数学(4)-【衡水金卷·先享题·调研卷】2026年普通高中学业水平等级考试模拟试题数学A

调研卷A 2026年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 调研卷A·数学（四） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ⅡⅢNVM①②③④⑤⑥档次系数 1 选择题 5 集合中的交集运算 易 0.82 2 选择题 5 复数含参的运算问题 易 0.75 3 选择题 5 知值求角问题 易 0.72 4 选择题 5 由分段型函数的单调性求参 0.60 全概率公式的应用（涉及 选择题 5 0.55 情境) 选择题 5 利用圆的方程解决最值问题 中 0.50 7 选择题 5 求椭圆的离心率 中 0.32 8 选择题 5 指对同构问题（涉及导数） 难 0.28 9 选择题 6 不等式的性质 中 0.60 10 选择题 6 三角函数的实际应用 中 0.50 11 选择题 6 抛物线的焦点弦问题 难 0.28 12 填空题 5 幂函数的性质 易 0.72 利用平面向量解决参数取值 13 填空题 5 中 0.55 范围问题 14 填空题 5 几何体内多球内切问题 中 0.30 15 解答题 13 分段数列，数列求和 中 0.60 以频率分布直方图为载体，考 16 解答题 15 查正态分布，二项分布，数学 中 0.50 期望等 以旋转体为载体，求线面角， 17 解答题 15 由两平面夹角的大小求线段 中 0.40 的长 ·1· 调研卷A 数学（四） 直线与双曲线的位置关系，定 18 解答题 17 值问题，取值范围问题 L 你 0.26 利用导数证明不等式，存在问 19 解答题 17 / L 难 0.22 题，双变量问题 ·2· 调研卷A 数学（四） 参考答案及解析 数学（四） 一、选择题 、 7.B 【解析】设线段AH的中点为D,A(,y), 1.B【解析】因为A={x|(x2-1)x=0}={-1,0, 1 1),B={…,-3,-1,1,3,…},所以A∩B B(2),由题可知A(一，-)，D(x1,7) {-1,1}.故选B. 所以A店=(-1y一)，AA 2.A【解析】由题得=(1+i)(a-i)=(a+1)+(a (-2x,-2y),所以AB·AA1=-2x1(x2-) 1)i,所以|z=√(a+1)+(a-1)2=√2(a+1) =√I0,解得a=2或a=-2,因为复数之在复平面 2(2-y)=0,所以”二业=-4①.因为A1, x1-T2 y 内对应的点在第一象限，所以a=2.故选A 3 3.D【解析】由2sina十5sin。-3=0,得m。=2或sna 少=十出 D,B三点共线，所以kA,D=AB,所以2石一十 =-3合.由m。=号得(a。=吾+2或。=要十 = 3y1 4x1 ②.又因为点A,B在C上，所以 2kπ，k∈Z.故选D. 两式相减得一)（十）+ 4B【解折】由条件可知公.→-1≤a<0.放 +总=1， a2 选B. y-业)0y+)=0③，则m)y+”}= 5.C【解析】设手机是新机为事件A,故障被修复为事 6 (x1-x2)(x1十x2) 件B则P(A)=1-号=号P不)=号，P(BA) 会，将上面的式子代入得（费）·() =8,P(BA)=号，根据全概率公式，P(B) 即相-所以= 6 -1--1- P(A)P(BIA)+P(A)P (BIA)= 1 1 5 9 5 4 ,因为0<e<1,故e=2,故选B. 号-酷故选C 8.B【解析】由题得x2e2r十2lnx十(2-a)x-e<0 可转化为e2r+2r十2lnx+2x<e+ax,令g(x）= 6.C【解析】由题可知圆形广场中心O到直线x十y e十x,则有g(2lnx十2x)<g(ax),又因为由基本初 2=0的距离为d=√2，在Rt△OAP中，OA|=1, 等函数的性质可知函数g(x)单调递增，所以2nx+ 1OP1≥2，所议m∠A0=8别≤方由于 2x<a,所以，2>n',令h(x)=血，则'(x)= 2 ∠APO<受，所以可得∠APO≤T,则∠APB 1-n,令f(x)=0,得x=e,当x∈(0，e)时， h'(.x)>0,h(x)单调递增；当x∈(e,十oo)时， 2∠APO<,因为OA⊥AP,OB⊥BP,所以∠APB '(x)<0,h(x)单调递减，且x→0时，h(x)→-o∞； 与∠AOB互补，所以当∠APB=乏时，弦长AB最 一+∞时，h(x)→0，所以h(x)≤h(e)= 。,所以 小，此时∠AOB=受，AB=E.故选C “22>即。>2生2故选B 2 VA 二、选择题 9.BD【解析】对于A:当c=0时，ac3=bc3,故A错误； 对于B:因为ac2>bc2,所以c2>0,所以a>b,故B正 确；对于C:令a=1,b=-2,c=-3,符合a>b>c,而 ab=-2.6c=6,a<k,放C错误：对于D号-号 =a+8+0=么6>0，放D正确故 (b-c)b 选BD. ·1 数学（四） 参考答案及解析 10.BCD【解析】由①得：A=8,2=3,平衡位置b= 2 4(1+）,显然PF≠AB1,C错误：对于选项D: 8生兰=5，所以y=3sin(d十p+5,所以A错误：由 切线方程为y=2(x十)，得Q(0,贸）所以 ②得：周期T=12小时，故w=牙=吾，所以B正 QA1=√+(-)=G+,or1 确，所以y=3sin(+p）+5,又由③可知当1=3 √1+x,|AF1=x+1,当x1=1时，|QA|=|QF 时，y=5,代人得5=3sim(5×3+)+5→ =√2，此时△QAF为等腰三角形，D错误.故选AB. 三、填空题 sin(乏十g）=0,则交十9=x(k∈Z),即9=-牙 12.一1【解析】由题设得m一2m-2=1→(m十1)(m 3)=0,可得m=3或m=-1,当m=3时，f(x) +x(k∈Z),因为受<9<2x,所以当k=2,得9 1,不符合题意，舍去：当m=一1时，f(x)=x4,在 (0,十∞)上是减函数，符合题意，故m=一1. 要符合条件，所以C正确：所以y=3in(吾1+8经） 13.[一4,2]【解析】以A为坐标原点，射线AB,AD 分别为x,y轴非负半轴建立平面直角坐标系，则 十5=-3cos吾十5，所以D正确，故选BCD, A(0,0),D(0,2),B(2,0),C(2,2),E(2,1),AE= 11.AB【解析】设A(,y),B(x2y2),对于选项A: (2,1),AC=(2,2),AB=(2,0),设AF=1AC= 若|AF|=3|BF|,则1的斜率存在且不为零，设直 (2λ，2x),0≤A≤1，则BF=AF-AB=(2x-2,2), 线l的方程为y=k(x一1)(k≠0)，联立抛物线方程 所以1=AE·BF=(2λ-2)×2+2λ=6x-4,由0≤ 得k2x2-(2k2+4)x十k=0,△>0，所以x1+x2 λ≤1得-4≤≤2. 2k2+4 x1·x2=1,由AF1=3|BF1,即得x1+1= 14.5 4 【解析】由题可知模型的几何体结构如图所示， 3(x2十1)，由上解得k=士√3，A正确；对于选项B: 设O为大球的球心，大球的半径为R,大正四面体的 AB的中点到准线x=-1的距离为西+1十，十 底面中心为E,棱长为AB=6,高为h,CD的中点为 2 =十+1，又因为1AB1=十+2>AB F,连接OA.OB,0C,OD,OE,BF,则BE=号BF 2 2 =十十1，故圆与准线相切，B正确：对于选项 ×6=23,h=AE=V√AB-BE=26, 3 2 C:当l的斜率不存在时，因为PA⊥PB,F为AB的 :Vk=4-度子SaD·h=4X专Sa 中点，所以PF1=AF1=之1AB≠|AB,不 ·R“R=子=气，设小球的半径为小球也可 成立；当1的斜率存在时，因为点P在准线x=一1 看作一个小的正四面体的内切球，且小正四面体的 上，所以可设P(一1，t),因为PA⊥PB,所以PA· PB=0,又PA=(x1+1,y1-t),PB=(x2+1,2 商s=h-2R=5,∴r=hs=子×6= t),所以(x1+1)(x2+1)十(y-t)(y2-t)=0,因 为(+1)(x2+1)=x1x2+x1+x2+1=1+ (2+是)十1=4+是.(0m-0(-)= t(y十2)十t,而为+2=k(0-1)十k(x2-1) k知十-2)=（是）=冬为=k(a-1): k(x2-1)=[x2-(十x2)+1]=k2（1 2-是+1)=-4，所以4+是-4-是+=0， 四、解答题 15.解：(1)对奇数项：由a1=1,公差d=2, 即-+是=0，即(-)广=0，解得4=是 得a2-1=1+(k-1)·2=2k-1(k∈N”), 令n=2k-1,得an=: (3分) 此时P(-1,号)又F(1,0),而PF 对偶数项：由a2=4=2,公比q=2， 得a2=4·2-1=2+1(k∈N), V++(0-)=√+=2√1+ 1 令n=2k(k∈N),则an=2+1. (6分) n,n为奇数 1AB到=十十2=2+是+2=4十 4 综上，得a,= (8分) 2+H,n为偶数 ·2 调研卷A 数学（四） (2)前2n项包含n个奇数项和n个偶数项， 则T2m=(a1十a3十…十a2m-1)十(a2十a4十…十 所以a∠DEF-邵-9， a2m）, (9分) 即直线ED与下底面圆O,所在平面所成角的正切 奇数项为a1=1,a3=3,…,a2m-1=2n一1，构成首项 为1、公差为2的等差数列，共n项， 值多汽 (7分) 其和为S=n(a+a1)=n1+2n-1)=m. 2 (3)取AA1的中点G,连接GO, (11分) 则GO⊥O1A, 偶数项为a2=2,a4=23,…,a2m=2"+1,构成首项为 所以OG,OA,OO2两两相互垂直， 4、公比为2的等比数列，共n项， 所以分别以OG,OA,O1O2所在直线为x,y,:轴 其和为S=4二？)=2+：-4. 建立空间直角坐标系， 1-2 (12分) 所以前2n项和T2n=S春十S侧=n2+2+2一4. D ) (13分) 16.解：(1)由直方图可知，平均数4=(15×0.005+25 ×0.015+35×0.030+45×0.030+55×0.015十65 ×0.005)×10=40. (2分) 方差g2=[(15-40)2×0.005+(25一40)2×0.015 E +(35-40)2×0.030+(45-40)2×0.030+(55 G 40)2×0.015+(65-40)2×0.005)]×10=145, 则O1(0,0,0),D(0,2,2) 所以标准差。=√145. (5分) 设∠AO1E=0(0∈(0,2π)，0≠π)， (2)因为正态分布中，P(一2。≤X≤十2，)≈ 则E(4sin0,4cos0,0), 0.9545. 所以OD=(0,2,2),OE=(4sin0,4cos0,0),(9分) 即每件产品指标值在该区间内的概率约为0.9545， 设平面DO,E的法向量为n=(x,y,z), (7分) 1n·0D=0,、2y+2x=0, Y表示10件产品中符合条件的件数， 则 n.E=0,4xsin 0+4ycos 0=0, 故YB(10,0.9545), (9分) 所以E(Y)=10×0.9545≈9.5. (11分) 取=1→y=-1,x=c0s0, sin 0' (3)由直方图可知，指标值≥60的频率为0.05， 即每件产品为“优质品”的概率p=0.05.(13分) 所以a=(号-1， 设“至少有1件优质品”为事件A,则A为“没有优质 又由题可知平面O,所在平面的法向量可以取m 品”， (0,0.1), (11分) P(A)=(1-0.05)3=0.953=0.857375,(14分) 所以P(A)=1-P(A)=1-0.857375=0.142625 所以cos(n,m>=Tn·Tm n· ≈0.143， cos 0 -1,1·(0.0,1) 1 即至少有1件优质品的概率为0.143. (15分) sin 6' 17.解：(1)由题可知圆台的高等于BC的长度，即高h= cos 2 +1+1×1 cos +2 2. (1分) A sin A sin 又由题可知下底面半径=AB=4,上底面半径 所以依题有 √2I ,化简得tan20=3, r3=CD=2, cos 7 +2 所以母线长为梯形腰AD的长度为AD= W（sine/ √/(AB-CD)2+BC=√(4-2)2+22=2√2. 所以tan0=√3或tan0=-√3， (13分) (3分) (2)取AO的中点F,连接DF,EF, 当an0=3时，0=吾或经 则易知DF∥O1O2, 此时E(2√5,2,0)或E(-2√3，-2,0) 又由旋转性质可知O,O2⊥底面O, 又D(0,2,2),则DE=4或4√2： 所以DF⊥底面O, 则∠DEF为直线DE与底面O,所成的角，(5分) 当1am0=一5时.0=子或经。 由条件知∠A0,E=经，0F=号A0,=2.0,E=4, 此时E(2√5，-2,0)或E(-2√3,2,0)， 又D(0,2,2),则DE=4√2或4」 在△FOE中，由余弦定理得 综上，线段DE的长为4√2或4. (15分) FE=√0，P+0,E-20,F·0,E·cos2=2V7. 18.解：(1)由题知a=2, 3 所以E号若=1(60). ·3· 数学（四） 参考答案及解析 又由题可知点(5，)也在双曲线上， 所以S≥3v7 2 54 所以子一下=1，解得=3， 即△ON面积的取值范国为[兰，+小.17分 19.解：(1)令h(x)=f(x)-e+1=(x-1)e+1, 所以E的方程为号-苦-1 (3分) 所以h'(x)=xe, (1分) 由h'(x)=0,可得x=0. (2)(1)由题可设直线1的方程为x=my十√7， 当x∈(-o∞，0)时，h'(x)<0,函数h(x)在 M(x,y),N(2y2), (一∞，0)上单调递减， 2-=1 当x∈(0，+∞)时，h'(x)>0,函数h(x)在 联立了43 得(3m2-4)y2+6√7my+9 (0,十0∞)上单调递增， (3分) x=my+√7 所以h(x)≥h(0)=0, =0, 即f(x)-e+1>0, 3m2-4≠0，△=252m2-36(3m2-4)=144(m2+ 所以f(x)≥e-1得证. (4分) 1)>0, (2)由题得xe十k≤x-xlnx, 6√/7m 9 即k≤x-xnx-xe, y+y2= 3m-41h=3m2-4' (5分) 令=-n:-rerE[是2]， 则|y-y2|=√(y+y)2-4y2 所以y(x)=l-lnx-1-e-xe=-lnx-e(1+ V) X哥 x), (5分) 令m(x)=Y(x), (7分) 因为MF2|=√1+m|为|， 则m'(x)=-1 -e(x+2)<0, x |NF2|=√1+m2|1, 则7)在[日，2]小上单调递减， (7分) 1 1 所以TMET+TNF 则yx)<y(日）=1-e-e<0. 1 1 √1+m2|y|√1+m2|y2 所以在区间[日2]上单调造减。 =,1·4+=1 √/1+m y1yz √1+m yy2 所以当x=是时，Xx)取最大值7()=。-。× e 1 .12m+▣.3m-4=4 In 1-1xet=2-ei (8分) √1+m 3m2-4 9 e 1 即TMRT+TNT为定值号 (10分) 所以长2-e是 e, 1 (i)Saw=2·|OF,|·y- 实数k的取值范围是(-∞，2-e上】 e (10分) -一×w×哥-6×哥 (3)由题可知p(x)=2x十a.x2+xlnx, 3m2-4 所以由9(x)有两个零点x1,x2, (12分) 得2x1十a.x+x1ln1=0,2x2十ax号十x2lnx2=0, 因为（与E的右支交于两点， 得-a=2+ln西=2+ln2 (11分) 9 所以为为=3m-4<0, 因为x2>3x1,令z2=tx1(>3), 得m< (13分) 则2+lh4_2+ln运-2+ln()_2+h+lna, 令=Vm+(1√）则m=f-1. 故=2+2=-2 t-1 所以s=67×3-)=4=67×7-'3 则n=lh(a)=h+1n=n+-2= 6w7 tnt一2 (15分) t-1 所以1n()=n五十n=-2+-2 又=-3在[1√ 上单调递减， =+1)lnL-4, (13分) t-1 ·4 调研卷A 数学（四） 令m()=1)l血1-4(>3)， t-1 号(4-3h3)=号he-h3)>0, -2h+- 所以m'(t)>0,则w(t)在(3，十∞)上单调递增， 则w'()= (1-1)2· 所以m4)>u(3)=3-4=ln号， 2 令k)=-2h+1->3 所以n(x2)>ln, 9 则0=-2+1+-二+1-《>0 212 12 即0>名得证 故w>9 (17分) 所以(t)在(3，+∞)上单调递增， 所以k0>k(3)=-2h3十3-号= ·5·2026年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 数学（四） 本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在 答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.已知集合A={x(x2-1)x=0},B={xx=2-1,n∈Z},则A∩B= A.{0} B.{-1,1》 C.{0,1》 D.{-1,0} 2.已知复数之=(1十i)(a一i)(a∈R),若之=√10，且复数之在复平面内对应的点在第一象限，则 a的值为 A.2 B.-2 C.-2或2 D.3 3.已知2sin2a十5sina一3=0，则a的取值集合为 A.{aa=吾+2kr,k∈Z B.aa=-F+2kx,k∈Z 3 C@a=-吾+2x或a=看+2km,k∈Z 6 D.aa-语+2kx或a=看+2xk∈7 2,x<0, 4.若函数f(x)= 在（一∞，十∞）上单调递减，则实数a的取值范围为 a.x2+a2,x≥0 A.(0,1] B.[-1,0) C.(0,1) D.[-1,1] 5.某手机品牌售后中心统计显示，当购买时间在1年以内的新机，手机出现故障后被修复的概率 为号，当购买时间超过1年的旧机，手机出现故障后被修复的的概率为号，售后中心每天接待的 旧机概率为，某天一位用户带着手机来维修，则该手机出现故障被修复的概率为 A B岩 C34 45 n号 6.某城市规划中，要在以坐标原点为中心，方程为x2十y2=1(单位：千米)的圆形广场周边设置隔 离设施.广场旁有直线x十y一2=0（单位：千米）代表的道路，从道路上任一点P向广场边缘作 两条切线PA,PB(A,B为切点)的道路，弦AB段将安装防护栏.为节约成本，防护栏AB的最 小值为 A.2 B.√3 C.2 D.1 数学（四）第1页（共4页） 衡水金卷·先 7.已知A,B为椭圆C:若+若-1(a>>0)在第一象限中的两点，直线AB与直线OA垂直(0为 坐标原点)，点A在x轴上的投影为H,点A关于原点O的对称点为A1,若直线AB平分线段 AH,则C的离心率为 A B号 e n号 8.当x>0时，x2e2r十2lnx十(2-a)x-er<0,则a的取值范围为 A.(e) B.(2+2e,+∞）》 e c(-,2) n.(-∞，2结) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知a,b,c∈R,则下列说法正确的是 A.若a>b,则ac3>bc3 B.若ac2>bc2,则a>b C.若a>b>c,则ab>bc D.若>a>0>0.则8+>分 10.某港口的海浪高度随时间变化，规律近似满足y一Asn(十p)+(A>0,w>0,受<9<2,1为时 间，单位：小时，=0对应凌晨0点).且满足下列条件：①一天内海浪高度最高为8米，最低为2米， ②相邻两次最高高度间隔时间为12小时，③凌晨3点时海浪高度为5米.则下列正确的有 A.A=5,b=3 B.w-吾 c.9-受 D.y=-3c0s81+5 11.已知抛物线C:y=4x的焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点(A,B不重合)，O为坐标 原点，则 A.若|AF|=3BF|,则直线I的斜率为士√3 B.以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切 C.若点P在抛物线C的准线上，且PA⊥PB,则|PF=|AB D.过点A作抛物线C的切线交y轴于点Q,则△QAF不可能为等腰三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知幂函数f(x)=(m2一2一2)xm-3在(0，十∞)上单调递减，则实数m= 13.在边长为2的正方形ABCD中，E为BC边的中点，F是对角线AC上的动点（含端点），若t= AE·BF,则t的取值范围为 14.某棱长为6的正四面体零件的结构模型中，中间大球为正四面体的内切球，其余四个顶点所在 的空间放大小相同的小球，并使小球与大球及正四面体的三个面均相切，则该模型中一个小球 的半径为 享题·调研卷 数学（四）第2页（共4页） 囚 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知数列{an}的前n项和为Sm,满足a1=1,a2=4.当n为奇数且n≥3时，an=am-2十2；当n 为偶数且n≥4时，am=2·am-2: (1)求数列{am}的通项公式； (2)求数列{an}的前2n项和T2m. 16.(本小题满分15分) 某工厂为提高产品质量，对一批产品的某项指标进行检测，得到容量为200的样本数据，其频 率分布直方图如下： 个频率 0.030/组 0.015---- 0.005 A 010203040506070x 已知该指标值X近似服从正态分布N(4,σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差 (计算时每组数据以区间中点值为代表) (1)求和o; (2)若从该批产品中随机抽取10件，记指标值在[μ一2。，十2σ]内的产品件数为Y,求Y的数 学期望E(Y);(精确到0.1) (3)若指标值不低于60的产品为“优质品”，现从该批产品中随机抽取3件，用频率估计概率， 求至少有1件“优质品”的概率.（精确到0.001） 参考数据：若X~N(u,o2),则P(μ-o≤X≤4十o)≈0.6827，P(μ-2o≤X≤μ十2o)≈0.9545， P(4-3o≤X≤4+3o)≈0.9973.0.953=0.857375. 数学（四）第3页（共4页） 衡水金卷 17.(本小题满分15分) 在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AB∥CD,AB=4,BC=2,CD=2.将梯形ABCD绕BC 所在直线旋转一周，得到一个圆台OO2(下底面为圆O,上底面为圆O2,O,O2分别为B,C旋转 后的对应点)，点E为下底面圆O1的弧上的点. (1)求圆台的高及母线长； (2)若∠A0,E-,求直线ED与下底面圆O,所在平面所成角的正切值： (3)若平面D0,E与底面O,的夹角的余弦值为写，求线段DE的长. D D 18.(本小题满分17分) y2 已知点(2,0)在双曲线E:1(a>0,b>0)上，E的左、石焦点分别为E,F,过 点(5,0)的直线与x轴垂直，且交双曲线于点A,B,AB=√3. (1)求E的方程； (2)设过F2的直线I与双曲线E的右支交于M,N两点. 1 （i)求证：TMF+NF,为定值： (ⅱ)O为坐标原点，求△OMN面积的取值范围. 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=xe,g(x)=x一xlnx. (1)证明：f(x)≥e-1; (2)若存在x∈[&，2]，使得不等式f)十≤g()成立，求实数及的取值范周： (3)若(x)=3r十ar2-g(x)aeR有两个零点，且>3，i证明：V>3. 先享题·调研卷 数学（四）第4页（共4页） A