数学(6)-【衡水金卷·先享题·调研卷】2026年普通高中学业水平等级考试模拟试题数学C

调研卷C 2026年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 调研卷C·数学（六） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ⅡⅢNVM①②③④⑤⑥档次系数 元二次不等式的求解，集合 1 选择题 5 易 0.82 的混合运算 2 选择题 5 复数的运算，复数的含参问题 易 0.75 3 选择题 5 由向量平行的坐标运算求参 易 0.70 4 选择题 5 与圆台有关的情境题 中 0.60 选择题 5 利用三角公式求值 中 0.55 比较指对数的大小，涉及换底 选择题 5 中 0.50 公式 7 选择题 5 与双曲线有关的新定义题 中 0.32 多面体的外接球问题，求球的 8 选择题 5 / 难 0.28 表面积 9 选择题 6 线性相关问题 中 0.68 利用余弦型三角函数的图象 10 选择题 6 L 0.50 研究其性质 利用导数研究抽象函数的 11 选择题 6 难 0.28 性质 12 填空题 5 数列前n项和公式的应用 易 0.72 13 填空题 5 与表格填数有关的计数问题 中 0.55 14 填空题 5 椭圆性质的综合应用 中 0.30 15 解答题 13 独立性检验，超几何分布 中 0.60 利用正、余弦定理解三角形， 16 解答题 6 中 0.50 利用基本不等式求最值 ·1· 调研卷C 数学（六） 翻折问题，证明线面平行，求 17 解答题 15 8 0.40 线面角的正弦值 直线与抛物线的位置关系，定 18 解答题 17 L 难 0.26 值问题 19 解答题 17 数列与导数的综合 难 0.22 ·2· 调研卷C 数学（六） 参考答案及解析 数学（六） 一、选择题 1.A【解析】由题得A={x2x-4≥0}={xx≥2)， 舍去)，所以双曲线C:号-花=1，则a=2c=4,所 B={x|x2-3.x-4≤0}={x|-1≤x≤4}，所以 以|FF2|=8.由题可得|IPF|-PF2||=4,所 CRA={xx<2},所以B∩(CRA)={x|-1≤x< 以|PF1|2+|PF2|2-2|PF|PF2|=16,又 2}.故选A. ∠FPF2=90,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2 2.D【解析】：2-5i=-2r-5i=-5-2i=4-1十 =64,故|PF|PF2|=24,所以△PFF2的面积为 i 2h12g-6=-1政 之1PF1PF,=12.故选C 8.B【解析】：CC1∥DD,DD⊥AD,.∠ADD(或 选D. 其补角)为异面直线AD与CC,所成的角， 3.C【解析】因为a∥b,所以3(x十1)=2(2x+1),解 得x=1,故选C. ·cos∠AD1D= 晋m∠AnD-1 17 4.B【解析】由题可得花盆上底面圆的半径为20cm, 下底面圆的半径为16cm,高为30cm,所以其体积 n∠AD,D=部=4：AD=4DD,设Dn V=3x(R+r+R)h=号x(202+16+20X16) a>0,则AD=4a,3AD=2BC,.BC=6a.由该直 四棱柱的侧面积为160+16√29，得4a2+6a2+ ×30=9760πcm3.故选B. 429a=(10a+429)a=160+1629,解得a= 5.D【解析】因为tan&=4tanB,所以sin acos B 4,∴.BC=24,AD=16.取AD的中点M,BC的中 4 cssin B..因为。-月=若，所以sin(aTB) 点N,连接MN,则MN⊥BC,:AB=CD=2√29， sin acos-cosasin B=2,所以cos asin月= ∴.√MN+a=√MN+16=2√29，解得MN= 6· 10.设梯形ABCD外接圆的圆心为O,则O在MN 、2 sin acos B=-3,所以sin(a+B)=-sin cos+cos asin B 上，由OA=OB,得BN+ON2=OM+AP,即 144+ON2=(10-ON)2+64,解得ON=1,∴.OB2= =吾故选D, BN2+ON=145.设梯形A1B,C,D,外接圆的圆心 为O,则该直四棱柱外接球的球心即为OO的中点， 6.D【解析】由题得a=lg2·1oga11=1g2.lg) :OO=DD1=4,∴.R2=145+4=149,则该直四棱 1g2 1g11>1,b=21og12+1og113=1ogm4+logm3= 柱外接球的表面积为4πR2=596元.故选B. os12>1c=(侵)》产<1，则a-6=1g11-bgl2 D _ln11_1n12-n11)2-lh10:ln12,又1n10≠ 1n10ln11 ln10·1n11 B n12,所以由基本不等式得ln10·ln12< (1o12)=(2)<(24) 2 (ln11)2,故a-b>0,即a>b,所以a>b>c.故选D. 7.C【解析】因为双曲线C:-若=1与双曲线C: 二、选择题 9.AC【解析】对于A,由表格数据可知，随着x的减 一十5m--12=1互为“同心双曲线”，且C的 x y 小，y增大，所以y与x负相关，故A正确；对于B,因为 7=28+25+2+19+16=2.y=41+48+62+65+70 焦点在x轴上，所以双曲线C:m—一-5n十12 5 5 =57.2,故样本中心点为(22,57.2)，经验回归直线y= n-1+n2-5n+12=1+15 x十112.2必过样本中心点，但不一定过点(25,48)， 1,则n一1>0 ,解得n=5(n=一1 故B错误；对于C,由B可得57.2=22b+112.2,解得 n2-5n+12>0 =-2.5,所以经验回归方程为y=-2.5x十112.2， 数学（六） 参考答案及解析 当x=10时，y=-2.5×10+112.2=87.2,故C正 确.故选ACD. 确；对于D,根据选项A可知样本相关系数r<0,故D 三、填空题 错误.故选AC. 12.2【解析】因为数列{am}的前n项和S.=an2十bm, 10.BCD【解析】由图可得A=2,T=2× 个 所以数列{an}为等差数列，设其公差为d,则 a2=a1+d=5 (-晋)】=x,故A错误；u=2红=2，所以f(x) =+4-14解得{&32，所以S今=0，力 n(n-1d= 1 2cos(2x+g),则f(受）=2os(5+g）=2,所以 2 2n+ ，则a=号6=，所以a叶 b=2. 要+p=2kx(k∈Z),解得P=-要+2x(k∈Z)。 13.30240【解析】先从9个格子中任选两个格子填入 1,共有C号=36种填法：再从剩下的7个格子中任选 又一π<9<0，所以9=- 经，则f(x) 三个格子填入2，共有C=35种填法；最后将3,4， 5,6填入剩余的四个格子中，共有A=24种填法， 2os(2x-),所以f(吾）=2cos(2×吾-2） 所以不同的填法共有36×35×24=30240种. =2cos（-5）=2cos号=1，故B正确：y 14.气号【解折】设E()(≠0)，则导+号 3 f(x+)=2cos[2(x+)-5]=2cos(2x =1,整理得a2(-b)=一x号，所以点E与C的 上、下顶点连线的斜率之积为山二b.凸+b )=2sin2x为奇函数，故C正确：令2x- 3 产=一音所以=则C的离心率 吾+领（∈Z),得x=晋+经（∈Z),所以 f(x)的图象关于（经+经，0）(k∈)对称，故D =V吾-原设QR=,则PR,=2,由 椭圆的定义得|QF2|=2a一t,|PF2|=2a-21,在 正确.故选BCD. △QFF:中，由余弦定理得cos∠QF,F= 11.ACD【解析】对于A,:(x)的图象关于点 (2,0)对称，f(2+x)+f(2-x)=0,.f(2+x) 2+4c2-(2a-)=2-a2+a4,在△PFF:中，由 21·2c ct f(2-x)=c,令x=4,得f(6)-f(-2)=c,:f(6)= f(-2),.c=0,.f(2+x)=f(2-x),.f(4-x) 余弦定理得cos∠PF,F,=4十42-(2a-2)2 2·21·2c =f(x),故A正确；对于B,:g'(x)的图象关于直 2-a2+2aL,又cos∠QF,F2=-cos∠PFF,所以 线x=1对称，.g(1-x)=g'(1十x),∴.g(1-x) 2ct +g(1十x)=a,令x=0,得a=2g(1)=2,∴.g(1 十=一士整理得1=站=号所 ct 2ct x)+g(1+x)=2,∴.g(12-x)+g(x-10)=2,故B 4 错误：对于C,:g(+）=f(2x)+1,“g(x) 以PF,=号a,Qr:l=号a,PQ=a,所以 f(2x-1)+1,:g(1-x)+g(1+x)=2, |PF2|2+|PQ|2=|QF2|2,所以PF:⊥PQ,所以 PF24 ∴.g(2-x)十g(x)=2,则f(2(2-x)-1)+1十 cos∠PF,Q= QF2T5· f(2x-1)+1=2,可得f(3-2x)+f(2x-1)= 0,即f(3一x)+f(x-1)=0,则f(2-x)= -f(x),f(2+x)=f(2-x),∴f(x+2)= -f(x),则f(x+4)=-f(x十2)=f(x), ∴.(x十4)=(x),.4为f(x)的周期，故C 正确；对于D,:f(x+4)=f(x),∴.f(2x+4)+1 f2)+1…g(x+2)=g(x+2）g(x+2) =g(x),.2为g(x)的周期.由f(2-x)=一f(x), 四、解答题 得f(2-x)十f(x)=0,:f(x+4)=f(x), 15.解：(1)依题意得a=150-75-45=30,b=75-55= ∴.f(6-x)+f(x)=0,令x=3,得f(3)=0,在 20, (2分) g(+)=f(2)+1中，令x=多，得g(2) 列联表如下： f(3)+1=1,:g(1)=1,∴.g(1)+g(2)=2,又2 为g(x)的周期，∑g(i)=2×50=100,故D正 =1 ·2 调研卷C 数学（六） 是否得高脂血症 17.解：(1)在平面OAB内作MF⊥OA于点F,则MF∥ OB. 运动情况 得高 未得高 合计 脂血症 脂血症 因为sin∠AOM=号，OM=5, “非运动者” 45 30 75 所以MF=3,OF=4. (2分)》 在平面POB内作NH⊥OP于点H,连接HF, “运动者” 20 55 75 因为OB⊥OP,所以NH∥OB, 合计 65 85 150 则NH/Mr,且器器=， 零假设H。:得高脂血症与不运动无关。 又OB=5,所以NH=3, 经计算得X=150×(45×55-20X30)2 3750 所以NH=MF, 65×85×75×75 221 所以四边形HFMN为平行四边形， 16.968>10.828=xa.01, (4分) 所以HF∥MN, (6分) 所以依据a=0.001的独立性检验，我们推断H。不 又MNt平面AOP,HFC平面AOP, 成立，即认为得高脂血症与不运动有关，此推断犯错 所以MN∥平面AOP. (7分) 误的概率不超过0.001. (5分) (2)易知OA,OB,OP两两垂直， (2)由题知得高脂血症的成年人中，“非运动者”与 以O为原点，OA,OB,OP所在直线分别为x,y,之轴 “运动者”的人数比为9：4， 建立如图所示的空间直角坐标系， 所以采用分层随机抽样的方法抽取的13人中，“非 运动者”有9人，“运动者”有4人， (6分) 则X的可能取值为0,1,2， P(X=0)=C=6 C131 P(X=1)= C6 C313 P(X=2)-是- 1 (9分) 所以X的分布列为 X 2 则M(4,3,0),B(0,5,0),G(5,0,5),P(0,0,5), N(0,3,2), 13 13 13 所以M心=(1，-3,5)，M店=(-4,2,0)，M衣= E(X)=0x+1是+2x- 6 8 (-4,0,2). (9分) (13分) 设平面GMB的法向量为n=(x,y,z), 16.解：(1)因为3 csin C=(3a+2b)sinA+(3b+a)· Mi·n=0 /x-3y+5x=0 sin B, 则 即 所以由正弦定理得3c2=(3a+2b)a+(3b十a)b, MB.n=0 -4.x+2y=0 取x=1,得y=2,x=1,则n=(1,2,1). (12分) 整理得a2十6-c2=-ab, (3分) 由余弦定理得cosC-2十一C2 设直线MN与平面GMB所成的角为0， ab 1 2ab 2ab 2 则sin0=|cos(M,m1=IM·n 又0<C<π，所以C=2π」 MNn (6分) 3 1-4+0+2W30 (2)由CA.CB=-8, 2√5×√6 30 得abeos C=-】 2ah=-8. 所以直线MN与平面GMB所成角的正弦值为 所以ab=16, 30 (9分) 30 (15分) 所以c2=a2+b+ab≥2ab+ab=3ab=48,当且仅当 a=b=4时取等号， 18,解：1)抛物线C的准线为x=一台(p>0, 所以c的最小值为4√3， (12分) 因为C的准线与圆x2十y2=1相切， 且△ABC的面积为合absin C=司 2 ×16× 所以圆心(0,0)到准线的距离等于半径， 2 故号=1，则b=2. 4√3. (15分) 所以C的方程为y2=4.x. (4分) ·3· 数学（六） 参考答案及解析 (2)C上的点与直线l:x一y十4=0上点的距离的最 (2)由题得f(x)=lnx+1一ax,x>0, 小值即为C上的点到直线！距离的最小值， 若f(.x)在(0，+o∞)上单调递减，则广(x)≤0在 在C上任取一点(x0,y),则6=4： (0,十∞)上恒成立， 该点到直线1的距离d=。一山十4 所以a≥血x+1在(0，十∞)上恒成立， √2 |(y-2)2+121 即a≥（也） (6分) (7分) √2 4√2 令g(x)=hr+ ,x>0,则g(x)=nx 2, 当2时山收得最小值，最小值为学。 当x∈(0,1)时，g(x)>0: 所以C上的点与直线（上点的距离的最小值为 当x∈(1，十∞)时，g'(x)<0, 32 所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，十∞)上单调 2 (9分) 递减， (3)设A(y),B(x2y), 所以g(x)max=g(1)=1, 由题意得直线AB的方程为y=x一t,即x=y十t, 所以a≥1，即a的取值范围为[1，十∞).(9分) 与y2=4.x联立，得y2-4y-41=0, (3)由(2)得当a=1时，血+1≤1， 则△=16+16t>0,得t>-1, 即lnx≤x-1(当且仅当x=1时等号成立)， y1+y2=4,yy2=-4t, (12分) 所以x≤e1, (11分) (y1-t)(y2-t) 则k1k:=(G21+a)(x:-21+a) 2 因为1+nm+1(n+2)>1,n∈N, (y一t)(y2-t) (y1-十a)(y2-t十a) 所以1+ n(n+1(n+2)<e+m++z-1= 2 yy一t(y十2)十t y1y2+(a-t)(y+y2)+(t-a) ea(m+(+万， (13分) -41-41十t2 2 =-4t+4(a-t)+(1a) 所以1+1×2X3<ei0,1+2x3x4<ew, 2 2 2-8t -2-(2a+8)t+a2+4a (15分) 1十 3×4×5 <ea,,1+nm+1(n+2 若k1k2为常数， em(u+1m+2, 则信十。部得a-0,此时6点-1 两边累乘得(1+x名x3)(1+2Xx(1十 所以存在常数a=0,使得k1k2为常数1.(17分) 2 2 19.解：1)当4=1时(x)=h-号+ 5 3x4X5）…1+nm+m+2 <exie2xxe3x是…em+in+ 则f(x)=lnx+1-x, =exi十2xx十xix++w+im+z 所以(1)=0， =e十+太++n十元w+m+可 又f(1)=2, 所以曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 =e量-w+mm+g<e量=√e(n∈N'）. (17分) y=2. (4分) ·4·2026年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 数学（六） 本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在 答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.已知集合A={x2x-4≥0}，B={xx2-3x-4≤0}，则B∩(CA)= A.{x-1≤x<2》 B.{xx≤4) C.{x2≤x≤4} D.{xx≥-1} 2.若2-5i-a-1+26i(a,b∈R),则3a-b= A.9 B.-9 C.11 D.-11 3.已知向量a=(x+1,2),b=(2x十1,3)，a∥b,则x= A.-1 B.0 C.1 D.2 4.花盆的起源可追溯至浙江余姚河姆渡文化出土的陶片，距今已有7000年的历史，为了方便堆叠 和排水，花盆为上宽下窄的圆台结构.小明家有一个花盆，其上底面圆的直径为40cm,下底面圆 的直径为32cm,高为30cm,则该花盆的体积为 A.7560πcm3 B.9760πcm3 C.19520rcm D.29280πcm3 5.已知a-g=否，tana=4tanB.则sin(a+B)= A号 B 3 6.若a=lg21og11,6=2logn2+1og13c=(侵》，则 A.a<c<b B.a<b<c C.c<a<b D.C<<a 7.若双曲线G与C的两个焦点重合，则称G与C互为同.心双曲线”已知双曲线C:r- 15=1 与双周线G:二十若-21互为同心双面线”，左右熊点分别为，，P是C上一 点，若∠F1PF2=90°，则△PF1F2的面积为 A.8 B.10 C.12 D.24 数学（六）第1页（共4页） 衡水金卷·先 8.已知直四棱柱ABCD一A1B,CD1的侧面积为160+16√29，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC, 3AD=2BCAB=CD=2√2西，若异面直线AD,与C,所成角的余弦值为罗.则该直四棱柱 外接球的表面积为 A:1 D A.576π B.596π C.616π D.686π 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.某市气象部门对本市的温度x(单位：℃)与相对湿度y%进行研究，记录了五组数据如表所示： 温度x 28 2522 19 16 相对湿度y%41 48 62 65 70 已知y与x线性相关，根据表中的数据计算得经验回归方程为y=bx十112.2，则 A.y与x负相关 B.经验回归直线一定经过点(25,48) C.当温度为10℃时，相对湿度大约为87.2% D.样本相关系数r>0 10.若函数f(x)=Acos(wx十p)(A>0,w>0,一π<p<0)的部分图象如图所示，则 A.f()的最小正周期T=牙 B.f()=1 C.函数y=f+)为奇函数 D.f(x)的图象关于（臣+经0）∈)对称 11.已知函数f(x)与g(x)及其导函数f′(x)与g'(x)的定义域均为R,f(x)的图象关于点 (2,0)对称，g()的图象关于直线x=1对称，且(6)-f(-2),g1)-1,若e+2) f(2x)+1,则 A.f(4-x)=f(x) B.g(12-x)+g(x-10)=0 C.4为f'(x)的周期 Dn.2gi)=10 =1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在数列{am}中，a2=5,a5=14,其前n项和Sn=an2十bn,则a十b= 享题·调研卷 数学（六）第2页（共4页） 回 13.在如图所示的九宫格中，每个格子用1,2,3,4,5,6中的一个数字填入，要求1用两次，2用三 次，其余数字各用一次，则不同的填法共有 种. 14.已知椭圆c号+ +家=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F,F2,C上的点E与C的上、下顶点连 线的斜率之积为一号，则C的离心率为 ·过点F的直线与C交于P,Q两点（均异于左、 右顶点)，若2QF=PF,则cos∠PFQ .(本题第一空2分，第二空3分) 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 血脂高（高脂血症）可能导致动脉硬化、心脑血管疾病、胰腺炎等健康问题，长期血脂高会引发 全身多器官损伤.某市医疗机构为了研究运动与血脂的关系，从本市成年人中采用随机抽样的方 法抽取了150名市民，调查他们是否得高脂血症和平时运动的情况（每日进行30分钟以上中等强 度的运动，且每周运动5天以上的为“运动者”，否则为“非运动者”)，统计的部分数据如表。 是否得高脂血症 运动情况 合计 得高脂血症 未得高脂血症 “非运动者” 45 0 “运动者” 6 55 75 合计 150 (1)计算a,b的值，并依据α=0.001的独立性检验，判断能否认为得高脂血症与不运动有关？ (2)该医疗机构采用分层随机抽样的方法从得高脂血症的成年人中随机抽取13人，并进行饮 食方面的调查，然后从这13人中随机抽取2人作饮食指导，记这2人中“运动者”的人数为X,求X 的分布列及数学期望. n(ad-bc)2 附：x=(a+b0(c+i0(a+c)b+dDn=a+b+c+d. a 0.10 0.01 0.001 Ta 2.706 6.635 10.828 16.(本小题满分15分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知3 csin C=(3a+2b)sinA+(3b+a)sinB. (1)求角C的大小： (2)若CA·CB=一8，求c的最小值及△ABC的面积. 数学（六）第3页（共4页） 衡水金卷·先 17.(本小题满分15分) 如图1，四边形OADC是边长为5的正方形，扇形AOB中，∠AOB=,弧AB上的点M满足 sin∠AOM=3,△BOE中，∠BOE=5,OB=OE.现将△BOE沿OB进行翻折，正方形OADC沿 OA进行翻折，使得点E与点C重合为点P,点D到达点G的位置，得到如图2所示的几何体，且 点N满足PN-P馆. (1)证明：MN∥平面AOP; (2)求直线MN与平面GMB所成角的正弦值. 0 图1 图2 18.(本小题满分17分) 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线与圆x2+y2=1相切. (1)求C的方程； (2)求C上的点与直线l:x一y十4=0上点的距离的最小值； (3)过点P(t,0)且倾斜角为T的直线与C交于A,B两点，点M(2t一Q,t),记直线MA,MB的 斜率分别为k1,k2,是否存在常数a,使得kk2为常数？若存在，求出a及k1k2的值；若不存在，请 说明理由. 19.(本小题满分17分) 已知函数fr)=nx-a+》 2 (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程； (2)若f(x)在(0，十∞)上单调递减，求a的取值范围； 3)i证明：1+1xx写01+2x号x1+3×x-1+nmn十2，a∈Ny 2 享题·调研卷 数学（六）第4页（共4页） 回