数学(4)-【衡水金卷·先享题·调研卷】2026年普通高中学业水平等级考试模拟试题数学C

调研卷C 2026年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 调研卷C·数学（四） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ⅡⅢNVM①②③④⑤⑥档次系数 1 选择题 5 集合中的交集运算 易 0.82 2 选择题 5 复数含参的运算问题 易 0.75 3 选择题 5 知值求角问题 易 0.72 4 选择题 5 由分段型函数的单调性求参 0.60 全概率公式的应用（涉及 选择题 5 0.55 情境) 选择题 5 利用圆的方程解决最值问题 中 0.50 7 选择题 5 求椭圆的离心率 中 0.32 8 选择题 5 指对同构问题（涉及导数） 难 0.28 9 选择题 6 不等式的性质 中 0.60 10 选择题 6 三角函数的实际应用 中 0.50 11 选择题 6 抛物线的焦点弦问题 难 0.28 12 填空题 5 幂函数的性质 易 0.72 利用平面向量解决参数取值 13 填空题 5 中 0.55 范围问题 14 填空题 5 几何体内多球内切问题 中 0.30 15 解答题 13 分段数列，数列求和 L 中 0.60 以频率分布直方图为载体，考 16 解答题 15 查正态分布，二项分布，数学 中 0.50 期望等 以旋转体为载体，求点面距， 17 解答题 15 由两平面夹角的大小求线段 中 0.40 的长 ·1· 调研卷C 数学（四） 直线与双曲线的位置关系，取 18 解答题 17 L 值范围问题 你 0.26 利用导数证明不等式，存在问 19 解答题 17 L L 难 0.22 题，双变量问题 ·2· 调研卷C 数学（四） 参考答案及解析 数学（四） 一、选择题 1.D【解析】由题知A∩B=〈0,2,4}.故选D. 5+=1 a 上，所以〈 2.C【解析】由z=(1+i)(a-i)=(a+1)+(a-1)i, 作差得西一)（十）+ 所以|x|=V(a+1)+(a-1)=√2(a+1)=√2， 解得a=0.故选C. y一业)(y+业)=0，则 3.B【解析】由题得cosa∈(0,1)，由sina十2 sin acos& b2 =-二业.十业 x1一T2x1十x2 -3cos2a=0,两边同除以cos2a,得tana+2tana-3 =0,即(tana+3)(tana-1)=0,解得tana=1或 ==-1x(-)=所以= x1-x2 2xo tana=-3,又因为0<a<受，所以tana>0,iana =1-=1-}=，因为0<<1，做=故 1a=平.故选B, 选D. 8.B【解析】由f(x)=eax+r-a(nx十x),令t=lnx 4.B【解折】由条件可知(8：>0<a<1.故选B 十x(x>0),所以1=1+1>0，所以1=1nx十x在 x 5.C【解析】设手机是新机为事件A,故障被修复为事 (0,十∞)上单调递增，又x→0*时，t→一∞；x→十∞ 件B.则P(A)=1-号=号，P(A)=号，PBA) 时，t→十o∞，所以t∈R,令g(t)=e一at,所以题意可 转化为函数g(t)=e一at有两个零点，令g(t)=0→ =号，P(BA)=号，根据全概率公式，P(B) e一at=0,当t=0时，不符合；当t≠0时，可化为a= P(A)P(BIA)+P(A)P (BIA)=2x8+ 3 号，令A0)=号，所以()=De,令h=0. 12 5 95 得t=1,当t∈(-∞，0)与t∈(0,1)时，h'(t)<0,h(t) 号-。故选C 单调递减，当t∈(1，+∞)时，h(t)>0,h(t)单调递 3 增，又t∈(-∞，0)时，h(t)<0,当t→0+时，h(t)→ 6.C【解析】由题可知圆形广场中心O到直线x十y +oo,当t→十o∞时，h(t)→十oo,h(1)=e,数形结合 2=0的距离为d=√2，在Rt△OAP中，|OA|=1, 可知要使函数g(t)=e一at有两个零点，则a>e.故 1OP1≥2，所以m∠A0=|8别≤方·由于 选B. 二、选择题 ∠APO<受，所以可得∠APO≤平，则∠APB 9.BD【解析】对于A:当c=0时，ac3=bc3,故A错误； 对于B:因为ac2>bc2,所以c2>0,所以a>b,故B正 2∠APOK,因为OA⊥AP,OB⊥BP,所以∠APB 确：对于C:令a=1,b=一2c=-3,符合a>b>c,而 ab=-2,c=6,ab<k,放C错误：对于D:牛-号 与∠AOB互补，所以当∠APB=交时，弦长AB最 =a十8-8+0=6>0，放D正确，故 (bc)b 小，此时∠AOB=,AB=V反.故选C. 选BD. 10.BCD 【解析】由①得：A=8,2=3,平衡位置6 2 8十2=5，所以y=3sin(at+p)+5,所以A错误；由 2 ②得：周期T=12小时，放w=系=吾，所以B正 确，所以y=3sim(否什9)+5，又由③可知当1=3 时y=5,代入得5=3sin(×3+g）+5→ 7.D【解析】依题可知F1(一c,0),所以直线I:y=x十 c,设A(y),B(x2为)，M(x0),因为A,B在C sin(受+9)=0，则2+p=kx(k∈)，即p=- +kx(k∈Z),因为交<9<2x,所以当k=2,得9 数学（四） 参考答案及解析 要符合条件，所以C正确：所以y=3sim(吾1+经） 四、解答题 15.解：(1)设{am}的公差为d,由题意知 /2a1+5d=7 十5=-3cos名+5，所以D正确.故选BCD, 12a1+7d=9' (2分) 11.ABD【解析】对于选项A:由焦点坐标公式可知 解得a1=1,d=1, (3分) 号-1，所以D=2,A正确：对于选项BAB的中点 则an=1+(n-1)×1=n. (5分) /n,n≤2 到准线x=一1的距离为十1十十1=十边十 (2)由(1)得b.= n·2",n≥3 2 2 前n项和可分为前2项与第3项至第n项的和， 1,又因为|AB=西+，+23AB=十十 2 2 即S.=h十ba+∑b 1,故圆与准线相切，B正确；对于选项C:F(1,0), =3 其中b1十b2=1十2=3. (7分) 由|IME|-|MF|I≤|EF|=√5→-5≤ 令P=b十b+…+bn=3×23+4×2+…十n |ME|一|MF|≤5，当且仅当E,F,M共线时取 ·2, 等号，故|ME|一|MF|的最大值为√5，C错误：对 所以2P=3×2+4×2+…+(n-1)·2m+n· 于选项D:由题得1的斜率不为零，设l:x=my十1， 2m+1. (9分) 联立+1得-my40a>0 两式相减得一P=3×23十2+25+…十2”一n ·2m+1 为=4m,M为=一4，所以1==1，则Oi. =2×23+23+2+2+…+2"-n·2+ 16 =2x2+81-29)-n·2 O=x1x2十y=-3<0,又因为点0不在直线 12 AB上，所以∠AOB是钝角，D正确.故选ABD. =8+(1-n)·2+1, 三、填空题 所以P=-8+(n-1)·2+1, (12分) 12.(-,0),(0,十∞)【解析】由题可知n十1=1， 所以Sn=3十P=2+1(n-1)-5(n≥3).(13分) 所以n=0,所以f(x)=x",又因为函数f(x)过点 16.解：(1)由直方图可知，平均数4=(15×0.005+25 (2,日），所以日=2，解得m=-3,所以f(x）)= ×0.015+35×0.030+45×0.030+55×0.015+65 ×0.005)×10=40. (2分) x3,所以f(x)在（一∞，0）和(0，十∞)上单调递 方差g2=[(15-40)2×0.005+(25-40)2×0.015 减，则单调递减区间为（一∞，0），(0，十∞). +(35-40)2×0.030+(45-40)2×0.030+(55 13.[0,是]【解折】由题可知可设A=入AC(0<A≤ 40)2×0.015+(65-40)2×0.005)]×10=145, 所以标准差=√145. (5分) 1),则t=A正·AF=AA它.AC=A|AE|AC· (2)因为正态分布中，P(4-2o≤X≤：十2a)≈ cos30°= e[o,] 0.9545, 即每件产品指标值在该区间内的概率约为0.9545， 14.6x 【解析】由题可知模型的几何体结构如图所 (7分) 8 Y表示10件产品中符合条件的件数， 示，设O为大球的球心，大正四面体的底面中心为 故YB(10,0.9545), (9分) E,棱长为AB=6,高为h,CD的中点为F,连接OA, 所以E(Y)=10×0.9545≈9.5. (11分) OB.OC.OD.OE,BF,则BE=号BF=X6 (3)由直方图可知，指标值≥60的频率为0.05， 3 即每件产品为“优质品”的概率p=0.05.(13分) 2√3，h=AE=√AB2-BE=2V6,V正四面体 设“至少有1件优质品”为事件A,则A为“没有优质 4Wo-m号Sam·A=4X号Sam·R,R= 品”， P(A)=(1-0.05)3=0.953=0.857375,(14分) =R-小球的体积为号R= 所以P(A)=1-P(A)=1-0.857375=0.142625 ≈0.143， ×()）- 即至少有1件优质品的概率为0.143. (15分) 17.解：(1)因为O0为旋转轴， 所以OO垂直于上、下底面， 所以OO⊥AO, 又因为OA⊥OB,OO∩OB=O,OO1,O,BC平面 OOB. (2分) 所以OA⊥平面O,OB, 所以点A到平面O1OB的距离即为OA的长度， 由题得OA=2,即点A到平面O1OB的距离为2. (4分) (2)由题可以O为原点，OA为x轴，O,B的投影（在 ·2 调研卷C 数学（四） 底面内)为y轴，OO为z轴建立空间直角坐标系， my十2(m≠0)， Z◆ 联立 4-3=1,得(3m2-4)y+12my=0, (x=my+2 3m-4≠0，即m≠专 解得y=0(对应点P)或a= 12m 3m2-4' r 则0=m%+2=二8-6m2 3m2-4 故Q(，32”4》 12m (11分) 则由条件可知O(0,0,0),O(0,0,4),B(0,2,4) 设M(a,b,0), 直线OQ的斜率km=坦=，6m 所以OM=(a,b,0),OB=(0,2,4), (5分) xQ3m2+4' 设平面OMB的法向量为n1=(x,y,z), 故OR的斜率为-3m+4 6m 所以m:0或0：→2十=0 n·OM=0,ax+by=0, 则OR的方程为y=-3m+4 6m r, 令y=2>2=-1,x=-26, 令x= 得0 2(3m2+4) a 9m 所以=（一2-小 (8分) 即R(， 2(3m+4)) (13分) 9m 又由题可知平面O,OB的法向量可以取2=(2,0， 2(3m2+4)-0 0). (10分) 则kPR= 9m 46 2 =m+4 m 所以cos(n1,n2>= n1·n2 a nn2 46 +4+1×2 当m>0时，m十 >2m 4_43,当且仅当 3m 3 4 _219 (12分) m=3时等号成立， √/4b+5a 19 又因为a2+6=4,所以2b=21四 等号取不到，则m>4y5 3 √20- 19 解得=1，b=±1， 当m<0时，m十 3m =-（-m- 3 所以MB=√a2+(b-2)2+4=√a2+6-4b+20 =2√6-b, 等号取不到，则k<一y 则当b=1时，MB=25:当b=-1时，MB=2√7. (15分) 则直线PR的斜率的取值范图为(-©，-)U 18.解：(1)由题知2c=2√7，所以c=√7， (17分) 又=5=号，所以a=2,所以=3. a 2 19.解：(1)令h(x)=f(x)-e+1=(x-1)e'+1, 所以E的方程为号-苦-1。 所以h'(x)=xe, (1分) (4分) 由h'(x)=0,可得x=0. (2)①因为直线（的斜率为1，所以其方程为y= 当x∈（一∞，0）时，h'(x)<0,函数h(x)在 x-2, (一∞，0)上单调递减， [y=x-2 当x∈(0，十∞)时，h'(x)>0,函数h(x)在 (0,十∞)上单调递增， (3分) 所以h(x)≥h(0)=0, 得x2-16.x+28=0,解得x=2或x=14, (6分) 即f(x)-e+1≥0， 当x=2时，得y=0,即得点P(2,0), 所以f(x)≥e-1得证. (4分) 当x=14时，得y=12,即得点Q(14,12), (2)由题得xe+b≤x-xlnx, 所以△0PQ的面积为Saag=OP·0=号×2 即k≤x-rln r-xe, ×12=12. (8分) 令=-hx-ee[是，2] ②由题可知点P(2,0)在C上， 所以y(.x)=1-lnx-1-e-xe=-lnx-e(1+ 易知直线！的斜率存在且不为零，设直线！为x= x), (5分) ·3· 数学（四） 参考答案及解析 令m(x)=y(x), 则m'(x)=-1 2 -e(.x+2)<0, 则Y(x)在[，2]上单调递减。 所以1n()=n+ln=-2+{-2 (7分) =+1)lnt-4, (13分) 则x)<(日)=1-e-e<0, t-1 令u()=+DhL-4D3), 所以不在区间日，2]上单调递减。 t-1 所以当=上时X)原最大值（仁）=！-× 则w(t)= 2a+4兰 (t-1)2 1 (8分) 令k()=-2血+1-1(>3)， e 所以长2 则0)=-是+1+片二+1-《>0， 2 所以k(t)在(3，十∞)上单调递增， 实数长的取值范围是（一，2。亡] (10分) 所以k(0>k(3)=-2h3+3-号= (3)由题可知p(x)=2x十a.x2十xlnx, 号(4-3h8)=号he-n)>0, 2 所以由9(x)有两个零点x1,x2, 得2十a.xi十xln=0,2.x2十a.x十x2lnx2=0, 所以m'(t)>0,则ω(t)在(3，十o∞)上单调递增， 得-a=2+n西_2+ln2 (11分) 所以u0>m(3)=3-4=ln号， 2 因为x2>3.x1,令x2=tx1(t>3), 2+hn n2+In s2+In(in )2+Int+Inn 所以ln(x)>n。, 9 Lxy (17分) 故hw-2+地气-兴2 故>号即V属>是得证 In x2 =In (tx =In t+In x =Int+ 2 ·4·2026年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 数学（四） 本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在 答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.若集合A={-1,0,22,号4B=xx∈N,则AnB= A.{-1,0,2,4) B0,24 co,2号4 D.{0,2,4} 2.已知复数x=(1+i)(a-i)(a∈R),若z=√2，则a的值为 A.-1 B.1 C.0 D.2 3.已知0<a<受，且满足sina+2 sin acos&-3cosa=0,则a的值为 A.君 B. c n 2-r,x<0, 4.若函数f(x)= 在（一∞，十∞）上单调递减，则实数a的值为 -x十a,x≥0 A.(0,1) B.(0,1] C.(0,2) D.(0,2] 5.某手机品牌售后中心统计显示，当购买时间在1年以内的新机，手机出现故障后被修复的概率 为，当购买时间超过1年的旧机，手机出现故障后被修复的概率为号，售后中心每天接待的旧 机概率为，某天一位用户带着手机来维修，则该手机出现故障被修复的概率为 A号 B岩 C34 ·45 6.某城市规划中，要在以坐标原点为中心，方程为x2+y2=1(单位：千米)的圆形广场周边设置隔 离设施.广场旁有一条由直线x十y一2=0（单位：千米）代表的道路，从该道路上任取一点P,向 广场边缘作两条切线PA,PB(A,B为切点)，弦AB段将安装防护栏.为节约成本，则防护栏AB 的长度的最小值为 A.2 B.√3 C.2 D.1 数学（四）第1页（共4页） 衡水金卷·先 7.已知椭圆C:若+芳-1(a>6>0),过椭圆左焦点F且斜率为1的直线1与椭圆C交于A,B两 点，线段AB的中点为M,直线OM0为坐标原点)的斜率为-是，则C的离心率为 c号 n号 8.已知函数f(x)=enr+x一a(lnx十x)有两个零点，则实数a的取值范围为 A.(0,e) B.(e,+o∞) C.(0,1) D.(1,十∞) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知a,b,c∈R,则下列说法正确的是 A.若a>b,则ac3>bc3 B.若ac2>bc2,则a>b C.若a>b>c,则ab>bc D.若b>a>0,c>0,则9十ca b+cb 10.某港口的海浪高度随时间变化，规律近似满足y=Asin(w+p)+b(A>0,w>0,受<9<2,1为时 间，单位：小时，t=0对应凌晨0点).且满足下列条件：①一天内海浪高度最高为8米，最低为2米， ②相邻两次最高高度间隔时间为12小时，③凌晨3点时海浪高度为5米.则下列正确的有 A.A=5,b=3 Bw二晋 c.g-受 D.y=-3cos81+5 11.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F(1,0),过F的直线l与C交于A(x1,y), B(x2,y2)两点(A,B不重合)，O为坐标原点，则 A.p=2 B.以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切 C.M为C上一动点，E(3,1),则ME-MF的最大值为5 D.∠AOB是钝角 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知点(2，号)在幂函数fx)=(十+1)x+"的图象上，则函数f(x)的单调递减区间为 13.在边长为1的正△ABC中，E为BC边的中点，F是AC边上的动点（含端点），若t=AE·AF, 则t的取值范围为 14.某棱长为6的正四面体零件的结构模型中，中间大球的半径为R,且大球为正四面体的内切 球，其余四个顶点所在的空间依次各放一个大小相同的小球，且小球的半径R'=R,则该模型 中每个小球的体积为 享题·调研卷 数学（四）第2页（共4页） @ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知等差数列{an}满足a3十a4=7,a2十a7=9. (1)求{am}的通项公式； am,n≤2 (2)若bn= ,求数列{bn}的前n项和Sn(n≥3). am·2",n≥3 16.(本小题满分15分) 某工厂为提高产品质量，对一批产品的某项指标进行检测，得到容量为200的样本数据，其频 率分布直方图如下： 忄频率 0.030 组距 0.015 0.005-- 0V0203040506070 已知该指标值X近似服从正态分布N(,σ2)，其中4近似为样本平均数，o近似为样本方差 (计算时每组数据以区间中点值为代表) (1)求和o; (2)若从该批产品中随机抽取10件，记指标值在[μ一2o,4+2o]内的产品件数为Y,求Y的数 学期望E(Y);(精确到0.1) (3)若指标值不低于60的产品为“优质品”，现从该批产品中随机抽取3件，用频率估计概率， 求至少有1件“优质品”的概率.（精确到0.001） 参考数据：若X~N(4,o2),则P(μ一o≤X≤4十σ)≈0.6827，P(u-2o≤X≤u十2o)≈0.9545， P(-3o≤X≤μ十3g)≈0.9973.0.953=0.857375. 17.(本小题满分15分) 已知圆柱OO的底面半径为2，高OO,=4,上底面圆心为O1,下底面圆心为O,点A是下底面 圆周上一点，点B是上底面圆周上一点，且OA⊥OB. (1)求点A到平面O1OB的距离： (2)点M在下底面圆周上，若平面OMB与平面0，OB的夹角的余弦值为2：，求MB的长. 数学（四）第3页（共4页） 衡水金卷 18.(本小题满分17分) 已知双曲线E号-若-1(a>0,6>0)的左、右焦点分别为F,,FR,=27,离心来 为 (1)求E的方程； (2)过点P(2,0)的直线l与双曲线E交于另一点Q,过原点O作直线OQ的垂线，交直线x= 于点R. ①当直线l的斜率为1时，求△OPQ的面积； ②求直线PR的斜率的取值范围. 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=xe,g(x)=x一xlnx. (1)证明：f(x)≥e-1; (2)若存在x[,2],使得不等式)十≤g)成立，求实数的取值范周： (3)若p)=3r十ar-g()a∈R有两个零点，且>3a,证明：V国>是. 先享题·调研卷 数学（四）第4页（共4页） 回