数学(2)-【衡水金卷·先享题·调研卷】2026年普通高中学业水平等级考试模拟试题数学C

2026年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 数学（二） 本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在 答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.样本数据3,11,6,4,9的第40百分位数为 A.3 B.4 C.5 D.6 2已知集合A=日a-1,B=10.21,若An8=0,1.则a= A.-1 B.-2 C.1 D.2 3若第二象限角0满足c0s(受-0）=-号 ,则tan0= A号 B.、③ D.-25 3 C26 5 5 4.设甲：m3-n3>e”-e";乙：lg(m一n)>0,则甲是乙的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知点F1(一4,0)，F2(4,0),动点P(x,y)到F1的距离比到F2的距离大6，则动点P的轨迹方 程为 A号-苦=1≥8)B营-苦-1x≥8) c芳=1 6.一操场由矩形ABCD和两个相同的半圆组成，E为AD的中点.现甲从点A出发，沿AB方向以 8个单位/s的速度匀速运动，在第5s的时候运动到AB边上靠近点B的三等分点F处，乙从点 A出发，沿弧AD方向以2π个单位/s的速度匀速运动，在第5s的时候运动到点D,则EF· EC= B D A.2100 B.2200 C.2300 D.2400 数学（二）第1页（共4页） 衡水金卷·先 7.已知函数f(x)=3sin(ux+g)(w>0,p≤)在区间[晋，受]上单调递增，且fx)的最小正周期 为π，则9的取值范围为 A[--] B[--] c[] -] 8.已知函数f(x)=x2e,若关于x的方程2[f(x)]2一(2a+1)f(x)+a=0有且仅有4个不同的 实数根，则a的取值范围是 A.{0}U(e,+o) BoU(侍，+∞ c.[o.] n(信) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.设1,2为复数，则下列命题为真命题的有 A.21+2=1+z2 B.xx2=|1x2 C.1十2=z1十z2 D.若1十1=2x2,则2为实数 10.在正方体ABCD一AB1C1D1中，M,N分别为BC,CD的中点，点P是D1M上靠近点M的三 等分点，则 A.M,N,B1,D1四点共面 B.A1,P,C三点共线 C.直线AP与AA1所成角的正弦值为3 D.直线A,P与底面ABCD所成角的正弦值为 1,x>0, 11.“信号函数”的种类较多，如符号函数sgn(x)= 0,x=0,就是一类“信号函数”，设“信号函数” -1,x<0 f(x)= e1-x,≥0：则 f(x+1),x<0, A.sgn(x)是奇函数 B.f(x)≥0 C.方程f(x)=sgn(x)有且仅有两解 D,函数g(x)=f(x)·sgn(x)的最小值为- e 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知定义在R上的偶函数f(x)满足：x≥0时，f(x)= 13.已知圆柱与圆锥的底面半径均为r,且圆锥的母线长为2r,圆柱的高为4r.记圆柱的体积为V1, 圆锥的体积为，则片 14.已知椭圆C:写+y=1的左、右焦点分别为F,F,过F,且斜率为1的直线与C交于M,N两 点(M在N的右侧)，则|MN= ;若△MNF2外接圆的圆心为I,则△IMF2的面积 为 .(本题第一空2分，第二空3分) 享题·调研卷 数学（二）第2页（共4页） g 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知首项为1的正项数列{an}满足a品+1一a?十(anaw+1)2=0. (1)证明：a 1 是等差数列； (2)设bn= aam+L,求数列{bn}的前n项和S an十am+1 16.(本小题满分15分) 为响应国家节能减排的号召，某小区设立了特定的充电桩集群，以满足新能源汽车充电的需 要.某充电桩集群包含快充桩和慢充桩，其占比分别为60%与40%.为规范生活安全，需要多次对 该充电桩集群进行安全测试.统计显示，快充桩故障概率与慢充桩故障概率分别为12%和5%.用 频率近似替代概率. (1)任取一个充电桩，求该充电桩故障的概率； (2)在一次安全检查中，用随机变量X表示一个充电桩检查结果的标识.若充电桩正常工作， 则X=0;若为快充桩故障，则X=1;若为慢充桩故障，则X=2. (i)求P(X=0); (ⅱ)求X的分布列与数学期望. 17.(本小题满分15分) 如图为正四棱台ABCD一A1B,C1D1与正四棱锥P一ABCD拼接而成的几何体. (1)证明：AC⊥平面PB1D1: (2)若该四棱台的高为2，AB1=3,AB=4,PA=2√6，求二面角P一BC-C1的正弦值 B D 数学（二）第3页（共4页） 衡水金卷 18.(本小题满分17分) 设函数f(x)=(x2十ax+a)e. (1)讨论f(x)的单调性； (2)已知f(x)=b有三个实根x1,x2,x3,满足x1<x2<x3,f(x2)<ae-“. (1)求a的取值范围； (iⅱ)证明：x2十x3十4<0. 19.(本小题满分17分) 已知抛物线C:y2=2x(p>0)的焦点为F,过F的直线交C于A,B两点，过F且垂直于AB 的直线交C的准线1于点E,A,B在I上的射影分别为P,Q. (1)当p变化时，PE与EQ是否相等，若相等，给出证明；若不相等，举出一个反例； (2)若点G(a,2)在C上，且GF=2. (i)求C的方程； (ⅱ)若圆M位于C与直线x=5所围成的封闭区域（包含边界）内，求圆M半径的最大值. 先享题·调研卷 数学（二）第4页（共4页） 回调研卷C 2026年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 调研卷C·数学（二） 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ.空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ⅡⅢWVM①②③④⑤⑥ 档次系数 求一组离散型数据的百分 1 选择题 5 易 0.82 位数 选择题 5 由集合的运算求参 易 0.75 选择题 5 利用诱导公式知式求值 易 0.70 4 选择题 5 不等式与充要性的综合 中 0.65 5 选择题 5 求点的轨迹方程 中 0.60 6 选择题 5 与平面向量有关的情境题 中 0.55 由正弦型三角函数的单调性 选择题 5 0.32 求参 利用导数研究嵌套函数的 选择题 5 零点 0.28 9 选择题 6 复数性质的综合 中 0.60 10 选择题 以正方体为载体，空间位置关 6 中 0.50 系与空间角的综合 11 选择题 6 难度大的函数新定义题 难 0.28 利用函数的奇偶性求值，涉及 12 填空题 5 易 分段函数 0.72 13 填空题 5 圆锥与圆柱的综合，求体积 中 0.55 14 填空题 5 椭圆与圆的综合 中 0.30 15 解答题 13 证明一个数列是等差数列，裂 中 0.60 项法求和 L 解答题 社会热点题，涉及全概率公 16 15 中 0.50 式，分布列和期望 ·1· 调研卷C 数学（二） 以组合体为载体，线面垂直的 17 解答题 15 L 名 0.40 判定，求二面角的大小 以指数型函数为载体，研究含 18 解答题 17 参函数的单调性，其中一问涉 难 0.26 及极值点偏移 19 解答题 17 直线与抛物线的位置关系，探 0.22 究性问题 L 难 ·2 调研卷C 数学（二） 参考答案及解析 数学（二） 一、选择题 1.C【解析】将这5个数据按照从小到大的顺序排列 得e∈[-，-受]放选A 为：3,4,6,9,11,5×0.4=2，故该样本数据的第40百 8.B【解析】由题得，广(x)=x(x+2)e,当xG 分位数为46=5.故选C (-∞，一2)时，f(x)>0,f(x)单调递增，当x 2 (-2,0)时，子(x)<0,f(x)单调递减，当x∈(0，十∞) 2.C【解析】易得≠0，因为AnB={0,1),故只能 时，(x)>0,f(x)单调递增，当x→一∞时，f(x)+0; 当x→十∞时，f(x)→十∞，绘制其简易图象如下所示， a一1=0，解得a=1,经验证此时满足题意.故选C. 3.D【解析】由诱导公式可得如0=号，因为9为第二 且-2)=号，方程2f]-(2a+1Df+a=0 可因式分解为[fx)-2]f(x)-a]=0,由于专> 象限角，放cos0=-V-sm0=-号，故am0 之，放可知fx)=合有三个解，故需使f(x)=a有 }25故选D cos 0 一个不同的实数解，由图象可知此时>专或a=0, 4.B【解析】由m3-n2>e-e",可得m3+e">n3+ 故选B. e",易得函数y=m3十e"单调递增，故m>n,即m一n >0,此时不能推出lg(m一n)>0,故充分性不成立， 同理可知当lg(m一n)>0时，m一n>1,故必要性成 立，故甲是乙的必要不充分条件.故选B. 5.A【解析】由题可得|PF-|PF|=6<8 |FF2|,根据双曲线的定义可知，动点P的轨迹为 双曲线的右支，且2a=6,2c=8,则a=3,c=4,所以 =心-心=7，所以动点P的轨速方程为号-苦=] 二、选择题 (x≥3).故选A. 9.BCD【解析】取=1一i,2=1+i,则|1|十 6.C【解析】显然AF=5×8=40,可得AB=60,而弧 |2|=2√2，|1十2|=2，所以|21十2|≠ AD的长为2π×5=10π，由10π=π×AE,可得AE |1|+|2|,故A错误：设=a十bi(a,b∈R), 10,而萨=号A店-A正武=A花+A店，显然A证· 2=c十di(c,d∈R),则||=√a2+b,|2 Ve+,2=ac+adi+bci+bdi=(ac-bd)+ A店=0，故E求.EC=(号A店-A·(A龙+AB) (ad+bc)i,故|x12|=√(ac-bd)2+(ad+bc) 号A-A应=230.故选C =√a2c2+bd2+a2d2+bc2=√/a2+bc2+d= |x1|2|,故B正确；易得+=(a+c)+(b十d)i, 7.A【解析】因为f(x)的最小正周期为π，所以T= 之1+2=(a十c)-(b十d)i,z1=a-bi,22=c-di,则 2红=元，解得w=2,所以f(x)=3sin(2x+p),当x∈ 1十2=(a十c)-(b十d)i,所以1十2=1十2，故C [吾，受]时，2x十g∈[吾+gx+]所以[吾+e 正确：由1=a十bi可得1=a一bi,此时之1十1=2a =22,因为a,b∈R,所以可得2∈R,故D正确.故选 x十9]=[-受+2kx,受+2kx]k∈z.因为g≤x BCD. 1O.ABD【解析】对于A选项，显然MN∥BD,BD∥ BD,故MN∥B:D,于是M,V,B,D四点共面， 故A正确；对于B,注意到CM∥AD1,可知二者共 故当且仅当k=0时原式成立，有 ,解 π十9≤2 面，故不妨设DM与A,C交于点Q,易知8 数学（二） 参考答案及解析 S-专部，且Q在线段MD,上，故由平面 =一f(x)=g(x),故易知g(.x)在（一∞，0）上的值域 几何知识可知P与Q重合，故P在AC上，故B正 为[-0)，放gx)的最小值为一。，故D正确。 确：对于C,显然由相似关系得A户=号A亡，则A市 故选ABD, 三、填空题 A不+号AC=号+号AD+号AA,显然A市在 12.器【解】由题意可得了（）-（仔广+ AA上的投影向量为号AA,故A市·A 6,因为f(x)为偶函数，故f(-1)=f1)=3,故 号A,而1A市=√（号A+号市+含A -D+()-器 =√售A亦+号市+。A=1AM1,故 13.4√3 【解析】由题意可知，圆锥的高h= √2)-了=3，故圆锥的体积V,=3rh= cos(AP,AA)= AP.AA APIAA =子，则直线AP与 3,而圆柱的体积V,=xr产×4r=4xr,于是 A4:所成角的正弦值为2，故C错误：对于D,由 长=4g B可知直线A,P与底面ABCD所成角即直线A,C 与底面ABCD所成角，显然该角的平面角为 14.4y22 3 3 【解析】由题得F1(-1,0),直线MN的 ∠ACA,而sin∠ACA:= A4= AC 号，故D正确。故 方程为y=x十1，设M(1y1),N(x2,y2),1> 选ABD. y=x+1 x2,联立 +y-1解得0. ,即 y1=1 3 M0,1),N(-号，-含)所以MN P(O) √(-专-0)+(-号-1)-4.由题得，1. -4 0),则kg,。二9-1，所以MN LMF:,则外接圆 -.- B M 的圆心1为线段NF:的中点，所以Sa,=号× 11.ABD【解析】对于A,显然有sgn(x)=一sgn(一x), 故sgn(x)是奇函数，故A正确；对于B,当x≥0时， IMNIX IMF:I=}×xE=号 3 f(x)=e1-1,x∈[0,1)时，f(x)<0,f(x)单调 递减，x∈(1，十∞)时，f(x)>0,f(x)单调递增，故 四、解答题 15.解：(1)由a+1一a片+(anam+1)2=0,且am>0,等号 此时f(x)≥f1)=0.而f(0)=1>0,故x≥0时. e 两边同除以aa+1, f(x)≥0.注意到f(x)在[k,k十1)，k∈Z,k≤0的形 可得-1+1=0. (3分) 状与值域相同，故x<0时，f(x)≥0，故B正确；对 an a 1 于C,x<0时，sgn(x)<0≤f(x),考虑x≥0.注意到 sgn(0)<f(0),x∈(0,1)时，f(x)<f(0)<1= 即a 1 a (4分) sgn(x),故方程在(-∞，1)上无解，而f(3)=e2-3 因此·品}是以日-1为首项，1为公差的等差数 >sgn(x),故方程在(1,3)上有一解，由单调性可知 列 (5分) 方程在R上有且仅有一解，故C错误；对于D,x≥0 时，显然g(x)≥0，x∈[-1,0)时，g(x)=-f(x), (2由1可得，2=1+a-1DX1= (7分) 而f(x)在[-1,0)上的值域即为其在[0,1)上的值 又因为am>0,故an= 1 (9分) 域，由单调性可知值减为(1.0)]=(0，]， √n 1 于是&x)在[-1,0)上的值域为[一。0小，而当 所以，=nn十I 1 1 1 =√n+1 n+I十√n x<-1时，g(x+1)=sgn(x+1)f(x+1)=-f(x十1) Vnn+1 ·2· 调研卷C 数学（二） n. (11分) 则S=b+b2+…+b.=2-1十(W3-√2)+…+ (√+I-√m)=√n+I-1. (13分) 16.解：(1)设事件A为“选到快充桩”，则事件A为“选 到慢充桩”；事件B为“充电桩故障”，则事件B为 “充电桩正常”. (1分) 由题意可得P(A)=0.6,P(A)=0.4,P(B|A)= 0.12,P(BA)=0.05, (3分) 则由全概率公式可得P(B)=P(A)P(B|A)+ P(A)P(BA)=0.6×0.12+0.4×0.05=0.092. 则C(0,2√2,0)，B(-2√2,0,0)，P(0,0,-4) (5分) (2)(1)由题意，P(X=0)=P(A)P(B|A)+P(A)· C(0o.3y2)小成-(2g2w2.0.pt-0.2g. P(B A). (6分) P(BA)=1-P(B|A).P(B A)=1-P(BA), 4.cc-(o号.-2小 (9分) (7分) 记平面PBC与平面BCC:的法向量分别为n:= 故P(X=0)=0.6×(1-0.12)+0.4×(1-0.05)= 0.6×0.88+0.4×0.95=0.908. (9分) (x1y1,z1)n2=（x2,y,22）, (i)P(X=1)=P(A)P(B|A)=0.6×0.12= n1·BC=0 x+y=0 0.072 (10分) ·P衣=0即 y1十V2:1=0 P(X=2)=P(A)P(BA)=0.4×0.05=0.02. 可取n1=(√2，-√2,1)， (11分) (11分) 1n2·BC=0 2+y=0 则X的分布列为： %.·Gc=0即 y2-2W2x2=01 X 0 1 2 可取n2=(-2√2,2√2,1)， (12分) P 0.9080.0720.02 记二面角P一BC-C的平面角为0， (12分) X的数学期望E(X)=0×0.908+1×0.072+2× m-调X元 7 =785 85 (14分) 0.02=0.112. (15分) 由0e[0,],可知sin0=V/1-cos0=6y8丽 17.解：连接BD与AC交于点O,连接PO, 85 则PO⊥平面ABCD, 即二面角P-BC-C的正弦值为5y8丽 又ACC平面ABCD, 85 (15分) 可知AC⊥PO, (2分) 18.解：(1)由题得，f(x)=[x2十(a十2)x+2a]e= 而AC⊥BD,PO∩BD=O,POC平面PBD,BDC (.x+a)(x+2)er, (2分) 平面PBD, 当a=2时，f(x)≥0，f(x)单调递增， (3分) 故AC⊥平面PBD. (4分) 当a<2时，x∈(-oo,-2)时，f(x)>0,f(x)单调 递增： x∈（一2，-a)时，f(x)<0,f(x)单调递减， x∈(-a,十∞)时，f(x)>0,f(x)单调递增，(4分) 当a>2时，x∈(-o,一a)时，f(x)>0,f(x)单调 递增； x∈（一a,一2）时，f(x)<0,f(x)单调递减， x∈(-2，十∞)时，(x)>0,f(x)单调递增. 综上，当a<2时，f(x)在(-o∞，-2)，(-a,十o∞)上 单调递增，在（一2，一a)上单调递减； 当a=2时，f(x)在R上单调递增； (2)显然P0=√PA-(号AB)】 =4, (5分) 当a>2时，f(x)在(-∞，一a),(-2,十∞)上单调 递增，在(-a,一2)上单调递减. (5分) 以O为坐标原点，O市，O心，PO的方向分别为x轴、y (2)(i)显然a≠2.注意到f(x2)<ae·=f(-a), 轴、之轴正方向，建立空间直角坐标系Oxy2,(6分) 若a<2,则由单调性可知应有1<一2<x<一a ·3· 数学（二） 参考答案及解析 <I 同理得到|EQ=|EF|, 此时显然f(x2)>f(-a),矛盾. (7分) 所以|PE|=EQ|. (5分) 当a>2时，由单调性可得x1<-a<x2<-2<x3, 此时可知f(x2)<f(-a),符合题意。 故a的取值范围为(2，十∞). (9分) (i)设g(x)=f(-4-x)-f(x),-a<x<-2, 则g'(x)=-f(-4-x)-f(x) =-(-4-x+a)(-2-x)e-r-(x+a)(.x+2)e =(x+2)[(-4-x+a)e4-x-(.x+a)e'] =-(x+2)e4-r[(x+a)e2+4十x+4-a],(12分) 设h(x)=(x十a)er+4+x十4-a, 则(x)=(2x+2a+1)e2+4+1>0, (2)(i)因为点G(a,2)在C上，且|GF|=2, 故h(x)在（一a,一2）上单调递增， 所以 a+=2 故h(x)<h(-2)=0, 解得p=2 la=1 (2pa=4 故g'(x)=-(x+2)e4-h(x)<0, 所以C的方程为y2=4x. (8分) 于是g(x)在（一a,一2）上单调递减， (ⅱ)由对称性可知，当圆M半径最大时，圆心M必 故g(x)>g(-2)=0, (15分) 在x轴上， 显然一a<x2<-2, 所以问题转化为“圆心M到抛物线C上点的距离d 故0<g(.x2)=f(-4-x2)-f(.x2)=f(-4-x2) 的最小值等于圆心M到直线x=5的距离”.(10分) f(x3), 即f(-4-x2)>f(xa), 设M(m,0),则5-m<m<5,得号<m<5, 而-4-x2>-4-(-2)=-2,xa>-2, H(x,y)为抛物线y2=4x上的动点， 故-4-x2>x3, 则d=(x-m)2十y2, 故x2十x3+4<0. (17分) 由点H在C上，得d=x2-2(m-2)x十m2. 19.解：(1)PE=|EQ. (1分) (13分) 证明如下：由抛物线的定义可知|AP|=|AF|, 令f(x)=x2-2(m-2)x+m2,x∈[0,5) 所以△PAF为等腰三角形，所以∠APF=∠AFP, f(x)mm=f(m-2)=4m-4, (2分) 由题意得4m-4=(5-m)2,即m2-14m+29=0, 由题可知AP⊥PE,EF⊥AB, 解得m=7-2√5或m=7+2√5（舍）， (16分) 所以∠EPF=∠EFP, 所以△PEF为等腰三角形，所以|PE引=|EF|, 所以圆M半径的最大值为5-(7-2√5)=2√5 (4分) 2. 4