精品解析：河南省商丘市夏邑县2026年九年级中招模拟校内重点训练二 数学

2026年九年级中招模拟校内重点训练二 数学 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分，下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 的绝对值是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求一个数的绝对值，根据绝对值的定义求解即可，比较简单． 根据负数的绝对值是它的相反数即可得出答案． 【详解】解：， 故选B． 2. 下列立体图形中，三视图都相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，熟知常见的几何体的三视图是解题的关键． 【详解】解：A、圆锥的主视图与左视图都是等腰三角形，俯视图是圆，故此选项不符合题意； B、三棱柱的主视图与左视图都是长方形，俯视图三角形，故此选项不符合题意； C、圆柱的主视图与左视图都是长方形，俯视图是圆，故此选项不符合题意； D、球的主视图与左视图都是圆，俯视图是圆，故此选项符合题意； 故选：D． 3. 2026年马年春晚给出了一组极具冲击力的数据：全媒体触达230.63亿次，直播市场份额，创下自2013年以来的新高．请将数据230.63亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：230.63亿=． 4. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中含角的三角尺的角的顶点与含角的三角尺的直角的顶点重合．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据平行线的性质得出，进而求出结论． 【详解】解：， ， ． 5. 如图，在中，，，，三点均在圆上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解：连接，，由等边对等角得出，，证明，由全等三角形的性质得出，最后再根据角度的和差关系即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ， ，． ，，， ， ， ． 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂的乘方，合并同类项法则，同底数幂乘法，进行计算即可． 【详解】解：A．，故A不符合题意； B．，故B不符合题意； C．，故C符合题意； D．，故D不符合题意． 7. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用因式分解法解方程得出或，再根据关于的一元二次方程有两个相等的实数根，即可得出，进而可求出m的值． 【详解】解：， 解得或． 由题可知， ． 8. 截至2026年3月，全球最受欢迎的三部影片分别是《飞驰人生3》《河狸变身计划》《挽救计划》．假设周末电影院轮番播放这三部影片，聪聪和明明两位同学分别准备从这三部影片中选一部观看，他们同时选中《挽救计划》的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：设《飞驰人生3》《河狸变身计划》《挽救计划》分别为，，． 列表如下： 由表格知，共有9种等可能的结果，其中聪聪和明明两位同学同时选中《挽救计划》的结果只有，故聪聪和明明两位同学同时选中《挽救计划》的概率． 9. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点为圆心，长为半径作圆，是上一动点，连接，以点为旋转中心，将顺时针旋转得，连接．若点从点出发，按照逆时针方向以每秒个单位长度运动，则第2027秒时，点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了图形的旋转，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，由题意可得点每秒运动一周，即得第秒时与第秒时的位置相同，过点作轴，垂足为点，证明可得，可得，，再根据点的坐标即可求解，由题意判断出点的位置是解题的关键． 【详解】解：如图，点沿逆时针方向运动，每秒走个单位长度，每秒运动一周， ， ∴第秒时与第秒时的位置相同， 过点作轴，垂足为点，则， ∴， 由旋转可得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 故选：D． 10. 如图，在常温常压时用电热水壶加热一壶水，水的温度与时间（分钟）近似满足一次函数关系，当水温达到时停止加热，将茶叶放入热水壶，在一定时间内，茶水的温度与时间（分钟）近似满足反比例函数关系，已知该种茶水在时适宜饮用，在时饮用口感最佳．若按照上述程序冲泡一壶该种茶水，并从开始加热时计时，下列说法错误的是（ ） A. 加热6分钟时水沸腾 B. 加热4分钟时水温上升了 C. 该种茶水适宜饮用的时间范围是第12分钟~第20分钟 D. 若在口感最佳时饮用，需要等待的时间是16分钟 【答案】D 【解析】 【分析】由函数图象可知加热4分钟时，水温上升了，可判断B，设加热一壶水时，水的温度与时间（分钟）的一次函数表达式为，利用待定系数法求出解析式进一步即可判断A，再利用待定系数法求出反比例函数解析式，进一步即可判断选项C和D． 【详解】解：由题图可知，加热4分钟时，水温上升了，故B正确，不符合题意． 设加热一壶水时，水的温度与时间（分钟）的一次函数表达式为， 将和代入， 得，解得 故加热一壶水时，与的函数表达式为． 当时，， 解得．故A正确，不符合题意． 设将茶叶放入热水壶后与的函数关系式为（为常数，且）， 将代入， 得， 解得， ， 当时，， 解得， （分钟）， 若在口感最佳时饮用，需要等待的时间是9分钟，故D不正确，符合题意． 当时，，解得， 当时，，解得， 该种茶水适宜饮用的时间范围是第12分钟~第20分钟， 故C正确，不符合题意． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 一件商品标价元，打八折后售出，则该商品的售价为__________元． 【答案】 【解析】 【详解】解：一件商品标价元，打八折后售出，则该商品的售价为（元）． 12. 不等式组的解集为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 13. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择__________． 项目 甲 乙 丙 丁 平均数（cm） 195 198 198 196 方差 2.8 4.5 6.3 2.8 【答案】乙 【解析】 【详解】解：乙运动员的成绩的平均数高且方差小， 若要选一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择乙运动员． 14. 如图，在菱形中，，，分别以点和点为圆心，，的长为半径画弧，则图中两个扇形重合部分（阴影部分）的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由图可知，阴影部分的面积是两个圆心角为，且半径为4的扇形的面积与菱形的面积的差，可据此求出阴影部分的面积． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ， ， ，为等边三角形， ， ， 在中，， ， ． 15. 如图，在中，，，，点为边上一动点，交于点，将沿直线折叠，点的对应点为，当是直角三角形时，的长为__________ ． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，折叠的性质，解题的关键是掌握勾股定理的运用，折叠的性质，进行解答，即可． 根据折叠的性质，可得，，当是直角三角形且，求出，等量代换，可得，根据勾股定理，则，求出；当点与点重合时，是直角三角形且，，根据勾股定理，则，解出，即可． 【详解】解：沿直线折叠，点的对应点为， ∴，， ∵， ∴， ∴， 当是直角三角形且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：； 当点与点重合时，是直角三角形且， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：或者． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算、化简： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【详解】解：（1）原式． （2）原式． 17. 2025年4月24日是第十个“中国航天日”，今年的“中国航天日”主题为“海上生明月，九天揽星河”．为迎接中国航天日的到来，某校七、八年级举行了航天知识竞赛，政教处在七、八年级中各随机抽取了20名学生的竞赛成绩（满分100分，单位：分）进行整理和分析（成绩共分成五组：A．，B．，C．，D．，E．）． 【收集、整理数据】 七年级学生竞赛成绩分别为54，62，69，75，77，78，87，88，88，89，89，89，89，89，92，95，96，98，98，99．八年级学生竞赛成绩在C组和D组的分别为74，78，78，78，78，79，85，88，89．根据以上数据绘制了如下两幅不完整的统计图． 【分析数据】 两组样本数据的平均数、中位数和众数如表所示： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85 88.5 八年级 84.8 78 【问题解决】 请根据上述信息，解答下列问题： （1）补全频数分布直方图，上述表中__________，__________，七年级竞赛成绩在D组的学生在扇形统计图中所占扇形的圆心角为__________度． （2）根据以上数据，你认为此次竞赛该校七年级学生的成绩好，还是八年级学生的成绩好？写出一条理由． （3）如果该校七年级有1000名学生参加此次竞赛，请估计七年级竞赛成绩不低于90分的学生人数． 【答案】（1）；； （2） 解：七年级学生的成绩好． 理由：从平均数看，七年级样本数据的平均数大于八年级样本数据的平均数； 从中位数看，七年级样本数据的中位数大于八年级样本数据的中位数，说明七年级学生中至少有一半以上的成绩高于88.5，而八年级约有一半的学生成绩低于82； （3）七年级竞赛成绩不低于90分的学生人数约为人 【解析】 【分析】（1）根据题干中所给的数据求出八年级的中位数、七年级的众数，再求得八年级竞赛成绩在D组的学生的占比乘以即可； （2）根据平均数和中位数可判断七年级学生的成绩好； （3）求出七年级竞赛成绩不低于分的学生百分比，再乘以相应的人数即可． 【小问1详解】 解：将八年级的数据按从小到大的顺序排列，则八年级的中位数为第10、第11位的两个数据的平均数， 八年级组和组共有（人）， 第10、第11位的两个数据为79，85， ． 七年级测试成绩出现次数最多的是89分， ． 七年级组人数为人， 七年级竞赛成绩在D组的学生在扇形统计图中所占扇形的圆心角为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）， 答：七年级竞赛成绩不低于90分的学生人数约为人． 18. 如图，在中，，． （1）求作：，使经过两点，且圆心落在边上；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：是（1）中所作的切线． 【答案】（1） 解：如图，即为所求； （2） 证明：如图，连接， ，， ， ． 由作图知， ． ， ，为半径， 是的切线． 【解析】 【分析】（1）作的垂直平分线，交于点，以点为圆心，长度为半径作圆即可； （2）连接，求得，再利用，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，点在轴上，点的坐标为，将线段向下平移，点与点重合，点的对应点恰好落在反比例函数的图象上，若，为线段的中点． （1）求的值； （2）过点作直线垂直于轴且与反比例函数的图象的交点为，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由平移的性质证明为平行四边形．由证明四边形为菱形，延长交轴于点，设菱形的边长为，则，，由点B的坐标得出，由勾股定理求出x，进而可求出点A的坐标，由点A的坐标即可求出k的值． （2）先由中点坐标得出点M的坐标，进而可求出点E的纵坐标，然后把点E的纵坐标代入反比例函数即可求出点E的坐标． 【小问1详解】 解：由平移可得且， 四边形为平行四边形． 又， 四边形为菱形． 如图，延长交轴于点，设菱形的边长为， 则，， 点的坐标为， ， 在中，由勾股定理，得， 解得∶． ， ， 反比例函数的图象过点， ． 【小问2详解】 解：过点作直线垂直于轴且与反比例函数的图象的交点为， ∵为线段的中点． ∴，即， ∵直线垂直于轴且与反比例函数的图象的交点为， ∴点E的纵坐标为， ∴， ∴， ． 20. 信阳是全国宜居城市，有“江南北国，北国江南”之称．这里青山常绿，绿水长流，茶香四溢，到处充满诗情画意．茗阳阁（如图）是信阳八景之一，它坐落在风景秀丽的浉河之畔，某校数学社团决定利用周末时间开展一次“测量茗阳阁的高度”的课题活动，他们分为两个小组，设计了如下方案：（结果精确到0.01米） 课题：测量茗阳阁的高度 甲组的测量报告 乙组的测量报告 测量工具 卷尺、测角仪 卷尺、平面镜 测量示意图 测量方案与测量数据 先在点处在距离地面的点用测角仪测出塔顶端的仰角，再沿水平方向前进后到达处，在距离地面的点测得塔顶端的仰角 在处放一面镜子，小明在处通过镜子反射刚好看到塔的顶端，测得身高的小明到平面镜的距离 参考数据 ，， （1）数学老师看了他们的测量报告后说：“其中一个小组的测量报告存在问题，不能得到测量结果．”你认为__________（填“甲组”或“乙组”）的测量报告存在问题； （2）请根据正确的测量报告计算出茗阳阁的高度； （3）“官方”显示，茗阳阁的高度为，请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议． 【答案】（1）乙组 （2）茗阳阁的高度为 （3）误差为，建议多次测量求平均值（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）乙组只有两个数据，无法完成测量，故乙组的测量报告存在问题； （2）设的延长线交于点，则，设，易得，，利用，求出的值，利用，即可得解； （3）建议多次测量，求平均值． 【小问1详解】 解：因为乙组只有两个数据，根据这两个数据可以求出光线与镜面的夹角， 故在直角三角形中只能知道一个锐角，一个元素无法求出直角三角形的其他元素，故乙组的测量报告存在问题； 【小问2详解】 解：如图，设的延长线交于点，则， 由题意，得，，，， 设， 在中，， ， ， 在中，， 解得， ， ； 【小问3详解】 解：误差为， 建议：多次测量求平均值．（答案不唯一） 21. 2026年春晚《武BOT》的机器人功夫表演，震撼世界，也凸显了我国在机器人领域的强大实力．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A，B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 2 3 340 3 1 300 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递24万件； B型机器人每台每天可分拣快递20万件． （1）求A，B两种型号智能机器人的单价； （2）现该企业准备购买A，B两种型号智能机器人共12台，费用不超过800万元，选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 【答案】（1）A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元 （2）该企业需要购买A型智能机器人4台，购买B型智能机器人8台，能使每天分拣快递的件数最多 【解析】 【分析】（1）设型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元，根据信息一中的数据列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设该企业需要购买型智能机器人台，则需要购买型智能机器人台，根据费用不超过800万元，列出一元一次不等式，求出的取值范围，再根据型机器人每台每天可分拣快递24万件，型机器人每台每天可分拣快递20万件，可列出每天分拣的件数与的函数关系，再根据函数的性质得出结论． 【小问1详解】 解：设型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元， 由题意得， 解得， 答：型智能机器人的单价为80万元，型智能机器人的单价为60万元． 【小问2详解】 解：设该企业需要购买型智能机器人台，则需要购买型智能机器人台， 由题意，得， 解得， 设每天分拣快递万件， 则， ， 随的增大而增大，当时，最大， 此时， 该企业需要购买型智能机器人4台，购买型智能机器人8台，能使每天分拣快递的件数最多． 22. 已知二次函数（，为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的解析式； （2）若点向上平移3个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可解答； （2）表示出点向上平移3个单位长度，向左平移个单位长度为，代入抛物线解析式解方程即可； （3）确定抛物线的顶点，分类讨论，根据题意最大值与最小值的差为，列方程即可解答． 【小问1详解】 解：二次函数的对称轴为直线， ， 把点代入可得， 解得， 二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：点向上平移3个单位长度，向左平移个单位长度后，得到点， 该点在的图象上， ， 或； 【小问3详解】 解：， 当时，取最小值， 当时，， 关于直线的对称点为， 若，则最大值在处取得， 最小值在处取得，此时， 差值为， ， 解得，不符合题意； 当时，最小值在处取到，为， 最大值在处取到，为， 差值为，符合题意； 当时，最小值在处取到，为， 最大值在处取得，此时， 差值为， 解得或，不符合题意． 的取值范围为． 23. 综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学探究活动． （1）【操作发现】 第一步：在矩形中，是边的中点，将沿所在直线折叠，得到，延长交于点．如图1，连接，则的度数为__________，用等式表示线段，，之间的数量关系：__________． （2）【类比探究】 第二步：更换另一张矩形纸片，仍然是边的中点，将沿所在直线折叠，此时点落在矩形的外部．如图2，判断（1）中的两个结论是否仍然成立．若成立，请证明；若不成立，请写出正确的结论，并证明． （3）【拓展应用】 在矩形中，若，，是直线上的一动点，将沿所在直线折叠，得到，连接，请直接写出线段的最大值与最小值． 【答案】（1）； （2）结论仍然成立，见解析 解：两个结论依然成立； 证明：如图，连接， 在矩形中，， 由折叠可知， ， ，，， 是中点， ， 在和中， ， ， ， ； ， ， ， ， ， ； （3）线段的最小值是2，最大值是8 【解析】 【分析】（1）由题易知，进而可证出，可得；再证明，即可得解第二空； （2）同（1）的方法即可解答； （3）由题意可得点在以为圆心，长度为半径的圆上，根据点到圆的距离，即可解答． 【小问1详解】 解：在矩形中，， 由折叠可知，， ，， 是中点， ， 在和中， ， ， ， ； ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：将沿所在直线折叠， 点在以为圆心，长度为半径的圆上， 如图， ，， ， 当点在线段上时，即图中处，最小，为， 当点在线段延长线上时，即图中处，最大，为， ∴线段的最小值是2，最大值是8． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级中招模拟校内重点训练二 数学 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分，下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 的绝对值是（ ） A. B. 2 C. D. 2. 下列立体图形中，三视图都相同的是（ ） A. B. C. D. 3. 2026年马年春晚给出了一组极具冲击力的数据：全媒体触达230.63亿次，直播市场份额，创下自2013年以来的新高．请将数据230.63亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中含角的三角尺的角的顶点与含角的三角尺的直角的顶点重合．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，，三点均在圆上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 8. 截至2026年3月，全球最受欢迎的三部影片分别是《飞驰人生3》《河狸变身计划》《挽救计划》．假设周末电影院轮番播放这三部影片，聪聪和明明两位同学分别准备从这三部影片中选一部观看，他们同时选中《挽救计划》的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点为圆心，长为半径作圆，是上一动点，连接，以点为旋转中心，将顺时针旋转得，连接．若点从点出发，按照逆时针方向以每秒个单位长度运动，则第2027秒时，点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在常温常压时用电热水壶加热一壶水，水的温度与时间（分钟）近似满足一次函数关系，当水温达到时停止加热，将茶叶放入热水壶，在一定时间内，茶水的温度与时间（分钟）近似满足反比例函数关系，已知该种茶水在时适宜饮用，在时饮用口感最佳．若按照上述程序冲泡一壶该种茶水，并从开始加热时计时，下列说法错误的是（ ） A. 加热6分钟时水沸腾 B. 加热4分钟时水温上升了 C. 该种茶水适宜饮用的时间范围是第12分钟~第20分钟 D. 若在口感最佳时饮用，需要等待的时间是16分钟 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 一件商品标价元，打八折后售出，则该商品的售价为__________元． 12. 不等式组的解集为______． 13. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择__________． 项目 甲 乙 丙 丁 平均数（cm） 195 198 198 196 方差 2.8 4.5 6.3 2.8 14. 如图，在菱形中，，，分别以点和点为圆心，，的长为半径画弧，则图中两个扇形重合部分（阴影部分）的面积为__________． 15. 如图，在中，，，，点为边上一动点，交于点，将沿直线折叠，点的对应点为，当是直角三角形时，的长为__________ ． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算、化简： （1）； （2）． 17. 2025年4月24日是第十个“中国航天日”，今年的“中国航天日”主题为“海上生明月，九天揽星河”．为迎接中国航天日的到来，某校七、八年级举行了航天知识竞赛，政教处在七、八年级中各随机抽取了20名学生的竞赛成绩（满分100分，单位：分）进行整理和分析（成绩共分成五组：A．，B．，C．，D．，E．）． 【收集、整理数据】 七年级学生竞赛成绩分别为54，62，69，75，77，78，87，88，88，89，89，89，89，89，92，95，96，98，98，99．八年级学生竞赛成绩在C组和D组的分别为74，78，78，78，78，79，85，88，89．根据以上数据绘制了如下两幅不完整的统计图． 【分析数据】 两组样本数据的平均数、中位数和众数如表所示： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85 88.5 八年级 84.8 78 【问题解决】 请根据上述信息，解答下列问题： （1）补全频数分布直方图，上述表中__________，__________，七年级竞赛成绩在D组的学生在扇形统计图中所占扇形的圆心角为__________度． （2）根据以上数据，你认为此次竞赛该校七年级学生的成绩好，还是八年级学生的成绩好？写出一条理由． （3）如果该校七年级有1000名学生参加此次竞赛，请估计七年级竞赛成绩不低于90分的学生人数． 18. 如图，在中，，． （1）求作：，使经过两点，且圆心落在边上；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：是（1）中所作的切线． 19. 如图，点在轴上，点的坐标为，将线段向下平移，点与点重合，点的对应点恰好落在反比例函数的图象上，若，为线段的中点． （1）求的值； （2）过点作直线垂直于轴且与反比例函数的图象的交点为，求点的坐标． 20. 信阳是全国宜居城市，有“江南北国，北国江南”之称．这里青山常绿，绿水长流，茶香四溢，到处充满诗情画意．茗阳阁（如图）是信阳八景之一，它坐落在风景秀丽的浉河之畔，某校数学社团决定利用周末时间开展一次“测量茗阳阁的高度”的课题活动，他们分为两个小组，设计了如下方案：（结果精确到0.01米） 课题：测量茗阳阁的高度 甲组的测量报告 乙组的测量报告 测量工具 卷尺、测角仪 卷尺、平面镜 测量示意图 测量方案与测量数据 先在点处在距离地面的点用测角仪测出塔顶端的仰角，再沿水平方向前进后到达处，在距离地面的点测得塔顶端的仰角 在处放一面镜子，小明在处通过镜子反射刚好看到塔的顶端，测得身高的小明到平面镜的距离 参考数据 ，， （1）数学老师看了他们的测量报告后说：“其中一个小组的测量报告存在问题，不能得到测量结果．”你认为__________（填“甲组”或“乙组”）的测量报告存在问题； （2）请根据正确的测量报告计算出茗阳阁的高度； （3）“官方”显示，茗阳阁的高度为，请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议． 21. 2026年春晚《武BOT》的机器人功夫表演，震撼世界，也凸显了我国在机器人领域的强大实力．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A，B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 2 3 340 3 1 300 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递24万件； B型机器人每台每天可分拣快递20万件． （1）求A，B两种型号智能机器人的单价； （2）现该企业准备购买A，B两种型号智能机器人共12台，费用不超过800万元，选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 22. 已知二次函数（，为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的解析式； （2）若点向上平移3个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，直接写出的取值范围． 23. 综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学探究活动． （1）【操作发现】 第一步：在矩形中，是边的中点，将沿所在直线折叠，得到，延长交于点．如图1，连接，则的度数为__________，用等式表示线段，，之间的数量关系：__________． （2）【类比探究】 第二步：更换另一张矩形纸片，仍然是边的中点，将沿所在直线折叠，此时点落在矩形的外部．如图2，判断（1）中的两个结论是否仍然成立．若成立，请证明；若不成立，请写出正确的结论，并证明． （3）【拓展应用】 在矩形中，若，，是直线上的一动点，将沿所在直线折叠，得到，连接，请直接写出线段的最大值与最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $