2025-2026学年北师大版数学七年级下册期中考试卷

七年级下学期期中考试数学试卷（原卷版） （时间：120分钟 分值：120分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列事件中，属于随机事件的是（  ） A．农历每月出现一次满月 B．小明打开电视刚好播放动画片 C．杭州是浙江省的省会 D．一个人跑完1000米所用的时间恰好为1分钟 2、如图给出了过直线外一点作已知直线的平行线的一种方法，其依据是（　　） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．平行于同一直线的两条直线平行 3、化简的结果是（    ） A． B． C． D． 4、在某市青少年航空航天模型锦标赛中，各年龄组的参赛人数情况如表所示： 年龄组 岁 岁 岁 岁 参赛人数 5 19 12 14 若小明所在年龄组的参赛人数的频率为，则小明所在的年龄组是（　　） A．13岁 B．14岁 C．15岁 D．16岁 5、某种计算机完成一次基本运算的时间约为1纳秒，已知1纳秒=0.000000001秒，该计算机完成15次基本运算，所用时间用科学记数法表示为（ ） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 6、设，，则M与N的关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 7、如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，．则（    ） A． B． C． D． 8、如图是由两个相同的正方形拼成的图形，假设可以随意在图中取点，这个点取在阴影部分的概率是（   ） A． B． C． D． 9、如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形．根据图形能验证的等式为（　　） A．a2﹣b2＝（a﹣b）2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2 10、我国南宋时期杰出的数学家杨辉（钱塘（今杭州）人），下面的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”．此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题：假如今天是星期三，再过7天还是星期三，那么再过天是（ ） A. 星期三 B. 星期四 C. 星期二 D. 星期五 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、梁启超先生曾说：“少年强则国强，少年智则国智，少年富则国富”，在划线部分这句话中，“国”字出现的频率是 ． 12、若的结果中不含x的一次项，则实数a的值为__________． 13、一个长方形纸片，点E和F分别在和上，如图（1），，沿折叠得到图（2），与交于点G，则的度数是： ． 14、有五个面的石块，每个面上分别标记1，2，3，4，5，现随机投掷100次，每个面落在地面上的次数如下表，估计石块标记3的面落在地面上的概率是 . 石块的面 1 2 3 4 5 频数 17 28 15 16 24 15、如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当，时，的度数为 ． 16、观察下列各式： ； ； ； … 根据规律计算：的值是 ． 三、解答题：本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）计算： （2）． 18、先化简，再求值：，其中a＝1，． 19、如图：按下列要求画图并填空． 如图，P是的边上一点， (1)过点P作射线的垂线，垂足为H； (2)过点P作射线的垂线，交于点C； (3)过点P作直线 （点D在点P的右侧）； (4)与的数量关系是_________． (5)线段，，这三条线段大小关系是________（用“”号连接），依据是________． 20、某商场为了吸引顾客，设立了一可以自由转动的转盘，AB为转盘直径，如图所示，并规定：顾客消费100元（含100元）以上，就能获得一次转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准9折、8折、7折区域，顾客就可以获得相应的优惠． （1）某顾客正好消费99元，是否可以获得相应的优惠． （2）某顾客正好消费120元，他转一次转盘获得三种打折优惠的概率分别是多少？      21、如图，直线与直线分别相交于B、C两点，直线与直线分别相交于A、F、E、D．如果，，试说明的理由． 22、在计算时，甲错把看成了，得到的结果是，乙错把看成了，得到的结果是． （1）求、的值； （2）求的正确结果． 23、（1）感知与探究：如图①，直线，过点作．请直接写出，，之间的数量关系：　　； （2）应用与拓展：如图②，直线．若，，，借助第（1）问中的结论，求的度数； （3）方法与实践：如图③，直线．若，，则　　度． 24、【阅读材料】 “数形结合”是一种非常重要的数学思想方法.比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题． 【方法应用】 根据以上材料提供的方法，回答下列问题： (1)由图2可得等式： ．； (2)由图3可得等式： ．； (3)利用图3得到的结论，解决问题：已知，求的值． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级下学期期中考试数学试卷（解析版） （时间：120分钟 分值：120分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列事件中，属于随机事件的是（  ） A．农历每月出现一次满月 B．小明打开电视刚好播放动画片 C．杭州是浙江省的省会 D．一个人跑完1000米所用的时间恰好为1分钟 【答案】B 【详解】解：A、农历每月出现一次满月是必然事件，不符合题意； B、小明打开电视刚好播放动画片是随机事件，符合题意； C、杭州是浙江省的省会是必然事件，不符合题意； D、一个人跑完1000米所用的时间恰好为1分钟是不可能事件，不符合题意， 2、如图给出了过直线外一点作已知直线的平行线的一种方法，其依据是（　　） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．平行于同一直线的两条直线平行 【答案】A 【详解】解：如图， 根据∠1＝∠2可知，其依据是同位角相等，两直线平行． 3、化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 4、在某市青少年航空航天模型锦标赛中，各年龄组的参赛人数情况如表所示： 年龄组 岁 岁 岁 岁 参赛人数 5 19 12 14 若小明所在年龄组的参赛人数的频率为，则小明所在的年龄组是（　　） A．13岁 B．14岁 C．15岁 D．16岁 【答案】B 【详解】解：根据各年龄组的参赛人数情况表可知： 总参赛人数为：， ， 则小明所在的年龄组是14岁． 5、某种计算机完成一次基本运算的时间约为1纳秒，已知1纳秒=0.000000001秒，该计算机完成15次基本运算，所用时间用科学记数法表示为（ ） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 【答案】C 【详解】所用时间=15×0.000000001=1.5×10-8（秒）． 6、设，，则M与N的关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【详解】解：∵，， ， ∴． 7、如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，．则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过G作， ∴， ∵， ∴； ∴； ∵， ∴， ∴． 8、如图是由两个相同的正方形拼成的图形，假设可以随意在图中取点，这个点取在阴影部分的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由图知，阴影部分的面积占图案面积的， 即这个点取在阴影部分的概率是， 9、如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形．根据图形能验证的等式为（　　） A．a2﹣b2＝（a﹣b）2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2 【答案】B 【详解】解：图中阴影部分的面积等于两个正方形的面积之差，即为a2﹣b2； 剩余部分通过割补拼成的平行四边形的面积为（a+b）（a﹣b）， ∵前后两个图形中阴影部分的面积相等， ∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 10、我国南宋时期杰出的数学家杨辉（钱塘（今杭州）人），下面的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”．此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题：假如今天是星期三，再过7天还是星期三，那么再过天是（ ） A. 星期三 B. 星期四 C. 星期二 D. 星期五 【答案】B 【详解】解： ， 其中、、、为常数， 除以的余数为， 今天星期三，再过天还是星期三， 再过天是星期四， 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、梁启超先生曾说：“少年强则国强，少年智则国智，少年富则国富”，在划线部分这句话中，“国”字出现的频率是 ． 【答案】 【详解】解：∵在“少年强则国强，少年智则国智，少年富则国富”这18个字中，“国”字有3个， ∴“国”字出现的频率是； 12、若的结果中不含x的一次项，则实数a的值为__________． 【答案】2 【详解】解： ， ∵结果不含x的一次项， ∴， 解得：； 故答案为：． 13、一个长方形纸片，点E和F分别在和上，如图（1），，沿折叠得到图（2），与交于点G，则的度数是： ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． 14、有五个面的石块，每个面上分别标记1，2，3，4，5，现随机投掷100次，每个面落在地面上的次数如下表，估计石块标记3的面落在地面上的概率是 . 石块的面 1 2 3 4 5 频数 17 28 15 16 24 【答案】 【详解】解：石块标记3的面落在地面上的频率是=， 于是可以估计石块标记3的面落在地面上的概率是． 15、如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当，时，的度数为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， 16、观察下列各式： ； ； ； … 根据规律计算：的值是 ． 【答案】 【详解】解：由； ； ； … 观察发现： ， 当，时，得 ， ∴， 三、解答题：本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）计算： （2）． 【答案】（1）0.25 （2） 【小问1详解】 解： 小问2详解】 解： ． 18、先化简，再求值：，其中a＝1，． 【答案】 ； 详解】 当，时，原式 19、如图：按下列要求画图并填空． 如图，P是的边上一点， (1)过点P作射线的垂线，垂足为H； (2)过点P作射线的垂线，交于点C； (3)过点P作直线 （点D在点P的右侧）； (4)与的数量关系是_________． (5)线段，，这三条线段大小关系是________（用“”号连接），依据是________． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的垂线； （2）解：如图，即为所求作的垂线； （3）解：如图，即为所求作的平行线； （4）解：∵，， ∴， ∴， ∴与互余； 故答案为：互余. （5）解：线段，，这三条线段大小关系是， 依据是垂线段最短． 20、某商场为了吸引顾客，设立了一可以自由转动的转盘，AB为转盘直径，如图所示，并规定：顾客消费100元（含100元）以上，就能获得一次转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准9折、8折、7折区域，顾客就可以获得相应的优惠． （1）某顾客正好消费99元，是否可以获得相应的优惠． （2）某顾客正好消费120元，他转一次转盘获得三种打折优惠的概率分别是多少？      【答案】（1）不能；见解析．（2），， 【详解】解：（1）根据规定消费100元（含100元）以上才能获得一次转盘的机会，而99元小于100元，故不能获得转盘的机会； （2）某顾客正好消费120元，超过100元，可以获得转盘的机会． 若获得9折优惠，则概率 ； 若获得8折优惠，则概率； 若获得7折优惠，则概率． 21、如图，直线与直线分别相交于B、C两点，直线与直线分别相交于A、F、E、D．如果，，试说明的理由． 【答案】详见解析 【详解】∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 22、在计算时，甲错把看成了，得到的结果是，乙错把看成了，得到的结果是． （1）求、的值； （2）求的正确结果． 【答案】（1）； （2）． 【小问1详解】 解：甲错把看成了， ， 又， ， ． 乙错把看成了， ， 又， ， ， ． 故，． 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴ 23、（1）感知与探究：如图①，直线，过点作．请直接写出，，之间的数量关系：　　； （2）应用与拓展：如图②，直线．若，，，借助第（1）问中的结论，求的度数； （3）方法与实践：如图③，直线．若，，则　　度． 【答案】（1）∠B+∠D=∠BED；（2）83°；（3）25 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）过点作， 由（1）可得：， ， ， 由（1）可得：， ，，， ， 的度数为； （3）设与相交于点， ，， ， ， 由（1）得：， ， ， 故答案为：25． 24、【阅读材料】 “数形结合”是一种非常重要的数学思想方法.比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题． 【方法应用】 根据以上材料提供的方法，回答下列问题： (1)由图2可得等式： ．； (2)由图3可得等式： ．； (3)利用图3得到的结论，解决问题：已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3)52 【详解】（1）解：由图2知，大长方形的面积，大长方形的面积个边长为小正方形的面积个小长方形的面积个边长为的正方形面积， ； 故答案为：； （2）解：由图3知，大正方形的面积， 大正方形的面积个边长分别为、、的正方形的面积个长和宽分别为、小长方形的面积个长和宽分别为、小长方形的面积个长和宽分别为、小长方形的面积， ； 故答案为：； （3）解：由（2）知：， ， ， 把代入得： ． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $