点P的线段分别交边，于点E，F． （1）若，求证：． （2）在（1）的条件下，请再添加一个条件（不再连线和添加字母），使得四边形为菱形，并说明理由． （3）当且四边形有且仅有两条边相等时，求的长． 24. 在矩形中，，两边的长满足的平分线交边于点于点，连接，，线段的延长线交于点，交于点． （1）如图1，当时，求证：； （2）如图2，当时， ①求证：点为线段的中点； ②用等式表示线段与的数量关系，并证明． 25. 正方形，点E是线段上一点，作射线，交于点F，．点A关于射线的对称点为点G，连接，，线段与，分别交于点P，Q． （1）①补全图形； ②求的度数； （2）延长交射线于点H，连接，若，用等式表示，，的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $