4.5 垂线 1教学课件2025-2026学年湘教版数学七年级下册

该初中数学课件围绕“垂线”展开，涵盖定义、表示方法及性质，通过转动木条的相交线模型引入，引导学生观察角的变化，从相交线的邻补角、对顶角知识自然过渡到垂线概念，搭建学习支架。 其亮点在于问题驱动与多元推理，以“角的度数计算”问题培养数学眼光，三种证明方法发展推理能力，规范几何语言表达数学关系。例题结合实际情境，帮助学生理解应用，教师可利用清晰流程提升教学效率。

4.5 垂 线（1） 在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b,当b的位置变化时,a、b所成的角α也会发生变化. a b α b b b b 情景引入 那么当∠AOC＝90°时，∠BOD、∠AOD、∠BOC等于多少度？为什么？ 解：当∠AOC＝90°时，∠BOD=∠AOD=∠BOC=90°. A B C D O 新课讲授 ∵∠AOC=90°， ∠AOD和∠BOC都是它的邻补角 ∠BOD是它的对顶角 ∴∠AOD=∠BOC=90°(邻补角互补) ∠BOD=90°(对顶角相等) 知识要点 垂直定义： 两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直. 注意：两条线段互相垂直是指这两条线段所在的直线互相垂直. 由此得到 垂直的表示方法 如果直线AB与直线CD垂直，那么可记作：AB⊥CD（或CD⊥AB） 如果用l、m表示这两条直线，那么直线l与直线m垂直，可记作：l⊥m（或m ⊥ l）. 把互相垂直的两条直线的交点叫作垂足（如图中的O点）. A B C D O l m 知识要点 垂线的基本性质 如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，AB⊥CD，垂足为O. 几何语言： ①判定：∵∠AOD=90°,（已知） ∴AB⊥CD.（垂直的定义） 反之，若直线AB与CD垂直,垂足为O，那么∠AOD=90° ②性质：∵ AB⊥CD ,（已知） ∴ ∠AOD=90° （垂直的定义） (∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°) 知识要点 请同学们思考:在同一平面内，两条直线垂直于同一条直线，这两条直线平行吗？为什么？ b⊥a,c⊥a b∥c ？ 猜想：垂直于同一条直线的两条直线平行. 在同一平面内，m⊥h,n⊥h，试说明：m∥n. 解法1：如图， ∵m⊥h ，n ⊥h （已知） ∴∠1= ∠2 = 90° (垂直的定义) ∴m∥n(同位角相等，两直线平行) 我们一起来证明一下 h m n 1 2 在同一平面内，m⊥h,n⊥h，试说明：m∥n. 解法2：如图， ∵ m⊥h,n⊥h(已知) ∴∠1=∠2=90°(垂直定义) ∴m∥n(内错角相等，两直线平行) h m n 1 2 在同一平面内，m⊥h,n⊥h，试说明：m∥n. 解法3：如图， ∵ m⊥h,n⊥h(已知) ∴∠1=∠2=90°(垂直定义) ∴ ∠1+∠2=180° ∴m∥n(同旁内角互补，两直线平行) h m n 1 2 知识要点 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行. 几何语言： ∵ b⊥a,c⊥a(已知) ∴b∥c(垂直于同一条直线的两条直线平行.) 在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线垂直于另一条. 证明：∵ l⊥a(已知) ∴∠1=90°(垂直定义) ∵a∥b(已知) ∴∠2=∠1=90°(两直线平行，同位角相等) ∴l⊥b 例.在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行直线中的一条直线，那么这条直线与另一条直线有何关系？ 如图：在同一平面内，如果m//n，h⊥m，那么直线h与直线m有何关系？试证明. h m n 1 2 例题讲解 例1 在如图的简易屋架中，BD，AE，HF都垂 直于CG，若∠1=50°，求∠2的度数. 解　因为BD，AE都垂直于CG， 所以 ∠BDC= ∠AEC=90° 所以 BD∥AE (同位角相等，两直线平行). 从而 ∠2=∠1=50°(两直线平行，同位角相等). 例题讲解 例2 如图，已知CD⊥AB，∠1=∠2， 求∠BEF的度数. 解　因为CD⊥AB， 所以∠BDC=90° 又因为∠1=∠2， 所以CD∥EF (同位角相等，两直线平行). 即∠BEF=∠BDC=90°(两直线平行，同位角相等). 1.在同一平面内三条不同的直线a、b、c，其中a⊥b，a⊥c，则直线b与直线c的关系是(    ) A. 相交 B. 平行 C. 垂直 D. 不确定 2.直线AB//CD，直线EF与AB，CD分别交于点E，F，EG⊥EF.若∠1=58°，则∠2的度数为(     ) A. 18° B. 32° C. 48° D. 62° 巩固练习 B B 3.如图，直线AB与CD相交于点O，过点O作OE⊥AB，若∠1=34°,则∠2的度数是(     ) A. 68° B. 56° C. 65° D. 43° 4.如图.直线a∥b，直线L与a、b分别交于点A，B，过点A作AC⊥b于点C.若∠1＝50°，则∠2的度数为（  ） A. 130°                B. 50°                  C. 40°              D. 25° 巩固练习 B C 5. 如图，直线AB，CD相交于O，EO⊥CD， ∠BOE=60°，求∠AOC的度数. 答： 因为EO⊥CD 所以∠EOD=90°， 又∠BOE=60°， 所以∠BOD=90°-∠BOE=30°. 所以∠AOC = ∠BOD =30°(对顶角相等). 6. 如图，DA⊥AB，CD⊥DA，∠B=56°，求∠C. 答： 因为CD⊥DA，DA⊥AB， 所以AB∥CD (在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行). 所以∠B+∠C=180°(两直线平行，同旁内角互补). 又因为∠B=56°， 所以∠C=180°-56°= 124°. 课堂小结 这节课你的收获是什么？ $