精品解析：浙江海宁市第一初级中学2025-2026学年下学期八年级数学期中试卷

浙江海宁市第一初级中学2025-2026学年下学期八年级数学期中试卷 一、选择题（每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题意） 1. 要使二次根式有意义，则x的取值可以是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得x-3≥0，再解即可． 【详解】解：二次根式要有意义，则x-3≥0， 即x≥3， 故选：D． 【点睛】此题考查二次根式有意义的条件，解题关键在于掌握二次根式定义． 2. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，根据合并同类二次根式、二次根式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A．，原计算错误，不符合题意； B．，原计算错误，不符合题意； C．，原计算正确，符合题意； D．，原计算错误，不符合题意； 故选：C． 3. 学校生物种植园中有盆相同品种的植物，需要按植物的株高分成两组进行培养，使得同组内植物株高尽量接近．将盆植物的株高（单位：）从小到大排序后分成两组，共有种情况，计算它们的组内离差平方和结果如下： 序号 分组情况 组内离差平方和 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 则盆植物的最优分组序号是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了离差平方和的定义（离差平方和是各数据与它们平均数之差的平方和），根据组内离差平方和的定义（组内离差平方和是指每组数据的离差平方和），最优分组应使组内离差平方和最小，直接比较表中各序号对应值即可． 【详解】解：组内离差平方和越小表示同组株高越接近， 比较表中值，序号的组内离差平方和最小为，为最优分组， 故选：B． 4. 一个多边形的内角和是外角和的3倍，这个多边形的边数是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决． 根据多边形的内角和公式及外角的特征列方程计算即可． 【详解】解：多边形的外角和是，根据题意得： ，解得． 故选：B． 5. 用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将常数项移到方程右侧，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配方为完全平方式即可得到结果． 【详解】解：由题意得， ． 6. 某镇2021年投入教育经费3600万元，为了发展教育事业，该镇每年教育经费的年增长率均为，现决定2023年投入6000万元．则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的运用，掌握“一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）成为解题的关键． 根据“一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）”再结合题中数据列出方程即可． 【详解】解：设教育经费的年平均增长率为x, 则2022的教育经费为：万元， 2023的教育经费为：万元， 那么可得方程：． 故选：C． 7. 李老师准备选一名同学代表班级参加数学竞赛，对甲、乙、丙、丁四位同学最近五次的数学测试成绩统计如表．如果按照成绩优异且发挥稳定的标准选拔，则应选择的同学是（ ） 类别 甲 乙 丙 丁 平均分 方差 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．此题有两个要求：①成绩较好，②状态稳定．于是应选平均数大、方差小的运动员参赛． 【详解】解：由表知四位同学中甲、乙的平均成绩较好， 又甲的方差小于乙， 所以甲的成绩好且稳定， 故选：A． 8. 若以，，三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，判断点坐在象限，先根据，，三点画出图形，再根据平行四边形的性质分情况讨论得出第四个顶点所在象限即可得出答案． 【详解】解：连接、、， 以、为邻边作平行四边形， 则点D在第三象限； 以、为邻边作平行四边形， 则点，在第一象限； 以、为邻边作平行四边形， 则点在第二象限， 综上所述，第四个顶点不可能在第四象限， 故选：D． 9. 设，是一元二次方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系得到两根和与两根积，再通过完全平方公式变形将所求式子转化，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴由根与系数的关系可得，， 又∵， ∴代入得． 10. 已知关于的方程和的解相同，则与之间的等量关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将两个方程进行展开，再根据两个方程的解相同进行比较求解即可． 【详解】解：由题意得， ； ， ∵关于的方程和的解相同， ∴，， ∴． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分．共18分） 11. 数据1，4，5，9，6，5的中位数是______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据中位数的定义，求解即可． 【详解】解：将数据从小到大重新排列为：，，，，，． ∴中位数为． 12. 若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程的解即为能使方程成立的未知数的值是解题的关键． 将代入中得到关于n的方程求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个解， ∴，解得：． 故答案为：． 13. 拦水坝的横断面如图所示，迎水坡的坡比是（的坡比，坝高，则坡面的长度是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，根据坡比的定义可求出的长，再利用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， 在中，， ∴由勾股定理得， 故答案为：． 14. 如图，在中，过点作，垂足为，过点作，垂足为．若，，，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形的面积，由平行四边形的性质推出，根据等面积法，由的面积即可求出的长． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ，， ，，， ， ． 