数学(3)-【衡水金卷·先享题·调研卷】2026年普通高中学业水平等级考试模拟试题数学C

2026年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 数学（三）】 本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在 答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.已知复数(2-i)之=5，则之的虚部是 A.-2 B.1 C.i D.-i 2.已知集合A={yly=2.x3,-a≤x≤a},B={xx2-4≤0}，若A=B,则实数a= A.1 B.2 C.4 D.8 3.已知向量a=(1,m),b=(1,一m),a⊥b,则m的值为 A.-1 B.1 C.±1 D.0 4.已知0<a<π，且cos3cos(a-B)-sin Bsin(a-B)= ，则c0s号 1 A-号 B号 c号 D-青 5.将函数f(x)=1-x31og2x的图象向下平移1个单位长度得到函数g(x)的图象，则g(x)的 大致图象为 D 6.如图，某校园新建了一处三层的“阶梯式绿植角”，每层从上到下依次摆放1个、2个、3个花盆， 形成三角形排列，其中有虚线连接的2个花盆为“相邻花盆”，现有多个红、黄、蓝三种颜色的花 盆可供选择，若规定“相邻花盆”颜色不同，且最下层为同色花盆，则花盆摆放的不同方式共有 A.108种 B.72种 C.32种 D.18种 数学（三）第1页（共4页） 衡水金卷·先 7.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向 射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线 C:y=8x的焦点为F,一条平行于x轴的光线l1从C的内部的某点射入，经过C上的点A反 射，再经过C上另一点B反射后射出，则16AF+BF的最小值为 A.16 B.32 C.50 D.64 8.若x=10g23y=,9+27:=150,则 A.I<y<z B.x<z<y C.y<I< D.<x<y 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.设数列{an}的前n项和为Sn,且a2=4,a6=64.则 A.若{an}为等差数列，则a4=34 B.若{a}为等差数列，则S,=15n一37m 2 C.若{an}为等比数列，则a4=士16 D.若{am}为等比数列，则Sn=2"+1士2 10.已知函数f(x)=2tan(wx十p)(w>0,0<p<π)的部分图象如图所示，则 Aw=司 B.函数f)图象的对称中心为（一吾+经，0k∈2） 3π C.当x∈[0员]时，fx)的值域为[2,23 D.不等式f)+fx)川≥43的解集为[叠十经，君+经)k∈z x 11.已知双曲线C:8一y=1的左、右焦点分别为F,F,C上的两点M,N关于原点O对称，且 点M在第一象限，则 A.若MN=6,则点M在以F,F2为直径的圆上 B,双曲线C的右顶点到C的其中一条渐近线的距离为，2 3 C.若∠F1MF2=60°，则△F1MF2的面积为√3 D.在C上不存在一点P,使得点P与点M关于点(2,2)对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.当x∈[1,4幻时，x2-4.x≥一a,则a的取值范围为 13.花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一.现有一花灯（如图1所示），其直观图如 图2所示，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分 别为30cm和20cm,其侧棱长为10√2cm,正六棱柱的高为60cm,则该花灯的体积为 cm3. 图1 图2 14.若曲线y=2e十x在点(0,2)处的切线也是曲线y=ln(x一1)十a的切线，则a= 享题·调研卷 数学（三）第2页（共4页） @ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AB延长线上的一点，∠BCD=30°，BC=2. (1)若BD=√2，求∠ABC的大小： (2)若CD=2√3，求△ACD的面积. 16.(本小题满分15分) 某高科技公司开发了一款迎宾机器人，为了解市场销售情况，现统计了2025年10月至2026 年2月该款迎宾机器人的月销量数据，如下表所示： 月份 2025年10月2025年11月2025年12月 2026年1月 2026年2月 月份代码x 1 2 3 4 5 月销量y(单位：千台) 8 10 13 20 24 (1)求出y与x的相关系数r(保留三位小数)，并根据r判断该款迎宾机器人月销量y与月份 代码x是否有较强的相关关系；（当r∈[0.75,1]时，相关性较强，当r∈[0.3,0.75）时，相关性 一般) (2)求出y关于x的经验回归方程y=ix十a,并估计2026年7月该款迎宾机器人的销量； (3)假设该科技公司对购买迎宾机器人的客户每人发放2000元/个的补贴.已知甲、乙两家商 户各至多购买一个迎宾机器人，且购买迎宾机器人的概率分别为2，号，记甲、乙两家商户享受的补 贴总金额为X,求X的数学期望E(X). ∑(x:-x)(y-y) 参考公式：相关系数r 32x-x)(y=y -,a=y-bx. x-)y- 2x- 参考数据：∑(x-)(-)=42,∑x-x=10,-y=184,西≈ 10.724. 数学（三）第3页（共4页） 衡水金卷 17.(本小题满分15分) 如图，在五面体ABCDEF中，平面ADE⊥平面ABCD,EF∥平面ABCD,AD⊥DC,△ADE 为等边三角形，AB=4,CD=3,EF=AD=2. (1)求证：AB∥CD; (2)点P为棱CD上靠近点D的三等分点，求二面角C一FB一P的正弦值. 18.(本小题满分17分) 已知椭圆C:号+若-1a>6>0)经过如下四个点中的三个：P(-1,2》,P:(2,0), P1,2）P1,2. (1)求C的方程； (2)已知C的左、右焦点分别为F1,F2,点M,N在C上运动，且均不与C的右顶点重合. (i)求MF·MF2的取值范围； (iⅱ)记直线P2M,P2N的斜率分别为k1,k2,若k1十k2=一1，问：直线MN是否过一定点？若 过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由. 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=7sinx-axcos x,g(x)=x-sinx. (1)求g(x)在区间[0，+∞)上的值域； 2 ②证明∑n2n(2m+Dk∈NM∈N (3)若存在x∈(0，)，使得f(x)+3g(x)<0,求a的取值范围. 先享题·调研卷 数学（三）第4页（共4页） 回调研卷C 2026年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 调研卷C·数学（三） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ⅡⅢNVM①②③④⑤⑥档次系数 复数的混合运算，求复数的 1 选择题 5 0.80 虚部 2 选择题 5 由集合相等求参 易 0.78 选择题 5 由向量垂直的坐标运算求参 易 0.72 选择题 5 半角公式的应用 易 0.70 选择题 5 由函数解析式识别函数图象 中 0.55 6 选择题 5 涂色问题 L 中 0.50 7 选择题 5 抛物线光学性质的应用 中 0.35 8 选择题 5 比较大小（涉及对数） 难 0.28 9 等差数列与等比数列的简单 选择题 6 中 0.65 综合 10 选择题 6 正切函数的图象与性质 0.55 11 选择题 6 圆与双曲线的综合 华 0.28 12 二次型不等式恒成立求参数 填空题 5 易 0.78 范围 13 填空题 5 与几何体体积有关的问题 中 0.60 14 填空题 5 两曲线的公切线问题 中 0.40 15 解答题 13 解多个三角形问题 中 0.65 回归分析问题，涉及相关系 16 解答题 15 //、 中 0.55 数，涉及数学期望 以组合体为载体，证明线线平 17 解答题 15 0.45 行，求二面角 调研卷C 数学（三） 直线与椭圆的位置关系，涉及 18 解答题 17 难 0.28 定点问题 L L 以三角函数为载体的导数问 19 解答题 17 题，涉及不等式有解、证明不 旅 0.25 等式 ·2· 调研卷C 数学（三） 参考答案及解析 数学（三） 一、选择题 8.B【解析】设函数f(a)=a2十a3(a>0),则 1.B【解析】由题得之=2=(2-)(2+D 5 5(2+i) f(a)为增函数，因为f(5)=150,所以f(a)=150 的解为a=5,9十27=f(3)=150,所以3=5，之= 5(2+卫=2十i,则：的虚部为1.故选B. 1og5=l1og25.因为x=log23<1og25<1og327= 5 2.A【解析】B=[-2,2],由A=B知a>0,故A= 16g3=号，所以<<，故选B [-2a3,2a3],所以2a3=2,解得a=1.故选A. 二、选择题 3.C【解析】由a⊥b,得a·b=1一m2=0,则m=士1. 9.AB【解析】对于A,若{an}为等差数列，则a:= 故选C. 4.C【解析】由题得cos Bcos(a-B)一sin Bsin(a一B) a十a“=34,故A正确：对于B,若{a}为等差数列， 2 =c0s(9叶a)=osa=-号，又0<a<,所以号 则公差d=5=15,则a.=4+15(n-2)= 4 是锐角.所以cos号=√ g于=号故选C 2 15m-26,于是S,=n(a十a）=15m,37m,故B正 2 2 5.B【解析】由题得g(x)=一x3log:|2x|,易知函数 确；对于C,若{an}为等比数列，则a=a2a6=256,由 的定义域为{x|x≠0}，又g(-x)=x3log|-2.x|= 于等比数列的偶数项同号，则a4=16,故C错误；对 xlog|2x|=一g(x),故g(x)是奇函数，图象关于 于D,若{a,》为等比数列，则a=16=g,所以g 原点对称，排除A,D:当>时，g()<0,排除C 士2，若g=2,则Sn=2+1-2:若q=一2，则S.= 故选B. 6.D【解析】记上层花盆为A,中层花盆从左到右依次 号1-（一2门放D错误.放选AB 为B,,B2,下层花盆从左到右依次为C,C2,C3,由题 10.BCD【解析】对于A,设函数的最小正周期为T,则 可知C,C2,C同色时有3种颜色可选，当B,B2同 色时，有2种颜色可选，则A有2种颜色可选，此时花 有T=无=吾-(-餐)>m=2,由函数的图象可 盆摆放的不同方式有3×2×2=12种；当B1,B2不同 知2X答十g=变十m,k∈乙.则p=平十x,k∈乙。 色时，B,有2种颜色可选，B2只有1种颜色可选，则 A只有1种颜色可选，此时花盆摆放的不同方式有 又0<g<,则p=牙，即f(x)=2an(2x+牙)，A 3×2×1×1=6种.综上，最下层全为同色时，花盆摆 放的不同方式共有12+6=18种.故选D. 错误：对于B,令2+子-经k∈.解得x=一吾十 7.C【解析】由题意得直线AB过点F(2,0)且斜率不 为零，设直线AB的方程为x=my十2，A(x1,y1), 经(k∈Z),即了(x)图象的对称中心为 B(x2,y2),由{ y=8x,。消去x,得y-8my-16= x=my+2, (-晋吾+领0)k∈ZB正确：对于C,当x∈ 0,△=64m2+64>0,所以y1+y2=8m,y1y2=-16, [0]时、2x+∈[，号]，故 由抛物线的定义知|AF|=+2,|BF|=x2十2，所 以16AF|+|BF|=16m,++34=2+盟+34 tan(2x+开)∈[1W3],f(x)∈[2,23]，C正确； 8 对于D,f(x)+|f(x)|= =2+号+34≥22i· y好 +34=50,当且仅当 4m(2x+晋)xe[经-君受+晋)∈z y=4时等号成立，则16|AF|+|BF1的最小值为 50.故选C. 0xe(受-，蟹-晋)keZ. 数学（三） 参考答案及解析 f(x)+lfx)≥4W3,得tan(2x+开)≥√3，其中 号1350,5+6005+V13503×60,/B)×10= r∈[经-吾，经+吾)，解得员+经≤r<晋十 9500√3(cm3),六棱柱的体积为V2=S2×60= 600√3×60=36000√3(cm3),所以该花灯的体积为 经k∈Z.即原不等式的解集为[经+员，经+晋) V=V1+V2=45500√3(cm3). (k∈Z),D正确.故选BCD 14.6+ln3【解析】由y=2e+x,得y=2e+1, 11.ABC【解析】对于A,由题意可作图如下： y'|,=o=2e°十1=3，故曲线y=2e十x在(0,2)处的 切线方程为y=3x十2：由y=ln(x-1)十a,得y 与，设切线与曲线y=ln(x一1)十a相切的切点为 1 （l(x,一1)十a,由两曲线有公切线得一= 由双曲线C:专-y=1,则2=8，公=1，即c 3,解得。=专，则切点为（会n子+a),故切线 √a+=3,由|MN|=6,且点M,N关于原点O 对称，则|OM=3,在△MFF2中，由OM= 方程为y-(n号+a）=3(x-号)，即y=3x-4 IOF,|=号|EF,=c,则MP⊥MF,故点M在 十ln号十a,两切线重合，则-4+lh号十a=2,解得 以F,F?为直径的圆上，故A正确：对于B,C的一条 a=6+ln3. 渐近线方程为x一2√2y=0,右顶点为(2√2,0)，所 四、解答题 以右顶点到渐近线的距离为22一22×0 15.解：1)在△BCD中，根据正弦定理可得sn2BCD BD √8+I BC 2y,故B正确：对于C,设MF1=n,MF,=, sin D' 3 即sinD=BC·sim∠BCD_2Xsin30°= 则1F1F212=十r号-2m1r2cos60°=r片十r-nr2 BD √2 2 (r1-r2)2+n2=36,所以nr2=36-(n1-r) 由∠CBD为钝角，得D为锐角， 36-32=4,所以△FM,的面积为S=名n5sm60 所以D=45°， (4分) 所以∠ABC=∠D+∠BCD=75. (6分) =√3，故C正确；对于D,设M(x,y),则点M关于 (2)因为CD=2√3，在△BCD中，由余弦定理得， 点(2,2)的对称点为点(4一x,4一y),假设该点位 BD2=BC+CD-2BC·CD·cos∠BCD=4, 于双曲线C上，则4二)-(4-y)=1,整理可 解得BD=2, (9分) 8 则∠D=∠BCD=30°， 得x=8-14,故8y14)-y=1,化简可得 8 则∠ABC=60°， 14y2-56y+47=0,由于△=562-4×14×47=504 则在△ABC中，AB=4,AC=2√5， (11分) >0,则方程有解，假设成立，故D错误.故选ABC. 三、填空题 所以△ACD的面积为S=号AC·CD·sin∠ACD 12.[4,十∞)【解析】由已知得-a≤(x2-4x)mm,其 =×2gx25xg=3w5. 2 (13分) 中x∈[1,4]，而x2-4x=(x-2)2-4≥-4，当x= 2时等号成立，所以一u≤-4，解得a≥4. 16.解：10=号×(1+2+3+4+5)=3. 13.45500√3【解析】设正棱台的高为h,则h2+ (30-20)2=(10√2)2→h=10(cm),该六棱台的两 y=号×(8+10+13+20+24)=15. 底面面积分别为S=号×30×号×6=1350w5am, 又∑(z-x)(y-)=42,∑(x,-x)2=10. S=号×20×号×6=605cm,所以该六校台 2-=18 的体积为=号(S,+S十VS·S)·A 则r= 42 42 42 V10×1844V1i5≈42.896≈0.979> ·2· 调研卷C 数学（三） 0.75, (3分) 所以OM⊥EO,OM⊥AD, 故y与x有较强的相关关系. (4分) 则以O为坐标原点，以OA,OM,OE所在直线分别 ∑(x,-x)(y一y) 为x,y,z轴建立空间直角坐标系Oxyz, (2)b= 42 =4.2, 可得B(1,4,0),C(-1,3,0),F(0,2√3) 10 (x-x)2 P(-1,1,0), a=y-b=15-4.2×3=2.4, 则C店=(2,1,0)，C市=(1，-13)，P市 故y关于x的经验回归方程为y=4.2x十2.4， (1,1,W3),B=(-1,-23), (7分) 设平面BCF的法向量为n=(x1y), 2026年7月对应的x值为10， /n·Ci=2m十y=0 则 当x=10时，y=4.2×10+2.4=44.4, nC=-y+51=0 故可估计2026年7月该款迎宾机器人的月销量为 取1=√3，可得x1=-1,y1=2, 4.44万台 (9分) 所以n=（-1,2,w3), (9分) (3)设甲、乙两商户购买迎宾机器人的个数之和为Y, 设平面PBF的法向量为m=(x2y,2), 则X=2000Y, Y的所有可能取值为0,1,2， m·B萨=-a-2y2十5x2=0 则 则PY=0)=(1-2)×(1-3)=3 m.P市=x2十y十3=0 取2=√5，可得x2=-9,y2=6, PY=1)=2×(1-3)+(1-2)x号=2 所以m=(-9,6w3), (12分) 所以cos<m,n)= m·n 24 5 mn2√2×2√30 5， EY)=0X号+1X+2x-号 (13分) 设二面角P一BF-C的平面角为0， .X的数学期望为E(X)=2000E(Y)=2000× 6 所以m-(= 5 =5000 (15分) 所以二面角P-BF-C的正弦值为 (15分) 31 5 17.解：(1)在五面体ABCDEF中，EF∥平面ABCD, 18解：1)由题意，点P(-1,),P(1,)关于y EFC平面CDEF,平面ABCD∩平面CDEF=CD, 所以CD∥EF. 轴对称， (2分) 同理可证AB∥EF, 根据椭圆的对称性且椭圆过其中的三个点可知，点 所以AB∥CD. (4分) P(-1,)和P,(1,)都在椭圆上， (2)取AD的中点O,BC的中点M,连接OE,OM, 又因为点P(1,号)与点P(1,2)不可能同时在椭 圆上 所以椭圆过点P(-1,)P(2.0)P(1,) 1 () =1 所以a b 02 易得EO⊥AD, a+=1, 因为平面ADE⊥平面ABCD,平面ADE∩平面 故a2=4,2=3, ABCD=AD,CDC平面ABCD,AD⊥CD, 所以C的方程为 (4分) 所以CD⊥平面ADE, 又DE,EOC平面ADE, (2)(1)由题意知a=2,b=√3， 所以CD⊥DE,CD⊥EO, (6分) 所以c=1, 因为OM∥CD, 设|MF,|=t,因为点M不与C的右顶点重合， ·3· 数学（三） 参考答案及解析 所以a-c≤<a十c,即1≤<3， (6分) (2)由(1)知，当x>0时，sinx<x→in2k 2 由|MF,|+|MF2|=2a=4, 2 得|MF2|=4-t, <2k+ 故|MF|·|MF2|=t·(4-t)=-(t-2)2+4, 所以m< 2 2 (8分) 台2k+1 所以当t=2时，|MF|·|MF:|取得最大值4；当 2m+=n(x号x号 …X2+1 7 2n-1 t=1时，|MF·|MF2|取得最小值3， 故|MF|·|MF2|的取值范围为[3,4].(10分) 5+ln5 +…+1n2m+ 2n-1 (i)若直线MWN的斜率不存在，则M,N关于x轴 对称，直线k,,k互为相反数，，十k2=0,不符合 2k-1 题意； 故设直线MN的方程为y=kx十t,M(x, 要证立m欢<n(2a+D, 2 y),N(x2),且M,N均不与P2重合， 2 y=kx十t 2 由无+芳得3十秋)x+8十r120 只需证欢<n瓷 (7分) △=64k2-4(3+4k2)(42-12)=48(4k2-2+ 令F)=hx+子-1：>1D. 3)>0, 则)=-是=>0 所以x1十x2= 3-是 8kt (12分) 所以F(.x)在(1，十∞)上单调递增，F(x)>F(1)= -21-2:=。=+ 又k1=当 kx1十1 0. x2-2x2-2 所以1十，=十：+k,十 所以1nx>1-子 x1-2+x2-2 =(kx十1)(x-2)+(kx2十)(-2) 令工=费+代人得<n费 2k-1成立， (x1-2)(x2-2) =2kxx2+(1-2k)(x1+x2)-4 所以空n子<h2m+Dn∈N.0分) 2 x1x2-2(x1+x2)+4 (3)当x∈(0,5)时，由fz)+3g(x)<0, 412-12 8kt k.2二（t-2R）·3+424 得4sinx-a.rcos x-十3x<0. +歌+4 令h(x)=3x+4sinx-axcos,xe(0,受） =-12(2k+1) 3 4(2k+1)2 2k+1' (15分) 则h'(x)=3十(4-a)cosx十a.rsin x. 3 令一2十-1，解得1=3-2k, 当a≤0时，因为x∈(0，受），所以arcs<≤0， 所以直线MN的方程为y=kx-2k+3=k(x-2) 此时h(x)>0,不满足题意； (12分) 十3， 当0<a≤7时，h'(x)≥3-3cosx+a.rsin x>0, 所以直线MN过定点(2,3). (17分) 故h(x)在(0，受)内单调递增， 19.解：(1)由题得g'(x)=1-cosx≥0， 所以h(x)>h(0)=0,不满足题意： (14分) 所以g(x)在[0，十∞)上单调递增， 当a>7时，令k(x)=3+(4-a)cosx十a.rsin x, 所以g(x)≥g(0)=0,当x一十o时，g(x)一十o, 所以g(x)在区间[0，十∞)上的值域为[0，十∞). xe(0,) (4分) 则k'(x)=(2a-4)sinx十a.rcos x.>0, ·4· 调研卷C 数学（三） 故k(x)在(0，受)内单调递增。 且当x∈(0，x0)时，k(x)<0, 即h(x)在(0，xa)上单调递减，h(x)<h(0)=0, 又k(0)=7-a<0,k(受）=3+>0. 2 满足题意 综上，a的取值范围是(7，十∞). (17分) 故存在x∈(0，受)使得(x)=0, ·5·