专题04 式与方程（思维导图+必备知识&考点清单+分层训练）江苏专用-2026年小升初数学二轮复习真题培优讲练

该小学数学小升初复习教案聚焦“式与方程”专题，涵盖用字母表示数、等式性质、列方程解应用题等核心考点，通过导图构建思维框架、清单提炼通用解法、考点讲练强化技能、分层训练夯实能力的流程，帮助学生掌握字母表示、方程求解及实际应用的关键方法。 亮点在于真题导向与素养培养结合，如考点一通过剪铁丝规律探究培养抽象能力，考点十列方程解复杂问题强化模型意识，分层训练兼顾基础与拓展。教师可依托母题精讲与举一反三设计教学，助力学生突破方程应用难点，提升知识掌握精准度与解题实战能力。

2026年小升初数学二轮复习之必备知识考点清单真题汇编讲练•江苏专用 专题04 式与方程（必备知识&二轮复习+考点清单） 【原卷版】 内●容●导●航 第一部分 导图指引 构建思维框架。明确攻坚方向 第二部分 知识清单 洞察考点考向，提炼通用解法 知识点01 用字母表示数、数量关系、计算公式和运算定律 知识点02 等式与方程 知识点03 列方程解应用题 第三部分 考点讲练 重点难点分析，强化解题技能 考点序列 考点名称 考点一 用字母表示数 考点二 含有字母式子的化简与求值 考点三 等式的认识及列等量关系式 考点四 等量代换 考点五 方程的意义 考点六 等式的意义及性质 考点七 方程的解与解方程 考点八 列方程解含一个未知数的问题 考点九 列方程解含两个未知数的问题 考点十 列方程解决稍复杂的实际问题 第四部分 分层训练 基础能力夯实，思维拓展拔尖 导●图●指●引 知●识●清●单 知识点01 用字母表示数、数量关系、计算公式和运算定律 知识必备 1.用字母表示数 （1）一班有男生a人，有女生b人，一共有（a+b）人； （2）每袋面粉重25千克，x袋面粉一共重25x干克 2.用字母表示数量关系 （1）路程=速度×时间，用字母表示为s=vt； （2）正比例关系：（一定），反比例关系：x×y=k（一定）等。 3.用字母表示计算公式 （1）长方形的周长：C=2（a+b）； （2）长方形的面积：S=ab； （3）长方体的体积：V=abh或V=Sh等。 4．用字母表示运算定律 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c） 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：（ab）c=a（bc） 乘法分配律：（a+b）c-ac+bo 【易错点拨】 数与字母、字母与字母相乘时，乘号可以记作简写为一个点或省略不写，但要注意，省略乘号后，数字要写在字母的前面。 两个相同的字母相乘时，可以写成这个字母的平方，如a×a可以写作a2 知识点02 等式与方程 知识必备 1.等式与方程的意义及关系 意义 关系 等式 表示相等关系的式子叫作等式 所有的方程都是等式，但是等式不一定是方程 方程 含有未知数的等式叫作方程 2.等式的性质 （1）性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。 （2）性质2：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果仍然是等式。 3.解方程 （1）方程的解的概念：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。 （2）解方程的概念：求方程的解的过程叫作解方程。 （3）解方程的依据：可以根据等式的性质和四则运算中各部分之间的关系解方程。 （4）检验方程的解是否正确，步骤如下：（01）把求出的未知数的值代入原方程中；（02）计算，看等式是否成立；（03）等式成立，说明这个未知数的值是方程的解，等式不成立，说明解方程错误，需要重新求解。 知识点03 列方程解应用题 知识必备 （1）列方程解应用题的优点 先用一个字母代替未知数，再把它看作已知数参与列式和运算，便于把题中的数量关系直接反映出来，使问题简单化。 （2）列方程解应用题的一般步骤 ①弄清题意，找出未知数并用字母表示；②根据题中数量间的相等关系列出方程； ③根据等式的性质解方程，求出方程中的未知数；④检验写答。 考●点●讲●练 考点一 用字母表示数 母题精讲（2025·江苏淮安·小升初真题）如图所示有一根弯曲的铁丝，准备用如图所示的方式剪开，这样就把原来的铁丝分成了几段，发现规律并填写下表。 剪的次数/次 1 2 3 …… 10 …… a 分成的段数/段 4 …… …… 举一反三01（2024·江苏泰州·小升初真题）仔细阅读图，与它的图意相符的式子是（    ）。 A．（a＋b）2＝a2＋b2 B．（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab C．（a－b）2＝a2－b2 D．（a＋b）2＝2ab 举一反三02（2024·江苏无锡·小升初真题）小军用小正方形卡纸摆图形（如图），照这样摆下去，摆第4个图形要用( )个小正方形；摆第个图形要用( )个小正方形。 考点二 含有字母式子的化简与求值 母题精讲（2024·江苏无锡·小升初真题）直接写出得数。                                   举一反三01（2024·江苏泰州·小升初真题）在数学上，图形可以通过一种特殊的方式进行“生长”。以一个正三角形为例，将它的三条边分别进行三等分，然后以每条边中间的一段为底边，向外再画出一个等边三角形，并擦去原来中间的那一段，这时，图形就完成了一次“生长”变形，成为了一个新图形（如图中①②。 (1)如果一个边长是27厘米的等边三角形，经过两次“生长”变形，得到的图形（如图③周长是( )厘米。 (2)如果一个边长为厘米的等边三角形，像这样经过四次“生长”变形，得到的图形周长是( )厘米。（用含有的式子表示） 举一反三02（2024·江苏南通·小升初真题）如图，有一根弯曲的铁丝，准备用如图1所示的方式剪切，这样就把原来的铁丝分成了几段。 （1）探究：按如图2的方式剪切，在括号里填写适当的数。 （2）总结：如果剪切次数用表示，分成的段数用表示时，和的关系是（    ）。 （3）应用：像这样如果剪切20次，会分成（    ）段。 考点三 等式的认识及列等量关系式 母题精讲（2024·江苏扬州·小升初真题）数量间的相等关系是列方程的根据，请先填写数量关系式，再列出方程。两艘轮船同时从南京出发，沿长江航道开往武汉。“振兴”号的速度是千米/时，“丰春”号的速度更快，是32千米/时，7.5小时后两船相距30千米。 _______________( )_______________＝_______________ 根据上面的数量关系式列出方程：_____________________________________。 举一反三01（2024·江苏盐城·小升初真题）下面的式子中，（    ）是方程。 A．3.2＋1.8＝5 B．x－6 C． D．2a＋3b 举一反三02（2025·河北石家庄·小升初真题）按如图所示的规律摆放三角形，第五堆三角形的个数为( )个；第( )堆三角形的个数为122个。 考点四 等量代换 母题精讲（2025·江苏苏州·小升初真题）有三堆围棋子，每堆60枚。第一堆有是白子，第二堆的黑子与第三堆的白子同样多。这三堆棋子中一共有多少枚白子？ 举一反三01（2025·河北石家庄·小升初真题）●、■、▲分别表示三种不同的物体，如图，前两个天平保持平衡，如果要使第三个天平保持平衡，那么“？”为( )。 举一反三03（2024·广东湛江·小升初真题）如果a－b＝c（c不等于0），那么a－（b＋c）＝( )，（a－b）÷c＝( )。 考点五 方程的意义 母题精讲（2024·江苏扬州·小升初真题）如图中，不正确的是（    ）。 A． B． C． D． 举一反三01（2025·甘肃兰州·小升初真题）下列数学问题中，不能用方程“2X＋4＝16”解决的是（    ）。 A．B．C． D． 举一反三02（2025·云南昆明·小升初真题）下面数学问题中，不能用方程“2x＋6＝14”解决的是（    ）。 A．①③ B．①④ C．②③ D．③④ 考点六 等式的意义及性质 母题精讲（2024·江苏泰州·小升初真题）下列（    ）算式不能体现和的最大公因数是，最小公倍数是。、都是非0的自然数） A． B． C． D． 举一反三01（2025·重庆渝北·小升初真题）我们把“个相同的数相乘”记为，例如。 (1)请计算：________，__________。 (2)观察下列等式： 由以上规律，我们可以猜： _______。 (3)计算：。 举一反三02（2025·山东聊城·小升初真题）在研究时，聪聪这样想：因为，所以，依据是( )；将等式变形得，依据是( )；计算得，所以，依据是( )。（填序号） ①除法是乘法的逆运算 ②等量的等量相等 ③等式的基本性质 考点七 方程的解与解方程 母题精讲（2025·江苏无锡·小升初模拟）求未知数x                    举一反三01（2025·江苏苏州·小升初真题）甲、乙、丙三辆汽车同时从A地出发去B地。甲、乙两车的速度分别为每小时66千米和每小时50千米。有一辆迎面开来的卡车分别在它们出发后的4小时、5小时、8小时先后与甲、乙、丙三辆车相遇。求丙车的速度。 举一反三02（2025·江苏淮安·小升初真题）解方程。 16＋0.8x＝64         考点八 列方程解含一个未知数的问题 母题精讲（2025·江苏苏州·小升初真题）在一个长20厘米，宽15厘米长方体的容器中，浸没着一块长方体铁块（横着放置），水的高度是9厘米。如果把铁块竖直放置（铁块底面与容器底面完全接触），铁块会有10厘米高的部分露出水面，这时容器中水的高度是7厘米。这个铁块的体积是多少？现在再把铁块向上提起5厘米，此时水深多少厘米？ 举一反三01（2025·江苏淮安·小升初真题）2025年最受关注的“苏超”火爆全网，本次江苏省城市足球联赛采用“常规赛十淘汰赛”双阶段赛制，参赛队伍共计13支。常规赛实行主客场循环赛制，每轮比赛安排1支球队轮空。淘汰赛：采用单回合淘汰赛赛制，淘汰赛阶段每场比赛均决出胜负，负者为亚军，第3－8名根据淘汰赛成绩和常规赛排名综合确定名次。 （1）常规赛中积分前8名的球队才能进入淘汰赛，积分前8名的球队总共需要进行（    ）场淘汰赛。（在括号填写答案，不用列式） （2）常规赛中13支球队总共需要进行多少场比赛？ （3）常规赛中，每场比赛胜一场得3分，平一场得1分，淮安队将平3场，淮安在常规赛中想要进入淘汰赛至少需要取得积分21分。按照AI的预测结果，淮安队至少获胜（    ）场才能进入淘汰赛。 举一反三02（2024·江苏无锡·小升初真题）某市修建一条公路，已经修了全长的60%，还有4.8千米没有修。这条公路长多少千米？（列方程解答） 考点九 列方程解含两个未知数的问题 母题精讲（2025·江苏苏州·小升初真题）一根长420厘米的铁丝围成一个长方形，长是宽的5倍。这个长方形的长是多少厘米？（列方程解答） 举一反三01（2025·江苏苏州·小升初真题）2025年是新中国成立76周年，实验小学举行了以“礼赞新中国，放歌新时代”为主题的歌咏比赛。比赛分单人独唱和双人合唱，共有18组，30名学生参加比赛，单人独唱和双人合唱各有多少组？ 举一反三02（2024·江苏镇江·小升初真题）临近毕业，同学们和自己的好朋友互赠礼物。酷爱集卡的小华和小明互赠卡片。两人共有112张，小华拿出自己拥有卡片的送给小明，现在两人的卡片张数就同样多。原来小华和小明各有多少张卡片？（先把线段图补充完整，再解答） 考点十 列方程解决稍复杂的实际问题 母题精讲（2025·河南商丘·小升初真题）某次中外公司谈判会议开始10分钟听到挂钟打钟（只有整点时打钟，几点钟就响几下），整个会议当中共听到14下钟声，会议结束时，时针和分针恰好成90度角，求会议开始的时间，结束的时间各是什么时刻。 举一反三01（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）6条谜语让50人猜测，共猜对了178条。已知每人至少猜对2条，且猜对2条的有16人，猜对4条的有9人，猜对3条和5条的人数一样多，那么6条全猜对的有( )人。 举一反三02（2025·重庆九龙坡·小升初真题）有一些相同的房间需要粉刷墙面，一天3名一级技工去粉刷8个房间，结果其中有50平方米墙面未来得及刷；同样时间内5名二级技工粉刷了10个房间之外，还多刷了另外的40平方米墙面。每名一级技工比二级技工一天多粉刷10平方米墙面。求每个房间需要粉刷的墙面面积。 分●层●训●练 【基础能力夯实】 1．随着通讯市场竞争的日益激烈，某通讯公司的手机市话收费按原标准每分钟降低了a元后，再次下调了25%，现在的收费标准是每分钟b元，则原收费标准每分钟为（    ）元。 A． B． C． D． 2．（2025·江苏苏州·小升初真题）如图，摆一个三角形要用3根小棒，摆2个三角形要用5根小棒，那么摆a个三角形要用（    ）根小棒。 A．3a B． C． D． 3．（2025·江苏苏州·小升初真题）把一个长、宽、高分别是a厘米、b厘米、h厘米的长方体的高增加2厘米，那么这个长方体的表面积会增加（    ）平方厘米。 A．2ab B．2（a＋b） C．4（a＋b） D．4（a＋b）＋ab 4．把边长为1厘米的正方形纸片，按下面的规律拼成长方形。 用5个正方形拼成的长方形的周长是( )厘米，用n个正方形拼成的长方形的周长是( )厘米。 5．（2023·四川成都·小升初真题）体育教师到商店买6个足球和3个篮球，要付396元；则买10个足球和5个篮球要付( )元。 6．（2025·江苏无锡·小升初模拟）延时服务时，老师带来象棋、飞行棋共12副。恰好可供全班38名同学进行活动。象棋2人下一副，飞行棋4人下一副。象棋有( )副，飞行棋有( )副。 7．（2025·江苏苏州·小升初真题）星期天小明去爬山，从山脚到山顶用32分钟，然后原路返回用24分钟，已知下山比上山每分钟多走20米。小明下山每分钟走( )米，爬山走了( )米。 8．（2024·江苏连云港·小升初真题）解方程或比例。 x∶10＝0.2∶        x－70%x＝5.7        ＝0.8∶1.8 9．（2025·江苏无锡·小升初模拟）无锡举办青少年非遗文化传承活动，参加锡剧表演学习的学生有25人，比参加惠山泥人制作学习人数的3倍少8人，参加惠山泥人制作学习的学生有多少人？（列方程解答） 10．（2025·江苏苏州·小升初真题）学校买来6张办公桌和12把椅子，一共用了3600元。已知每把椅子的价钱比每张桌子便宜240元，每把椅子和每张办公桌各是多少元？ 【思维拓展拔尖】 1．针对2a＋6这个式子，四名同学分别画图表示了自己的理解，其中正确的是（    ）。 A． B． C． D． 2．（2024·江苏南通·小升初真题）体育商店一个足球80元，一个篮球60元。学校要买足球和篮球共30个，足球的总价比篮球贵440元，学校买篮球（    ）个。 A．8 B．14 C．16 D．22 3．（2024·江苏扬州·小升初真题）为确保信息安全，信息需要加密传输，发送时是：明文→密文（加密过程），接收时是：密文→明文（解密过程）。已知加密规则为：明文m、n对应的密文为3m、2n－1，如果接收到的密文为12、9，那么解密得到的明文应为（    ）。 A．4、5 B．36、17 C．4、4 D．36、4 4．数m、n、t在数线上的位置如图所示，与数t最接近的是（    ）。 A．n＋m B．n－m C．n×m D．n÷m 5．（2024·江苏盐城·小升初真题）如图各图是晋商大院窗格图案的一部分，其中“〇”代表窗纸上所贴的剪纸。 (1)第1个图中所贴剪纸“〇”的个数为5，第2个图中所贴剪纸“〇”的个数为( )，第3个图中所贴剪纸“〇”的个数为( )。 (2)用含有字母的式子表示第n个图中所贴剪纸“〇”的个数是( )，当n＝26时，所贴剪纸“〇”的个数是( )。 6．（2024·江苏泰州·小升初真题）用若干张边长是1厘米的正方形纸片，像如图这样依次摆出1层、2层、3层……的图形。如果摆4层，需要( )个正方形纸片，摆成的图形的周长是( )厘米；如果摆出n层，摆成的图形的周长是( )厘米。 7．（2024·江苏镇江·小升初真题）数学中规定：连接多边形任意两个不相邻顶点的线段叫做多边形的对角线。 正多边形 …… 边数 4 5 6 … 一个顶点可画 对角线数量 1 2 3 … 对角线总数量 2 5 9 … 聪聪是个喜欢思考的学生，他发现正多边形的对角线数量和正多边形的边数存在某种规律（如图），照这样的规律正七边形一共有( )条对角线，正n边形共有( )条对角线。 8．（2025·江苏无锡·小升初真题）解方程或解比例。 4x－2.4×5＝52                           9．（2025·江苏无锡·小升初真题）某中药园内种植了公顷三七，三七比金银花的种植面积多10%。该中药园内种植的金银花的面积是多少公顷？（列方程解答） 10．（2024·江苏无锡·小升初真题）同学们，“观察一猜想一验证一结论一应用”是我们常用的数学探究方法。梁希同学在边长为5厘米的正方形纸片上剪去一个边长为3厘米的小正方形，怎样求剩余部分的面积呢？梁希同学想出了两种不同的方法（如下图）。 从中可以得到：。观察这个等式的特征，回答问题： （1）猜想：是不是任意两个数都具有这样的规律呢？（    ）（填“是”或“不是”） （2）请举2个例子验证： ①（    ）×（    ）   ②____________________________ （3）如果用和分别表示两个数，这样的规律可以表示为：_______________________ （4）计算下图中圆环的面积，尝试应用上面得到的规律进行简算。（单位：厘米） 试卷第2页，共121页 试卷第2页，共33页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026年小升初数学二轮复习之必备知识考点清单真题汇编讲练•江苏专用 专题04 式与方程（必备知识&二轮复习+考点清单） 【解析版】 内●容●导●航 第一部分 导图指引 构建思维框架。明确攻坚方向 第二部分 知识清单 洞察考点考向，提炼通用解法 知识点01 用字母表示数、数量关系、计算公式和运算定律 知识点02 等式与方程 知识点03 列方程解应用题 第三部分 考点讲练 重点难点分析，强化解题技能 考点序列 考点名称 考点一 用字母表示数 考点二 含有字母式子的化简与求值 考点三 等式的认识及列等量关系式 考点四 等量代换 考点五 方程的意义 考点六 等式的意义及性质 考点七 方程的解与解方程 考点八 列方程解含一个未知数的问题 考点九 列方程解含两个未知数的问题 考点十 列方程解决稍复杂的实际问题 第四部分 分层训练 基础能力夯实，思维拓展拔尖 导●图●指●引 知●识●清●单 知识点01 用字母表示数、数量关系、计算公式和运算定律 知识必备 1.用字母表示数 （1）一班有男生a人，有女生b人，一共有（a+b）人； （2）每袋面粉重25千克，x袋面粉一共重25x干克 2.用字母表示数量关系 （1）路程=速度×时间，用字母表示为s=vt； （2）正比例关系：（一定），反比例关系：x×y=k（一定）等。 3.用字母表示计算公式 （1）长方形的周长：C=2（a+b）； （2）长方形的面积：S=ab； （3）长方体的体积：V=abh或V=Sh等。 4．用字母表示运算定律 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c） 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：（ab）c=a（bc） 乘法分配律：（a+b）c-ac+bo 【易错点拨】 数与字母、字母与字母相乘时，乘号可以记作简写为一个点或省略不写，但要注意，省略乘号后，数字要写在字母的前面。 两个相同的字母相乘时，可以写成这个字母的平方，如a×a可以写作a2 知识点02 等式与方程 知识必备 1.等式与方程的意义及关系 意义 关系 等式 表示相等关系的式子叫作等式 所有的方程都是等式，但是等式不一定是方程 方程 含有未知数的等式叫作方程 2.等式的性质 （1）性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。 （2）性质2：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果仍然是等式。 3.解方程 （1）方程的解的概念：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。 （2）解方程的概念：求方程的解的过程叫作解方程。 （3）解方程的依据：可以根据等式的性质和四则运算中各部分之间的关系解方程。 （4）检验方程的解是否正确，步骤如下：（01）把求出的未知数的值代入原方程中；（02）计算，看等式是否成立；（03）等式成立，说明这个未知数的值是方程的解，等式不成立，说明解方程错误，需要重新求解。 知识点03 列方程解应用题 知识必备 （1）列方程解应用题的优点 先用一个字母代替未知数，再把它看作已知数参与列式和运算，便于把题中的数量关系直接反映出来，使问题简单化。 （2）列方程解应用题的一般步骤 ①弄清题意，找出未知数并用字母表示；②根据题中数量间的相等关系列出方程； ③根据等式的性质解方程，求出方程中的未知数；④检验写答。 考●点●讲●练 考点一 用字母表示数 母题精讲（2025·江苏淮安·小升初真题）如图所示有一根弯曲的铁丝，准备用如图所示的方式剪开，这样就把原来的铁丝分成了几段，发现规律并填写下表。 剪的次数/次 1 2 3 …… 10 …… a 分成的段数/段 4 …… …… 【答案】7；10；31；（3a＋1） 【思路引导】剪1次分成4段，4＝3×1＋1；剪2次分成（4＋3）段，即7段，7＝3×2＋1；剪3次分成（4＋3＋3）段，即10段，10＝3×3＋1；则如果剪10次，可分成3×10＋1，计算得31次；如果剪切次数用a表示，则分成的段数是3a＋1。据此填表即可。 【规范解答】4＋3＝7（段） 4＋3＋3 ＝7＋3 ＝10（段） 3×10＋1 ＝30＋1 ＝31（段） 如果剪切次数用a表示，则分成的段数是（3a＋1）段。 如图所示有一根弯曲的铁丝，准备用如图所示的方式剪开，这样就把原来的铁丝分成了几段，发现规律并填写下表。 剪的次数/次 1 2 3 …… 10 …… a 分成的段数/段 4 7 10 …… 31 …… （3a＋1） 【考点剖析】解决此题关键是通过观察图形找出剪的次数与分成的段数间的规律，可用字母表示出剪的次数与分成的段数间的关系。 举一反三01（2024·江苏泰州·小升初真题）仔细阅读图，与它的图意相符的式子是（    ）。 A．（a＋b）2＝a2＋b2 B．（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab C．（a－b）2＝a2－b2 D．（a＋b）2＝2ab 【答案】B 【思路引导】根据：正方形的面积＝边长×边长，长方形的面积＝长×宽，大正方形的面积＝两个小正方形的面积＋两个小长方形的面积；解答此题即可。 【规范解答】根据分析， 大正方形的面积：a×a＝a2 小正方形的面积：b×b＝b2 长方形的面积：a×b＝ab 两个长方形的面积是：2ab 这个图形的总面积是：a2＋b2＋2ab 大正方的边长是：a＋b 这个图形的面积是：（a＋b）×（a＋b）＝（a＋b）2 与图意相符的式子是：（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab。 故答案为：B 举一反三02（2024·江苏无锡·小升初真题）小军用小正方形卡纸摆图形（如图），照这样摆下去，摆第4个图形要用( )个小正方形；摆第个图形要用( )个小正方形。 【答案】 14 6＋2n 【思路引导】像这样摆下去，所用小正方形卡纸的个数是8、10、12、14…，8＝6＋2×1、10＝6＋2×2、12＝6＋2×3……则第4个图形用的个数是6＋2×4＝14（个），第n个图形用的个数是（6＋2n）个；据此解答。 【规范解答】由分析可知，第4个图形要用： 6＋2×4 ＝6＋8 ＝14（个） 第n个图形用的小正方形个数是（6＋2n）个。 因此摆第4个图形要用14个小正方形；摆第n个图形要用（6＋2n）小正方形。 考点二 含有字母式子的化简与求值 母题精讲（2024·江苏无锡·小升初真题）直接写出得数。                                   【答案】 2100；0.125；3.6a；2 9450；1.2；； 举一反三01（2024·江苏泰州·小升初真题）在数学上，图形可以通过一种特殊的方式进行“生长”。以一个正三角形为例，将它的三条边分别进行三等分，然后以每条边中间的一段为底边，向外再画出一个等边三角形，并擦去原来中间的那一段，这时，图形就完成了一次“生长”变形，成为了一个新图形（如图中①②。 (1)如果一个边长是27厘米的等边三角形，经过两次“生长”变形，得到的图形（如图③周长是( )厘米。 (2)如果一个边长为厘米的等边三角形，像这样经过四次“生长”变形，得到的图形周长是( )厘米。（用含有的式子表示） 【答案】(1)144 (2) 【思路引导】如图②把新图形的周长看作12份，则原来图形①的周长看作是9份，，也就是每一次“生长”，新图形的周长都变成原来的，再按规律解答即可。 【规范解答】（1）边长是27厘米的等边三角形，周长是27×3＝81（厘米）。 第一个“生长”，得到图形的周长是（厘米） 第二次“生长”，得到图形的周长是（厘米） 因此一个边长是27厘米的等边三角形，经过两次“生长”变形，得到的图形周长是144厘米。 （2）边长为a厘米等边三角形，周长是（3a）厘米。 第一次“生长”，得到图形的周长是（厘米） 第二次“生长”，得到图形的周长是（厘米） 第三次“生长”，得到图形的周长是（厘米） 第四次“生长”，得到图形的周长是（厘米） 因此一个边长为厘米的等边三角形，像这样经过四次“生长”变形，得到的图形周长是厘米。 【考点剖析】解答本题的关键是通过图形①和图形②的特例分析从而总结出图形周长变化的规律，再直接利用规律求解。 举一反三02（2024·江苏南通·小升初真题）如图，有一根弯曲的铁丝，准备用如图1所示的方式剪切，这样就把原来的铁丝分成了几段。 （1）探究：按如图2的方式剪切，在括号里填写适当的数。 （2）总结：如果剪切次数用表示，分成的段数用表示时，和的关系是（    ）。 （3）应用：像这样如果剪切20次，会分成（    ）段。 【答案】（1）7；10 （2） （3）61 【思路引导】（1）剪1次分成4段，剪2次分成（4＋3＝4＋3×1）段，剪3次分成（4＋3＋3＝4＋3×2）段。 （2）总结：如果剪切次数用a表示，分成的段数用b表示时，a和b的关系是b＝4＋3×（a－1）。 （3）应用：像这样如果剪切20次，就是当a＝20时，代入a和b的关系式，求出b即可。 【规范解答】（1）剪2次：4＋3×1 ＝4＋3 ＝7（段） 剪3次：4＋3×2 ＝4＋6 ＝10（段） 填数如下： （2）4＋3×（a－1） ＝4＋3a－3 ＝（3a＋1）段 因此剪切次数用a表示，分成的段数用b表示时，a和b的关系为b＝3a＋1。 （3）当a＝20时，代入b＝3a＋1得： 3×20＋1 ＝60＋1 ＝61（段） 因此像这样如果剪切20次，会分成61段。 考点三 等式的认识及列等量关系式 母题精讲（2024·江苏扬州·小升初真题）数量间的相等关系是列方程的根据，请先填写数量关系式，再列出方程。两艘轮船同时从南京出发，沿长江航道开往武汉。“振兴”号的速度是千米/时，“丰春”号的速度更快，是32千米/时，7.5小时后两船相距30千米。 _______________( )_______________＝_______________ 根据上面的数量关系式列出方程：_____________________________________。 【答案】 “丰春”号的速度×时间 － “振兴”号的速度×时间 两船相距的路程 32×7.5－7.5＝30 【思路引导】根据“路程＝速度×时间”可得出：“丰春”号7.5小时行驶了7.5千米，“振兴”号7.5小时行驶了（32×7.5）千米，再用“丰春”号行驶的路程减去“振兴”号行驶的路程，即是7.5小时后两船相距30千米，据此先写出数量关系式，再根据数量关系式列出方程。 【规范解答】数量关系式：“丰春”号的速度×时间－“振兴”号的速度×时间＝两船相距的路程 根据上面的数量关系式列出方程：32×7.5－7.5＝30。 举一反三01（2024·江苏盐城·小升初真题）下面的式子中，（    ）是方程。 A．3.2＋1.8＝5 B．x－6 C． D．2a＋3b 【答案】C 【思路引导】方程是指含有未知数的等式。所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式。据此解答即可。 【规范解答】A．3.2＋1.8＝5，是等式，但不含未知数，所以不是方程； B．x－6，含有未知数，但不是等式，所以不是方程； C．x＝1，含有未知数，且是等式，所以是方程； D．2a＋3b，含有未知数，但不是等式，所以不是方程。 故答案为：C 举一反三02（2025·河北石家庄·小升初真题）按如图所示的规律摆放三角形，第五堆三角形的个数为( )个；第( )堆三角形的个数为122个。 【答案】 17 40 【思路引导】由题图可知第一个图有5个三角形，后面的每个图形均比前一个多3个三角形，则第n个图有[5＋3（n－1）]个三角形，代入5，可求得第五堆有几个三角形；令式子等于122，解得方程，即可确定第几堆三角形的个数为122个。 【规范解答】5＋3×（5－1） ＝5＋3×4 ＝5＋12 ＝17（个） 所以第五堆三角形的个数为17个。 5＋3（n－1）＝122 解：5＋3（n－1）－5＝122－5 3（n－1）＝117 3（n－1）÷3＝117÷3 n－1＝39 n－1＋1＝39＋1 n＝40 所以第40堆三角形的个数为122个。 【考点剖析】本题难点在于找到三角形增加的规律，通过观察前三个图，可知道每个图比上一个图多了3个三角形，列出式子，代入或解方程即可解得此题。 考点四 等量代换 母题精讲（2025·江苏苏州·小升初真题）有三堆围棋子，每堆60枚。第一堆有是白子，第二堆的黑子与第三堆的白子同样多。这三堆棋子中一共有多少枚白子？ 【答案】 80枚 【思路引导】第一堆白子数为60的，求一个数的几分之几用乘法，由此求出第一堆白子数；已知“第二堆的黑子与第三堆的白子同样多”说明第二堆白子与第三堆白子的枚数之和是60枚，再加上第一堆白子的枚数，即是这三堆中白子的总枚数。 【规范解答】（枚） 20＋60＝80（枚） 答：这三堆棋子中一共有80枚白子。 举一反三01（2025·河北石家庄·小升初真题）●、■、▲分别表示三种不同的物体，如图，前两个天平保持平衡，如果要使第三个天平保持平衡，那么“？”为( )。 【答案】5 【思路引导】根据天平平衡，将▲代替成●与■的和，即可求出●是几个■，由此即可求出●与▲的和是几个■。 【规范解答】●＋●＝▲＋■ ●＋■＝▲ 所以●＋●＝●＋■＋■ 即●＝■＋■ 所以●＋▲＝●＋●＋■＝■＋■＋■＋■＋■＝5个■ 即“？”为5。 举一反三03（2024·广东湛江·小升初真题）如果a－b＝c（c不等于0），那么a－（b＋c）＝( )，（a－b）÷c＝( )。 【答案】 0 1 【思路引导】a－b＝c，根据减法各部分间的关系，减数＋差＝被减数，可知b＋c＝a，进而分别把b＋c和a－b换成a和c计算得解。 【规范解答】因为a－b＝c，所以b＋c＝a，那么： （1）a－（b＋c）＝a－a＝0； （2）（a－b）÷c＝c÷c＝1。 考点五 方程的意义 母题精讲（2024·江苏扬州·小升初真题）如图中，不正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】A．表示相等关系的式子叫等式。含有未知数的等式叫做方程。据此判断。 B．偶数：像2，4，6，8…都是2的倍数的数叫做偶数。奇数：像1，3，5，7…不是2的倍数的数叫做奇数。据此判断。 C．质数：只有1和它本身两个因数的数叫做质数；合数：除了1和它本身外，还有其他因数的数叫合数。据此判断。 D．真分数：分子比分母小的分数叫做真分数，真分数小于1。假分数：分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数，假分数大于或者等于1。据此判断。 【规范解答】A．据分析可知，方程是等式的一种特殊形式，正确。 B．据分析可知，非0自然数中可分为奇数和偶数，正确。 C．非 0 自然数中包含 1，但 1 既不是质数也不是合数，因此把非 0 自然数直接分成质数和合数并不正确。 D．据分析可知，分数可分为真分数和假分数，正确。 故答案为：C 举一反三01（2025·甘肃兰州·小升初真题）下列数学问题中，不能用方程“2X＋4＝16”解决的是（    ）。 A．B．C． D． 【答案】D 【思路引导】A．根据两种树木的数量关系：桃树的棵数＝梨树棵数的2倍＋4棵，杨树共16棵，以此列出方程； B．根据物品数量的关系：前2个盒子的数量＋第3个盒子的4个＝总数16个，以此列出方程； C．将三角形三个边长相加等于周长，以此列出方程； D．根据长方形的面积＝长×宽，表示出整个长方形的长和宽，相乘等于16cm2，即可列出方程。 【规范解答】A．梨树有X棵，桃树的数量是梨树的2倍还多4棵，桃树共16棵，对应的方程：2X＋4＝16，符合题意。 B．3个盒子，前2个各装X个，第3个装4个，一共16个，对应的方程：2X＋4＝16，符合题意。 C．三角形周长16cm，两条边长为Xcm，一条边长4cm，对应的方程：2X＋4＝16，符合题意。 D．长方形总面积16cm2，宽2cm，长分为Xcm和4cm两部分，长方形的长为（X＋4）cm，面积为：2（X＋4）＝16，展开后为 2X＋8＝16，与2X＋4＝16不同，不能用该方程解决。 不能用方程“2X＋4＝16”解决的是。 举一反三02（2025·云南昆明·小升初真题）下面数学问题中，不能用方程“2x＋6＝14”解决的是（    ）。 A．①③ B．①④ C．②③ D．③④ 【答案】B 【思路引导】 ① 将三角形三个边长相加等于周长，以此列出方程。 ② 将两个面包的价格加上一罐牛奶的价格等于总的价格，以此列出方程。 ③ 根据题中线段图可知苹果的2倍加上6千克为14千克，以此列出方程。 ④ 根据长方形的面积＝长×宽，表示出整个长方形的长和宽，相乘等于14，即可列得方程。 【规范解答】①根据三角形的周长公式可得6＋6＋x＝14，不能用方程“2x＋6＝14”解决。 ②x＋x＋6＝2x＋6＝14，能用方程“2x＋6＝14”解决。 ③香蕉质量＝x＋x＋6＝14，能用方程“2x＋6＝14”解决。 ④根据长方形的面积公式可得（6＋x）×2＝12＋2x＝14，不能用方程“2x＋6＝14”解决。 不能用方程“2x＋6＝14”解决的是①④。 故答案为：B 考点六 等式的意义及性质 母题精讲（2024·江苏泰州·小升初真题）下列（    ）算式不能体现和的最大公因数是，最小公倍数是。、都是非0的自然数） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】如果两个数成倍数关系，那么这两个数中小数是大数的因数，大数是小数的倍数，小数就是这两个数的最大公因数，大数就是这两个数的最小公倍数。 从题意可知：和的最大公因数是，最小公倍数是。那么是的倍数，是的因数。据此判断即可。 【规范解答】A．将的两边同时乘10可得：，即和成倍数关系，该选项算式能体现和的最大公因数是，最小公倍数是。 B．可得：和不成倍数关系，该选项算式不能体现和的最大公因数是，最小公倍数是。 C．可知即和成倍数关系，该选项算式能体现和的最大公因数是，最小公倍数是。 D．可得：，即，即和成倍数关系，该选项算式能体现和的最大公因数是，最小公倍数是。 故答案为：B 举一反三01（2025·重庆渝北·小升初真题）我们把“个相同的数相乘”记为，例如。 (1)请计算：________，__________。 (2)观察下列等式： 由以上规律，我们可以猜： _______。 (3)计算：。 【答案】（1）64；625 （2） （3） 【思路引导】（1）根据“个相同的数相乘”记为，将写成6个2相乘，写成4个5相乘，计算即可； （2）观察 …… 可知算式左边为乘到1的连续次方数减1的和，结果为（）； （3）利用（2）的规律，符合的形式，其中＝3，n＝2011，根据结论 ，可得（3－1）（）＝，根据等式的性质2，两边同时÷（3－1），计算即可。 【规范解答】（1）2×2×2×2×2×2＝64，5×5×5×5＝625。 （2） （3）根据分析，可得： （3－1）（）＝ 解：（3－1）（）÷（3－1）＝（）÷（3－1） ＝ 【考点剖析】关键是理解“个相同的数相乘”记为，总结出第（2）题的规律，根据总结出的规律，运用等式的性质，求出第（3）题的结果。 举一反三02（2025·山东聊城·小升初真题）在研究时，聪聪这样想：因为，所以，依据是( )；将等式变形得，依据是( )；计算得，所以，依据是( )。（填序号） ①除法是乘法的逆运算 ②等量的等量相等 ③等式的基本性质 【答案】 ① ③ ② 【思路引导】由，根据“商×除数＝被除数”可得； 由，根据等式的性质，等式的两边同时乘，左右两边仍然相等，可得； 由，计算得，所以根据等量的等量相等，可以得出。 【规范解答】由，可得，依据是除法是乘法的逆运算； 由，可得，依据是等式的基本性质； 由，可得，依据是等量的等量相等。 填空如下： 在研究时，聪聪这样想：因为，所以，依据是（①）；将等式变形得，依据是（③）；计算得，所以，依据是（②）。 考点七 方程的解与解方程 母题精讲（2025·江苏无锡·小升初模拟）求未知数x                    【答案】x＝1.1；x＝；x＝ 【思路引导】先计算出0.7x＋x，再根据因数＝积÷另一个因数，即可求解； 根据除数＝被除数÷商，即可求解； 先根据比与分数的关系：分子相当于比的前项，分母相当于比的后项，＝x∶4；再根据比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积，即可求解。 【规范解答】 解：1.7x＝1.87 x＝1.87÷1.7 x＝1.1 解：x＝÷ x＝× x＝ 解：x∶4＝∶ x＝4× x＝ x＝÷ x＝× x＝ 举一反三01（2025·江苏苏州·小升初真题）甲、乙、丙三辆汽车同时从A地出发去B地。甲、乙两车的速度分别为每小时66千米和每小时50千米。有一辆迎面开来的卡车分别在它们出发后的4小时、5小时、8小时先后与甲、乙、丙三辆车相遇。求丙车的速度。 【答案】26千米/小时 【思路引导】假设卡车的速度是x千米/小时，由题意知卡车在4小时时与甲车相遇，此时卡车行驶的路程和甲车行驶的路程等于卡车一开始距离A地的距离；卡车在5小时时与乙车相遇，此时卡车行驶的路程和乙车行驶的路程等于卡车一开始距离A地的距离；根据这个等量关系列方程求出卡车的速度以及卡车一开始距离A地的距离，再根据：卡车在8小时时与丙车相遇，此时卡车行驶的路程和丙车行驶的路程等于卡车一开始距离A地的距离，计算出丙车的速度即可。 【规范解答】解：设卡车速度x千米/小时。 卡车一开始距离A地： ＝80×4 ＝320（千米） 丙车的速度： ＝40－14 ＝26（千米/时） 答：丙车的速度是26千米每小时。 【考点剖析】相向而行同时出发，相遇时，则两车的速度和×时间＝两车一开始相距的距离。 举一反三02（2025·江苏淮安·小升初真题）解方程。 16＋0.8x＝64         【答案】x＝60；x＝；x＝ 【思路引导】根据等式的性质等式的两边同时减16，再同时除以0.8，求解即可。 先根据比例的性质转化成方程，再根据等式的性质等式的两边同时乘，求解即可。 先根据加减法中各部分之间的关系转化方程，再根据等式的性质等式的两边同时乘3，求解即可。 【规范解答】16＋0.8x＝64 解：16＋0.8x－16＝64－16 0.8x＝48 0.8x÷0.8＝48÷0.8 x＝60 ：＝： 解： ＝× ÷＝÷ ＝× ＝ 1－＝ 解：1－＋ ＝＋ 1＝＋ 1－＝＋－ ＝ ÷＝÷ ＝×3 ＝ 考点八 列方程解含一个未知数的问题 母题精讲（2025·江苏苏州·小升初真题）在一个长20厘米，宽15厘米长方体的容器中，浸没着一块长方体铁块（横着放置），水的高度是9厘米。如果把铁块竖直放置（铁块底面与容器底面完全接触），铁块会有10厘米高的部分露出水面，这时容器中水的高度是7厘米。这个铁块的体积是多少？现在再把铁块向上提起5厘米，此时水深多少厘米？ 【答案】1020立方厘米；6厘米 【思路引导】长方体的体积＝长×宽×高＝底面积×高。 根据题意，当铁块横着放置时，水的体积与铁块的体积之和等于容器的底面积乘水的高度（9厘米）；当铁块竖直放置时，水的体积与铁块浸入水中部分的体积之和等于容器的底面积乘新的水位高度（7厘米）； 铁块的总高度等于露出水面的10厘米加上浸入水中的7厘米，即17厘米； 设铁块的底面积为平方厘米，则铁块的体积是（10＋7）立方厘米；根据水的体积不变可列出方程，求出铁块的底面积，进而计算出铁块的体积，再把的值代入方程的一边计算出水的体积； 现在把铁块向上提起5厘米，那么铁块浸入水中的高度变为7－5＝2厘米；用容器的底面积乘2，求出此时铁块浸入水中的体积，加上水的体积，即是此时浸入水中铁块的体积与水的体积之和，再除以容器的底面积，求出此时水的深度。 【规范解答】解：设铁块的底面积为平方厘米。 铁块体积：（立方厘米） 水的体积： （立方厘米） 铁块向上提起5厘米后，铁块浸入水中部分的体积： （立方厘米） 提起后水和浸入水中部分的铁块体积之和： （立方厘米） 提起后水深： （厘米） 答：这个铁块的体积是1020立方厘米。再把铁块向上提起5厘米，此时水深6厘米。 【考点剖析】通过比较铁块横放和竖放时水位变化的关系，根据水的体积不变，列出方程，求出铁块的体积以及水的体积；当提起铁块后，铁块浸入水中部分减少，排开水量减少，分析提起铁块后容器内的水位变化。 举一反三01（2025·江苏淮安·小升初真题）2025年最受关注的“苏超”火爆全网，本次江苏省城市足球联赛采用“常规赛十淘汰赛”双阶段赛制，参赛队伍共计13支。常规赛实行主客场循环赛制，每轮比赛安排1支球队轮空。淘汰赛：采用单回合淘汰赛赛制，淘汰赛阶段每场比赛均决出胜负，负者为亚军，第3－8名根据淘汰赛成绩和常规赛排名综合确定名次。 （1）常规赛中积分前8名的球队才能进入淘汰赛，积分前8名的球队总共需要进行（    ）场淘汰赛。（在括号填写答案，不用列式） （2）常规赛中13支球队总共需要进行多少场比赛？ （3）常规赛中，每场比赛胜一场得3分，平一场得1分，淮安队将平3场，淮安在常规赛中想要进入淘汰赛至少需要取得积分21分。按照AI的预测结果，淮安队至少获胜（    ）场才能进入淘汰赛。 【答案】（1）7； （2）156场； （3）6 【思路引导】（1）淘汰赛每比赛一场淘汰一支队伍，决出冠军需要淘汰8－1＝7（支）队伍，所以需要进行7场比赛。 （2）13支球队进行主客场循环赛，一个完整的主客场循环赛，每支球队都要作为主场和其余（13－1）支球队比赛一次，即每个球队作为主场的比赛有（13－1）次，总共13支球队，所以比赛总场数为13×（13－1），计算即可得常规赛一共比赛多少场次。 （3）设淮安队至少获胜场才能进入淘汰赛，已知平3场，总积分至少21分，可列方程，解这个方程求出的最小值。 【规范解答】（1）8－1＝7（场） 常规赛中积分前8名的球队才能进入淘汰赛，积分前8名的球队总共需要进行7场淘汰赛。（在括号填写答案，不用列式） （2）13×（13－1） ＝13×12 ＝156（场） 答：常规赛中13支球队总共需要进行156场比赛。 （3）解：设淮安队至少获胜场才能进入淘汰赛。 常规赛中，每场比赛胜一场得3分，平一场得1分，淮安队将平3场，淮安在常规赛中想要进入淘汰赛至少需要取得积分21分。按照AI的预测结果，淮安队至少获胜6场才能进入淘汰赛。 【考点剖析】解题关键：第一问：关键在于理解淘汰赛赛制，即每场淘汰一支队伍，要决出冠军需淘汰8−1支队伍，从而确定比赛场数。第二问：明确主客场循环赛制规则，先算出每个球队都要作为主场比赛多少次，再依据球队总数算出总场数。第三问：根据积分规则设获胜场数为未知数，通过建立方程求解出满足进入淘汰赛积分要求的最少获胜场数。 举一反三02（2024·江苏无锡·小升初真题）某市修建一条公路，已经修了全长的60%，还有4.8千米没有修。这条公路长多少千米？（列方程解答） 【答案】12千米 【思路引导】将这条公路的长看作单位“1”，这条公路的长×修了的对应百分率＝修了的长度，设这条公路长x千米，根据这条公路的长－修了的长度＝没有修的长度，列出方程解答即可。 【规范解答】解：设这条公路长x千米。 x－60%x＝4.8 0.4x＝4.8 0.4x÷0.4＝4.8÷0.4 x＝12 答：这条公路长12千米。 考点九 列方程解含两个未知数的问题 母题精讲（2025·江苏苏州·小升初真题）一根长420厘米的铁丝围成一个长方形，长是宽的5倍。这个长方形的长是多少厘米？（列方程解答） 【答案】175厘米 【思路引导】根据题意，可以设宽为x厘米，长是宽的5倍，则长可以表示为5x厘米，由长方形周长＝（长＋宽）×2，可列方程：长＋宽＝周长÷2据此分别求出该长方形的长和宽。 【规范解答】解：设宽为x厘米，则长为5x厘米。 （x＋5x）×2＝420 （x＋5x）×2÷2＝420÷2 6x＝210 6x÷6＝210÷6 x＝35 35×5＝175（厘米） 答：这个长方形的长是175厘米。 举一反三01（2025·江苏苏州·小升初真题）2025年是新中国成立76周年，实验小学举行了以“礼赞新中国，放歌新时代”为主题的歌咏比赛。比赛分单人独唱和双人合唱，共有18组，30名学生参加比赛，单人独唱和双人合唱各有多少组？ 【答案】单人独唱6组；双人合唱12组 【思路引导】本题可通过设未知数，设双人合唱的组数为x组，因为总组数是18组，所以单人独唱的组数就是（18－x）组。再根据单人独唱每组1人，双人合唱每组2人，以及总共有30名学生参加比赛这一条件，列出方程2×x＋1×（18－x）＝30求解。 【规范解答】设双人合唱有x组，则单人独唱有（18－x）组。根据人数关系可列方程： 2×x＋1×（18－x）＝30 2x＋18－x＝30 x＋18－18＝30－18 x＝12 将x＝12代入18－x，可得单人独唱的组数为18－12＝6（组） 答：单人独唱有6组，双人合唱有12组。 举一反三02（2024·江苏镇江·小升初真题）临近毕业，同学们和自己的好朋友互赠礼物。酷爱集卡的小华和小明互赠卡片。两人共有112张，小华拿出自己拥有卡片的送给小明，现在两人的卡片张数就同样多。原来小华和小明各有多少张卡片？（先把线段图补充完整，再解答） 【答案】小华72张；小明40张 【思路引导】根据题意，设小华有张，则小明有（112－）张卡片；小华拿出自己拥有卡片的送给小明，即送给小明张，那么小华还剩张，小明则有张，现在两人的卡片张数就同样多，所以可以列出方程，解出未知数即是小华卡片的张数，再用两人卡片的总张数减去小华的张数，求出小明卡片的张数。 【规范解答】如图： 解：设小华有张，则小明有（112－）张卡片。 ＝72 112－72＝40（张） 答：小华有72张卡片，小明有40张卡片。 考点十 列方程解决稍复杂的实际问题 母题精讲（2025·河南商丘·小升初真题）某次中外公司谈判会议开始10分钟听到挂钟打钟（只有整点时打钟，几点钟就响几下），整个会议当中共听到14下钟声，会议结束时，时针和分针恰好成90度角，求会议开始的时间，结束的时间各是什么时刻。 【答案】开始时间为1：50，结束时间应该是5：或5： 【思路引导】整点钟声次数为几点就响几下，且总和为14。唯一连续整数组合为2＋3＋4＋5＝14，说明会议期间听到2点、3点、4点、5点的钟声。 第一次钟声在2：00响起，会议开始10分钟后听到，故开始时间为2：00−10分钟＝1：50。 结束时间在5点后，时针与分针成90°角。 时针速度：0.5°/分钟，分针速度：6°/分钟。 5点整时，分针位置为0°即指向12，时针位置指向5，旋转的角度为5×30°＝150°。 设5点过x分钟后满足条件，可列出满足下列两种情况的方程并求解： 当分针在“1－5区间”任意位置时，时针与分针的夹角为： 150＋0.5x－6x＝90 当分针在“5－12区间”任意位置时，分针与时针的夹角为： 6x－（150＋0.5x）＝90 【规范解答】2＋3＋4＋5＝14，说明会议期间听到2点、3点、4点、5点的钟声。 2：00−10分钟＝1：50 解：设5点过x分钟时针与分针成90°角。 假设当分针在钟面“1－5区间”任意位置时，则： 150＋0.5x－6x＝90 150－5.5x＝90 150＝90＋5.5x 90＋5.5x＝150 5.5x＝150－90 5.5x＝60 x＝60÷5.5 x＝ 对应结束时间为5： 假设当分针在钟面“5－12区间”任意位置时，则： 6x－（150＋0.5x）＝90 6x－150－0.5x＝90 5.5x－150＝90 5.5x＝90＋150 5.5x＝240 x＝240÷5.5 x＝ 对应结束时间为5： 答：会议开始时间为1：50，结束时间应该是5：或5： 【考点剖析】本题关键是利用“整点钟声次数和为14”确定听到的整点，再结合时针每分钟走0.5°、分针每分钟走6°的规律，通过夹角公式计算结束时间。 举一反三01（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）6条谜语让50人猜测，共猜对了178条。已知每人至少猜对2条，且猜对2条的有16人，猜对4条的有9人，猜对3条和5条的人数一样多，那么6条全猜对的有( )人。 【答案】5 【思路引导】由题意可得如下数量关系： 关系①：猜对3条、5条、6条一共的人数＝总人数－猜对2条的人数－猜对4条的人数， 关系②：猜对3条的人数＝猜对5条的人数， 关系③：猜对3条的人数×3＋猜对5条的人数×5＋猜对6条的人数×6＝总条数－猜对2条的人数×2－猜对4条的人数×4，设猜对3条的有人，猜对5条的有人，根据关系①可表示猜对6条的人数，再利用关系③列方程。 【规范解答】猜对3条、5条、6条一共的人数： 50－16－9＝25（人） 分别猜对3条、5条、6条的人一共猜对的总条数： 178－2×16－4×9 ＝178－32－36 ＝110（条） 解：设猜对3条的有人，猜对5条的有人，猜对6条的有（25－－）人。 猜对6条的人数： 25－10－10 ＝15－10 ＝5（人） 所以猜对6条的人数为5人。 举一反三02（2025·重庆九龙坡·小升初真题）有一些相同的房间需要粉刷墙面，一天3名一级技工去粉刷8个房间，结果其中有50平方米墙面未来得及刷；同样时间内5名二级技工粉刷了10个房间之外，还多刷了另外的40平方米墙面。每名一级技工比二级技工一天多粉刷10平方米墙面。求每个房间需要粉刷的墙面面积。 【答案】52平方米 【思路引导】设每个房间需要粉刷的墙面面积为x平方米。3名一级技工一天粉刷的总面积是8个房间的面积减去未刷的50平方米，因此每名一级技工一天的粉刷面积为（8个房间总面积－50）÷3；5名二级技工一天粉刷的总面积是10个房间的面积加上多刷的40平方米，因此每名二级技工一天的粉刷面积为（10个房间总面积＋40）÷5。每名一级技工一天粉刷面积－二级技工一天粉刷面积＝10，据此列出方程，先化简，再根据等式的性质求解出x的值即可解答。 【规范解答】解：设每个房间需要粉刷的墙面面积是x平方米。 （8x－50）÷3－（10x＋40）÷5＝10 x－－2x－8＝10 x－2x－－8＝10 x－x－－＝10 x－＝10 x－＋＝10＋ x＝ x×＝× x＝52 答：每个房间需要粉刷的墙面面积是52平方米。 分●层●训●练 【基础能力夯实】 1．随着通讯市场竞争的日益激烈，某通讯公司的手机市话收费按原标准每分钟降低了a元后，再次下调了25%，现在的收费标准是每分钟b元，则原收费标准每分钟为（    ）元。 A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】设原收费标准每分钟为x元。根据题意，原标准降低a元后为（x － a）元，再下调25%，即降价后的价格是（x － a）的75%，等于现在的收费标准b元。因此，可以列出方程求解x。 【规范解答】解：设原收费标准为x元。 （x － a） × （1－25%） ＝ b （x － a） ×0.75＝ b （x － a） ×＝ b （x － a） ×÷＝ b÷ x – a＝b× x – a＋a＝b×＋a x＝b＋a 故答案为：C 2．（2025·江苏苏州·小升初真题）如图，摆一个三角形要用3根小棒，摆2个三角形要用5根小棒，那么摆a个三角形要用（    ）根小棒。 A．3a B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据图示，摆第1个三角形需3根小棒，此后每增加1个三角形，只新添2根小棒（因为会与前面图形共用一条边），所以当摆了a个三角形时所用小棒总数为[3＋2（a－1）]根， 【规范解答】由分析知： 3＋2（a－1） ＝3＋2a－2 ＝（1＋2a）根 即那么摆a个三角形要用（1＋2a）根小棒。 故答案为：D 3．（2025·江苏苏州·小升初真题）把一个长、宽、高分别是a厘米、b厘米、h厘米的长方体的高增加2厘米，那么这个长方体的表面积会增加（    ）平方厘米。 A．2ab B．2（a＋b） C．4（a＋b） D．4（a＋b）＋ab 【答案】C 【思路引导】长方体高增加2厘米后，表面积的变化仅与前后、左右四个面相关。每个前面的面积增加量为2a，每个左面的面积增加量为2b，共有两个前面和两个左面，再将前面×2＋左面×2即可。 【规范解答】2×2a＋ 2×2b ＝4a＋4b ＝ 4（a ＋ b） 则这个长方体的表面积会增加4（a＋b）平方厘米。 故答案为：C 4．把边长为1厘米的正方形纸片，按下面的规律拼成长方形。 用5个正方形拼成的长方形的周长是( )厘米，用n个正方形拼成的长方形的周长是( )厘米。 【答案】 12 2n＋2 【思路引导】用5个正方形拼成的长方形，长是5厘米，宽是1厘米。用n个正方形拼成的长方形，长沙n厘米，宽是1厘米。根据长方形的周长＝（长＋宽）×2＝2×长＋2×宽解答。 【规范解答】（5＋1）×2 ＝6×2 ＝12（厘米） 用5个正方形拼成的长方形的周长是12厘米，用n个正方形拼成的长方形的周长是（2n＋2）厘米。 5．（2023·四川成都·小升初真题）体育教师到商店买6个足球和3个篮球，要付396元；则买10个足球和5个篮球要付( )元。 【答案】660 【思路引导】6个足球和3个篮球是396元，将这些球每2个足球和1个篮球放在一起，能分成3份，每一份就是132元。将10个足球和5个篮球也是每2个足球和1个篮球放在一起，这样可以分成5份。每一份是132元，5份要多少钱，用乘法。 【规范解答】396÷3＝132（元） 132×5＝660（元） 则买10个足球和5个篮球要付660元。 6．（2025·江苏无锡·小升初模拟）延时服务时，老师带来象棋、飞行棋共12副。恰好可供全班38名同学进行活动。象棋2人下一副，飞行棋4人下一副。象棋有( )副，飞行棋有( )副。 【答案】 5 7 【思路引导】本题属于鸡兔同笼类问题，已知棋的总副数为12副，总人数为38人，象棋2人下一副，飞行棋4人下一副。本题可设象棋有副，则玩象棋的有人；飞行棋有副，那么玩飞行棋的有人，由恰好可供全班38名同学进行活动，可列一元一次方程：，求解后即可得出象棋和飞行棋的副数。 【规范解答】根据分析： 设象棋有副，则飞行棋有副。 根据总人数可列方程： 解： 则飞行棋有（副），因此，象棋有5副，飞行棋有7副。 7．（2025·江苏苏州·小升初真题）星期天小明去爬山，从山脚到山顶用32分钟，然后原路返回用24分钟，已知下山比上山每分钟多走20米。小明下山每分钟走( )米，爬山走了( )米。 【答案】 80 3840 【思路引导】根据题目，下山速度比上山速度多20米/分钟，路程相同，因为是原路返回，所以上山路程＝下山路程。设小明上山速度为米/分钟，因为下山比上山每分钟多走20米，所以下山速度为米/分钟。 从山脚到山顶和从山顶返回山脚的路程是相等的，根据路程＝速度×时间，可列方程：，求出上山的速度，进而求出上山走的路程，再乘2即等于爬山的路程，据此即可解答。 【规范解答】解：设小明上山速度为米/分钟，则下山速度为米/分钟。   （米） （米） 因此，小明下山每分钟走80米，爬山走了3840米。 8．（2024·江苏连云港·小升初真题）解方程或比例。 x∶10＝0.2∶        x－70%x＝5.7        ＝0.8∶1.8 【答案】x＝；x＝19；x＝ 【思路引导】（1）根据比例的基本性质：在一个比例中，两个外项的积等于两个内项的积，把比例改写为x＝10×0.2的形式，再根据等式的性质2，等式两边同时除以即可求解； （2）先计算x－70%x，再根据等式的性质2，等式两边同时除以0.3即可求解； （3）根据比例的基本性质：在一个比例中，两个外项的积等于两个内项的积，把比例改写为1.8x＝3×0.8的形式，再根据等式的性质2，等式两边同时除以1.8即可求解。 【规范解答】x∶10＝0.2∶ 解：x＝10×0.2 x＝2 x÷＝2÷ x＝2× x＝ x－70%x＝5.7 解：0.3x＝5.7 0.3x÷0.3＝5.7÷0.3 x＝19 ＝0.8∶1.8 解：1.8x＝3×0.8 1.8x＝2.4 1.8x÷1.8＝2.4÷1.8 x＝ 9．（2025·江苏无锡·小升初模拟）无锡举办青少年非遗文化传承活动，参加锡剧表演学习的学生有25人，比参加惠山泥人制作学习人数的3倍少8人，参加惠山泥人制作学习的学生有多少人？（列方程解答） 【答案】11人 【思路引导】参加锡剧表演学习的学生有25人，比参加惠山泥人制作学习人数的3倍少8人，即：参加惠山泥人制作学习的学生人数×3－8＝参加锡剧表演学习的学生人数，设参加惠山泥人制作学习的学生人数为x人，根据等量关系可列出方程3x－8＝25，解方程，即可求出参加惠山泥人制作学习的学生有多少人。 【规范解答】解：设参加惠山泥人制作学习的学生有x人。 3x－8＝25 3x＝25＋8 3x＝33 x＝33÷3 x＝11 答：参加惠山泥人制作学习的学生有11人。 10．（2025·江苏苏州·小升初真题）学校买来6张办公桌和12把椅子，一共用了3600元。已知每把椅子的价钱比每张桌子便宜240元，每把椅子和每张办公桌各是多少元？ 【答案】椅子：120元，桌子：360元 【思路引导】由题意知：每把椅子的价钱比每张桌子便宜240元，设每把椅子x元，则每张桌子元。再根据单价×数量＝总价，分别表示出6张办公桌和12把椅子的总价，再根据办公桌的总价＋椅子的总价＝3600元，列出方程并求解即可。 【规范解答】解：设每把椅子x元，每张桌子元。 ＝120＋240＝360 答：每把椅子120元，每张桌子360元。 【思维拓展拔尖】 1．针对2a＋6这个式子，四名同学分别画图表示了自己的理解，其中正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】2a＋6表示2个a加上6，即a＋a＋6，据此逐项分析即可。 【规范解答】 A．，表示2＋a＋6，不正确。 B．，表示a＋a＋6，即2a＋6，正确。 C．，表示（2＋6）×a，不正确。 D．，表示（a＋6）×2，不正确。 针对2a＋6这个式子，画图表示了自己的理解，其中正确的是。 故答案为：B 2．（2024·江苏南通·小升初真题）体育商店一个足球80元，一个篮球60元。学校要买足球和篮球共30个，足球的总价比篮球贵440元，学校买篮球（    ）个。 A．8 B．14 C．16 D．22 【答案】B 【思路引导】分析题目，设学校买篮球x个，则买足球（30－x）个，根据等量关系：买的足球的个数×足球的单价－买的篮球的个数×篮球的单价＝440列出方程80×（30－x）－60x＝440，进一步解出方程即可。 【规范解答】解：设学校买篮球x个，则买足球（30－x）个。 80×（30－x）－60x＝440 2400－80x－60x＝440 2400－440＝80x＋60x 140x＝1960 140x÷140＝1960÷140 x＝14 体育商店一个足球80元，一个篮球60元。学校要买足球和篮球共30个，足球的总价比篮球贵440元，学校买篮球14个。 故答案为：B 3．（2024·江苏扬州·小升初真题）为确保信息安全，信息需要加密传输，发送时是：明文→密文（加密过程），接收时是：密文→明文（解密过程）。已知加密规则为：明文m、n对应的密文为3m、2n－1，如果接收到的密文为12、9，那么解密得到的明文应为（    ）。 A．4、5 B．36、17 C．4、4 D．36、4 【答案】A 【思路引导】如果接收到的密文为12、9，据此可知3m＝12，2n－1＝9，据此分别求出m和n即可得解。 【规范解答】3m＝12 解：3m÷3＝12÷3 m＝4 2n－1＝9 解：2n－1＋1＝9＋1 2n＝10 2n÷2＝10÷2 n＝5 如果接收到的密文为12、9，那么解密得到的明文应为4、5。 故答案为：A 4．数m、n、t在数线上的位置如图所示，与数t最接近的是（    ）。 A．n＋m B．n－m C．n×m D．n÷m 【答案】D 【思路引导】由题中图可知：m大于0，m小于n且m和n都小于1，t大于2且小于3。一个数（0除外）乘小于1的数，结果比原来的数小。分别对每个选项中的算式进行计算，算结果的范围，找到结果最接近2和3之间即可。 【规范解答】A．n、m大于0且小于1，n＋m的结果大于0且小于2； B． n、m大于0且小于1，n大于m，所以n－m的结果大于0且小于1； C． n、m大于0且小于1，n×m的结果比n小，所以结果大于0且小于1； D． n、m大于0且小于1，n是m的两倍多，所以n÷m的结果大于2且小于3，最符合题意； 故答案为：D 【考点剖析】本题主要考查学生对用字母表示数的理解，其中能计算出每个算式的结果的取值范围是解题关键。 5．（2024·江苏盐城·小升初真题）如图各图是晋商大院窗格图案的一部分，其中“〇”代表窗纸上所贴的剪纸。 (1)第1个图中所贴剪纸“〇”的个数为5，第2个图中所贴剪纸“〇”的个数为( )，第3个图中所贴剪纸“〇”的个数为( )。 (2)用含有字母的式子表示第n个图中所贴剪纸“〇”的个数是( )，当n＝26时，所贴剪纸“〇”的个数是( )。 【答案】(1) 8 11 (2) 3n＋2 80 【思路引导】（1）从图中可以数出第2、3个图中所贴剪纸“〇”的个数。 （2）观察图形可知，第1、2、3个图中“〇”的个数分别为5、8、11；发现：每增加一个窗格，“〇”的个数增加3个，据此得出规律，并用含字母的式子表示规律，然后把n＝26代入式子中，计算出得数。 【规范解答】（1）第1个图中所贴剪纸“〇”的个数为5，第2个图中所贴剪纸“〇”的个数为（8），第3个图中所贴剪纸“〇”的个数为（11）。 （2）观察图形可知： 第1个图中“〇”的个数为5，5＝1×3＋2； 第2个图中“〇”的个数为8，8＝2×3＋2； 第3个图中“〇”的个数为11，11＝3×3＋2； …… 发现规律：第n个图中“〇”有（3n＋2）个。 当n＝26时 3n＋2 ＝3×26＋2 ＝78＋2 ＝80 用含有字母的式子表示第n个图中所贴剪纸“〇”的个数是（3n＋2），当n＝26时，所贴剪纸“〇”的个数是（80）。 6．（2024·江苏泰州·小升初真题）用若干张边长是1厘米的正方形纸片，像如图这样依次摆出1层、2层、3层……的图形。如果摆4层，需要( )个正方形纸片，摆成的图形的周长是( )厘米；如果摆出n层，摆成的图形的周长是( )厘米。 【答案】 16 22 6n－2 【思路引导】根据图示可知： 摆1层需要的正方形个数：1个，周长为4厘米； 摆2层需要的正方形个数：4个，4＝1＋3＝22，周长为4＋6×1＝10（厘米）； 摆3层需要的正方形个数：9个，9＝1＋3＋5＝32；周长为4＋6×2＝16（厘米）； 摆4层需要的正方形个数：16个，16＝1＋3＋5＋7＝42；周长为4＋6×3＝22（厘米）； … 摆n层需要的正方形个数为1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）＝n2（个）；周长为4＋6×（n－1）＝6n－2（厘米）。 据此解答。 【规范解答】摆n层需要的正方形个数为1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）＝n2（个）；周长为4＋6×（n－1）＝6n－2（厘米）。 当n＝4时，n2＝42＝16（个） 6n－2＝6×4－2＝22（厘米） 如果摆4层，需要16个正方形纸片，摆成的图形的周长是22厘米；如果摆出n层，摆成的图形的周长是（6n－2）厘米。 7．（2024·江苏镇江·小升初真题）数学中规定：连接多边形任意两个不相邻顶点的线段叫做多边形的对角线。 正多边形 …… 边数 4 5 6 … 一个顶点可画 对角线数量 1 2 3 … 对角线总数量 2 5 9 … 聪聪是个喜欢思考的学生，他发现正多边形的对角线数量和正多边形的边数存在某种规律（如图），照这样的规律正七边形一共有( )条对角线，正n边形共有( )条对角线。 【答案】 14 n（n－3）÷2 【思路引导】分析题目，n边形从一个顶点出发可引出（n－3）条对角线，从n个顶点出发可引出n×（n－3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为n×（n－3）÷2（n≥3，且n为整数），据此解答。 【规范解答】n×（n－3）÷2＝[n（n－3）÷2]条 7×（7－3）÷2 ＝7×4÷2 ＝28÷2 ＝14（条） 聪聪是个喜欢思考的学生，他发现正多边形的对角线数量和正多边形的边数存在某种规律（如图），照这样的规律正七边形一共有14条对角线，正n边形共有[n（n－3）÷2]条对角线。 8．（2025·江苏无锡·小升初真题）解方程或解比例。 4x－2.4×5＝52                           【答案】x＝16；x＝；x＝0.08 【思路引导】先计算出2.4×5＝12，根据等式的性质1，方程两边同时加上12，再根据等式的性质2，两边再同时除以4； 先把方程左边化简为x，根据等式的性质2，两边再同时除以； 根据比例的基本性质，先把比例化为方程：3x＝0.6×0.4，再根据等式的性质2，两边再同时除以3。 【规范解答】4x－2.4×5＝52 解：4x－12＝52 4x－12＋12＝52＋12 4x＝64 x＝64÷4 x＝16    解：x＝ x＝÷ x＝× x＝ 解：3x＝0.6×0.4 3x＝0.24 x＝0.24÷3 x＝0.08 9．（2025·江苏无锡·小升初真题）某中药园内种植了公顷三七，三七比金银花的种植面积多10%。该中药园内种植的金银花的面积是多少公顷？（列方程解答） 【答案】0.2公顷 【思路引导】将金银花的种植面积看作单位“1”，三七的种植面积是金银花的（1＋10%），设该中药园内种植的金银花的面积是x公顷，根据金银花的种植面积×三七对应百分率＝三七的种植面积，列出方程解答即可。 【规范解答】解：设该中药园内种植的金银花的面积是x公顷。 （1＋10%）x＝ 1.1x＝0.22 1.1x÷1.1＝0.22÷1.1 x＝0.2 答：该中药园内种植的金银花的面积是0.2公顷。 10．（2024·江苏无锡·小升初真题）同学们，“观察一猜想一验证一结论一应用”是我们常用的数学探究方法。梁希同学在边长为5厘米的正方形纸片上剪去一个边长为3厘米的小正方形，怎样求剩余部分的面积呢？梁希同学想出了两种不同的方法（如下图）。 从中可以得到：。观察这个等式的特征，回答问题： （1）猜想：是不是任意两个数都具有这样的规律呢？（    ）（填“是”或“不是”） （2）请举2个例子验证： ①（    ）×（    ）   ②____________________________ （3）如果用和分别表示两个数，这样的规律可以表示为：_______________________ （4）计算下图中圆环的面积，尝试应用上面得到的规律进行简算。（单位：厘米） 【答案】（1）是 （2）10＋6；10－6 82－32＝（8＋3）×（8－3） 92－32＝（9＋3）×（9－3） （3）a2－b2＝（a＋b）×（a－b） （4）23.55平方厘米 【思路引导】（1）猜想任意两个数都具有这样的规律。 （2）根据题意得出规律是：两个数的平方差等于这两个数的和与两个数的差的乘积，据此写出102－62的等式以及列举算式。 （3）用字母表示规律，可以把两个数分别用两个字母表示，然后利用对应的规律解答即可。 （4）根据圆环的面积＝π×（大圆半径2－小圆半径2），化为π×（大圆半径＋小圆半径）×（大圆半径－小圆半径），据此求出圆环的面积，据此解答。 【规范解答】（1）是不是任意两个数都具有这样的规律呢？是。 （2）102－62＝（10＋6）×（10－6） 82－32＝（8＋3）×（8－3） 92－32＝（9＋3）×（9－3）（答案不唯一） （3）如果a和b分别表示两个数（a＞b），这样的规律可以表示为： a2－b2＝（a＋b）×（a－b） （4）3.14×（4.252－3.252） ＝3.14×（4.25＋3.25）×（4.25－3.25） ＝3.14×7.5×1 ＝23.55×1 ＝23.55（平方厘米） 答：圆环的面积是23.55平方厘米。 试卷第2页，共121页 试卷第2页，共33页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $