数学(1)-【衡水金卷·先享题·调研卷】2026年普通高中学业水平等级考试模拟试题数学C

2026年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 数学（一）】 本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在 答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.复数(n∈N)的虚部为 A.-4i B.-i C.-1 D.4 2.已知集合A={2,3,a},B={x(x-a)(x-b)=0},则“b∈A”是“B二A”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.若双曲线E:若-菁-1(a>0)的右焦点为F2,0,则E的渐近线方程为 A.y=±x B.y=±√3x C.y=士2x D.y=±√5x 4记△ABC的内角A,B.C所对的边分别为a,6c,=4,0sA-只，若△ABC有两解，则a的取 值范围是 A.(3,4) B.(3,+∞) C.3,4) D.(4,+∞) 5.在平面直角坐标系xOy中，点A(一1,0)，P为曲线f(x)=2一lnx上一动点，则|AP的最小 值为 A.√2 B.2 C.22 D.5 6.中国古代的建筑形式多样，如赫赫有名的苏州园林.园林中一建筑的几何模型可以简化为如图所示 的几何体，其中ABCD-A1B1C1D1是长方体，AB=6,BC=BB1=4,A1B1C1D1一A2B2C2D2是 棱台，其侧面均为等腰梯形，且A2B2=3,棱台的高为2，则该几何体的表面积为 D, C? 95 D A.119+9√5 B.149+95 C.110+95 D.125+9√5 数学（一）第1页（共4页） 衡水金卷·先 7.已知数列{an}是首项大于0，公差不为0的等差数列，Sn为{an}的前n项和，且a2,a1,a4成等比 数列，则使得不等式Sn十4a1<0成立的正整数n的最小值为 A.2 B.3 C.4 D.5 8.若函数g(x)满足g1(x)≤g(x)≤g2（x),则称go（x)是“g1(x)一g2（x)切函数”.已知函数 f(x)=x2十ax十b,f1(x)=x-1,f2(x)=2.x2一3.x+1,若f(x)是“f1(x)-f2(x)切函数”，则 f(2)= A.1 B.2 C.3 D.4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.为考察某植物幼苗的生长速度，将6个品种的幼苗在相同的环境下培养7天后得到的高度折线 图如图所示，对于这6个数据，下列结论正确的是 幼苗高度（单位：cm) 45 38 42 40 30 337 20 10 A.极差为10 B.平均数为37 C.上四分位数为40 D.下四分位数为32 10.在三棱锥P一ABC中，PA⊥平面ABC,PA=AB=2,△ABC为等边三角形，则 A.三棱锥P-ABC的体积为2y3 3 B.异面直线PC与AB所成角的余弦值为2 4 C.直线PC与平面PAB所成角的余弦值为5 D.二面角P-BC-A的余弦值为T 7 11.在平面直角坐标系xOy中，曲线Γ：(x2+y2)(x2+y2-4)=sinx-cos2y,则 A.曲线T与y轴无交点 B.曲线Γ关于直线y=一x对称 C.若点P在曲线P上，则OP<√5 D.若曲线y=a与曲线T有公共点，则a<号 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量a=(2,一3)，b=(4,3),则a在b上的投影向量的坐标为 13.若(x一y)5的展开式中，x2y的系数为240，则m= 14.已知函数f(x)在R上单调递增，且f(2f(x)十f(一x))=f(x3+3),则f(1)= ;不等 式f(x)>2x2+|x|-1的解集为 .(本题第一空2分，第二空3分) 享题·调研卷 数学（一）第2页（共4页） @ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知函数fx)=3cos(r+君)(w>0)的最小正周期为 (1)求f(x)图象的对称轴； (2)求函数g(x)=5()-f-8)的值域与单调递增区间. 16.（本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA=PD,AB⊥AD,BC∥AD,AB=BC=2,AD=4,O为AD 的中点。 (1)证明：平面ABCD⊥平面POC; (2)若平面ABCD⊥平面PAD,PO=2√3，求点D到平面PBC的距离. A: 17.(本小题满分15分) 某科技公司计划推出一款基于大模型的智能客服系统，需从“自研大模型方案”和“采购第三 方大模型方案”中选择最优方案，系统收益受用户满意度影响，而满意度与大模型的“推理准确性” 有关：当推理准确性高时，用户“高满意”、“中满意”、“低满意”的概率分别为0.7,0.2,0.1；当推理 准确性低时，用户“高满意”、“中满意”、“低满意”的概率分别为0.2,0.3,0.5.根据测试数据，该公 司自研大模型推理准确性高的概率为0.6，采购第三方大模型推理准确性高的概率为0.4（两方案 的准确性概率独立，仅用于各自场景的计算)，两种方案的收益（单位：万元，含研发、采购成本） 如表. 用户满意度 自研方案收益 采购方案收益 高满意 120 80 中满意 50 40 低满意 -30 -10 (1)分别计算两种方案用户“高满意”、“中满意”、“低满意”的概率； (2)分别计算两种方案的期望收益. 数学（一）第3页（共4页） 衡水金卷 18.(本小题满分17分) 在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3),B(0,一√3)，P为平面内一动点.记直线PA的斜率 为1，直线PB的斜率为k:,且k,点：=一是 (1)求点P的轨迹方程； (2)已知点F(一1,0)，F2(1,0),点Q在x轴上，PQ平分∠FPF2, (i)若PFLr箱求8股的值： (ⅱ)是否存在点P,使得P,B,F1,F2四点共圆？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明 理由. 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=er-lnx-a.x. (1)若a=1. (i)求函数g(x)=f(x)+lnx一x的极值； (1)若对Vx>0x)≥k,证明：k< (2)若对Hx>0,f(x)≥1，求整数a的最大值. 先享题·调研卷 数学（一）第4页（共4页） 回调研卷C 2026年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 调研卷C·数学（一） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V.数据处理能力 M.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) I ⅡⅢNVM①②③④⑤⑥档次系数 1 选择题 5 i的周期性的应用 易 0.82 2 选择题 5 集合与充要性的综合 易 0.75 3 选择题 5 双曲线的渐近线 易 0.70 4 选择题 5 由三角形解的个数求参 0.60 利用导数求点与曲线上动点 选择题 5 中 0.55 间距离的最值 与多面体表面积有关的情 6 选择题 5 境题 L 中 0.50 等差、等比数列与不等式的 选择题 5 中 0.32 综合 8 选择题 5 与函数有关的新定义题 难 0.28 选择题 6 统计图 0.65 10 选择题 6 立体几何中空间角的综合 0.50 11 选择题 6 曲线与方程的综合应用 难 0.28 12 填空题 5 求平面向量投影向量的坐标 易 0.72 13 填空题 5 二项式定理的应用 中 0.55 14 填空题 5 利用函数的单调性解不等式 中 0.35 15 解答题 13 余弦型三角函数性质的综合 中 0.65 以锥体为载体，证明面面垂 16 解答题 15 直，利用空间向量求点到平面 中 0.50 的距离 17 解答题 15 全概率公式，数学期望 中 0.40 ·1· 调研卷C 数学（一） 18 解答题 17 点的轨迹问题，存在性问题 难 0.26 利用导数求不含参函数的极 19 解答题 17 L 难 0.22 值，由不等式求参数的最值 ·2 调研卷C 数学（一） 参考答案及解析 数学（一） 一、选择题 1.C【解析】由题得=二=1=-1-i,其虚部 之和为4+2)×号×号×2=15，所以该儿何体的表 面积为104+6+95+15=125+9√5.故选D. 为一1.故选C 7.D【解析】设数列{an}的公差为d,d≠0，由题意得 2.B【解析】对于充分性，取a=一1，b=2,此时A= ai=a2a4,即ai=(a1+d)(a1+3d),化简得4a1d+ 《一1,2,3}，B={1,2},B丈A,故充分性不成立；对于 必要性，若BCA,则由b∈B,得b∈A,必要性成立， 3d=0,因为d≠0，所以d=-号a,则s=a+ 所以“b∈A”是“B二A”的必要不充分条件.故选B. 3.B【解析】由题可得a2+3=2,a>0,则a=1,所以 n(m-Dd=-2m+5na1,由S.十4a1<0,得2m2-5n 2 3 E的渐近线方程为y=士√3x.故选B. -12>0,即(2n十3)(n-4)>0,解得n>4,所以正 整数n的最小值为5.故选D. A【解折】法一：因为c=40sA-?,所以由余孩 8.B【解析】由题意可得f(x)≤f(x)≤f2(x),因为 f(1)=f2(1)=0,所以f(1)=0,故1+a+b=0,则 定理得a2=b+十c2-2 bccos A=b+16-2√7b,即 b=-a-1,所以f(x)=x2+ax-a-1=(x十a+ -2√7b十16-a2=0,若关于b的方程有两正实根 1)(x-1).又f2(x)=(2x-1)(x-1),所以x-1≤ b1,b,则A=28-416-2)>0 解得3<a<4.故选 (x+a+1)(x-1)≤(2x-1)(x-1),则 lb1b2=16-a2>0 1(x+a)(x-1)≥0① A ,一2)(x-1)≥0②恒成立，由①可得a 法二：若△ABC有两解，数形结合可得csin A<a<c, -1,代入②式仍恒成立，故a=一1，则f(x)=x2 因为cosA=,所以A=是，所以3<a<4.故 x,所以f(2)=2.故选B. 二、选择题 选A 9.AC【解析】将6个数据按照从小到大的顺序排列 依次为：32,33,36,38,40,42，极差为42-32=10，故 A正确：平均数为32+33+3638+40+42≈36.83， 6 故B错误；6×75%=4.5，向上取整为5，故上四分位 数为40，故C正确：6×25%=1.5，向上取整为2，故 下四分位数为33，故D错误.故选AC. 10.ABD【解析】对于A,△ABC的面积S-A 5.C【解析】设P(xa,2-lnx),易知当该曲线在点P 处的切线与直线AP垂直时，|AP|取得最小值.因 5,故三棱锥P-ABC的体积V=}S·PA 为f)=2-1n,所以了)=-上则-是 2=ln=-1,解得=1，则P1,2),此时AP= 2,放A正确：对于B,取AB的中点D,连接CD。 x。十1 则CDLAB,故PC.AB=(PD+DC)·AB=PD· 22.故选C AB=IPD1·|AB|cos∠PDA=|AD1· 6.D【解析】下半部分的表面积为6×4×3+4×4×2 |AB=2,因为PA⊥平面ABC,ACC平面ABC, =104,上半部分棱台上底面的面积为3×2=6，前、 所以PA⊥AC,则PC=√PA+AC区=2√2，所以 后两侧面的梯形的高均为√ B.C.-B:C:+2 2 V5.则这两个梯形的面积之和为〔6十3)×，5×之×2 成商高×停傲B 正确：对于C,连接PD,则PD=√5，因为PA⊥平面 =9√5，左、右两侧面的梯形的高均为 ABC,CDC平面ABC,所以PA⊥CD,因为CDI √(AB,AB）厂+2：=号，则这两个梯形的面积 AB,PA∩AB=A,PA,ABC平面PAB,所以CD⊥ 2 平面PAB,又PDC平面PAB,所以CD⊥PD,则 。1 数学（一） 参考答案及解析 ∠CPD即为直线PC与平面PAB所成的角，且 2×4-3×3.(4,3) os∠CPD-咒224 PD=5=,故C错误：对于D, 影向量的坐标为·合 25 (-) 3 取BC的中点E,连接AE,PE,则AE⊥BC,由PB= 13.土2【解析】易得(.x一my)°的展开式中，x2y的系 PC=2√2，得PE⊥BC,因为PE∩AE=E,PEC平 数为C(-m)=240,解得m=士2. 面PBC,AEC平面ABC,平面PBC∩平面ABC 14.2{x|x<-2或-1<x<1或x>2}【解析】由 BC,所以∠PEA为二面角P一BC-A的平面角，易 单调性可知2f(x)十f(-x)=x3十3①，所以 得AE=V3,则PE=√PA+AE区=√7，故 2f(-x)+f(x)=-x3十3②，由2×①-②，可得 pE=品-停=牙，数DE确故 3f(x)=2x3+6-(-x3)-3=3.x3+3,则f(x)= x3+1,所以f(1)=2.f(|x)-2x2-|x|+1= 选ABD. |x|8-2x2-|x|+2=|x|2(|x|-2)-(x|- 2)=(|x|2-1)(|x|-2)>0,解得|x|>2或0≤ |x<1,即x>2或x<-2,或-1<x<1.故不等式 f(|x|)>2x2+|x|-1的解集为{x|x<-2或 -1<x<1或x>2}. 四、解答题 B 15.解：(1)由题意可得2红=2红，故u=3 3 则f(x)=V3cos(3x+) (3分) 11.BCD【解析】对于A,当x=0时，y2(y2一4) -cos2y,令f(y)=y2(y2-4)+cos2y,则f(0)=1, 令3x+吾=x∈Z得x=经-是∈Z. 6 f(1)=一3+cos21<0,故f(y)在(0,1)上存在零 点，故曲线D与y轴在y∈(0,1)时存在交点，故A 所以：)图象的对称轴为工-暂一总k∈乙(6分) 错误；对于B,(x2+y)(x2十y2-4)=(x2+y2-2 +2)(x2+y2-2-2)=(x2+y2-2)2-4,sin2x (2g(x)=5fx)-f(x-) cos'y=sin'x+siny-1,(2+y2-2)2=sin'x+ siny十3，设曲线Γ上一点(x,y),该点关于直线y= =3cos(3x+晋）-5cos3x 一x对称的点为（一y,一x),将（一y,一x)代入曲线 =33 Γ，得(y2十x2-2)2=siny十sin2x+3,仍然成立，故 cos 3x-3sin 3x-3cos 3x 曲线T关于直线y=一x对称，故B正确：对于C,设 号c0s3x-2sin3x=5cos(3x+），(9分) 3 P(x%),易知(x2+y2-2)2=sin2x+sin2y+3≤ 5,故x2+y2-2≤5，则x2+y2≤2+5<5，所以 故g(x)的值域为[-√3√5]， (10分) |OP|=√十话<√5，故C正确；对于D,设 令2kx-≤3x+晋≤2kxk∈Z. g(x)=x2-sin'x,g'(x)=2r-2sin xcos 2x-sin2x,令h(x)=2x-sin2x,则'(x)=2 3 2cos2x≥0，所以h(x)即g'(x)单调递增，又g'(0) =0,所以当x∈(-o∞，0)时，g'(x)<0,g(x)单调递 故)的单调递增区间为[-督，2-号] 减，当x∈(0，十∞)时，g'(x)>0,g(x)单调递增，故 k∈Z. (13分) g(x)≥g(0)=0,所以sinx≤x2,故对于曲线T上 16.解：(1)因为PA=PD,O为AD的中点， 的点，(x2十y2-2)2≤x2+y2+3,令t=x2+y2,则 所以P0LAD,且A0=合AD=2, (1-2)2≤1+3，即-51+1≤0，解得5-√2I≤1≤ 所以AO=AB=BC, 因为AB⊥AD,BC∥AD. 5十2<5，由基本不等式可得>2xy=2a,当且 2 所以四边形ABCO为正方形，则OC⊥AD,(3分) 仅当二y时等号成立，则a≤专<号故D正确， 因为PO∩OC=O,PO,OCC平面POC, 所以AD⊥平面POC, 故选BCD. 又ADC平面ABCD,所以平面ABCD⊥平面POC. 三、填空题 (5分) 12.(-云-) (2)因为平面ABCD⊥平面PAD,平面ABCD∩平 【解析】由题意可得a在b上的投 面PAD=AD,PO⊥AD,POC平面PAD, ·2 调研卷C 数学（一） 所以PO⊥平面ABCD, 采购方案的期望收益： 故OA,OC,OP两两垂直， (7分) E2=P(S,)×80+P(S:)×40+P(S)×(-10)= 以O为原点，OA,OC,OP所在直线分别为x,y,? 0.4×80+0.26×40+0.34×(-10)=39万元. 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， (15分) 2 18.解：(1)设P(x,y),x≠0， 由题意可得为k,=y二3.y十E=y一3一3 整理得+ =1. 3 故点P的轨迹方程为号+苦=1≠0 .(4分) (2)(i)若PF2⊥x轴，设P(1,t), 代入号+-1得+-1 则D(-2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),P(0,0,23) 故PB=(2,2,-23),PC=(0,2,-2√3)，PD= 解得1=号，放PR=小=号， (-2,0,-2√5) (10分) 则由椭圆的定义得PF,=4-PF,1= 2·(7分) 设平面PBC的法向量为n=(x,y,), 则”·P店=2x+2y-2=0 因为PQ平分∠FPF2,所以∠FPQ=∠F2PQ, PF n·PC=2y-25x=0 在△FPQ中，由正弦定理得Q5! sin∠F PQ sin∠FQp' 取=1，得y=3,x=0,则n=(0,3,1),(12分) PF 在△P,PQ中，由正弦定理得QP 所以点D到平面PBC的距离为d=n,PD n 两式作比可得8一-号 (11分) -2w5 =√5 (15分) (i)假设P,B,F,F2四点共圆， √/(W3)+1 设圆的方程为(x-m)2十（y一n)2=r2, 17.解：设事件C:推理准确性高，事件C:推理准确 由点B,F,F2均在圆上， 性低， m=0 事件S:高满意，事件S2:中满意，事件S:低满意. m2+(W3+n)2=r2 (1)由题可得P(S|C)=0.7,P(S|C)=0.2, 3 可得(-1-m)2+m2=,r2,解得n= 3 P(S21C)=0.2,P(S2|C)=0.3, (1-m)2+n=r2 P(S3|C)=0.1,P(Sa|C)=0.5. (2分) r2 4 ①自研方案：由题可知P(C)=0.6,P(C)=0.4, (3分) 故圆的方程为+(+)广-号 (14分) 所以P(S:)=P(C)P(S,|C)+P(C)P(S|C)= 4 0.6×0.7+0.4×0.2=0.5. (4分) 联立 P(S2)=P(C)P(S2|C)+P(C)P(S2|C)=0.6X r+(+9）广=得y-25,9=0 3.x2+4y2=12 0.2+0.4×0.3=0.24, (5分) P(S)=P(C)P(S3|C)+P(C)P(S3|C)=0.6X 即(y-3√3)(y+√3)=0，则y=3√3或y=-√3， 0.1+0.4×0.5=0.26. (6分) 又y∈（一√3，√3），所以两曲线无交点， ②采购方案：由题可知P(C)=0.4,P(C)=0.6, 故不存在点P,使得P,B,F1,F2四点共圆.(17分) (7分) 19.解：(1)若a=1,则f(x)=e-lnx-x. 所以P(S1)=P(C)P(S|C)+P(C)P(S,|C)= (i)g(x)=e-2x,则g(x)=e一2， (1分) 0.4×0.7+0.6×0.2=0.4, (8分) 当x∈(-o∞，ln2)时，g'(x)<0,g(x)单调递减； P(S)=P(C)P(S2|C)+P(C)P(S2|C)=0.4× 当x∈(1n2,十oo)时，g(x)>0,g(x)单调递增， 0.2+0.6×0.3=0.26, (9分) 故g(x)无极大值，极小值为g(ln2)=2-2ln2. P(Ss)=P(C)P(S3|C)+P(C)P(S3|C)=0.4× (4分) 0.1+0.6×0.5=0.34. (10分) (i)因为f(x)=e-lnx-x,x>0, (2)自研方案的期望收益： E=P(S1)×120+P(S2)×50+P(S)×(-30)= 所以f(x)=e-1-1, x 0.5×120+0.24×50十0.26×(-30)=64.2万元， (12分) 令g(x)=e-1-1,x>0. ·3· 数学（一） 参考答案及解析 则)=e+是>0， 所以m(x)<n( =1+2+n2--号+n2 所以(x)即f(x)在(0，十∞)上单调递增，(6分) 5 又f(2)=6-3<0,f1)=e-2>0. ∠ 7 +1= 所以≤f()<2,即<2得证. (12分) 所以由零点存在性定理可知广(x)在（号，1）内有 (2)若对Hx>0,f(x)=e-lnx-a.x≥1， 唯一零点xo, 则a≤(e-lnx-1) 则-名-1=0.即ew=六+1 x (7分) 令h(x)=e-nx- ,x>0, 当x∈(0，xo)时，f(x)<0,f(x)单调递减： x 当x∈(xo,十o∞)时，f(x)>0,f(x)单调递增， 则h'(x)=（x-1)e+lnx (14分) 所以f(x)m=f(x)=co-n-=1+1 当0<x<1时，h'(x)<0,h(x)单调递减； In zo-o. (9分) 当x>1时，h'(x)>0,h(x)单调递增， 设m(x)=1+-lnx-xx∈(21)， 所以h(x)mm=h(1)=e-1, 则a≤e一1， 则m(x)=---1<0, 所以整数a的最大值为1. (17分) 放m(x)在（分1）上单调递减， ·4·