甘肃酒泉市敦煌中学等校2025-2026学年高一下学期4月学情检测数学试题

2026年高一下学期学情检测 数学参考答案及评分意见 1.A【解析】与开角终边相同的角的集合是口Q=+2kπ，k∈乙故选A 2.C 【解析)BA+BC-DC-DA=BA+BC+CD+AD=(BA+AD)+(BC+CD)=2BD.故选C. 3.C【解析】因为A=石，a=5,6=4,可得osin A=4×2-2,所以6sinA<a<b, 可得满足条件的三角形有2个.故选C 4D【解折1因为)=2sim工和y=一560sx在0，]上均单调道蜡，所以fz)在0,5】 π 上单调递增 所以fx)=f()=2sin-5cos=2,f)=f0=2sin0-5cos0=-5, 故f(x)的值域为[-5,2].故选D. 5.B【解析】由题意知，m≥9，m∈N.数据有7个，将数据从小到大排序，7×75%=5.25， 则该组数据的第75百分位数为第6个数据，所以m≤14. 所以9≤m≤14，m∈N*,则m的可能取值有9,10,11,12,13,14，共6个.故选B. 6.B【解析】由sinA:sinB:sinC=3:6:7及正弦定理，得a:b:c=3:6:7. 因为△ABC的周长为32，即a十b+c=32,所以a=6,b=12,c=14,p=16. 所以△ABC的面积S=√16×(16-6)×(16-12)×(16-14)=16√5.故选B. 7.D【解析】设2026年2月到该地旅游的游客总人数为a. 由题意，游客中老年人、中年人、青年人的人数分别为0.2a,0.35a,0.45a, 其中选择自助游的老年人、中年人、青年人的人数分别为0.04a,0.0875a,0.135a. 对于A,0.45a=225,解得a=500,即一共调查的游客人数是500人，故A正确； 对于B,估计2026年2月到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的13.5%，故B正确； 对于C,设中年人应轴取z人，依题意得品号5解得=21，即中年人应输取21人，故C正确， 对于D,因为2026年2月到该地旅游且选择自助游的游客的人数为0.04a十0.0875a十0.135a=0.2625a,其中 青年人的人数为0.135a,所以选择自助游的游客中青年人超过一半，故D错误.故选D. 8.B【解析】因为三个力平衡，所以F1十F2十F3=0,所以F3=一(F1十F2). 所以E,=里，+，=B+2E,·+F=+2X1X2x+28=疗N, 1 F1·F=F(-F1-F,)=-E2-P1·F,=-1-1X2X2=-2, F1·F3-22√7 设F,与F,的夹角为0，则os0=F1F7 7 因为8∈[0，，所以s血0=-cs0=-号-V放连B 9.ABD【解析】对于A,若a是第二象限角，则90°+k·360°<α<180°十k·360°，k∈Z, 所以45+e·180<号<90+&·180，k∈Z @数学答案第1页（共5页） 当及为偶数时，号是第一象限角；当及为奇数时，？是第三象限角。 所以？是第一象限角或第三象限角，故A正确。 对于B,若。是第四象限角，则-1<sina<0.因为-受<-1<0，所以cos(sina)>0,故B正确。 对于C,若a·b=0,则a·|bcos(a,b)=0,所以|a|=0或b=0或a⊥b,故C错误. 对于D,因为向量a与b的夹角为锐角，所以·bx>0, 2(x-2)-1≠0 解得x>0且x≠8，所以x>0"是a与b的夹 角为锐角”的必要不充分条件，故D正确故选ABD. 10.AD【解析】不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6≤x7≤x8≤xg≤x10,则x1=1,x10=10. 因为玉14e,与，的中位数都是5，所以m=,放A正确 当x2=x1=1,xg=x10=10时，t=9,故B错误。 i=21-5)2+(x:-5)++(x0-5)2-16+(x:-5)2+…+x,-5)2+25 10 10 >,+Cx2一5)2+x8-5)2+…+xg二5)≥41 10 ≥10，故C错误。 由已知得(x1-5)2+(x2-5)2+…+(x10-5)2=10s. 因为(x1-5)2=16,(x10-5)2=25,所以(x2-5)2+(x3-5)2+…+(x9-5)2=10s-41, 所以余下8个数据的方差s2=10.1,所以4s:=5sf-20.5<5s1,放D正确.故选AD. 8 1.ACD【解析】对于A,B6-B元+Cò-BC+2C-B心+号(B-Bd)=B+BC,故A正确 对于B,由A知，Bd=2B+2BC,则A成·Bò-A·(2BA+2BC)=-号A+2A店.BC -2A店-号B·B心=-号×4-2X2×2×c0s60--2-1=-3,故B错误。 对于C,由题意得，B-5,则向量A店在向量B心方向上的投影向量为A应、C.B0 BOBO =一3·B6=-Bò，故C正确。 (3)2 对于D,因为0-0，所以B,0,P三点共线，且B01=有，O=1,所以B时-Bd+O市-(+1]8d, 又因为动-试+记斯以号+'对 √3 3 +1 2BA+3 2 BC. 因为x=3+1 ,一y3+) ,质以十-百+1-放D正滴放法ACm 2.(ē) 【解析】因为向量a=(2,4),b=(1,-8),所以a十b=(3,-4),则与向量a十b方向相同的单位向 量的坐标为 ”(层动 @数学答案第2页（共5页） 【解析】因为x∈(0,2]，所以ωz- 因为函数f(x)=2c0sar一)在区间0,2]上有零点，所以2m一≥分，则w≥受，所以w的最小值为受 14.3+86 5 解析】因为AB=1,AC=4,所以由正弦定理A,得nC-4B1 得n8-AC-4所以smC=imB. 因为cosB+2sinC-1,所以2snC=1-c0sB.所以子inB=1-cosB,即sB=2-2cosB. 又因为sinB+cos2B=1,所以(2-2cosB)2=sinB=1-cos2B, 整理得5cos2B-8cosB十3=0，即(5cosB-3)(cosB-1)=0. BE(0,x),所以-1<c0sB<1,所以c0sB-1≠0.所以5c0sB-3=0,即c0sB AC2=BC2+AB2-2BC·ABcos B,得BC°。E 36 [6±25F4X1×-15) 解得BC= 3士8√6 2 5 因为BC>0,所以BC=3+86 51 15.解：(1)f(a)= sin(2x-a)cos(x+a)tan(2x-a)(-sin a)(-cos a)(-tan a) =tana.…5分 9π sina sin(a-x) cos a(-sin a) (2)因为f(a)=一2，所以tana=-2, sin acos a tan a -2 所以sin acos a= sin'a+cos'a tan'a+1(-2)+1 5…8分 所以(sn&-s)r=sma十osa一2 sin=1-2×(号)-号 …11分 因为sinac=一号a∈(0，，所以a∈ 2 分x小，所以sina>0,cosa<0,即sin&-c0sa>0 3√5 所以sina-cosa= 5 13分 16.解：(1)因为向量2a一tb与向量a十2b共线，则存在实数入， 使得2a-tb=入(a十2b)=入a十2入b,……4分 2=λ， 所以 獬得t=一4.……………… …7分 -t=2λ， (2)因为a=b,且a与b的夹角为3， 2π 所以a-b2=a-b)2=a2+(b)2-2a·b=(1+2)a2-22al·b1cos2 3 =(1+t2+t)a2= ++ …13分 所以当t=一 时，a一b取得最小值。 1 ……15分 17.解：(1)由频率分布直方图得， ④数学答案第3页（共5页） 平均数x=10×(80×0.006+90×0.026+100×0.038+110×0.022+120×0.008)=100.…4分 (2)设中位数为x.由10×(0.006+0.026)=0.32<0.5， 0.32+10X0.038=0.7>0.5,所以95<x<105.…6分 所以0.32+0.038(x-95)=0.5,解得x≈99.74. 所以样本成绩的中位数为99.74分。… …9分 (3)第一组[75,85)的样本容量m=100×0.006×10=6,x1=80,s=4, 第二组[85,95)的样本容量n=100×0.026×10=26,x2=88,5号=6， 所以合并后的平均数2-6X80十26X8=86.5, …12分 6+26 6 26 则s2=6十26[4+(80-86.5)2]+6十26[6+(88-86.5)]=15.375.… 15分 18解：1)油正孩定理ABsC-2R,得a-6a十e)-66-c, b 即b2十c2-a2=b, …3分 由余弦定理，得csA-+口，所以60sA-纸-号 1 2bc 因为A∈(0，)，所以A=交」 5 (2)由SAABC= 2bcsin A=1h 2 3,得6c16.因为b=2,所以c=8.… 因为角A的平分线交边BC于点E,所以∠BAE=∠CAE=君 又因为SAABC=S△ABE十S△ACE, 所以-AEe·i∠aAE+号AE6n∠CAE=号AEe·日+号AE6~号AE, 所以AE=8V 5 …10分 (3)因为D在边BC上，满足BD=2CD, 所以BD-2D心，所以Ad-店=2心-A,所以Ad=A店+号AC… …12分 所以A市=号A店+号A+普A店·AC, 则A市：=号店+AC:+普A·ACcs行， 即公-+音6+6es-++号 4 4 ge·b≥2X 96+ 2 2 W99 9c·6= 36e, 所以4≥号，即c≤6， 当且仅当c= 即C号2b=23时取等号.……………… 所以sa-女如A-热血君-<×6-， 2, ④数学答案第4页（共5页） 即△ABC的面积最大值为 …17分 19.解：1)因为函数f(x)=sin(ax十p)图象相邻对称轴之间的距离是受， 所以写-，所以T=,所以径-T=,解得w=2,所以f)=n(2z十p以.…2分 将fx)的图象向左平移至个单位长度，得到函数gx)=sin[2(+)十]-sim2x+名+9)的图象。 因为函数g)为偶函数，所以若+g=受十kπ（∈ZD. ……4分 因为0<9<，所以g=行，所以fx)=sin2x+ …5分 （②)令2张-受≤2x+≤2kx+EZ0.解得长x经≤r<kx+臣∈Z: 令2x+号<2+营≤2x+受∈D,解得x+音<：x+径ED. 放函数f:)的单调递增区间为[kx一登kx+]∈刀，单调递诚区间为[kx十多x十]∈2)，。 …………8分 因为zDm],所以当&=0时，函数fG)的单调递指区间为0，引，单润道减X间为[后 …10分 又因为函数f)在区间[0，m]上不单调，所以m>瓷，即实数m的取值范围为（危+∞ …11分 8)因为xe[吾，]，所以2x+管∈[-吾]，所以f)c[合小 ……13分 令i=fe[-1],则[fx)-f)-10ze[-至]恒成立， 等价于g）=2-L-10∈[-号，1恒成立.…14分 函数g(t)=t2一t一1是关于t的二次函数，函数图象开口向上，恒过定点(0，一1). 由二次函数图象的性质可知，要使g)=一-1<0,1∈[]恒成立， ()-（)-×()10, 只需 ………16分 g(1)=12-n×1-1≤0， 解得0<≤号，故实数n的取值范固为[0，】 …17分 ④数学答案第5页（共5页）2026年高一下学期学情检测 数学试题 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在 本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.与角终边相同的角的集合是 A0ee=+2kxt∈z B0=要+xe2 四(1 C.foja-2kr-35Ez 2.BA+B元-D元-DA- 城 A.0 B.CD C.2BD D.2AC 3在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为ab,c若A-君a-厅，6=4，则满足条件的 三角形有 A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个 4.函数f(x)=2sinx-5cos :<到的值坡为 A.[-5,5] B.[-3,3] C.[-2,5] D.[-5,2] 5.已知一组数据：9,12,14，m,11,9,18(m∈N)中的最小数据为9，且第75百分位数是14， 则m的不同取值可能有 A.8个 B.6个 C.4个 D.1个 6.海伦公式是利用三角形的三条边的边长a,b,c直接求三角形面积S的公式，表达式为： S=pp-ap-bp-Q,p=++,它的特点是形式漂亮，便于记忆.已知周长 2 为32的△ABC满足sinA:sinB:sinC=3:6:7,则△ABC的面积为 A.18V5 B.16√5 C.16 D.87 ①第1页（共4页） 7,随着生活水平的不断提高，旅游已整成为人们生语的一带分.某地旅游部门从2025年2 月到该地旅游的游客中随机抽取部分游客进行调查，得到答年翰登游客的人数比例和各 年龄段中自助游的比例，如图，则下列说法错误的毫 自助游比率。 青年人 20 20 中年人 35% 0老年人中年人者年人年静段 A.若调查的游客中青年人有225人，则一共调查了500人 B.估计2026年2月到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的13.5% C用分层随机抽样的方法对所调查游客进行抽样，若老年人有12人，则中年人有21人 D.估计2026年2月到该地旅游且选择自助游的游客中青年人不超过一半 8.已知平面上的三个力F,F,F,作用于一点，且处于平衡状态.若F,=1N,F一 2N,F,与F,的夹角为行则E,与F,夹角的正弦值为 A29 C.、27 D、 7 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列说法正确的是 A若Q是第二象限角，则？是第一象限角或第三象限角 B.若a是第四象限角，则cos(sina)>0 C.若a·b=0,则|a|=0或|b|=0 D.若向量a=(x一2,1)，b=(1,2),则“x>0”是“a与b夹角为锐角”"的必要不充分条件 10.有一组样本数据x1,x2,,x1o,其平均数为5，方差为，中位数为m.在这组数中，去掉 一个最大的数10和一个最小的数1，余下8个数据的中位数为m,方差为s,极差为：，则 A.m=n B.t<9 C.s<4 D.4s<5s 11.已知△ABC为边长为2的等边三角形，O为AC的中点，点P为△ABC外一点，且 0币-号可，则下列说法正确的是 AB0-B函+BC B.AB·B0=3 1 C,向量AB在向量BO上的投影向量为-BO D若萨=成+，配，则+y- 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12若向量a=(2,4),b=(1,一8)，则与向量a十b方向相同的单位向量的坐标为 13.已知函数fx)=2or一w>0在区间0,2]止有零点，则w的最小值为 14.在△ABC中，AB=1,AC=4,cosB+2sinC=1,则BC的长为 ①第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知函数fa)=sin(2m-a)cos(r+a)an(2x-a sin 9π (2+a小sin(a-x) (1)化简f(a)； (2)若f(a)=-2,且a∈(0，r),求sin acos a及sina-cos&的值. 站职节图活，状 16.(15分)设a,b是两个不共线的向量，t∈R, 只指U子四f (1)若向量2a一-b与向量a+2b共线，求t的值；t4:了3 (2)若1a1=b1,且a与b的夹角为红则当：为何值时.a-b1的值最小？ 施好甲处监国空仪老：头，农调小品，留小无共就不：湖的微， 华惊。卧闻汉代，代存核巡普金，为琴自台倒 出苗说风 17.(15分)近日，省足球青训中心建成投用，某校为了解学生对足球的热爱程度，随机抽取 100名学生对足球的“喜爱度”进行评分，将样本的成绩分成[75,85)，[85,95)，[95， 105),[105,115),[115,125]这五组，得到如图所示的频率分布直方图.，·n (1)估计样本成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；命 (2)求样本成绩的中位数（结果保留两位小数），号 (3)已知落在[75,85)内的平均成绩是80分，方差是4，落在[85,95)内的平均成绩是88 分，方差是6，求两组成绩合并后的平均数z和方差s2. 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为m,x1,5;n,x2,s,记两组数据 总体的排本平均数为，则总体的样本方老一+(G一门十十十 (x2-2)2]. 频率/组距 0.038 +长说的 0.026 0.022 ←1共.谷元联小香8888 ★4D划9吧.(0758595105115125分数分 ①第3页（共4页） 18,(17分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(a一c)·(sinA+sinC)= (b一c)·sinB. (1)求角A的值， 费 (2)若△ABC的面积为43，内角A的平分线交边BC于点E,b=2,求AE的长： (3)若D为边BC上一点，满足BD=2CD,且AD=2,求△ABC面积的最大值. 是其 火主好州 时水3华湿2 公：点快行中 只中阅瑞个码吊出海然小护答登是，金方的心每器68出品·送， 安可营就低一深 ,得 19.(17分)已知函数f(x)=sin(wx十p)(w>0,0<p<π)的图象相邻对称轴之间的距离是 受将f:)的图象向左平移个单位长度，得到g《:)的图象对应的函数为偶函数 (1)求函数f(x)的解析式； (2)若函数f(x)在区间[0，m]上不单调，求实数m的取值范围： 《3)若vz∈[}都有[小-f)-10.求实数n的取值范阻。 球营 个设知 0, 处1说 0,e-,q 0,3-0, 盘资年袋百部月，中4台联：卧没注吹与 本游西控：下4 【 表在尖公出2猫0欧袁·注成静用交分病 三g”以当小 民导，：示合员公面 T4( ①第4页（共4页）