故答案为：． 15. 参加某次数学竞赛的女生和男生人数比是，这次竞赛的平均分是82分，其中男生平均分是80分，女生平均______分． 【答案】88 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数，进行假设，进而根据平均成绩、人数和总成绩的关系进行解答即可．把女生人数看作1组，则男生人数为3组，根据“平均成绩人数全班成绩”先计算出全班成绩和男生总成绩，进而用“全班总成绩男生总成绩”求出女生总成绩；继而根据“女生总成绩女生人数女生平均成绩”解答得出结论． 【详解】解： （分）， 答：女生平均88分． 故答案为：88． 16. 如图，在平行四边形中，，，，于点，点为中点，连接，．若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】延长交的延长线于点，连接，设，首先证明，得到 ，，再利用线段垂直平分线的性质得到 ，最后在和中利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点，连接，设， 四边形是平行四边形， ， ， 是的中点， ， 在 和 中， ， ， ，， ， 即 ， 垂直平分， ， ， ， ，， ， ， 在和中，由勾股定理得， ， 整理得， 解得或（舍去）， ， ． 三、解答题（本题有8小题，第题每题6分第23、24题8分，共52分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算； （1）先化简各二次根式，再计算加减运算即可； （2）先计算二次根式的乘法运算，再合并即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握因式分解法是解题的关键． （1）直接提取公因式，用因式分解法求解即可； （2）把移到左边，再用十字相乘法分解因式，求解即可． 【小问1详解】 ， 或， ，； 【小问2详解】 ， ， ， 或， ， 19. 在某次射击训练中，甲、乙两人的成绩如图1所示，嘉琪根据图1绘制成如图2所示箱线图． （1）图1中甲的众数为________环，乙的平均数为_______环； （2）在图2中，A反映________的成绩；（填“甲”或“乙”） （3）图2中，直接写出A的和B的，并判断甲和乙谁的成绩比较好． 【答案】（1）7；8 （2）乙 （3）A的为7，B的为8，乙的成绩比较好 【解析】 【分析】（1）根据众数，平均数的定义解答即可； （2）直接根据箱线图解答即可； （3）根据上四分位数，下四分位数的定义，平均数的意义解答即可． 【小问1详解】 解：∵甲的成绩中7环出现的次数最多， ∴甲的众数为7环， 由题意得，乙的平均数为环； 【小问2详解】 解：根据题意得：在图1中乙的成绩波动较小，在图2中，的数据比较集中，故反映乙的成绩； 【小问3详解】 解：根据（2）可知反映乙的成绩，反映甲的成绩， 的； 的， ∵甲的平均数为， ∴甲的平均数小于乙的平均数， ∴乙的成绩比较好． 20. 如图，在中，分别平分和，交于点E、F． （1）求证：； （2）过点E作于点G，若的周长为，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ， 分别平分和， ， ， ， ； （2）36 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，再根据角平分线的定义可得，从而可得，可证，即可得证； （2）过点E作于点P，根据角平分线的性质可得，再根据题意可得，再利用求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点E作于点P， ∵分别平分和， ∴， 的周长为36， ， ． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的性质与判定、角平分线的性质及角平分线的定义、熟练掌握相关定理是解题的关键． 21. 有一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如：，等． （1）猜想的结果； （2）按此规律，若为正整数），则的值为_______． （3）请你用一个正整数（为“穿墙”数，）表示含有上述规律的等式，并给出证明； 【答案】（1） （2） （3） 解：（，为正整数） 证明：． 【解析】 【分析】（1）根据题干数据即可求解； （2）根据题干总结规律可得：，即可求解； （3）利用二次根式的性质证明即可． 【小问1详解】 解：由，，得到 【小问2详解】 解：根据题干总结规律可得，等号右边二次根式根号外的整数等于被开方数的分子，被开方数的分母等于根号外的整数的平方减1， ∵ ∴， 解得：， ∴． 【小问3详解】 略 22. 已知的一条边的长为，另两边、的长是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）当为何值时，为直角三角形． 【答案】（1） 证明： 原方程为， ， ， 无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2） 的值为或 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，计算得到判别式恒大于，即可得证； （2）先解一元二次方程得到另两边的长度，再分为斜边、为直角边两种情况，结合勾股定理列方程求解，再根据三角形三边关系可得符合条件的解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：对原方程因式分解得， 解得，， 即另两边长分别为和， 根据三角形三边关系可得，，， 解得，，， ， 分两种情况讨论： 当为斜边时，由勾股定理得， 整理得， 解得或（不合题意，舍去）； 当为直角边时，， 长为的边为斜边， 由勾股定理得， 整理得，解得， 综上，的值为或． 23. 如图①，的对角线和相交于点O，过点O且与边，分别相交于点E和点F． （1）求证：； （2）如图②，已知，． ①当为多少度时，？ ②在①的条件下，连接，求的周长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，垂直平分线的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握知识点是解题的关键． (1)先证明，继而证明，可推导出，即可解答； (2)①先证明，推导出，再由，即可解答； ②先证明垂直平分，则，继而求出，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①∵四边形 是平行四边形， ∴， ． 又∵， ∴， ∴ ∴． ∵． ∴． ②∵， ∴垂直平分． ∴． ∵在中， ， ∴． ∴的周长． 24. 根据背景材料，探索问题． 清明果销售价格的探究 素材1 清明节来临之际，某超市以每袋30元的价格购进了500袋真空包装的清明果，第一周以每袋50元的价格销售了150袋． 素材2 第二周如果价格不变，预计仍可售出150袋，该超市经理为了增加销售，决定降价，据调查发现：每袋清明果每降价1元，超市平均可多售出10袋，但最低每袋要盈利15元，第二周结束后，该超市将对剩余的清明果一次性赔钱甩卖，此时价格为每袋25元． 解决问题 任务1 若设第二周单价为每袋降低x元，则第二周的单价每袋 元，销量是 袋． 任务2 ①经两周后还剩余清明果 袋．(用的代数式表示) ②若该超市想通过销售这批清明果获利元，那么第二周的单价每袋应是多少元？ 【答案】任务1：；；任务2：①；②第二周的单价每袋应是元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用； 任务1：依据题意，由每袋清明果每降价元，超市平均可多售出袋，又设第二周单价为每袋降低元，进而计算可以得解； 任务2：①依据题意，经两周后还剩余清明果为：，进而得解； ②依据题意，由第二周单价为每袋降低元，从而可得方程，解得值后再结合第二周最低每袋要盈利元，进而可以判断得解． 【详解】解：任务1：∵每袋清明果每降价元，超市平均可多售出袋， 又设第二周单价为每袋降低元， 第二周的单价为元，销量是袋． 故答案为：；． 任务：①由题意，经两周后还剩余清明果为： ． 故答案为：． ②由题意得，第二周单价为每袋降低元， ． 或． 又第二周最低每袋要盈利元， ． ． ． 第二周的单价每袋应是． 答：第二周的单价每袋应是元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江海宁市第一初级中学2025-2026学年下学期八年级数学期中试卷 一、选择题（每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题意） 1. 要使二次根式有意义，则x的取值可以是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 2. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 学校生物种植园中有盆相同品种的植物，需要按植物的株高分成两组进行培养，使得同组内植物株高尽量接近．将盆植物的株高（单位：）从小到大排序后分成两组，共有种情况，计算它们的组内离差平方和结果如下： 序号 分组情况 组内离差平方和 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 则盆植物的最优分组序号是（ ） A. B. C. D. 4. 一个多边形的内角和是外角和的3倍，这个多边形的边数是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 5. 用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 某镇2021年投入教育经费3600万元，为了发展教育事业，该镇每年教育经费的年增长率均为，现决定2023年投入6000万元．则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 李老师准备选一名同学代表班级参加数学竞赛，对甲、乙、丙、丁四位同学最近五次的数学测试成绩统计如表．如果按照成绩优异且发挥稳定的标准选拔，则应选择的同学是（ ） 类别 甲 乙 丙 丁 平均分 方差 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 8. 若以，，三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9. 设，是一元二次方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于的方程和的解相同，则与之间的等量关系为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题有6小题，每小题3分．共18分） 11. 数据1，4，5，9，6，5的中位数是______． 12. 若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为___________． 13. 拦水坝的横断面如图所示，迎水坡的坡比是（的坡比，坝高，则坡面的长度是______． 14. 如图，在中，过点作，垂足为，过点作，垂足为．若，，，则的长为__________． 15. 参加某次数学竞赛的女生和男生人数比是，这次竞赛的平均分是82分，其中男生平均分是80分，女生平均______分． 16. 如图，在平行四边形中，，，，于点，点为中点，连接，．若，则的长为________． 三、解答题（本题有8小题，第题每题6分第23、24题8分，共52分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 在某次射击训练中，甲、乙两人的成绩如图1所示，嘉琪根据图1绘制成如图2所示箱线图． （1）图1中甲的众数为________环，乙的平均数为_______环； （2）在图2中，A反映________的成绩；（填“甲”或“乙”） （3）图2中，直接写出A的和B的，并判断甲和乙谁的成绩比较好． 20. 如图，在中，分别平分和，交于点E、F． （1）求证：； （2）过点E作于点G，若的周长为，求的面积． 21. 有一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如：，等． （1）猜想的结果； （2）按此规律，若为正整数），则的值为_______． （3）请你用一个正整数（为“穿墙”数，）表示含有上述规律的等式，并给出证明； 22. 已知的一条边的长为，另两边、的长是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）当为何值时，为直角三角形． 23. 如图①，的对角线和相交于点O，过点O且与边，分别相交于点E和点F． （1）求证：； （2）如图②，已知，． ①当为多少度时，？ ②在①的条件下，连接，求的周长． 24. 根据背景材料，探索问题． 清明果销售价格的探究 素材1 清明节来临之际，某超市以每袋30元的价格购进了500袋真空包装的清明果，第一周以每袋50元的价格销售了150袋． 素材2 第二周如果价格不变，预计仍可售出150袋，该超市经理为了增加销售，决定降价，据调查发现：每袋清明果每降价1元，超市平均可多售出10袋，但最低每袋要盈利15元，第二周结束后，该超市将对剩余的清明果一次性赔钱甩卖，此时价格为每袋25元． 解决问题 任务1 若设第二周单价为每袋降低x元，则第二周的单价每袋 元，销量是 袋． 任务2 ①经两周后还剩余清明果 袋．(用的代数式表示) ②若该超市想通过销售这批清明果获利元，那么第二周的单价每袋应是多少元？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $