专题07 探索规律（思维导图+必备知识&考点清单+分层训练）江苏专用-2026年小升初二轮复习真题培优讲练

该小学数学小升初复习讲义聚焦探索规律专题，涵盖数字、图形、算式、周期等核心考点，通过导图指引构建思维框架，知识清单梳理通用解法，考点讲练强化解题技能，分层训练夯实基础与拓展拔尖，帮助学生系统掌握规律探索方法。 亮点在于母题精讲与举一反三结合，如通过连续奇数和的规律培养抽象能力，图形变化规律题发展几何直观，分层训练设计满足不同学生需求。既提升学生观察、推理与模型意识，又为教师提供精准教学路径，有效对接小升初实战考点。

2026年小升初数学二轮复习之必备知识考点清单真题汇编讲练•江苏专用 专题07 探索规律（必备知识&二轮复习+考点清单） 【原卷版】 内●容●导●航 第一部分 导图指引 构建思维框架。明确攻坚方向 第二部分 知识清单 洞察考点考向，提炼通用解法 知识点01 数字中的规律 知识点02 图形中的规律 知识点03 算式中的规律 知识点04 数形结合的规律 知识点05 周期规律 知识点06 找规律问题常见策略 第三部分 考点讲练 重点难点分析，强化解题技能 考点序列 考点名称 考点一 算式的规律（整数） 考点二 算式的规律（分数） 考点三 整数排列的规律 考点四 小数排列的规律 考点五 分数排列的规律 考点六 图形的变化规律 考点七 数表中的规律 考点八 简单覆盖规律 考点九 通过操作实验探索规律 第四部分 分层训练 基础能力夯实，思维拓展拔尖 导●图●指●引 知●识●清●单 知识点01 数字中的规律 知识必备 1.一组数中，在相邻的两个数的和、差、倍、商（比）的关系中发现规律； 2.一组数中，每个位置上的数分别是它所在位置序号的平方或者立方； 重要提示：根据规律找到空缺的数后注意与前后数运用规律检验 知识点02 图形中的规律 知识必备 1.根据图形的排列特点，找出图形的排列规律，通常有对称、结合、按顺时针（逆时针）旋转变换..... 2.可通过观察、分析、猜想等方法探索 知识点03 算式中的规律 知识必备 1.先要真正观察算式与结果的特点，再根据规律计算出这一类算式结果 2.可运用计算器计算，发现得数的规律。 知识点04 数形结合的规律 知识必备 1.通过考虑图形的排列、次序与数的排列规律，解决实际问题 2.可将“形”转化为“数"，再探索变化规律。 知识点05 周期规律 知识必备 1.找出图形或数字依次重复出现的现象，从而找出规律解决问题 2.关键是找准周期，并了解每个周期的构成。 知识点06 找规律问题常见策略 知识必备 1．根据每组相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数； 2．根据相隔的每两个数的关系，找出规律，推断出所要填的数； 3．善于从整体上把握数据之间的联系，从而很快找出规律； 4．数之间的联系往往可以从不同的角度来理解，只要言之有理，所得出的规律都可以认为是正确的。 5.对于几列数组成的一组数变化规律的分析，需要我们灵活地思考，没有一成不变的方法，有时需要综合运用其他知识，一种方法不行，就要及时调整思路，换一种方法再分析； 6.对于那些分布在某些图中的数，它们之间的变化规律往往与这些数在图形中的特殊位置有关，这是我们解这类题的突破口。 重要提示：对于找到的规律，应该适合这组数中的所有数或这组算式中的所有算式. 考●点●讲●练 考点一 算式的规律（整数） 母题精讲（25-26六年级上·江苏盐城·期末）下图可以解释为：从1开始的连续奇数的和等于一个数的平方。如，那么( )2；( )。 举一反三（24-25六年级下·江苏扬州·期中）刘刚在人工智能课上编写了一个计算小程序，输入一个数，小程序通过计算会输出另一个数（如图）。根据这个计算小程序完成下列各题。 (1)输入数6会输出数( )，输入数( )会输出数25。 (2)小程序的运算规律是什么？用你喜欢的方式写出来：( )。 考点二 算式的规律（分数） 母题精讲（25-26六年级上·江苏南京·期中）观察下列算式，找出规律并计算。 （1） …… （2）根据规律计算：（    ）。 举一反三（25-26六年级上·江苏连云港·期中）先找规律，再填空。                            ( )。 考点三 整数排列的规律 母题精讲（25-26六年级上·江苏宿迁·期末）如图，圆上有九个点，这九个点将圆分成九等份（每一份称为一段弧长），把这九个点按顺时针方向依次编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，若从某一点开始，沿圆周顺时针方向行走，点的编号是数字几，就走几段弧长，则称这种走法为一次“移位”。如：小明在编号为3的点，那么他应走3段弧长，即从3→4→5→6为第一次“移位”，这时他到达编号为6的点，然后从6→7→8→9→1→2→3为第二次“移位”。若小明从编号为1的点开始，沿顺时针方向，按上述“移位”方式行走，当“移位”2026次时，小明到达圆弧点编号为( )。 举一反三（2025·江苏苏州·小升初真题）找规律：1，1，2，3，5，8，13，( )……，前100个数中奇数有( )个。 考点四 小数排列的规律 母题精讲按规律填数：，0.1，15%，，( )，( )。 举一反三找规律填数：80%，0.75，70%，0.65，( )，( )，( )。 考点五 分数排列的规律 母题精讲（24-25六年级下·江苏连云港·期中）瑞士数学教师巴尔末成功地从光谱数据中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门，按这个规律写出的第6个数是( )。 举一反三（24-25六年级上·江苏南京·期末）一名叫巴尔末的数学教师成功从光谱数据，，，，…中得到用于氢原子谱线波长的经验公式，从而打开了光谱奥秘的大门。按照这种规律，第7个数据是( )。 考点六 图形的变化规律 母题精讲（25-26六年级上·江苏扬州·期末）依据如图的规律，如果三角形有7层，涂色部分表示为；如果三角形有层，涂色部分表示为。 举一反三（24-25六年级上·江苏南京·期末）用棱长1厘米的小正方体摆长方体，像下面这样摆下去。 （1）把下表填写完整。 小正方体的个数 1 2 3 …… 摆成长方体的表面积/ 6 （    ） （    ） …… （2）当摆6个小正方体时，摆成的长方体的表面积是（    ）平方厘米；摆成的长方体表面积是62平方厘米时，一共摆了（    ）小正方体。 （3）像这样用个小正方体摆成的长方体表面积是（    ）平方厘米。 考点七 数表中的规律 母题精讲（25-26六年级上·江苏宿迁·期末）有一种数学游戏叫“数独”，其“四宫”规则如下：如图（1），在一个4×4正方形网格中，根据已知数字，在其他所有剩余的空格上填入1－4的数字，1－4每个数字在每一行、每一列和每一宫（4×4正方形网格被中间粗线分成的四个区域）中都出现且只出现一次，不重复。 (1)仔细观察图（2）和图（3），表中汉字分别表示的数字是： 春( )    节( )    愉( )    快( ) (2)图（4）是和“四宫”规则类似的“六宫”游戏，请写出表中汉字表示的数字： 我( )   爱( )   数( )   学( ) 举一反三（25-26六年级上·湖南益阳·期末）下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，M的值是（    ）。 A．60 B．72 C．86 D．98 考点八 简单覆盖规律 母题精讲如下图是今年6月的月历卡，用“十字形”月历卡里的日期数去框出5个数．框出的5个数和最大的是( )，最小的是( )，一共可以框出( )种不同的和． 举一反三下图是一张中国象棋的棋盘，可以看成是由8×9个方格组成的． （1）若的位置是(0，4)，你能指出的位置吗？     （2）从现在的位置，下一步可能走到什么位置？这样的位置有几个？请指出它们的坐标．     （3）若对方的不动，至少需要几步才能吃掉对方的，请在棋盘上画出马的行进路线，并标出每一步的落点坐标． 考点九 通过操作实验探索规律 母题精讲（24-25六年级下·江苏南京·期中）数学上，我们把连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线。第一次操作：画出三角形的三条中位线，就会得到4个互不重叠的三角形；第二次操作：画出中间三角形的三条中位线，就会得到7个互不重叠的三角形；……。齐齐按照这样的操作，能得到13个互不重叠的三角形，他操作了___________次。如果这样操作n次后，能得到___________个互不重叠的三角形（用含有n的式子表示）。 举一反三用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点，叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形，设格点多边形的面积为S，它各边上格点的个数和为。 （1）如上图所示中的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数和的对应关系如下表，请写出S与之间的关系式，答：S＝（    ）。 多边形的序号 ① ② ③ ④ …… 多边形的面积 2 （    ） 3 （    ） …… 各边上格点的个数和 4 5 6 （    ） …… （2）请你再画出2个格点多边形，使每个多边形内部都有而且只有2个格点。 此时所画的各个多边形的面积S与它各边上格点的个数和之间的关系式S＝（    ）。 （3）请你继续探索，当格点多边形内部有且只有个格点时，猜想S与有怎样的关系？请直接写出结果。 分●层●训●练 【基础能力夯实】 1．（25-26六年级上·江苏宿迁·期末）小明在某月的日历上圈出相邻的三个日期a，b，c，并求出它们的和为33，这三个日期在日历上的排列不可能是（    ）。 A． B． C． D． 2．（2025·江苏苏州·小升初真题）如图，摆一个三角形要用3根小棒，摆2个三角形要用5根小棒，那么摆a个三角形要用（    ）根小棒。 A．3a B． C． D． 3．（23-24六年级上·江苏泰州·期中）在“，，，…”中，按照这样的顺序排列下去，下一个数是（    ）。 A． B． C． D． 4．（23-24六年级下·江苏盐城·期末）观察下面用火柴棒摆的正方形，摆20个这样的正方形需要火柴棒（    ）根。 A．60 B．61 C．80 D．90 5．（24-25六年级上·山西临汾·期中）找规律写数。 ，，，，( )，( )。 ，，，，( )，( )。 6．（2024·江苏常州·小升初真题）探索与发现。 数学中，我们经常用平移、旋转等方式将不规则图形转化成规则图形。观察如表中每组图形与算式的变化，你有什么发现？ 图形 …… 算式 1×3＋1＝22 2×4＋1＝32 3×5＋1＝42 … 根据发现的规律填空： (1)4×6＋1＝( )2，16×18＋1＝( )2。 (2)( )×( )＋1＝20242。 7．（24-25六年级上·江苏镇江·期末）先阅读理解，再解决问题。 在分数四则运算中，有一些奇妙的规律，掌握这些规律，能让我们灵活解决一些实际问题。比如： ，而，所以有； ，而，所以有； ，而，所以有；… (1)根据发现的规律，写出一道这样的等式。 －＝× (2)请你利用这一规律，计算下面算式。 8．（24-25六年级上·江苏苏州·期末）观察下列等式与图形的关系，根据规律，回答下列问题： 第1个等式：→ 第2个等式：→ 第3个等式：→ （1）写出第4个等式，并涂出与之对应的图示。 第4个等式：（      ）→ （2）猜一猜，第N个等式是（      ）。 9．（24-25六年级上·江苏徐州·期中）小明研究了下面几道乘法算式： 3×2 ＝（3×1）×（2×1） ＝（3×2）×（1×1） ＝6×1 ＝6 30×20 ＝（3×10）×（2×10） ＝（3×2）×（10×10） ＝6×100 ＝600 0.3×0.2 ＝（3×0.1）×（2×0.1） ＝（3×2）×（0.1×0.1） ＝6×0.01 ＝0.06 （1）仔细观察前三个乘法运算的过程，根据你发现的规律接着写一写的计算过程。 （2）观察这四道乘法算式的计算过程，你有什么发现？ 10．（22-23六年级下·江苏南京·期中）探究。 上面图形都是用48厘米长的绳子围成的，先填写下表，再回答问题。 正方形的个数 1 2 3 4 … 正方形的边长/厘米 12 … 围成的正方形的个数与每个正方形的边长是否成反比例？为什么？ 【思维拓展拔尖】 1．古时候人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，古人在从右往左依次排列的绳子上打结，按“满五进一”来计数。如：图①中表示的数是：25×1＋5×1＋1×2＝32，则图如②中表示的数是（    ）。 图①               图② A．45 B．89 C．113 D．324 2．（2023·四川·小升初真题）已知一个由50个奇数排成的数阵，用如图所示的框去框住四个数，并求出这四个数的和，在下列给出的备选答案中，有可能是这四个数的和的是（    ）。 A．114 B．122 C．220 D．84 3．（24-25六年级上·江苏扬州·期末）按规律填数：，1，，，（    ）。 A． B．1 C． D． 4．（24-25六年级下·江苏南通·期中）探索发现。 观察：如图，两个同样的铁环连在一起长16厘米，每个铁环长10厘米。 (1)操作：画一画，算一算，3个铁环像这样连在一起长( )厘米。 (2)解答：小丽要将6个铁环像这样连在一起，长是( )厘米。 5．（25-26六年级上·江苏盐城·期末）先找规律，然后填空。 第一次截去后剩下 第二次截去后剩下 第三次截去后剩下 … … 第五次截去后剩下( )，第( )次截去后剩下。 6．（24-25六年级上·江苏徐州·期末）如图，用小棒摆出若干个三角形。 三角形的个数 1 2 3 4 …… a 小棒的根数 3 3＋2 3＋2×（  ） 3＋2×（  ） …… 7．（25-26六年级上·江苏泰州·期末）找规律，填一填。 (1)0.5，，0.75，( )，，( )。 (2)如下图所示，第四次截去还剩下( )，第( )次截去还剩下。 第一次截去还剩下 第二次截去还剩下 第三次截去还剩下 …… …… 8．（25-26六年级上·江苏南通·期末）观察下列式子，然后解决问题。 ，，… (1)试猜想：____________。 (2)运用（1）中猜想得到的规律计算： ① ② 9．（24-25六年级上·江苏盐城·期中）先计算，再观察每组等式的得数，能发现什么规律。       请根据发现的规律求出下面的结果。 10．（25-26六年级上·江苏南通·期中）丽丽爱数学阅读，这次阅读分享活动她想与大家分享“次方之美”。 数学知识窗——次方之美 当我们把相同的数进行重复相乘时，就会用次方来进行描述。 比如：    表示2个5相乘；     表示4个6相乘；     表示6个7相乘。 (1)通过阅读数学知识窗，判断对错。对的画“√”，错的画“×”。 ①是的7倍。( ) ②是7的6倍。( ) (2)如图是7的1~9次方。计算出的结果的最后一个数字遵循了相应的规律，请仔细观察，用心思考。选一选的结果的最后一个数字是（    ）。         7        ＝49         ＝343         ＝2041         ＝16807         ＝117649     ＝823543     ＝5764801     ＝40353607 A．1 B．3 C．7 D．9 试卷第2页，共121页 试卷第2页，共33页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026年小升初数学二轮复习之必备知识考点清单真题汇编讲练•江苏专用 专题07 探索规律（必备知识&二轮复习+考点清单） 【解析版】 内●容●导●航 第一部分 导图指引 构建思维框架。明确攻坚方向 第二部分 知识清单 洞察考点考向，提炼通用解法 知识点01 数字中的规律 知识点02 图形中的规律 知识点03 算式中的规律 知识点04 数形结合的规律 知识点05 周期规律 知识点06 找规律问题常见策略 第三部分 考点讲练 重点难点分析，强化解题技能 考点序列 考点名称 考点一 算式的规律（整数） 考点二 算式的规律（分数） 考点三 整数排列的规律 考点四 小数排列的规律 考点五 分数排列的规律 考点六 图形的变化规律 考点七 数表中的规律 考点八 简单覆盖规律 考点九 通过操作实验探索规律 第四部分 分层训练 基础能力夯实，思维拓展拔尖 导●图●指●引 知●识●清●单 知识点01 数字中的规律 知识必备 1.一组数中，在相邻的两个数的和、差、倍、商（比）的关系中发现规律； 2.一组数中，每个位置上的数分别是它所在位置序号的平方或者立方； 重要提示：根据规律找到空缺的数后注意与前后数运用规律检验 知识点02 图形中的规律 知识必备 1.根据图形的排列特点，找出图形的排列规律，通常有对称、结合、按顺时针（逆时针）旋转变换..... 2.可通过观察、分析、猜想等方法探索 知识点03 算式中的规律 知识必备 1.先要真正观察算式与结果的特点，再根据规律计算出这一类算式结果 2.可运用计算器计算，发现得数的规律。 知识点04 数形结合的规律 知识必备 1.通过考虑图形的排列、次序与数的排列规律，解决实际问题 2.可将“形”转化为“数"，再探索变化规律。 知识点05 周期规律 知识必备 1.找出图形或数字依次重复出现的现象，从而找出规律解决问题 2.关键是找准周期，并了解每个周期的构成。 知识点06 找规律问题常见策略 知识必备 1．根据每组相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数； 2．根据相隔的每两个数的关系，找出规律，推断出所要填的数； 3．善于从整体上把握数据之间的联系，从而很快找出规律； 4．数之间的联系往往可以从不同的角度来理解，只要言之有理，所得出的规律都可以认为是正确的。 5.对于几列数组成的一组数变化规律的分析，需要我们灵活地思考，没有一成不变的方法，有时需要综合运用其他知识，一种方法不行，就要及时调整思路，换一种方法再分析； 6.对于那些分布在某些图中的数，它们之间的变化规律往往与这些数在图形中的特殊位置有关，这是我们解这类题的突破口。 重要提示：对于找到的规律，应该适合这组数中的所有数或这组算式中的所有算式. 考●点●讲●练 考点一 算式的规律（整数） 母题精讲（25-26六年级上·江苏盐城·期末）下图可以解释为：从1开始的连续奇数的和等于一个数的平方。如，那么( )2；( )。 【答案】 10 4051 【思路引导】观察题图发现，从1开始的连续奇数相加的和，等于连续奇数个数的平方，也等于大正方形边长的平方。连续奇数中最大的奇数与连续奇数的个数存在的关系：连续奇数中最大的奇数＝连续奇数的个数×2－1。如1＋3＋5＝32中，连续奇数个数为3，连续奇数中最大的奇数为5，5＝3×2－1。 【规范解答】1＋3＋5＋⋯＋15＋17＋19中，最大的奇数为19，19＝10×2－1，所以1＋3＋5＋⋯＋15＋17＋19中有10个连续奇数，根据“从1开始的连续奇数相加的和，等于连续奇数个数的平方”可得，1＋3＋5＋⋯＋15＋17＋19＝102。 2026×2－1＝4051，所以连续奇数中最大的奇数为4051，1＋3＋5＋⋯＋4051＝20262。 【考点剖析】发现“连续奇数的个数与连续奇数中最大的奇数之间的关系”是完成填空的关键。 举一反三（24-25六年级下·江苏扬州·期中）刘刚在人工智能课上编写了一个计算小程序，输入一个数，小程序通过计算会输出另一个数（如图）。根据这个计算小程序完成下列各题。 (1)输入数6会输出数( )，输入数( )会输出数25。 (2)小程序的运算规律是什么？用你喜欢的方式写出来：( )。 【答案】(1) 13 12 (2)输出的数＝输入数×2＋1（答案不唯一） 【思路引导】观察发现：输入5，输出11；11＝2×5＋1；输入8，输出17；17＝2×8＋1；输入10，输出21；21＝2×10＋1；……发现规律：输入数为n，则输出数为（2n＋1）。按此规律解答。 （1）把6代入算式计算，设输入数为时，会输出25，根据输出的数＝输入数×2＋1，列方程求解。 （2）小程序的运算规律：输出的数＝输入数×2＋1。（答案不唯一） 【规范解答】（1） 2×6＋1＝12＋1＝13 解：设输入数为时，会输出25。 输入数6会输出数13，输入数12会输出数25。 （2）小程序的运算规律：输出的数＝输入数×2＋1。（答案不唯一） 考点二 算式的规律（分数） 母题精讲（25-26六年级上·江苏南京·期中）观察下列算式，找出规律并计算。 （1） …… （2）根据规律计算：（    ）。 【答案】（1）4；5；；； （2） 【思路引导】（1）观察可知，分母可以写作相邻两个自然数相乘的形式，如：6＝2×3，12＝3×4，20＝4×5，……，此时分数可以拆分为以这两个自然数为分母的分数单位的差，如：，，，…… （2）根据（1）中的规律把原式转化为，然后去掉括号计算，最后求出第一个分数和最后一个分数的差，据此解答。 【规范解答】（1）分析可知： …… （2） ＝ ＝ ＝ ＝ 所以， 。 举一反三（25-26六年级上·江苏连云港·期中）先找规律，再填空。                            ( )。 【答案】 【思路引导】通过观察给定的等式，发现规律：（n为正整数），所求算式是多个此类分数的和，从 到 ，即 n 从2到9。利用规律将每个分数拆分为两个分数的差，求和时中间项相互抵消，只剩下首项和末项，从而简化计算，据此解答。 【规范解答】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 【考点剖析】解答本题的关键是找到规律，并利用规律把分数进行拆分。 考点三 整数排列的规律 母题精讲（25-26六年级上·江苏宿迁·期末）如图，圆上有九个点，这九个点将圆分成九等份（每一份称为一段弧长），把这九个点按顺时针方向依次编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，若从某一点开始，沿圆周顺时针方向行走，点的编号是数字几，就走几段弧长，则称这种走法为一次“移位”。如：小明在编号为3的点，那么他应走3段弧长，即从3→4→5→6为第一次“移位”，这时他到达编号为6的点，然后从6→7→8→9→1→2→3为第二次“移位”。若小明从编号为1的点开始，沿顺时针方向，按上述“移位”方式行走，当“移位”2026次时，小明到达圆弧点编号为( )。 【答案】7 【思路引导】先明确圆被九等分，点位编号1－9循环，每次“移位”的步数等于当前所在点的编号，先从编号1 开始依次计算前几次移位后的落点，找出落点的循环周期，再用总移位次数2026除以周期数得到余数，最后根据余数对应周期内的落点，即可得出第2026次移位后的编号。 【规范解答】第一次“移位”，1→2，落在编号为2的点； 第二次“移位”，2→3→4，落在编号为4的点； 第三次“移位”，4→5→6→7→8，落在编号为8的点； 第四次“移位”，8→9→1→2→3→4→5→6→7，落在编号为7的点； 第五次“移位”，7→8→9→1→2→3→4→5，落在编号为5的点； 第六次“移位”，5→6→7→8→9→1，落在编号为1的点； 第七次“移位”，1→2，落在编号为2的点； 观察发现，从第1次开始，每6次移位就会重复一次，即循环周期为6； 2026÷6＝337（个）……4； 余数4对应的位置是落在编号为7的点上， 所以，当“移位”2026次时，小明到达圆弧点编号为7。 【考点剖析】重点考查周期规律探索、循环运算与有余数的除法应用，结合圆周等分的循环特征，理解“移位”的行走规则并通过逐次计算找到落点的固定循环周期，解题关键在于先从起点按移位规则依次推算落点，找出重复出现的周期序列，再用总移位次数除以周期得到余数，通过余数对应周期内的位置，最终确定目标落点。 举一反三（2025·江苏苏州·小升初真题）找规律：1，1，2，3，5，8，13，( )……，前100个数中奇数有( )个。 【答案】 21 67 【思路引导】观察该数列可知，其遵循斐波那契数列规律，即从第3项起，每一项都等于前两项之和：1＋1＝2、1＋2＝3、2＋3＝5、3＋5＝8、5＋8＝13，因此第一括号处应填入8＋13＝21；进一步分析数列奇偶性可发现明显周期规律，前7项的奇偶性依次为“奇、奇、偶”，且该周期循环往复，每个周期包含2个奇数。计算前100个数的周期分布：100÷3＝33（个完整周期）余1（个剩余项），33个完整周期包含33×2＝66个奇数，剩余1项对应周期首项“奇数”，因此前100个数中奇数总数为66＋1＝67，即第二括号处填入67。 【规范解答】根据斐波那契数列规律，从第3项起，每一项等于前两项之和，因此：8＋13＝21 观察数列奇偶性，周期为“奇、奇、偶”（3项为一个周期），每个周期含2个奇数。 计算周期数和余数：100÷3＝33（个周期）⋯⋯1（个余数） 奇数个数为：33×2＋1 ＝66＋1 ＝67 所以前100个数中奇数有67个。 【考点剖析】关键在于识别斐波那契数列的求和规律，并通过“奇、奇、偶”的周期分析来快速计算前100个数中的奇数个数。 考点四 小数排列的规律 母题精讲按规律填数：，0.1，15%，，( )，( )。 【答案】 0.25 30% 【思路引导】观察数字的排列规律可知，数字的排列是分数、小数、百分数、分数、小数、百分数…，将分数和百分数都化成小数，分别是0.05，0.1，0.15，0.2…，第一个数0.05＝0.05×1、0.1＝0.05×2、0.15＝0.05×3、0.2＝0.05×4，由此可知，第几个数就是0.05×几，据此分析。 【规范解答】＝1÷20＝0.05 15%＝0.15 ＝1÷5＝0.2 0.05×1＝0.05 0.05×2＝0.1 0.05×3＝0.15 0.05×4＝0.2 0.05×5＝0.25 0.05×6＝0.3＝30% ，0.1，15%，，0.25，30%。 举一反三找规律填数：80%，0.75，70%，0.65，( )，( )，( )。 【答案】 60% 0.55 50% 【思路引导】根据题意可知，单数是百分数，双数就是小数；把百分数化成小数，80%＝0.8，70%＝0.7，化为：0.8，0.75，0.7，0.65，发现相邻的两个数之间相差0.05，用前面的数减去0.05，即可求出下一个数，再根据单数是百分数，双数是小数的规律，是单数就化成百分数，据此解答。 【规范解答】0.65－0.05＝0.6＝60% 0.6－0.05＝0.55； 0.55－0.05＝0.5＝50% 找规律填数：80%，0.75，70%，0.65，60%，0.55，50%。 【考点剖析】解答本题的关键是把百分数化成小数，再利用两个数之间的关系，以及单数是百分数和双数是小数的规律进行解答。 考点五 分数排列的规律 母题精讲（24-25六年级下·江苏连云港·期中）瑞士数学教师巴尔末成功地从光谱数据中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门，按这个规律写出的第6个数是( )。 【答案】 【思路引导】根据题意可知，分子的规律依次是32、42、52、62……分母的规律是：1×5、2×6、3×7、4×8……；通过上述分子和分母的规律，可知，第几个数，分子就是这个数加2的平方，即（n＋2）2，分母可以写成两个数相乘，后面的数比前面的数多4，则第几个数，它的分母就是n（n＋4），由此即可解答。 【规范解答】当n＝6时 （6＋2）2＝82＝64 6×（6＋4）＝6×10＝60 按这个规律写出的第6个数是。 举一反三（24-25六年级上·江苏南京·期末）一名叫巴尔末的数学教师成功从光谱数据，，，，…中得到用于氢原子谱线波长的经验公式，从而打开了光谱奥秘的大门。按照这种规律，第7个数据是( )。 【答案】 / 【思路引导】分析光谱数据，，，，…，分子依次是9、16、25、36，对应32、42、52、62，可知第n个数的分子是（n＋2）2；分母依次是5、12、21、32，可用对应的分子减4得到。 当n＝7时，分子是（7＋2）2＝81，分母是对应分子减4，即81－4＝77。 【规范解答】当n＝7时， （n＋2）2 ＝（7＋2）2 ＝92 ＝81 81－4＝77 所以第7个数据是。 【考点剖析】分别观察分子、分母的规律，计算得到对应（第7个数据）的分子与分母，进而得到结果。 考点六 图形的变化规律 母题精讲（25-26六年级上·江苏扬州·期末）依据如图的规律，如果三角形有7层，涂色部分表示为；如果三角形有层，涂色部分表示为。 【答案】； 【思路引导】通过观察2层、3层和4层的涂色部分表示数，发现分母都是层数的平方（例如：的分母4是2的平方），分子比层数的两倍少1（例如：的分子5，比3的2倍少1）。由此规律解决即可。 【规范解答】三角形有7层时：分母：7×7＝49；分子7×2－1＝14－1＝13；涂色部分表示为。 三角形有n层：分母：n×n＝n2；分子：2×n－1＝2n－1；涂色部分表示为 因此，如果三角形有7层，涂色部分表示为；如果三角形有层，涂色部分表示为 【考点剖析】先找到涂色部分的分数分子分母和层数之间的规律，再根据找到的规律解决问题。 举一反三（24-25六年级上·江苏南京·期末）用棱长1厘米的小正方体摆长方体，像下面这样摆下去。 （1）把下表填写完整。 小正方体的个数 1 2 3 …… 摆成长方体的表面积/ 6 （    ） （    ） …… （2）当摆6个小正方体时，摆成的长方体的表面积是（    ）平方厘米；摆成的长方体表面积是62平方厘米时，一共摆了（    ）小正方体。 （3）像这样用个小正方体摆成的长方体表面积是（    ）平方厘米。 【答案】（1）见详解 （2）26；15 （3）4a＋2 【思路引导】（1）根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，求出小正方体的表面积，即：1×1×6＝6平方厘米；根据题意，一个小正方体摆成长方体表面积是6平方厘米；两个小正方体摆成长方体表面积是10平方厘米；三个小正方体摆成长方体表面积是14平方厘米； （2）（3）由此可知，每增加一个正方体，表面积就增加4平方厘米；一个正方体表面积是6平方厘米，可以写成：4×1＋2；两个正方体摆成长方体表面积10平方厘米，可以写成：4×2＋2；三个正方体摆成长方体表面积是14平方厘米，可以写成：4×3＋2；……，由此可知，a个正方体摆成长方体的表面积是：（4a＋2）平方厘米；当a＝6时，求出表面积；当表面积是62平方厘米，用表面积－2，再除以4，据此求出需要正方体的个数，据此解答。 【规范解答】（1）4×2＋2 ＝8＋2 ＝10（平方厘米） 4×3＋2 ＝12＋2 ＝14（平方厘米） 如图： 小正方体的个数 1 2 3 …… 摆成长方体的表面积/ 6 10 14 …… （2）4×6＋2 ＝24＋2 ＝26（平方厘米） （62－2）÷4 ＝60÷4 ＝15（个） 当摆6个小正方体时，摆成的长方体的表面积是26平方厘米；摆成的长方体表面积是62平方厘米时，一共摆了15小正方体。 （3）a×4＋2＝（4a＋2）平方厘米 像这样用个小正方体摆成的长方体表面积是（4a＋2）平方厘米。 考点七 数表中的规律 母题精讲（25-26六年级上·江苏宿迁·期末）有一种数学游戏叫“数独”，其“四宫”规则如下：如图（1），在一个4×4正方形网格中，根据已知数字，在其他所有剩余的空格上填入1－4的数字，1－4每个数字在每一行、每一列和每一宫（4×4正方形网格被中间粗线分成的四个区域）中都出现且只出现一次，不重复。 (1)仔细观察图（2）和图（3），表中汉字分别表示的数字是： 春( )    节( )    愉( )    快( ) (2)图（4）是和“四宫”规则类似的“六宫”游戏，请写出表中汉字表示的数字： 我( )   爱( )   数( )   学( ) 【答案】(1) 4 2 3 3 (2) 2 5 3 5 【思路引导】（1）这是一道四宫数独题，规则是：在4×4的网格中，数字1至4在每一行、每一列和每一个宫内都只能出现一次。需要根据已知数字，通过排除法推理出“春”“节”“愉”“快”代表的数字。 （2）这是一道六宫数独题，规则是：在6×6的网格中，数字1至6在每一行、每一列和每一个2×3的宫内都只能出现一次。我们需要根据已知数字，推理出“我”“爱”“数”“学”代表的数字。 【规范解答】（1）求“春”：春在第2列第4行。第4行已有数字：3、2，所以春只能是1或4。第2列已有数字：1、3、2，缺少数字4。所以，春是4。 求“节”：节在第4列第2行。第2行已有数字：3、1，所以节只能是2或4。第4列已有数字：4、3，所以节只能是1或2。综上，节是2。 求“愉”：愉在第2列第1行。第1行已有数字：2、1，所以愉只能是3或4。第2列已有数字：4，所以愉只能是3。所以，愉是3。 求“快”：快在第3列第2行。第2行已有数字：4、2，所以快只能是1或3。第3列已有数字：2，所以快只能是1或3。左上宫已有数字：2、3、4，所以第2行第2列是1。第2行数字为：4、1、快、2，缺少数字3。所以，快是3。 综上，表中汉字分别表示的数字是：春（4），节（2），愉（3），快（3）。 （2）求“我”：我在第3列第1行。第1行已有数字：3、5、1，所以我只能是2、4、6。第3列已有数字：5、4、1、3，缺少数字2、6。左上宫已有数字：3、5、4，所以我只能是2或6。第2行第3列是5，第1行第3列我不能是5，且第1行已有1、3、5，所以我是2。 求“爱”：爱在第1列第3行。第3行已有数字：4、6、1、3，所以爱只能是2或5。第1列已有数字：4、2、1，所以爱只能是5。所以，爱是5。 求“数”：数在第1列第4行。第1列已有数字：4、5、2、1，所以数只能是3或6。第4行已有数字：6、1、2，所以数只能是3、4、5。综上，数是3。 求“学”：学在第6列第4行。第4行已有数字：3、6、1、2，所以学只能是4或5。第6列已有数字：1、6、3、4，所以学只能是5。所以，学是5。 综上，表中汉字表示的数字我（2），爱（5），数（3），学（5）。 【考点剖析】解答这道题的关键是从数字多的行、列或宫开始，逐步缩小每个空格的候选数字，当候选数字唯一时，即可确定答案。 举一反三（25-26六年级上·湖南益阳·期末）下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，M的值是（    ）。 A．60 B．72 C．86 D．98 【答案】C 【思路引导】每个正方形左上数字是0、2、4、6；正方形右上数字是4、6、8，依次加2的规律，每个正方形左下数字是2、4、6，依次加2的规律，右下数字为右上×左下＋左上，据此求出M。 【规范解答】右上为8＋2＝10 左下为6＋2＝8 10×8＋6 ＝80＋6 ＝86 M的值 是86。 考点八 简单覆盖规律 母题精讲如下图是今年6月的月历卡，用“十字形”月历卡里的日期数去框出5个数．框出的5个数和最大的是( )，最小的是( )，一共可以框出( )种不同的和． 【答案】 115 40 12 举一反三下图是一张中国象棋的棋盘，可以看成是由8×9个方格组成的． （1）若的位置是(0，4)，你能指出的位置吗？     （2）从现在的位置，下一步可能走到什么位置？这样的位置有几个？请指出它们的坐标．     （3）若对方的不动，至少需要几步才能吃掉对方的，请在棋盘上画出马的行进路线，并标出每一步的落点坐标． 【答案】（1） (4，3) （2） （3）4步，行进路线如上题图. 【规范解答】（1）解： 的位置是(4，3). （2）解：8个位置；如图： （3）解：至少需4步，行进路线如上题图. 考点九 通过操作实验探索规律 母题精讲（24-25六年级下·江苏南京·期中）数学上，我们把连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线。第一次操作：画出三角形的三条中位线，就会得到4个互不重叠的三角形；第二次操作：画出中间三角形的三条中位线，就会得到7个互不重叠的三角形；……。齐齐按照这样的操作，能得到13个互不重叠的三角形，他操作了___________次。如果这样操作n次后，能得到___________个互不重叠的三角形（用含有n的式子表示）。 【答案】 4 3n＋1 【思路引导】（1）观察操作结果找规律： 第一次操作，得到4个三角形，记录操作次数1与对应三角形个数4 。 第二次操作，得到7个三角形，记录操作次数2与对应三角形个数7 。 分析相邻两次操作后三角形个数的变化：（7－4＝3），即每多操作1次，三角形个数增加3个。 结合第一次操作结果（操作1次对应4个三角形），推导规律：操作n次时，三角形个数起始是4个（操作1次的结果），之后每增加1次操作多3个，所以个数为4＋3×（n－1），化简4＋3n－3＝3n＋1 。 （2）求得到13个三角形的操作次数：已知规律为3n＋1，现在三角形个数是13，思考13与3n＋1的关系。先看13与起始操作结果的差异：13－4＝9，因为每操作1次增加3个，所以增加的操作次数为9÷3＝3次。再加上第一次操作，总共操作次数是1＋3＝4次。通过这样逐步分析数量差异和每次操作的增量，来确定操作次数，据此解答。 【规范解答】推导操作n次后三角形个数的表达式： 第一次操作（次数1）：个数4 第二次操作（次数2）：个数7，7－4＝3（每次操作增加个数） 第三次操作（次数3）：个数7＋3＝10 第四次操作（次数4）：个数10＋3＝13（验证规律） 从次数1开始，个数与次数关系：4＝3×1＋1；7＝3×2＋1；10＝3×3＋1 ，所以操作n次后，个数为3n＋1 。 操作n次后三角形个数表达式是3n＋1 。 求得到13个三角形的操作次数：因为规律是3n＋1，当个数为13时，先算13－1＝12（依据3n＋1＝13，先把＋1去掉，利用逆向思维，和减一个加数得另一个加数） 再算12÷3＝4（依据3n＝12，积除以一个因数得另一个因数） 得到13个三角形时，操作了4次。 即他操作了4次。如果这样操作n次后，能得到（3n＋1 ）个互不重叠的三角形（用含有n的式子表示）。 举一反三用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点，叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形，设格点多边形的面积为S，它各边上格点的个数和为。 （1）如上图所示中的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数和的对应关系如下表，请写出S与之间的关系式，答：S＝（    ）。 多边形的序号 ① ② ③ ④ …… 多边形的面积 2 （    ） 3 （    ） …… 各边上格点的个数和 4 5 6 （    ） …… （2）请你再画出2个格点多边形，使每个多边形内部都有而且只有2个格点。 此时所画的各个多边形的面积S与它各边上格点的个数和之间的关系式S＝（    ）。 （3）请你继续探索，当格点多边形内部有且只有个格点时，猜想S与有怎样的关系？请直接写出结果。 【答案】（1）x；2.5；4；8 （2）作图见详解；x＋1 （3）S＝x＋n－1 【思路引导】（1）②多边形的面积是2.5，④多边形的面积是4，各边上格点的个数和是8。通过计算，发现这四个图形的面积都是各边上格点的个数和的，所以S＝x； （2）按照题目的要求作图； 通过观察计算发现，这两个多边形的面积与它各边上格点的个数和之间的关系式为S＝x＋1； （3）通过继续在方格中画格点多边形，发现当格点多边形内部有且只有个格点时，S＝x＋n－1。 【规范解答】（1）通过数图形、分析可以发现S＝x；②多边形的面积是2.5；④多边形的面积是4，各边上格点的个数和是8。 （2） 通过观察、分析数据发现S＝x＋1； （3）继续画图、分析数据、探索，可以发现S＝x＋n－1。 【考点剖析】理解题意，观察图形，通过画图、分析数据、探索规律是解决探究问题的方法。 分●层●训●练 【基础能力夯实】 1．（25-26六年级上·江苏宿迁·期末）小明在某月的日历上圈出相邻的三个日期a，b，c，并求出它们的和为33，这三个日期在日历上的排列不可能是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据日历的排列规律，同一行左右相邻的日期相差1，同一列上下相邻的日期差7。据此设b为x，把每个选项中的三个日期都用x表示出来，再看它们的和是否等于33。 【规范解答】A：设b日期为x，则a为x－7，c为x＋7。a＋b＋c＝x－7＋x＋x＋7＝3x＝33，解得x＝11，存在这样的日期（4、11、18），所以A是可能的。 B：设b日期为x，则a为x＋6，c为x＋7。a＋b＋c＝x＋6＋x＋x＋7＝3x＋13＝33，即3x＝33－13＝20，解得x＝，不存在这样的日期，所以B是不可能的。 C：设b日期为x，则a为x－7，c为x＋1。a＋b＋c＝x－7＋x＋x＋1＝3x－6＝33，即3x＝33＋6＝39，解得x＝13，存在这样的日期（6、13、14），所以C是可能的。 D：设b日期为x，则a为x－1，c为x＋1。a＋b＋c＝x－1＋x＋x＋1＝3x＝33，解得x＝11，存在这样的日期（10、11、12），所以D是可能的。 故答案为：B 2．（2025·江苏苏州·小升初真题）如图，摆一个三角形要用3根小棒，摆2个三角形要用5根小棒，那么摆a个三角形要用（    ）根小棒。 A．3a B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据图示，摆第1个三角形需3根小棒，此后每增加1个三角形，只新添2根小棒（因为会与前面图形共用一条边），所以当摆了a个三角形时所用小棒总数为[3＋2（a－1）]根， 【规范解答】由分析知： 3＋2（a－1） ＝3＋2a－2 ＝（1＋2a）根 即那么摆a个三角形要用（1＋2a）根小棒。 故答案为：D 3．（23-24六年级上·江苏泰州·期中）在“，，，…”中，按照这样的顺序排列下去，下一个数是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】通过观察可知，÷＝，÷＝……每一个分数都是前一个分数的，据此解答。 【规范解答】×＝ 根据分析可知，下一个数是。 故答案为：C 4．（23-24六年级下·江苏盐城·期末）观察下面用火柴棒摆的正方形，摆20个这样的正方形需要火柴棒（    ）根。 A．60 B．61 C．80 D．90 【答案】B 【思路引导】根据图示发现：摆1个正方形需要小棒：4根；摆2个正方形需要（4＋3）根小棒；摆3个正方形需要（4＋3＋3）根小棒；……摆n个正方形需要小棒：4＋3（n－1）＝（3n＋1）根。据此解答。 【规范解答】根据分析可知，摆n个正方形需要小棒： 4＋3×（n－1） ＝4＋3n－3 ＝（3n＋1）根 当n＝20时， 3×20＋1 ＝60＋1 ＝61（根） 摆20个这样的正方形需要火柴棒61根。 故答案为：B 5．（24-25六年级上·山西临汾·期中）找规律写数。 ，，，，( )，( )。 ，，，，( )，( )。 【答案】 【思路引导】第一个数列的分母依次是2、4、8、16，每次扩大到原来的2倍，分子保持1。 第二个数列的规律是每个数乘得到下一个数，据此解答。 【规范解答】16×2＝32；32×2＝64 ，，，，， ×＝；×＝ ，，，，， 6．（2024·江苏常州·小升初真题）探索与发现。 数学中，我们经常用平移、旋转等方式将不规则图形转化成规则图形。观察如表中每组图形与算式的变化，你有什么发现？ 图形 …… 算式 1×3＋1＝22 2×4＋1＝32 3×5＋1＝42 … 根据发现的规律填空： (1)4×6＋1＝( )2，16×18＋1＝( )2。 (2)( )×( )＋1＝20242。 【答案】(1) 5 17； (2) 2023 2025 【思路引导】观察所给算式1×3＋1＝22，2×4＋1＝32，3×5＋1＝42。对于乘法部分，第一个因数依次是1、2、3，呈现依次增加1的规律；第二个因数依次是3、4、5，比对应的第一个因数大2。等式右边是一个数的平方，这个数比乘法算式中的第一个因数大1。总结规律为：n×（n＋2）＋1＝（n＋1）2（n为自然数）然后根据此规律计算填空。 【规范解答】（1）4×6＋1：这里n＝4，根据规律（n＋1）2，即4＋1＝5，所以4×6＋1＝52，16×18＋1：这里n＝16，16＋1＝17，所以16×18＋1＝172 4×6＋1＝52，16×18＋1＝172 （2）因为结果是20242，由规律（n＋1）2＝20242，可得n＋1＝2024，则n＝2023，n＋2＝2023＋2＝2025，即2023×2025＋1＝20242 2023×2025＋1＝20242。 7．（24-25六年级上·江苏镇江·期末）先阅读理解，再解决问题。 在分数四则运算中，有一些奇妙的规律，掌握这些规律，能让我们灵活解决一些实际问题。比如： ，而，所以有； ，而，所以有； ，而，所以有；… (1)根据发现的规律，写出一道这样的等式。 －＝× (2)请你利用这一规律，计算下面算式。 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）观察题目中给出的例子，发现规律：对于连续正整数n和n＋1，＝×，据此写出类似的等式。 （2）利用发现的规律，将每个乘法转化为差的形式，然后通过加减抵消简化计算。 【规范解答】（1），而，所以有； ，而，所以有； ，而，所以有；… 所以＝×，取n＝5，则： ＝，即（答案不唯一） （2） ＝ ＝ ＝ ＝ 8．（24-25六年级上·江苏苏州·期末）观察下列等式与图形的关系，根据规律，回答下列问题： 第1个等式：→ 第2个等式：→ 第3个等式：→ （1）写出第4个等式，并涂出与之对应的图示。 第4个等式：（      ）→ （2）猜一猜，第N个等式是（      ）。 【答案】（1）4×＝4；见详解 （2）N×＝N 【思路引导】（1）观察已知的3个等式可发现规律：整数n乘分数的结果等于n减，因此第4个等式是4×＝4，对应图示：将大长方形分成5行4列，涂满4行（表示的4倍，即涂4个 “”对应的区域）。 （2）第N个等式则是N×＝N。 【规范解答】（1）4×＝4 （2）N×＝N 9．（24-25六年级上·江苏徐州·期中）小明研究了下面几道乘法算式： 3×2 ＝（3×1）×（2×1） ＝（3×2）×（1×1） ＝6×1 ＝6 30×20 ＝（3×10）×（2×10） ＝（3×2）×（10×10） ＝6×100 ＝600 0.3×0.2 ＝（3×0.1）×（2×0.1） ＝（3×2）×（0.1×0.1） ＝6×0.01 ＝0.06 （1）仔细观察前三个乘法运算的过程，根据你发现的规律接着写一写的计算过程。 （2）观察这四道乘法算式的计算过程，你有什么发现？ 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【思路引导】（1）通过观察前三个乘法算式的分解过程，发现每个因数被分解为整数与单位（如10、0.1、分数单位）的乘积，再应用乘法交换律和结合律，将整数部分和单位部分分别相乘，最后合并得到结果。分数乘法同样遵循这一规律。据此计算即可。 （2）观察四道算式可知：两个数相乘时，若每个数均能分解为整数与单位的乘积（如10、0.1、分数单位等），则原式可转化为整数部分相乘与另一部分相乘的乘积，最终结果不变。这一过程体现了乘法交换律和结合律的应用。 【规范解答】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ 3×2 ＝（3×1）×（2×1） ＝（3×2）×（1×1） ＝6×1 ＝6 30×20 ＝（3×10）×（2×10） ＝（3×2）×（10×10） ＝6×100 ＝600 0.3×0.2 ＝（3×0.1）×（2×0.1） ＝（3×2）×（0.1×0.1） ＝6×0.01 ＝0.06 ＝ ＝ ＝ ＝ （2）答：两个数相乘时，可以分别分解为整数与单位的乘积，再将整数部分和另一部分分别相乘，最后合并结果。 10．（22-23六年级下·江苏南京·期中）探究。 上面图形都是用48厘米长的绳子围成的，先填写下表，再回答问题。 正方形的个数 1 2 3 4 … 正方形的边长/厘米 12 … 围成的正方形的个数与每个正方形的边长是否成反比例？为什么？ 【答案】6；4；3 成，理由见解析 【思路引导】根据题意并结合已知图形可知： 1个正方形，共1×4＝4条边，每个正方形的边长为48÷4＝12厘米； 2个正方形，共2×4＝8条边，每个正方形的边长为48÷8＝6厘米； 3个正方形，共3×4＝12条边，每个正方形的边长为48÷12＝4厘米； 4个正方形，共4×4＝16条边，每个正方形的边长为48÷16＝3厘米； …… 由正比例与反比例的意义可知：两个相关联的量，当它们的比值一定时，这两个量成正比例；当它们的乘积一定时，这两个量成反比例，据此解答。 【规范解答】1个正方形，共1×4＝4条边，每个正方形的边长为48÷4＝12厘米； 2个正方形，共2×4＝8条边，每个正方形的边长为48÷8＝6厘米； 3个正方形，共3×4＝12条边，每个正方形的边长为48÷12＝4厘米； 4个正方形，共4×4＝16条边，每个正方形的边长为48÷16＝3厘米； …… 填表如下： 正方形的个数 1 2 3 4 … 正方形的边长/厘米 12 6 4 3 … （一定） 即正方形的个数×每个正方形的边长＝12（一定），所以围成的正方形的个数与每个正方形的边长成反比例关系。 【思维拓展拔尖】 1．古时候人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，古人在从右往左依次排列的绳子上打结，按“满五进一”来计数。如：图①中表示的数是：25×1＋5×1＋1×2＝32，则图如②中表示的数是（    ）。 图①               图② A．45 B．89 C．113 D．324 【答案】B 【思路引导】根据题意可知，图①中表示的数是：25×1＋5×1＋1×2＝32，左边结绳表示25，有1个；中间结绳表示5，有1个，右边结绳表示1，有2个；由此可知，图②中，左边有结绳有3个，表示25×3，中间有2个结绳，表示5×2，右边有4个结绳，表示1×4，据此解答。 【规范解答】根据分析可知，图②表示的数是： 25×3＋5×2＋1×4 ＝75＋10＋4 ＝85＋4 ＝89 则图②中表示的数是89。 故答案为：B 2．（2023·四川·小升初真题）已知一个由50个奇数排成的数阵，用如图所示的框去框住四个数，并求出这四个数的和，在下列给出的备选答案中，有可能是这四个数的和的是（    ）。 A．114 B．122 C．220 D．84 【答案】B 【思路引导】根据题意可知，设框住的四个数中，第二行中间数为x，则第一行为（x－10）。第二行第1个为（x－2），第二行第3个为（x＋2）。四个数的和为x＋（x－10）＋（x－2）＋（x＋2），化简为（4x－10）；据此依次列方程为4x－10＝114，4x－10＝122，4x－10＝220，4x－10＝84，分别推出每个选项的第二行中间数是否符合即可。 【规范解答】解：设第二行中间数为x，则第一行为（x－10）。第二行第1个为（x－2），第二行第3个为（x＋2）。 x＋（x－10）＋（x－2）＋（x＋2） ＝x＋x－10＋x－2＋x＋2 ＝4x－10 A．4x－10＝114 解：4x－10＋10＝114＋10 4x＝124 4x÷4＝124÷4 x＝31 31在第4行第1列，不可能为第二行中间数。 B．4x－10＝122 解：4x－10＋10＝122＋10 4x＝132 4x÷4＝132÷4 x＝33 这四个数的和有可能是122。 C．4x－10＝220 解：4x－10＋10＝220＋10 4x＝230 4x÷4＝230÷4 x＝57.5 57.5不是整数；不符合题意； D．4x－10＝84 解：4x－10＋10＝84＋10 4x＝94 4x÷4＝94÷4 x＝23.5 23.5不是整数；不符合题意。 有可能是这四个数的和的是122。 故答案为：B 3．（24-25六年级上·江苏扬州·期末）按规律填数：，1，，，（    ）。 A． B．1 C． D． 【答案】C 【思路引导】先把这组数统一成分数：、（也就是1）、、，能发现规律是“后一个数＝前一个数×”——，，，所以下一个数就是，据此作答。 【规范解答】，，，。 因此，这列数为，1，，，。 故答案为：C 【考点剖析】把数列统一形式后，识别“后项＝前项×固定数”的等比关系，就能快速算出下一项。 4．（24-25六年级下·江苏南通·期中）探索发现。 观察：如图，两个同样的铁环连在一起长16厘米，每个铁环长10厘米。 (1)操作：画一画，算一算，3个铁环像这样连在一起长( )厘米。 (2)解答：小丽要将6个铁环像这样连在一起，长是( )厘米。 【答案】(1)22 (2)40 【思路引导】（1）由图可知，2个铁环原本总长为厘米，实际连在一起长16厘米，说明重叠部分（扣合处）长度为厘米；每多连1个铁环，就会多1个重叠扣合处，总长度增加厘米；总结规律：n个铁环连在一起的总长度为厘米。因此，3个铁环连在一起的总长度为厘米。 （2）6个铁环连在一起的总长度为厘米。 【规范解答】（1）根据分析， （厘米） （2）根据分析， （厘米） 5．（25-26六年级上·江苏盐城·期末）先找规律，然后填空。 第一次截去后剩下 第二次截去后剩下 第三次截去后剩下 … … 第五次截去后剩下( )，第( )次截去后剩下。 【答案】 七 【思路引导】观察可知，第一次剩下；第二次；第三次；第几次，就分子为，分母为几个相乘，据此填空。 【规范解答】25＝32 27＝128 第五次截去后剩下，第七次截去后剩下。 6．（24-25六年级上·江苏徐州·期末）如图，用小棒摆出若干个三角形。 三角形的个数 1 2 3 4 …… a 小棒的根数 3 3＋2 3＋2×（  ） 3＋2×（  ） …… 【答案】见详解 【思路引导】由图可知，每增加1个三角形，就在3根小棒的基础上增加2根小棒： 摆3个三角形时，则在3根小棒的基础上，增加2×（3－1）根小棒，即共有3＋2×2根小棒； 摆4个三角形时，则在3根小棒的基础上，增加2×（4－1）根小棒，即共有3＋2×3根小棒； 摆a个三角形时，则在3根小棒的基础上，增加2×（a－1）根小棒，即共有3＋2×（a－1）根小棒。 【规范解答】 三角形的个数 1 2 3 4 …… a 小棒的根数 3 3＋2 3＋2×2 3＋2×3 …… 3＋2×（a－1） 7．（25-26六年级上·江苏泰州·期末）找规律，填一填。 (1)0.5，，0.75，( )，，( )。 (2)如下图所示，第四次截去还剩下( )，第( )次截去还剩下。 第一次截去还剩下 第二次截去还剩下 第三次截去还剩下 …… …… 【答案】(1) /0.8 (2) 六 【思路引导】①需要将小数转为分数，观察分子和分母的变化规律，再根据规律填数。 ②观察每次截去后剩下部分的规律，利用乘法运算来确定每次截去后剩下的部分，进而找出与剩余部分对应的截去次数。 【规范解答】（1） ，，：分子依次是1、2、3，分母依次是2、3、4，且分母比对应的分子大1。空缺处应该填和。 因此，0.5，，0.75，，，。 （2）通过题目观察，每次截去后剩下的部分是上一次剩下部分乘，第三次截去后剩下。 那么第四次截去后剩下：。 第五次截去后剩下：。 第六次截去后剩下：。 因此，第四次截去还剩下，第六次截去还剩下。 8．（25-26六年级上·江苏南通·期末）观察下列式子，然后解决问题。 ，，… (1)试猜想：____________。 (2)运用（1）中猜想得到的规律计算： ① ② 【答案】(1) (2)① ② 【思路引导】（1），可以写成； ，可以写成； ，可以写成； …… 由此可知，这类分数可以写成分母中第一个乘数的倒数减去第二个乘数的倒数的形式，即 ，据此解答。 （2）①直接应用 ，将写成，写成，写成…写成，消去中间项，得，计算可得结果。 ②已知6＝2×3，12＝3×4，20＝4×5…72＝8×9，90＝9×10，将写成的形式，应用 ，消去中间项，得，计算可得结果。 【规范解答】（1） （2）① ② 【考点剖析】①本类题型适用于分子为1，分母为两个连续非0自然数乘积的分数连加运算，核心公式为 （n为非0自然数）。 ②遇到分母为非连续自然数乘积但可分解为两个连续自然数乘积的变式（如、），需先对分母分解因数，转化为 的形式，再消去中间项，最后计算出结果。 9．（24-25六年级上·江苏盐城·期中）先计算，再观察每组等式的得数，能发现什么规律。       请根据发现的规律求出下面的结果。 【答案】；； 【思路引导】第一组：，，所以填； 第二组：，，所以填。 观察发现：当两个分数的分子都是1，分母是相邻的自然数（如2和3，4和5）时，它们的差等于它们的积，即（n为自然数）。 根据规律，可转化为：，接着转化为：，发现除了第一个数和最后一个数，中间的数都可以抵消，依此计算。 【规范解答】 ＝ ＝ ＝ ＝ 【考点剖析】解题关键是发现并利用“分子为1、分母是相邻自然数的两个分数，其差等于其积”的规律，利用这个规律，可将求和式中的每一项转化为，进而通过中间数相互抵消简化计算，快速求出结果。 10．（25-26六年级上·江苏南通·期中）丽丽爱数学阅读，这次阅读分享活动她想与大家分享“次方之美”。 数学知识窗——次方之美 当我们把相同的数进行重复相乘时，就会用次方来进行描述。 比如：    表示2个5相乘；     表示4个6相乘；     表示6个7相乘。 (1)通过阅读数学知识窗，判断对错。对的画“√”，错的画“×”。 ①是的7倍。( ) ②是7的6倍。( ) (2)如图是7的1~9次方。计算出的结果的最后一个数字遵循了相应的规律，请仔细观察，用心思考。选一选的结果的最后一个数字是（    ）。         7        ＝49         ＝343         ＝2041         ＝16807         ＝117649     ＝823543     ＝5764801     ＝40353607 A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】(1) √ × (2)C 【思路引导】（1）①根据次方的含义，表示5个7相乘；表示6个7相乘，6个7相乘可以写成5个7相乘再乘7，即；所以是的7倍。 ②表示6个7相乘，而7的6倍是7×6，二者意义不同，所以不是7的6倍。 （2）观察图中算式的计算结果可知，从开始，最后一个数字是按照7、9、3、1四个数字一组循环出现的，是第2025个算式，所以用2025÷4＝506（组）……1（个）求出2025中有506组完整的7、9、3、1循环，余数1表示下一个循环的第一个数7。 【规范解答】（1）① ＝ ＝ ＝7 所以是的7倍。原说法正确， 故答案为：√ ②是6个7相乘，不是7的6倍。原说法错误。 故答案为：× （2）图中计算结果可知，最后一个数字按照7、9、3、1四个数字一组循环出现。 2025÷4＝506（组）……1（个） 余数1表示下一组循环的第一个数7。 的结果的最后一个数字是7。 故答案为：C 【考点剖析】（1）①将用表示，再进行计算； ②理解次方的含义，区分6个7相乘和7的6倍。 （2）找出计算结果个位数字的规律特征：每四个数字一次循环，求出2025中有几组循环，余数是几，表示的是下一个循环的第几个数。 试卷第2页，共121页 试卷第2页，共33页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $