数学(5)-【衡水金卷·先享题·调研卷】2026年普通高中学业水平等级考试模拟试题数学C

2026年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 数学（五）》 本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在 答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.命题“Hx∈R,x2+x十a≥0”的否定为 A.Vx∈R,x2+x十a<0 B.HxR,x2+x十a≥0 C.3x∈R,x2+x+a<0 D.3x∈R,x2十x十a≥0 2.若集合A={一2,0,2}，B={x一3<x<1},则A∩B的子集个数为 A.3 B.4 C.8 D.16 3.已知向量a=(2,1),b=3,且3a一2b=√57，则a,b的夹角的余弦值为 A.-25 B C,26 15 15 D46 15 4.某A】公司有男性30人，女性10人，在一次知识竞技团建中，男性平均成绩为110分，方差为 55,女性平均成绩为130分，方差为95，则在这次团建中，该公司的平均成绩和方差分别为 A.120分，75 B.120分，20 C.115分，65 D.115分，140 5.过点P(3,1)作抛物线x2=4y的两条切线，切点分别为A,B,则直线AB在y轴上的截距为 A.-2 B.-1 c号 D.2 6.2025年世界运动会在成都顺利举行，现将含甲、乙在内的6名志愿者分配到A,B,C,D四个比 赛场馆去，若每个场馆至少分配1名志愿者，每名志愿者只能分配到一个场馆，且甲、乙不分配 在同一个场馆，则不同的分配方案种数为 A.55 B.384 C.936 D.1320 7.在平面四边形ABCD中，AB=2,BC=3,∠ABC=120°，对角线AC与BD交于点O,且BO= 2OD,∠AOB=60°，则OD的值为 A.319 19 B50 c D.1019 19 8.已知定义在R上的函数f(x)满足：①Hx,y∈R,f(x+y)=f(x)+f(y)一1；②当x>0时， f(x)>1;③f(1)=3.若f(a2-a-4)<5,则a的取值范围为 A.(-3,2) B.(-2,3) C.(-∞，-3)U(2,+o∞) D.(-∞，-2)U(3,+∞) 数学（五）第1页（共4页） 衡水金卷·先 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知函数(x)=sinor-君》 (w>0)的最小正周期为，则 A.w=2 B.f(x)的图象关于直线x=罗对称 Cfx)在区间[臣·答]上单调递减 D,将f()图象上所有的点向左平移个单位长度后所得图象对应的函数为偶函数 10.已知函数f(x)=ax3十bx2+cx十d,则 A.若f(x)为奇函数，则b=0且d≠0 B.当a>0,b>0,c=0时，f(x)在(0，十∞)上单调递增 C.当a>0,b=0,c<0时，f(x)有两个极值点 D.当a=1,b=3,c=d时，f(x)的图象关于点（一1,2）对称 11.已知正方体ABCD一A1BC1D,的棱长为2，E为棱BB1的中点，Q是底面ABCD内的动点（含 边界)，则 A.记过直线BD的平面为a,当Q为底面ABCD的中心时，EQ∥a B.EQ的最大值为3 C.点A到平面A,EC的距离为2y6 D.B1Q+QD1的最小值为2√6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若2m2-2m+1o3=3 ,则m= 13.已知4cos2x+sin2x=3,则cos2x= 14.已知双曲线E号-芳-1a>06>0)的左、右焦点分别为FF,过点上的直线与E的右支 交于点N,与y轴交于点P,线段PF2与E交于点Q.若F1P=PV,PQ=2QF2,则E的离心率 为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 记各项均为正数的数列{am}的前n项和为Sn,已知2√Sm一an一1=0. (1)证明：数列{an}为等差数列； 2)记b,气数列b的面n项和为T若存在正整数，使得T之专求大的取值 范围 享题·调研卷 数学（五）第2页（共4页） 回 16.(本小题满分15分) 为提升垃圾处理效率，某市拟推行“垃圾分类”政策.初步抽样调查显示，60%的住户会正确分 类垃圾.垃圾车收运时，正确分类的垃圾被正确收运的概率为90%，错误分类的垃圾被正确收运的 概率为20%.记事件A为“随机抽取一住户，该住户会正确分类垃圾”，事件B为“垃圾被垃圾车正 确收运”，计算过程中以频率代替概率 (1)直接写出P(A),P(BA)与P(BA)的值： (2)若某住户的垃圾被垃圾车正确收运，求该住户正确分类垃圾的概率； (3)该市计划评估开展“垃圾分类宣传”活动的效果，设宣传活动可将住户正确分类垃圾的比 例提升至80%.现随机抽取1000户住户，分别计算“维持现状”和“开展宣传”两种情况下，垃圾被 正确收运的期望户数，并根据结果给出是否推广宣传活动的建议. 17.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=x2十x十ae. (1)若f(.x)有两个极值点，求a的取值范围； (2)当x≥0时，f(x)≤x2十xe'十2x十a,求a的取值范围. 数学（五）第3页（共4页） 衡水金卷·先享题 18.(本小题满分17分) 如图1，在平面多边形PADCB中，△PAB是边长为2的正三角形，四边形ABCD是菱形，且 ∠BAD=否，现将△PAB以AB为折痕翻折，使点P到达点P,处，得到如图2所示的四棱锥 P1一ABCD,且平面P1AB⊥平面ABCD,O为棱AB的中点. (1)证明：CD⊥平面P1OD; (2)求直线PC与平面P,OD所成角的正弦值； (3)记三棱锥P,一ABD外接球的球心为I,求球I的表面积. B 02- 图1 图2 19.(本小题满分17分) 卫知椭圆C语+若-1o>b0)的右焦点为F,右顶点为A,且点A在圆F:(-3)2十y=9上. (1)求C的方程； (2)设P,P2,P3为圆F上三等分圆周的任意三点，设射线FP1,FP2,FP3与C分别交于点 Q1,Q2,Q3. (1)设∠Q,FA=0e[0,）,求FQ关于0的表达式： (i)求公a的值， ·调研卷 数学（五）第4页（共4页） @调研卷C 2026年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 调研卷C·数学（五） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V.数据处理能力 M.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ⅡⅢWVM①②③④⑤⑥档次系数 1 选择题 5 含有一个量词的命题的否定 易 0.82 集合的交运算，确定子集的 2 选择题 5 个数 易 0.75 3 选择题 5 平面向量的数量积 中 0.65 分层随机抽样中的均值与方 选择题 5 中 0.60 差的计算 5 选择题 5 抛物线的切点弦问题 中 0.55 与分组分配有关的计数问题 选择题 5 L 中 0.40 (情境题) 7 选择题 5 解三角形 中 0.32 8 选择题 5 抽象函数性质的综合 难 0.28 9 选择题 6 正弦型函数的性质 中 0.65 10 选择题 6 利用导数研究三次函数 中 0.50 11 以正方体为载体的立体几何 选择题 6 难 0.28 问题 12 填空题 5 指对数的混合运算 易 0.72 三角变换中的知式求值，涉及 13 填空题 5 中 0.55 二倍角公式 14 填空题 5 求双曲线的离心率，涉及向量 中 0.30 等差数列的证明，裂项相消法 15 解答题 13 中 0.60 求和 社会热点问题，条件概率，利 16 解答题 15 0.50 用期望解决决策性问题 调研卷C 数学（五） 由极值点个数求参，由不等式 17 解答题 15 L L 名 0.40 求参 翻折问题，证明线面垂直，求 18 解答题 17 线面角的正弦值及外接球的 难 0.26 表面积 19 解答题 17 椭圆与解三角形的综合 难 0.22 ·2· 调研卷C 数学（五） 参考答案及解析 数学（五） 一、选择题 1.C【解析】命题“Hx∈R,x2十x十a≥0”的否定为 120.则5am=20c,B0in120=2…2x…9 “了x∈R,x2十x十a<0”,故选C 2.B【解析】由题可得A∩B={-2,0},所以A∩B 号u,又S6m=2AB·BCsn120=号X2X8 的子集个数为4.故选B. ×=5所以 2 mx+3。 2x= 2 (m十n)x= 3.C【解析】将|3a一2b=57两边平方得9|a2- 12a·b+4b2=57,即45-12a·b+36=57,解得 3代人m+n=西，得x=3四 19 ,即OD= 。2所以oab=合合-及g得故 选C. 3故选 4.D【解析】由题得该公司的平均成绩为x= 8.B【解析】任取x1<x2,则2一>0，由题可得 30×110+10X130=115分，则方差为=10十30× 30 f(x2-x)>1,f(x2)=f(x1+(x2-x))= 30+10 f(x1)+f(x2-x1)-1,故f(x2)-f(x1)= 10 f(x2-x1)一1>0，所以f(x)在R上单调递增.令 [5+(110-115)]+10十30×[95+(130-115)] x=1,y=1,得f(2)=2f(1)-1=6-1=5,因为 =60+80=140.故选D. f(x)在R上单调递增，所以由f(a一a-4)<5,得 a2-a-4<2,即a2-a-6<0,解得-2<a<3.故 5.B【解析】设A(x,),B(x,),由y=4,得 选B. y=受，故km=受，则直线AP的方程为y-1 二、选择题 9.ABD 【解析】由题得f(x)= 受(x-3),代入A(x)得-1=受（知-3），又 sin(or-吾) =4,所以”-1=号- 3 -20=2y-21,即 1-cos(2or-》 ,因为f(x)的最小正周期为 3.x1-2y1-2=0,同理得3x2一2y2-2=0,所以直线 ，且。>0，所以纪=音·解得u=2,故A正确： 八 AB的方程为3x-2y-2=0,令x=0,得y=-1,故 直线AB在y轴上的截距为一1.故选B. 6.D【解析】根据题意，分2步进行分析：①将6人分 cos(4.x-） f(x)= sim(2x-晋)= 3 为4组，要求甲、乙不在同一组，若分为3,1,1,1的四 2 ,则 组，有C一C=16种分组方法，若分为2,2,1,1的四 组，有C3CCC-CCC=39种分组方法，则有 f(受)=sin(2×受-吾)=1，故B正确：令 AA A 2k≤4红-晋≤x+2张x,k∈Z.得吾+经≤r≤受十 16十39=55种分组方法：②将四组安排到4个场馆， 有A=24种情况，故有55×24=1320种方案.故 经k∈Z令=0，得吾≤≤音，所以fx)在区间 选D. 7.A【解析】因为AB=2,BC=3,∠ABC=120°，所以 [臣·吾]上单调递增，故C错误：f(+晋) 在△ABC中，由余弦定理得AC=AB+BC-2· AB·BC·c0s∠ABC=4+9-2X2X3X(-号)） sim[2(e+登)-吾]=sin2x,为偶函数，放D 正确.故选ABD, 13+6=19,则AC=19.设OD=x,则B0=2x,设 10.BCD【解析】对于A,由f(x)为奇函数，得 AO=m,OC=n,则m+n=AC=√19.在△AOB中， f(-x)=-f(x),-ax+bx2-cx+d=-ax ∠A0B=60.则SaM=7A0·B0sin60=7m· 一bx2-cx一d,化简得bx2+d=0恒成立，所以b d=0,故A错误；对于B,当a>0,b>0,c=0时， 2x,号-9m,在△B0c中.∠B0C=180-60 f(x)=ax+bx2+d,,f(x)=3ax2+2bx >0,所以f(x)在(0，十∞)上单调递增，故B正确； 数学（五） 参考答案及解析 对于C,f(x)=a.x3+cx+d,则f(x)=3a.x2+c,令 三、填空题 f(x)=0,得2=一0>0，则x=±√厂品，所以 12.1 【解析】由22-=号，得3X2-m= 2 则2m2-2m= ,所以m2-2m=-1,解得m=1. 1 当x(-,-√厂品)时.f)>0fx)单调 13.0或号 【解析】由4cos2x+sin2x=3,得2cos2x f单调递减：当x(√厂品+e)时，f) +sin2x=1,则sin2x=1-2cos2x,又sin2x=1 cos22x,所以(1-2cos2x)2=1-cos22.x,即 5cos22.x-4cos2.x=0,解得cos2x=0或cos2x 0,f(x)单调递增，所以x=一√一 为f(x)的极 4 1 大值点x=√一品为f(x)的极小值点，故fx)有 14.②7 3 【解析】不妨设F1(一c,0),则F2(c,0),记 两个极值点，故C正确：对于D,当a=1,b=3,c=d 时，f(x)=x3+3.x2+cx+c,则f(-2-x)= P00,由三等分点性质可知Q(号，），万方 (-2-x)3+3(-2-x)2+c(-2-x)+c=-x3 3x2+4-cx-c,所以f(-2-x)十f(x)=4,所以 (c,),由F,产=P衣，得点N(c,2),将点N与Q的 f(x)的图象关于点（一1,2）对称，故D正确.故 c242 =1 选BCD. 坐标代入E,可得 ,而E的离心率e= 4c2t2 11.BCD【解析】对于A,连接BD,当Q为底面ABCD 9a296=1 的中心时，Q为BD的中点，因为E为棱BB的中 42 点，所以EQ∥B,D,此时EQ,BD确定一个平面B, e2- =1①D 所以当a与B重合时，不符合题意，故A错误；以A ,故 4×②-①可得15e2=35,故 为原点，AB,AD,AA:所在直线分别为x轴、y轴、之 e2 F=9② 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由>1，可得e=2 3 四、解答题 15.解：(1)当n=1时，由2√S.-am-1=0, 得2√@-a1-1=0,即（√a-1)2=0, 所以a1=1. (2分) 由2√Sn-am-1=0,得2S=an+1, 所以4Sn=(an+1)2, (3分) D 对于B,E(2,0,1),依题意设Q(x,y,0)(0≤x≤2， 当n≥2时，4S-1=(am-1十1)2， 两式相减得4am=a十2an一a?1一2am-1, 0≤y≤2)，所以EQ=√/(x-2)2十y+1,当且仅当 x=0,y=2时，EQmx=3,故B正确；对于C,A(0,0, 即(a。十a-1)(an-aw-1)-2(an十am1)=0, 因为an>0,所以an一a-1=2, (5分) 0),C(2,2,0),A1(0,0,2),E(2,0,1),所以AA 所以数列{a,}是以1为首项，2为公差的等差数列. (0,0,2),A1E=(2,0,-1),A1C=(2,2,-2),设平 (6分) n·AE=0 面AEC的法向量为n=(x,y,),则 (2)由(1)得an=21-1, n.AC=0 所以6，=。6 即2202=0取x=1,得y=1,2所以 amam+1(2n-1)(2n+1) 1 1 (8分) n=(1,1,2),所以点A到平面A:EC的距离d= |AA1·nl 4 =26 n V/12+1+22 =等，故C正确：对于 所以工=6+6+么十十么=合[(}-号)十 D,B1(2,0,2),D(0,2,2),作点D关于平面 (兮-吉)++(】 ABCD对称的点D2,所以D2(0,2,一2)，因为点Q 在平面ABCD内，所以BQ+QD,的最小值为 =(1-2n）=20 (10分) BD2=√(-2)+2+(-2-2)=2√6，故D正 确.故选BCD. 因为存在正整数使得T≥多一 ·2· 调研卷C 数学（五） 所以存在正整数心使得如>号一】 所以0<一a 2e,即-2E<<0, e 所以≤(4+号) max 故a的取值范围为（ 2e,0） (6分) 因为(4+号) =6,所以k≤6， (2)当x≥0时，f(x)≤x2+xe+2x+a, 故k的取值范围为（一∞，6]. (13分) 所以(x-a)e十x十a≥0在x∈[0，+o)上恒成 立， (7分) 16.解：DPA)=子，P(BA=最，P(BA= 9 1 令p(.x)=(x-a)e'十x+a,x≥0， (3分) 则9(x)=(x+1-a)e+1, 令g(x)=(x+1-a)e'+1,x≥0， (2)由(1)可知P(A)= 5 (4分) 则g(x)=(x+2-a)e, 9 当2-a≥0，即a≤2时，g'(x)≥0， P(B)=P(A)(BA)+P(A)P(BA)= 5 10 则g(x)在[0，十∞)上单调递增， (9分) (6分) 所以g(x)≥g(0)=2-a≥0，即9(x)≥0， 所以e(x)在[0，十∞)上单调递增 又P(AB)=P(A)P(BA)= ×品- 所以(x)≥9(0)=0，符合题意 (10分) 当2-a<0,即a>2时， 所以P(AB)= P(AB)27 (8分) 令g'(x)<0,得0≤x<a-2; P(B)31 令g'(x)>0,得x>a-2, (3)维持现状时，垃圾被正确收运的期望户数E 所以g(x)在[0，a-2)上单调递减，在(a一2，十o∞) 10×0=620: (10分) 上单调递增， 则g(x)mm=g(a-2)=1-e-2<0, (12分) 开展宣传活动时，正确分类垃圾的概率为P(A= 5 又g(0)=2-a<0, 则错误分类垃圾的概率为P(不)=5， 所以当x∈[0，a-2)时，g(x)<0,即p'(x)<0, 所以g(x)在[0，a一2)上单调递减， 此时垃圾被正确收运的概率为P(B)=P(A)P(BA') 则(x)≤p(0)=0,不符合题意， (14分) +PP(B=品+号×吉， 综上，a的取值范围为(-o∞，2]. (15分) 18.解：(1)由翻折的不变性可知△P1AB为正三角形， (13分) 因为O为AB的中点， 则垃圾被正确收运的期望户数E,=1000×23 ,19 所以OP⊥AB, 因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面 760, (14分) ABCD=AB,OP1C平面P1AB, 由于E2>E:,宣传活动能显著提升垃圾正确收运的 所以OP,⊥平面ABCD, 效率， 又CDC平面ABCD,所以OP⊥CD, (2分) 因此建议推广宣传活动 (15分) 17.解：(1)由f(x)=x2+x十ae, 因为四边形ABCD是菱形，且∠BAD=苓， 得f(x)=2.x+1十ae', 所以△ABD是边长为2的正三角形， 因为f(x)有两个极值点， 所以OD⊥AB, 所以f(x)=2x十1十ae有两个不同的变号零点， 因为CD∥AB,所以OD⊥CD, 则一a=2x十1有两个不同的实根。 因为OP1∩OD=O,OP1,ODC平面POD (2分) e 所以CD⊥平面POD. (4分) 令(x)=2+中1，则'()=1-2 (2)由(1)可知OA,OD,OP两两垂直， 以O为原点，OA,OD,OP,所在直线分别为x,y,x 所以当x∈(-0,2)时，(x)>0,h()单调 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 递增； 当xE(分+∞)时，N'(x)<0,h()单调递减. 所以((合)=2S. (4分) B- 又当x趋向一o∞时，h(x)趋向一o∞；当x趋向十∞ 时，h(x)趋向0， ·3· 数学（五） 参考答案及解析 则C(-2√5,0)，D(0,√5,0)，P(0,0,w3), 故F(3,0),即c=3, 所以PC=(-23,-√3).CD=(2,0,0).(6分) 又右顶点A在圆F:(x一3)2+y2=9上， 由(1)可知CD⊥平面POD, 故A(6,0)(原点舍去)，即a=6, (2分) 所以CD=(2,0,0)为平面P1OD的一个法向量， 则b=a2-c2=27, (3分) 设直线P,C与平面P1OD所成的角为0， 则C的方程为希+芳=1 (4分) 所以sm0=cos(P,C,C市1=1DC.c (2)(1)由于P1,P2,P为圆F上三等分圆周的任 Pc·1CD 意三点， ⊥-4=0 且Q1,Q2,Q分别为射线FP,FP2,FP与C的 2W10 5 交点， 故直线PC与平面P,OD所成角的正弦值为四 故∠QFPQ.=∠QFQ=∠Q,FQ,= (6分) 5 (9分) 设椭圆的左焦点为F1,∠QFA的补角为a,易有 (3)由(2)可知A(1,0,0),B(一1,0,0)， cos a=-cos 0. D(0√5,0)，P(0,0w3) 由余弦定理可得 设I(x,y,2), cos a=IFQtFF:-IFQ: 2FQ·F1F 所以Ai=(x-1,y,),Bi=(x+1,y,),Pi 1FQ2+36-(12-FQ)2 (9分) (xy,-√3)，Di=(xy-3,) (11分) 12 FQ 由Ai=Bi, 9 9 化简得|FQ|=2-cos&2+cos (11分) 得x2-2x+1+y2+2=x2+2x+1十y2+z2, 9 解得x=0, (12分) (i)由(i)可知，|FQ2| 由Pil=|Bi. 2+co(0+) 得x2+y2+2-2V52+3=x2+2x+1+y2+2 FQ= 9 (13分) 化简得一3x十1=，则=】 (13分) 2+cos(-0 3, 由1Pil=1Di, 则公QT 1 得x2+y2+2-2V3x+3=x2+y2-23y+3+2, 3 6+cos0+cos(0+)+cos(5-0） 化简得y=z= (15分) 所以1(o.号) (15分) 又cos0叶cos(0+)+cos(-0）=c0s0+cos0 所以球I的半径R=|Ai 2r-sin0·si ·cos3 2元十c05 2π ·cos0+sin0· 3 3 √-+()+（停T=要 20 sin 3 (16分) 3 所以球1的表面积S=4R=号 (17分) 1 2 (17分) 19.解：(1)因为F为圆F:(x一3)2十y2=9的圆心， ·4