精品解析：上海市第四中学2025-2026学年第二学期高一数学期中考试卷

2025学年第二学期高一数学期中考试卷 （满分：100分，答题时间：共90分钟） 一、填空题（每题3分，共36分） 1. 若任意角的终边经过点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由三角函数的定义即可求解. 【详解】点到坐标原点的距离， 由三角函数的定义可知：. 2. 扇形半径为6，弧长为4，则面积为________． 【答案】12 【解析】 【详解】由题意扇形，弧长， 代入公式计算得： . 3. 函数的最大值为______. 【答案】2 【解析】 【分析】运用三角函数的辅助角公式将函数解析式化简即可得到答案． 【详解】, 的最大值是, 故答案为:. 4. 已知，则__________.（用反余弦表示）. 【答案】 【解析】 【分析】根据反余弦函数可得. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 5. 函数的单调递增区间是______. 【答案】 【解析】 【分析】令，然后解不等式即可求解． 【详解】令，解得 . 【点睛】本题主要考查类正切函数的单调区间的求解问题，属基础题． 6. 余弦函数在上的零点为________． 【答案】 【解析】 【详解】根据余弦函数的图象和性质可知， ， . 7. 在△ABC中，，，，则△ABC的外接圆半径为________ 【答案】## 【解析】 【分析】运用正弦定理及余弦定理可得解. 【详解】根据余弦定理： ， 得， 由正弦定理△ABC的外接圆半径为. 故答案为:. 8. 若函数的图象关于直线对称，则实数______________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用辅助角公式对函数解析式进行化简，然后根据三角函数图象的性质可知，在对称轴处取得最值，即可列出方程，解方程即可求出结果. 【详解】， 因为函数的图象关于直线对称，所以函数在处取得最大值或者最小值， 所以当时，， 因此，即， 两边同时平方得，解得， 故答案为：. 9. 函数的部分图象如图所示，其中，，．则的解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的图象，求出函数的周期及，进而求出，再逆用五点法求出，即可得到结论． 【详解】由图象得，，即周期，即， 所以，又，所以函数的解析式为. 10. 若及是关于的方程的两个实根，则实数的值为____________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据根与系数关系并利用同角三角函数值之间的基本关系可求得结果. 【详解】利用方程的根与系数关系可得， 又，即， 解得或， 当时，，不合题意； 当时，原方程的根为，在区间内，符合题意； 故答案为： 11. 已知函数是奇函数，且，，又，则实数t的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件求出周期为，可得，求得t的取值范围. 【详解】因为为奇函数，所以，所以， 又因为，所以，， 所以是周期函数，周期为， 所以， 因为，所以，即，， 根据单位圆中的三角函数线可得：，， 故答案为： 12. 已知函数，若满足（a、b、c互不相等），则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】作出函数图象，根据三角函数图象的对称性得，解得，进而得答案. 【详解】根据题意，作出函数图象， 不妨设， 根据三角函数的对称性得与关于对称， 所以， 另一方面,，即， 所以. 二、选择题（每题3分，共12分） 13. 下列函数中，周期为的奇函数是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数的周期公式及奇函数的定义，结合诱导公式和二倍角公式逐项分析即可求解. 【详解】对于A，根据图象可知，函数的定义域为R，， 所以以为周期的偶函数，故A错误； 对于B，，，函数的定义域为R，，所以以为周期的偶函数，故B错误； 对于C，，，函数的定义域为R，， 所以以为周期的奇函数，故C错误； 对于D，，函数的定义域为关于原点对称， 且， 所以以为周期的奇函数，故D正确. 故选：D 14. “，”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据两者之间的推出关系可得条件关系. 【详解】若，则， 若，则，不能推出 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 15. 将函数的图像向上平移1个单位，得到的图像，若，则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由的最大值和可知，的最小值即为的最小值周期，然后可得. 【详解】由题知，， 因为，所以， 因为的最大值为1，所以， 所以的最小值即的最小值周期， 所以. 故选：D 16. 已知，函数在区间上最小值为，在区间上的最小值为变化时，下列不可能的是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，举例说明，结合正弦函数的性质排除不可能的选项作答. 【详解】因为函数的最小正周期是，因此只需考查离原点最近的右侧一个周期内的区间即可， 当时，，，而，， 因此在上的最小值，在上的最小值，A可能； 当时，，， 因此在上的最小值，在上的最小值，B可能； 当时，，， 因此在上的最小值，在上的最小值，D可能； 对于C，若，则， 若，则区间的长度，并且且， 即且与矛盾，所以C不可能. 故选：C 【点睛】结论点睛：闭区间上的连续函数既有最大值，又有最小值. 三、解答题（17题8分，18题10分，19题10分，20题10分，21题14分，共52分） 17. 已知. （1）求和的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据角的范围，利用同角的三角函数的平方关系，可求得答案； （2）将变为，利用两角差的正弦公式求得答案. 【小问1详解】 由于，故； 而，则， 故； 【小问2详解】 . 18. 已知的内角所对的边分别为，且满足． （1）判断的形状； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）等腰三角形 （2） 【解析】 【分析】（1）通过正弦定理边化角，结合，得到，即可判断； （2）由余弦定理结合（1）求得，再由三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】 由正弦定理，得，， 代入 得：  ， 又，故， 代入上式整理得： ，  因为，所以，即， 则是等腰三角形 【小问2详解】 因为， 所以 ，​  由（1）知， 根据余弦定理， 代入得： ，​ 解得， 故三角形面积. 19. 已知函数，． （1）求函数的单调递增区间； （2）若函数在区间上有两个不等实根，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简，然后由正弦函数的单调性即可求解； （2）将问题转化为函数与的图象有两个交点，数形结合可得. 【小问1详解】 ， 令， 解得， 所以函数的单调递增区间为. 【小问2详解】 由得， 当时，， 所以， 作出函数在的图象，如图： 由函数与的图象有两个交点， 得，即，即实数的取值范围为. 20. 某医院发热门诊改造，如图，原发热门诊是区域，可利用部分为扇形区域，，米，米，区域为三角形，区域为以为半径的扇形，且. （1）若需在区域外轮廓设置隔离带，求隔离带的总长度; （2）在区域中，设置矩形区域作为便民门诊，求便民门诊面积最大值. 【答案】（1）（米） （2）（平方米） 【解析】 【分析】（1）根据已知求得，再利用弧长公式求出弧的长即可求解； （2）连接，设，结合已知条件分别求出的值，表示出矩形的面积，化简后利用正弦函数的性质即可求出最大值. 【小问1详解】 因为，，， 所以， 则， 所以弧的长为， 所以隔离带的总长度为（米）. 【小问2详解】 连接，如图: 设， 因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以 ， 因为， 所以， 当即时取得最大值. 所以便民门诊面积最大值为（平方米）. 21. 已知函数，若存在实数m、，使得对于定义域内的任意实数x，均有成立，则称函数的“可平衡”函数，有序数对称为函数的“平衡”数对． （1）若，求函数的“平衡”数对； （2）若，判断是否为“可平衡”函数，并说明理由； （3）若、，且，均为函数的“平衡”数对，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 若，是“可平衡”函数.理由如下： 设为的“平衡”数对，则. 当且仅当，即时，恒成立， 即成立. 所以是“可平衡”函数. （3） 【解析】 【分析】（1）根据“平衡数对”定义建立方程，根据恒成立求解即可； （2） 时，利用两角和与差的余弦公式化简可得是“可平衡”函数； （3）根据“平衡数对”的定义将用关于的三角函数表达，再利用三角函数的取值范围求解即可. 【小问1详解】 若，则由题意可得，对于内的任意实数x，均有成立， 即对成立，所以. 所以函数的“平衡”数对为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 若、，且，均为函数的“平衡”数对， 则， 所以. 由，得，，， 所以. 所以的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期高一数学期中考试卷 （满分：100分，答题时间：共90分钟） 一、填空题（每题3分，共36分） 1. 若任意角的终边经过点，则________． 2. 扇形半径为6，弧长为4，则面积为________． 3. 函数的最大值为______. 4. 已知，则__________.（用反余弦表示）. 5. 函数的单调递增区间是______. 6. 余弦函数在上的零点为________． 7. 在△ABC中，，，，则△ABC的外接圆半径为________ 8. 若函数的图象关于直线对称，则实数______________. 9. 函数的部分图象如图所示，其中，，．则的解析式为________． 10. 若及是关于的方程的两个实根，则实数的值为____________. 11. 已知函数是奇函数，且，，又，则实数t的取值范围为________． 12. 已知函数，若满足（a、b、c互不相等），则的取值范围是________． 二、选择题（每题3分，共12分） 13. 下列函数中，周期为的奇函数是（　　） A. B. C. D. 14. “，”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 将函数的图像向上平移1个单位，得到的图像，若，则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 16. 已知，函数在区间上最小值为，在区间上的最小值为变化时，下列不可能的是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 三、解答题（17题8分，18题10分，19题10分，20题10分，21题14分，共52分） 17. 已知. （1）求和的值； （2）求的值. 18. 已知的内角所对的边分别为，且满足． （1）判断的形状； （2）若，，求的面积． 19. 已知函数，． （1）求函数的单调递增区间； （2）若函数在区间上有两个不等实根，求实数的取值范围． 20. 某医院发热门诊改造，如图，原发热门诊是区域，可利用部分为扇形区域，，米，米，区域为三角形，区域为以为半径的扇形，且. （1）若需在区域外轮廓设置隔离带，求隔离带的总长度; （2）在区域中，设置矩形区域作为便民门诊，求便民门诊面积最大值. 21. 已知函数，若存在实数m、，使得对于定义域内的任意实数x，均有成立，则称函数的“可平衡”函数，有序数对称为函数的“平衡”数对． （1）若，求函数的“平衡”数对； （2）若，判断是否为“可平衡”函数，并说明理由； （3）若、，且，均为函数的“平衡”数对，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $