甘肃酒泉市敦煌中学等校2025-2026学年高二下学期学情检测数学试题

2026年高二下学期学情检测 数学参考答案及评分意见 1.C【解析】由题意，书架上共有9本不同的书，从中取出2本，有C=36种不同的取法.故选C. 2A【保标]因为/)=所以了=2-班，所以(}-竖-×号-号-图故选A 3.B【解析】因为用数字2,3,4,6组成的没有重复数字的三位数是偶数，所以个位上的数字只能是2,4,6，有3种 排法；其他数位没有限制，有A=6种排法.由分步乘法计数原理，得偶数的个数是3×6=18.故选B. 4.C【解析】因为A=6×5×4=120,3A=3×6×5=90,所以A≠3A,故A错误. 因为c@c-淡×5X =10×20=200,所以C号·C≠400，故B错误。 因为C9X8X84,C8X1X656,C8X728,所以C=C+C.故C正确 1×2×3 1×2×3 因为C-0X9Xg=120,G=4×X0,所以c≠4C故D错误放选C 5.B【解析】因为AC=AB+AD,AB1=AB+AA1,所以AC·AB1=(AB+AD)·(AB+AA1)=AB2+AD· AB+AB.AA1+AD·AA1.因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1是直四棱柱，所以AA1⊥AB,AA1⊥AD,所以 A店.-A市.A-0.因为AB=AD=2,∠BAD-,所以A市·A店-2X2X0s=-2.所以AC. AB1=AB2+AD.AB=4-2=2.故选B. 6.D【解析】因为f(x)=-x2+4x+6lnx,x>0,所以f'(x)=一2x十4+6=-2(x十1)(x-3) x 令f'(x)<0,得(x+1)(x-3)>0,解得x<-1或x>3.因为x>0,所以x>3,即函数f(x)的单调递减区间为 (3,十∞).故选D. 7.D【解析】经过4秒，机器人N来到舞台中心，即机器人N移动4次来到舞台中心，则机器人N需要有2次向 西移动，剩下的2次为东西各1次或南北各1次，所以路径共有CC+C=16条，故A错误。 经过1秒，机器人M与N的距离为√2米，则一个机器人在东西方向移动，另一个机器人在南北方向移动.若机器 人M东西方向移动，则机器人M向东移动，机器人N向南或向北移动，有2种情况；若机器人M南北方向移 动，则机器人M向南或向北移动，机器人N向西移动，有2种情况.所以经过1秒，机器人M与N的距离为√2米 的情况有2十2=4种，故B错误。 经过2秒，机器人M与N首次相遇，即机器人M与N各移动2次首次相遇，分为两类：①在机器人M或N的 起始位置相遇，②在其他位置相遇对于①，一个机器人向东或向西移动2次，另一个机器人移动2次回到原地. 若机器人M移动2次回到原地，则机器人M第一次向南、向西或向北移动，机器人N向西移动2次，有3种情 况；若机器人N移动2次回到原地，则机器人N第一次向东、向南或向北移动，机器人M向东移动2次，有3种 情况.所以有3+3=6种情况.对于②，相遇位置为机器人M和N起始位置中点的正北或正南1米处，机器人M 向东、向北（南）移动，机器人N向西、向北（南）移动.机器人M先向北再向东移动时，机器人N有2种情况；机 器人M先向东再向北移动时，机器人N有1种情况；共有3种情况.同理，相遇位置在正南时，也有3种情况，所 以有3十3=6种情况.综上，经过2秒，机器人M与N首次相遇的情况有6十6=12种，故C错误 经过2秒，机器人M与N的距离为2米（未相遇），即机器人M与N各移动2次距离为2米（未相遇）， ④数学答案第1页（共6页） 分为两类：①机器人M与N这2次移动步调完全一致，有4×4=16种情况. ②机器人M与N移动步调不一致，移动2次都回到原地.若机器人M在南北方向移动，则机器人M有2种情 况，机器人N有3种情况；若机器人M在东西方向移动，则机器人N有5种情况. 综上，经过2秒，机器人M与N的距离为2米（未相遇）的情况有16+2×3十5=27种，故D正确.故选D. 1 8.A【解析】因为f(x)=(x-1)e-3ax3,x∈R,所以f'（x)=xe-ax 由题意，得f'(x)=0有两个不同的根， 由f'(x)=xe-ax2=x(e2-ax)=0,得x=0或e2-ax=0. 因为。-aX0=1,所以方程a=有一个根 设g(x)=C,则函数g(x)的图象与直线y=a只有一个交点. g'(x)=De,当z∈(-0,0)时，g()<0,gx)单调递减， 当x∈(0,1)时，g'(x)<0,g(x)单调递减； 当x∈(1，十∞)时，g'(x)>0,g(x)单调递增. 因为当x∈(-∞，0)时，g(x)<0,当x∈(0，+∞)时，g(x)>0,且g(x)在(0，+∞)上的最小值为g(1)=e, 又函数g(x)的图象与直线y=a只有一个交点，所以a∈(-∞，0)U{e. 当a=e时，e一ax≥0恒成立，当且仅当x=1时，等号成立，所以f(x)只有一个极值点x=0,不符合题意. 当a∈(-∞，0)时，函数h(x)=e-a.x单调递增，当x→-o∞时，h(x)→-∞，h(0)=1, 所以存在x。<0,使得h(xo)=0,则f'(x)=0的两根为0和x 当x<xo时，h(x)<0,f'(x)>0,当xo<x<0时，h(x)>0,f'(x)<0,当x>0时，h(x)>0,f'(x)>0, 所以0和x。是f(x)的两个极值点，符合题意，所以实数a的取值范围为（一∞，0）.故选A. sπ_ 9.BC【解析设d,d,)=0若0c[0,]则0=音cosd,d)=cos吾-受： 若9e(任小则-osdd,=co管-综上，6osd,d)的可能值为士故法以 10BCD【解析】对于A,小球相同、盒子不同，不允许有空盒子.用隔板法，将5个小球分成3组，不同的放法有 C?=6种，故A错误， 对于B,小球相同、盒子不同，允许有空盒子，用隔板法.相当于有7个位置，2个位置放隔板，5个位置放小球，不 同的放法有C号=21种，故B正确. 对于C,小球不同、盒子不同.第一步，选出1个盒子放3个小球.选盒子，有C=3种选法；选小球，有C=10种 选法.故有3×10=30种放法.第二步，把剩余的2个小球放入余下的2个盒子，有A?=2种放法.由分步乘法计 数原理，得不同的放法有30×2=60种，故C正确. 对于D,小球不同、盒子相同.根据题意，每个盒子里球的个数有3,1,1和2,2,1两类情况 第一类，选3个小球放入其中1个盒子，剩余的2个小球放入余下的2个盒子，则不同的放法有C=10种；第二 类，选1个小球放人其中1个盒子，剩余的4个小球平均分成2组放人余下的2个盒子，则不同的放法有C× 代15种，由分类加法计数原理，得不同的放法有10+625种，故D正确，故选北CD @数学答案第2页（共6页） 1,ACD【解折J当a=1时，fx)=nx-x+2,x>0,则fx)=1-nx-1=二x-1nx+1.因为f1)=0, 2 f(1)=1,所以曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y=1,切线与x轴平行，故A正确， 令g(x)=-x2-lnx+1,x>0,则g'(x)=-2x-<0恒成立，所以g(x)在(0，+∞)上单调递减.因为 g(1)=0,所以当0<x<1时，g(x)>0,则f'(x)>0,所以f(x)在(0,1)上单调递增；当x>1时，g(x)<0,则 f'(x)<0,所以f(x)在(1，十∞)上单调递减，故B错误. 迪以上分析知，f(z)在x=1处取得极大值，为f)=1.因为当x→0时，f(x)→-0，f3)=?31<0, 所以函数fx)的图象与直线y=2有2个交点，即方程f(x)=2有2个根，故D正确 当a=0时，f(x)=ln+2,x>0,则f'(x)=1-lh工.当0<<e时，f'(x)>0,当x>e时，f(c)<0,所以 x2 f)在0，e上单调递赠，在(e,十∞)上单周递减，所以f()在x=e处取得极大值，为f(⊙=+2，故C正 确.故选ACD. 2③ 【解析】因为m=(1,0,0),n=(-3,3,-3),所以cosm,n〉=Tm71×V-3》+3+(-3) m·n -3 3 ,所以平面。和B所成角的余弦值为 √3 3 13.-2【解析】(1十ax)6的展开式的通项为T,+1=C6×16-'×(ax)r=C6a'x',r=0,1,2,3,4,5,6.由题意，得 C%a5=6a5=-192,解得a=-2. 14.(-∞，2]【解析】因为f(x)=x-e-aln(x+1)+1,所以f'(x)=1+e-a=z+1)1+e)-a x+11 x+1 由题意，得f(x)≥0在[0，十∞)上恒成立，所以a(x十1)(1+e-x),x≥0. 设g()=(x+1)1+e),x≥0，则g'(x)=(1+e)-(x+1)e=1-xe=e- 设m(x)=e2-x,x≥0，则m'(x)=e-l≥0恒成立，所以m(x)在[0，十∞)上单调递增， 所以m(x)≥m(0)=1>0.所以g'(x)>0,则g(x)在[0，+∞)上单调递增， 所以函数g(x)的最小值为g(0)=2,所以a≤2，即实数a的取值范围为（一∞，2]. 15.证明：因为555=(56-1)5=C8×565+C6×5654×(-1)+C号×5658×(-1)2+…+C酷×56×(-1)54+ CX(-1)5=56X(5654-C6X5653+C号6X5652-…+55)-1,…6分 所以555+9=56X(5654-C55X5653+C%X5652-…+55)+8.… …8分 因为56能被8整除，8能被8整除， 所以56×(5654一CX5653+C×5652一…十55)+8能被8整除， 即5555十9能被8整除。………13分 16解：(1)由题意得，三位教师都要负责活动，且有一位教师负责1项活动，其他两位教师各负责2项活动. …1分 第一步，选一位教师负责1项活动.从三位教师中选1人，有3种选法；为这位教师分配负责的活动，有5种不同 的分配方案.所以有3X5=15种不同的分配方案.…3分 ④数学答案第3页（共6页） 第二步，为剩下的两位教师分配活动.从剩下的4项活动中，选2项分配给剩下的两位教师中的一位，有C=6 种不同的分配方案；最后2项活动分配给另一位教师，有C号=1种不同的分配方案.所以有6×1=6种不同的分 配方案。…5分 由分步乘法计数原理，得共有15X6=90种不同的分配方案.…7分 (2)由题意得，教师甲负责1项活动，教师乙、丙共负责4项活动。…8分 第一步，为教师甲分配活动.从5项活动中选1项分配给教师甲，有5种不同的分配方案.…9分 第二步，为教师乙、丙分配活动.由题意，教师乙可能负责1项、2项或3项活动。 ①当教师乙负责1项活动时，教师丙负责3项活动，有C×C=4种不同的分配方案。 ②当教师乙负责2项活动时，教师丙负责2项活动，有C×C?=6种不同的分配方案. ③当教师乙负责3项活动时，教师丙负责1项活动，有C×C=4种不同的分配方案。 由分类加法计数原理，得教师乙、丙共有4十6十4=14种不同的分配方案.…13分 由分步乘法计数原理，得共有5X14=70种不同的分配方案.…15分 证明：如图，在CD上取一点G,使得CG三之GD,连接EG,FG, 因为点E,F分别在PC,BD上，且CE-BF=3, EP FD2' 所以在△PCD中，器品.所以EG∥PD, 又因为EG中平面PAD,PDC平面PAD,所以EG∥平面PAD.…3分 CG BF 在△BCD中，GDFD,所以FG/BC, 因为BC∥AD,所以FG∥AD, 又因为FG中平面PAD,ADC平面PAD,所以FG∥平面PAD.…5分 因为EG∩FG=G,EG,FGC平面EFG,所以平面EFG∥平面PAD. 又因为EFC平面EFG,所以EF∥平面PAD. …7分 D立 (2)解：在等腰梯形QBCD中，因为BC∥QD,QD=6,QA=AB=BC=2,所以AB⊥QD. 所以在四棱锥P-ABCD中，AB⊥PA,AB⊥AD. 因为平面PAB∩平面ABCD=AB,所以∠PAD即为二面角P-AB-D的平面角，所以∠PAD=60°. 因为PA∩AD=A,PA,ADC平面PAD,所以AB⊥平面PAD.…9分 以点A为原点，AB,AD所在的直线分别为x,y轴，过点A且垂直于平面ABCD的直线为之轴， 建立如图所示的空间直角坐标系 因为AD=2PA=4,所以A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,4,0),P(0,1,W3).…10分 m·AB=0, 设平面PAB的法向量为m=(x,y,z),则 m·Ap=0. ④数学答案第4页（共6页） 12x=0 因为AB=(2,0,0),AP=(0,1,W3),所以 y+3x=0. 取之=√3，则x=0,y=一3，所以m=(0,一3，√3).… …12分 邵配-2-萨-励 设E(x1y1,之1)，F(x2y2,z2), 3 则(x1-2,y1-2,21)=3（-2,-1w5),(x2-2y2z2)= (-2,40, 52=0, 所以成-0,1,33 …14分 5 设EF与平面PAB所成的角为0， 9 则sin0=cos(m,E京=m·E克 5 2√39 mEF 2w3×213 13, 5 所以EF与半面PAB所成角的正致值为2 ……15分 18.解：(1)因为f(x)=ex+1-mx,x∈R,所以f'(x)=-ex+1-m.…2分 当m≥0时，f'(x)<0恒成立，所以函数f(x)在R上单调递减.…. …4分 当m<0时，解f'(x)=0,得x=1-ln(-m). 因为函数f'(x)在R上单调递增， 所以当x∈(-∞，1一ln(-m)时，f'(x)<0,函数f(x)在(-∞，1-ln(一m))上单调递减； 当x∈(1-ln(-m),+o∞)时，f'(x)>0,函数f(x)在(1-ln(-m),十∞)上单调递增.…7分 综上，当m≥0时，函数f(x)在R上单调递减；当m<0时，f(x)在(-∞，1一ln(-m)上单调递减，在(1一 1n(一m),十0∞)上单调递增.…8分 (2)当m>0时，由(1)知∫(x)在R上单调递减， 当x→十∞时，f(x)→-∞，与题意不符.… …10分 当m=0时，f(x)=ez+1>0恒成立。…11分 当m<0时，由(1)知f(x)在(-∞，1-ln(-m))上单调递减，在(1-ln(-m),+∞)上单调递增， 所以当x=1一ln(-m)时，f(x)取得极小值，也是最小值， 最小值为f(1-ln(-m)=e1--m+1-m[1-ln(-m)门=-m[2-ln(-m)门.…14分 由题意，得-m[2-ln(-m)]≥0，所以2-ln(-m)≥0，解得0<-m≤e2, 所以-e2≤m<0.… …16分 综上，实数m的取值范围为[-2,0们.…17分 19.解：(1)因为f(x)=x2lnx,x>0,则f'(x)=2xlnx十x=x(21nx十1).…1分 解f'(x)=0,得x=e言. 当x∈(0，e)时，f'(x)<0,f(x)单调递减； ④数学答案第5页（共6页） 当x∈(e言，十o∞)时，f'(x)>0,f(x)单调递增.…4分 所以函数f(x)的单调递减区间为(0，e),单调递增区间为(e言，十o∞).…5分 (2)由题意，得g(x)=f(x)+x=x(xlnx+1),x>0, 所以函数g(x)的零点个数即函数h(x)=xlnx十l,x>0的零点个数. …6分 h'(x)=lnx+1,解h'(x)=0,得x=e1. 当x∈(0，e1)时，h'(x)<0,h(x)单调递减； 当x∈(e1,+o∞)时，h'(x)>0,h(x)单调递增. 所以当x=e1时，函数h(x)取得极小值，也是最小值.……8分 因为h(e1)=一e1十1>0，所以h(x)>0恒成立，所以函数g(x)的零点个数为0.…9分 (3)因为△OAB为等腰直角三角形，且OA⊥OB,所以直线AB即直线l的斜率为1或一1.…10分 由(1)得，f'(x)=2xlnx+x=x(2lnx十1)， 所以f'(xo)=xo(2lnx0+1)=士1.… ………11分 因为f"(x)=2(1nx+1)+1=2lnx+3, 所以当x∈(0，e)时，f"(x)<0,f'(x)单调递减； 当x∈(e,十∞)时，f"(x)>0,f'(x)单调递增. 所以当x=e时，函数f(x)取得极小值，也是最小值.……13分 因为f'(e)=e立×(2lnez+1)=-2e>-1,所以f'(xo)=1,即xo(21nxo+1)=1.…14分 令lnx。=m,m∈R,则x。=em,方程xo(2lnx。十1)=1可化为em(2m十1)=1.…15分 因为e">0,所以2m十1>0，解得m>-1」 2 设pe)=e(2x+1）-1>7 则p'(x)=e(2x十1)+2e=e*(2x+3)>0恒成立， 所以p(x)单调递增. 因为p(0)=0,所以m=0,则xo=1. 因为f'(1)=1,f(1)=0,所以直线1的方程为y=x-1. 此时，A1,0),B0,-1),所以△0AB的面积S=号×1X1=2 …17分 ④数学答案第6页（共6页）2026年高二下学期学情检测 数学试题 注意事项： 57 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在 本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.书架上有5本不同的小说和4本不同的散文，随机取出2本，则不同的取法有3( A.10种 B.20种 C.36种 D.72种 2.已知函数fe)=osz,则了() A号受 号+ 8 C./2 D.r_/2 82 3.用数字2,3,4,6组成没有重复数字的三位数，其中偶数的个数是 号( A.24 B.18 C.12 到 D.6 1(1 个法性花.1，十 )8皆( 4.下列各式正确的是 ,直( A.A8=3A8 B.C号·C=400 C.C=C+C D.Clo=4C ,( 5,已知直四棱柱ABCD-A,BC,D,的棱长均为2，∠BAD-行，则C,A可- A.4 B.2 C.-2 D.-4 6.函数f(x)=-x2+4x+6lnx的单调递减区间为 A.(-c∞，-1) B.(0,3) C.(-∞，-1)和(3，+∞) D.(3,+∞) ①第1页（共4页） 7在舞台上，智能机器人随着音乐节拍，每秒随机向正东、正西正南正北四个方向之一移 动1米，仿佛在跳一支充满不确定性的“随机舞”，开始时，机器人M在舞台中心，机器人 N在舞台中心正东方向2米处.下列说法中正确的是 液 A.经过4秒，机器人N来到舞台中心的路径有12条 1的013名 B,经过1秒，机器人M与N的距离为2米的情况有2种 C经过2秒，机器人M与N首次相遇的情况有6种牛，小：共本：器答，画 D.经过2秒，机器人M与N的距离为2米（未相遇）的情况有27种. 8已知函数f(z)=(-1De-号ax恰有两个极值点，则实数e的取值范围为 A.(-∞，0) B.(-∞，0)U{e} C.(e) D.(e,+∞) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知异面直线l1山，所成角的大小为，设，1的一个方向向量为d,的一个方向向量 为d2,则cos(d,d,)的可能值为 A号 、B c-9 -月 10将5个小球放人3个盒子中，则下列说法正确的有 A若小球相同、盒子不同，且每个盒子至少放1个球，则不同的放法种数为12 B若小球相同、盒子不同，且允许有空盒子，则不同的放法种数为21 C,若小球不同、盒子不同，且恰有1个盒子放3个球，其余盒子至少放1个球，则不同的 放法种数为60 D.若小球不同、盒子相同，且每个盒子至少放1个球，则不同的放法种数为25 11.已知函数f(x)=血工-ax+2,则下列说法正确的有 x A.当a=1时，曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行 B.当a=1时，f(x)在(0,1)上单调递减 C,当a=0时，f(x)的极大值是+2 D.当a=1时，方程fx)=2有2个根 ①第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知平面a3的法向量分别为m=(1,0,0),n=(一-3、3、+3)，则平面。和B所成角的余 弦值为 13.已知(1+ax)的展开式中x5的系数为-192，则a=2、 14.已知函数f(x)=x-e-aln(x十1)+1(x≥0)单调递增，则实数a的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)用二项式定理证明555+9能被8整除.入24 格材南。，食宽农茶批游金+华信武合通 海章大通隐…远行 上时， 16.(15分)某校为丰富学生的业余活动，开设了5项不同的活动，由甲、乙、丙三位教师负责. (1)若每位教师至多负责2项活动，每项活动有且只有一位教师负责，共有多少种不同的 分配方案？ 且.示盒， (2)若每位教师至少负责1项活动，教师甲只负责1项活动，每项活动有且只有一位教师 ,负责，共有多少种不同的分配方案？ 运汗，词示.同证 是去 州出得岁堂心学牛，同游，公张A司 ×为以白 牙2品5生，【形 孩撕学竹)1，天山 ,共 对 @第3页（共4页） 17.(15分)如图，在等腰梯形QBCD中，BC∥QD,QD=5,QA=AB=BC=2,现将△QAB 沿直线AB翻折，使得点Q到点P处，得四棱锥P-ABCD.点E,F分别在PC,BD上， 器部 场海 (I)求证：EF∥平面PAD: (2)若二面角P一AB一D的大小为60°，求直线EF与平面PAB所成角的正弦值. 只，中地源得寄。肤产、代”小，乙一器 18.(17分)已知函数f(x)=er+1-mx,m∈R. (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)若f(x)≥0恒成立，求实数m的取值范围. 19.(17分)已知函数f(x)=xlnx,直线L为曲线y=f(x)在点(xo,f(xo)处的切线. (1)求函数f(x)的单调区间： (2)设g(x)=f(x)十x,求函数g(x)的零点个数； (3)若直线l与x轴、y轴分别交于点A,B,且△OAB为等腰直角三角形(O为坐标原 点)，求△OAB的面积. 学举地姿这时、一一、淡近， ①第4页（共4页）