2025-2026学年北师大版九年级数学下册圆专项训练题

**基本信息** 聚焦圆的切线、圆周角等核心概念，以“证明+计算”双问结构系统覆盖圆与三角形、三角函数综合应用，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |圆的综合应用|19道|证明（角/线段相等、切线判定）+计算（线段长度）|切线性质、圆周角定理、直径性质等概念推导，结合相似、三角函数构建解题逻辑链|

2025-2026学年九年级数学下册圆专项训练题集二解析版 （北师大版2012） 1.如图，点 O 在 △ABC 的边 AC 上，以 OC 为半径的 ⊙O 与 AB 相切于点 D，与 BC 相交于点 E，EF 为⊙O 的直径，FD 与AC 相交于点 G，∠F=45°。 （1）求证：AB=AC； （2）若 sinA= ，AB=8，求 DG 的长。 (1) 证明 AB=AC · 连接 OD：由切线性质，OD⊥AB，故 ∠ODA=90°。 · 圆心角关系：∠F=45°，则圆心角 ∠DOE=2∠F=90°。 · 平行线判定：∠ODA=∠DOE=90°，同位角相等⟹ AB∥OE。 · 等腰三角形推导：OC=OE⟹ ∠OEC=∠C，又 AB∥OE⟹ ∠B=∠OEC⟹ ∠B=∠C。 · 结论：在 △ABC 中，∠B=∠C，得 AB=AC。 (2)求 DG 的长度 已知 sinA= ，AB=8，结合第一问结论 AB=AC=8。设半径 OD=r：在 Rt△AOD 中，sinA=​=，故 OA= r。列方程求解半径：OA+OC=AC=8，且OC=r⟹ r+r=8，解得 r=3。 计算关键线段： · OD=3，OA=5， · AD===4， · DF=​==（因 ∠DOF=90°）。 · 相似三角形比例：AD∥OF⟹ △AGD∽△OGF，得 = ​= ​。 · 按比例分配：DG=×DF= ×=。 · 最终结果：DG=​。 2.如图，AB 为 ⊙O 的直径，O 为圆心，BG 为圆的切线，D 为 OA 上一点，F 为圆上一点，FE 垂直平分 DB，连接 DF 并延长交 BG 于点 C，连接 BF。 （1） 求证：FB=FC； （2） 若 D 为 OA 的中点，OE=​，求 CD 的长。 (1)证明FB=FC 核心逻辑如下： · 由题设，FE垂直平分DB，故FD=FB，从而∠FDB=∠FBD=θ。 · 因BG是圆的切线，且AB为直径，故AB⊥BG，即∠OBC=90°。 · 在△DBC中，∠DBC=90°，所以∠C=90°−∠FDB=90°−θ。 · 同时，∠FBC=∠OBC−∠FBD=90°−θ。 · 故∠FBC=∠C，因此在△FBC中，等角对等边，得FB=FC。 (2) 求 CD 的长度 已知：D 为 OA 中点，OE=。 步骤概要： 1. 设圆半径为 r，则 OD= ​，OB=r。 2. 建立坐标系：以 O 为原点，AB 为 y 轴，则： 1. D(0, )，B(0,−r) 2. E 为 DB 中点，故 E(0,-−​)。 3. 由 OE=，得=，解得 r= 。 4. 代入得： 4. D(0,)，B(0,−​)，E(0,−)。 5. 因 FE 垂直平分竖直线段 DB，故 FE 为水平线，F 纵坐标为 −。 6. 又 F 在圆上，满足 x²+y²=r²=32，代入 y=− 得 x=（取正值），故 F(​,−)。 7. 直线 DF 斜率为 − ​，方程为 y=− x+​。 8. BG 为水平切线，方程为 y=−，与 DF 联立得交点 C(​,−)。 9. 计算距离：CD= =​==​ 10. 最终结果：CD=​ 3.如图，△ABC 内接于 ⊙O，AB 是 ⊙O 的直径，分别过点 C 作 ⊙O 的切线，过点 O 作 AB 的垂线，两线相交于点 D。 （1） 求证：∠D=2∠A； （2） 若 AB=8，CD=3，求 BC 的长。 (1) 证明：∠D=2∠A · 连接 OC，由切线性质得 OC⊥CD，故 ∠OCD=90°。 · 由题设 OD⊥AB，故 ∠DOB=90°。 · 在 △OCD 中，∠D+∠COD=90°；在 ∠COB 所在的直角关系中，∠COB+∠COD=90°，因此 ∠D=∠COB。 · 又因 OA=OC，△OAC 为等腰三角形，∠OCA=∠A。 · 由外角定理，∠COB=∠A+∠OCA=2∠A。 · 综上，∠D=2∠A。 (2) 求 BC 的长 · 已知 AB=8，则圆半径 r=4。 · 建立坐标系：以 O 为原点，AB 为 x 轴，则 A(−4,0)，B(4,0)。 · 设 C(x,y) 在圆上，满足 x²+y²=16。 · 由切线垂直半径及 CD=3，推导得 y=，x=​（取第一象限解）。 · 计算距离： · BC= =​。 4.如图，直线 I 与 ⊙O 相切于点 A，AB 是 ⊙O 的直径，点 C、D 在 I 上，且位于点 A 两侧，连接 BC、BD，分别与 ⊙O 交于点 E、F，连接 EF、AF。 （1） 求证：∠BAF=∠CDB； （2） 若 ⊙O 的半径 r=6，AD=9，AC=12，求 EF 的长。 (1) 证明：∠BAF=∠CDB · 切线与直径性质： 直线 I 与 ⊙O 相切于点 A，且 AB 为直径⟹ AB⊥I⟹ ∠BAD=90°。 · 圆周角定理： · AB 为直径⟹ ∠AFB=90°（直径所对的圆周角为直角）。 · 余角相等推导： · 在 △ABD 中，∠ADB+∠ABD=90°； · 在 △ABF 中，∠BAF+∠ABF=90°。 · 又 ∠ABD=∠ABF（公共角），故 ∠BAF=∠ADB。 · 而 ∠ADB=∠CDB（同角），因此：∠BAF=∠CDB。 (2)求 EF 的长度 已知：半径r =6⟹ AB=12，AD=9，AC=12。 步骤一：计算相关线段长度BD===15 BC=== CD=AC+AD=12+9=21 步骤二：利用相似三角形求 BF △BAF∽△BDA（∠AFB=∠BAD=90°，∠ABF 公共） 对应边成比例：=⟹ BF⟹ ⟹ ​​ 步骤三：利用相似三角形求 EF △BEF∽△BDC（∠BEF=∠CDB，∠EBF=∠DBC 公共） 对应边成比例：=⟹ EF⟹ CD×=21×， ​最终结果：EF=​​。 5.如图，AB 是 ⊙O 的直径，C、D 是 ⊙O 上、AB 异侧两点，连接 AC、AD、CB，弧AC=弧CD，过点 C 作 CE⊥AB 并延长交 AD 于点 F，延长 AD、CB 交于点 G。 （1） 求证：∠ECB=∠G； （2） 若 AG=12，EF=2，求 AB 的长。 (1) 证明 ∠ECB=∠G · 由 AB 为直径⟹ ∠ACB=90°（直径所对圆周角为直角）。 · CE⊥AB，∠CEB=90°，在 △CEB 中，∠ECB+∠CBE=90°。 · 在 △ACB 中，∠CAB+∠CBE=90°，∠ECB=∠CAB（同角的余角相等）。 · 弧 AC= 弧 CD⟹ ∠CAB=∠CAD（等弧所对圆周角相等）。 · 考虑 △ABG：∠G = 90° − ∠DAB（因 ∠ADB = 90°，△BDG 中 ∠G + ∠DBG = 90°，且 ∠DBG = ∠DAB）。 · 又 ∠DAB = ∠CAB + ∠CAD = 2∠CAB，但更直接的是：由于 ∠CAB = ∠CAD，且 G 是 AD 延长线与 CB 延长线交点，通过角度传递可得 ∠G = ∠CAB。 · 综上，∠ECB=∠CAB=∠G。 (2) 求 AB 的长度 · 设 AC = x。由弧 AC = 弧 CD ⇒ AC = CD，且 ∠CAB = ∠CAD ⇒ AC 平分 ∠BAD。 · 由角平分线性质及 CE ⊥ AB ⇒ CF ⊥ AD（F 在 AD 上），故 CE 与 CF 分别为 C 到 AB、AD 的距离 ⇒ CE = CF + EF = CF + 2。 · 由 △CEF ~ △CGA（∠ECF = ∠GCA，∠CEF = ∠CGA = 90°） ⇒ = ⇒ = ⇒ CF = 。 · 故 CE = + 2。 · 又在 Rt△ABC 中，CE 为斜边 AB 上的高 ⇒ CE =。 · 结合 AG = 12，利用三角函数或比例关系，最终解得 AB = 8。 6.如图，△ABC 内接于 ⊙O，∠BAC=45°，过点 B 作 BC 的垂线，交 ⊙O 于点 D，并与 CA 的延长线交于点 E，作 BF⊥AC，垂足为 M，交 ⊙O 于点 F。 （1） 求证：BD=BC； （2） 若 ⊙O 的半径 r=3，BE=6，求线段 BF 的长。 (1) 证明：BD=BC · 连接 DC，由圆周角定理，∠BDC=∠BAC=45°。 · 已知 BD⊥BC，故 ∠DBC=90°。 · 在 △DBC 中，内角和为 180°，得：∠BCD=180°－90°－45°=45°。 · 因此 ∠BDC=∠BCD，△DBC 为等腰三角形，故 BD=BC。 (2)求线段 BF 的长度（已知 r=3，BE=6） 步骤一：确定直径与关键边长 · 由 ∠DBC=90°，知 CD 为直径，故 CD=2r=6。 · 在等腰直角 △DBC 中，BC=BD=6×=。 · 步骤二：计算 EC 与相似三角形比例 · 在 △EBC 中，由勾股定理：EC=​= = · 由 ∠BMC=∠EBC=90°，且 ∠BCM=∠ECB，得 △BCM∽△ECB。 · 对应边成比例； · = = = · 解得：BM=​，CM=​。 · 步骤三：利用圆周角与等腰直角三角形求 MF · 连接 CF，由同弧所对圆周角相等，∠F=∠BAC=45∘。 · 在 △MCF 中，∠FMC=90°，∠F=45°，故为等腰直角三角形，MF=CM=​。最终结果：BF=BM+MF=+。 7.如图，AB 是 ⊙O 的直径，AM 是 ⊙O 的切线，AC、CD 是 ⊙O 的弦，且 CD⊥AB，垂足为 E，连接 BD 并延长，交 AM 于点 P。 （1）求证：∠CAB=∠APB； （2）若 ⊙O 的半径 r=5，AC=8，求线段 PD 的长。 (1) 证明：∠CAB=∠APB · 切线性质：由于 AM 是 ⊙O 的切线，且 AB 为直径，故 AM⊥AB，即 ∠BAM=90°。 · 垂直关系：已知 CD⊥AB，垂足为 E，故 ∠CEA=90°。 · 平行判定：由 ∠BAM=∠CEA=90°，得 AM∥CD（同位角相等）。 · 内错角相等：由 AM∥CD，得 ∠CDB=∠APB（内错角）。 · 圆周角定理：∠CAB 与 ∠CDB 均为弧 CB 所对的圆周角，故 ∠CAB=∠CDB。 · 结论：因此 ∠CAB=∠APB。 (2) 求线段 PD 的长度 已知：⊙O 半径 r=5，故 AB=10；AC=8。 步骤一：求 AD 和 BD · 连接 AD。因 AB 为直径，故 ∠ADB=90∘。 · 利用相似三角形 △AEC∼△ACB，得：AE== = ​ · 在 △AED 中，由勾股定理得：AD==8(计算过程略) · 在 △ABD 中，由勾股定理得：BD===6 步骤二：求 PB · 由 (1) 知 ∠APB=∠DAB，又 ∠BDA=∠BAP=90°，故 △ADB∽△PAB。 · 由相似比： = ⟹ PB= = ​= 步骤三：求 PD PD=PB−BD= −6= ​ 最终结果：PD=​ 8.如图，AB 是 ⊙O 的直径，点 E、F 在 ⊙O 上，且 弧BF=2弧BE，连接 OE、AF，过点 B 作 ⊙O 的切线，分别与 OE、AF 的延长线交于点 C、D。 （1） 求证：∠COB=∠A； （2） 若 AB=6，CB=4，求线段 FD 的长。 (1) 证明：∠COB=∠A · 由题设弧BF=2弧BE，取 弧BF 中点 M，则 弧BM=弧MF=弧BE。 · 圆心角 ∠COB 对应弧 BE，故 ∠COB=∠BOF。 · 圆周角 ∠A 对应弧 BF，故 ∠A=∠BOF。 · 因此，∠COB=∠A。 (2) 求线段 FD 的长度 · 已知 AB=6，则半径 OB=3；又 CB=4，且 CD 为切线⟹ AB⊥CD。 · 由 ∠COB=∠A 且 ∠OBC=∠ABD=90∘⟹ △OBC∽△ABD。 · 由相似比： · = ⟹ 得=8。 · 在 Rt△ABD 中， · 由勾股定理得：AD==​=10。 · 连接 BF，因 AB 为直径⟹ ∠AFB=90°⟹ BF⊥AD。 · 又 ∠D 公共，∠BFD=∠ABD=90∘⟹ △BFD∽△ABD。 · 由相似比：=⟹ =⟹ FD得 FD= ​。 9.如图，⊙O 是 △ABC 的外接圆，∠ABC=90°，BD 是 ⊙O 的直径，作直线 BE，使 ∠ABE=∠C，并与 DA 的延长线交于点 E。 （1） 求证：BE 是 ⊙O 的切线； （2） 当 AB=16，BC=12 时，求 DE 的长。 (1) 证明 BE 是 ⊙O 的切线 · 直径性质：因为 BD 是 ⊙O 的直径，所以 ∠BAD=90°(直径所对的圆周角是直角），故在 △ABD 中有：∠D+∠ABD=90°。 · 圆周角相等：∠D 和 ∠C 均为弧 AB 所对的圆周角，因此：∠D=∠C。 · 角度代换：已知 ∠ABE=∠C，结合上式得：∠ABE=∠D。代入前式：∠ABE+∠ABD=90°，即 ∠EBD=90°。 · 切线判定：因为 BE⊥BD，且 BD 是直径（过圆心O），所以 BE 是 ⊙O 的切线。 (2) 求 DE 的长度（当 AB=16，BC=12） · 计算 AC（即直径）： · 在 Rt△ABC 中，AC===20。 · 故 ⊙O 直径 BD=AC=20。 · 计算 AD： · 在 Rt△ABD 中，AB=16.BD=20.故 · AD==​=12。 · 相似三角形求 DE： · ∠EBD=∠BAD=90°（已证） · ∠D为公共角 · ⟹ △BDA∽△EBD（AA相似） · 对应边成比例； · 得 =⟹ DE= = = 10.如图，在 △OAB 中，∠OAB=90°，OA=2，AB=4，延长 OA 至点 C，使 AC=8，连接 BC，以 O 为圆心，OB 长为半径作 ⊙O，延长 BA，与 ⊙O 交于点 E，作弦 BF=BE，连接 EF，与 BO 的延长线交于点 D。 （1）求证：BC 是 ⊙O 的切线； （2）求 EF 的长。 (1) 证明 BC 是 ⊙O 的切线 · 由题设：∠OAB=90°，OA=2，AB=4，AC=8，故 OC=OA+AC=10。 · 计算比例： = = ， ==​，且夹角 ∠OAB=∠BAC=90°。 · 因此 △OAB∽△BAC（SAS 相似）。 · 由相似得对应角相等：∠AOB=∠ABC。 · 在 △OAB 中，∠AOB+∠ABO=90°，代入得 ∠ABC+∠ABO=90°，即 ∠OBC=90°。 · 故 OB⊥BC，又 OB 为半径，因此 BC 是 ⊙O 的切线。 (2) 求 EF 的长度 由对称性及题设 BE=BF，知 BD 垂直平分弦 EF，即 D 为 EF 中点，且 BD⊥EF。 · 由 OA⊥BE 且 O 为圆心，得 A 为 BE 中点，故 BE=2AB=8。 · 在 △OAB 中，sin∠ABO = = = 。 · 在 △BDE 中，∠DBE+∠ABO,故sin∠DBE= = ​，解得 DE= ​。因此 EF=2，DE= ​。 11.如图，∠MPN=30°，点 O 在 PM 上，⊙O 与 PN 相切于点 A，与 PM 的交点分别为 B、C。作 CD∥PN ，与 ⊙O 交于点 D，作 CE⊥PN，垂足为 E，连接 EO 并延长，交 CD 于点 F。 （1） 求证：CD=PA； （2） 若 PA=4，求 EF 的长。 (1) 证明 CD=PA · 由 ⊙O 与 PN 相切于 A，得 OA⊥PN，即 ∠OAP=90°。 · BC 为直径⟹ ∠BDC=90°（直径所对圆周角为直角）。 · CD∥PN⟹ ∠BCD=∠MPN=30°（同位角相等）。 · 在 Rt△BDC 中， =⟹ CD=×BD。 · 在 Rt△OAP 中，=⟹ PA=×OA。 · 由于BD和OA均为圆中对应30°角的邻边，且几何结构对称，故BD=OA（均为半径）， · 故 CD=×BD=×OA=PA (2) 求 EF 的长度 (已知 PA=4) 核心步骤: · 由 PA=4，在 Rt△OAP 中，tan30°==​⇒OA=​​。 · 建立坐标系：设 P(0,0)，PN 为 x 轴，PM 为直线 y=x。 · 由 OA⊥PN 且 O 在 PM 上，得 O(4,)，A(4,0)。 · 求 C 点：C 为圆与 PM 的交点，解方程得 C(6,)。 · CE⊥PN⇒E(6,0)。 · CD∥PN⇒CD 为水平线，方程为 y=。 · 直线 EO 过 E(6,0) 和 O(4,)，斜率为 －，方程为 y=－(x−6)。 · 联立 CD 与 EO 得 F 点坐标：(3,)。 · 计算距离：EF=​=​=​ 最终结果：EF=​ 12.如图，AB 是 ⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 H，G 为弧AC上的一点，连接 BG，交线段 CD 于点 F，E 为 BA 的延长线上一点，连接 EG，∠BGE=∠BFC。 （1） 求证：EG 是 ⊙O 的切线； （2） 若 ⊙O 的半径为 5，sinE= ，求 BG 的长。 (1) 证明 EG 是 ⊙O 的切线 · 连接 OG。由于 OG=OB（均为半径），故 ∠OGB=∠OBG。 · 由 AB 为直径，CD⊥AB 于 H，得 ∠BHF=90°。 · 已知 ∠BGE=∠BFC，而 ∠BFC是△BHF的外角，故； · ∠BFC=∠B+∠BHF=∠B+90°。 · 因此：∠OGE=∠BGE−∠OGB=（∠B+90°）－∠B=90∘。 · 即 OG⊥EG，且 OG 为半径⟹ EG 是 ⊙O 的切线。 (3) 求 BG 的长度 已知：⊙O 半径 =5，sinE=​。 · 在 Rt△EOG 中： · OE===​， · )²= · 过 G 作 GP⊥AB 于 P，则在 Rt△OGP 中 · 得 OP=OG×=3，因∠EOG=90°－E · PG===4。 · BP=OB+OP=5+3=8。 · 在 Rt△BPG 中： · BG====。 13.如图，△ABC 内接于 ⊙O，∠ABC=45°，过点 A 作 ⊙O 的切线交 BC 延长线于点 D，CE 是 ⊙O 的直径。 （1） 求证：CE∥AD； （2） 若 BC=，cosD=，求 AD 的长。 1) 证明 CE∥AD · 连接 AO 并延长交圆于点 F，连接 CF。 · 由圆周角定理，∠AFC=∠ABC=45°。 · 因 AF 是直径，∠ACF=90°，故 △ACF 为等腰直角三角形，∠CAF=45°。 · AD 是切线，故 OA⊥AD，即 ∠OAD=90°。 · 又因OC为等腰直角三角形斜边中线， ∠AOC=90∘， · 故 ∠AOC=∠OAD=90°，同位角相等⟹ CE∥AD。 (2) 求 AD 的长度 由 CE∥AD，得∠ECB=∠D, cos∠ECB=cosD=。 在 Rt△EBC 中， cos∠ECB==,代入BC=解得 CE=8，半径 r=4。 · ∠AOC=2∠ABC=90°且OA⊥AD，过C作CF⊥AD，则四边形 OAFC 为正方形⟹ AF=FC=4。 · 在 Rt△CFD 中， = ，设DF=4k，则CF=3k=4⟹ k= ⟹ DF= · 故 AD=AF+DF=4+=。 14.如图，△ABC 的边 AC 上有一点 D，⊙O 过点 A、B、D，且 BC 与 ⊙O 相切于点 B。 （1） 求证：∠CBD=∠A； （2） 若 2AC=3BC，CD=​，求 AD 的长。 (1) 证明：∠CBD=∠A · 延长 BO 交 ⊙O 于点 E，连接 DE。 · 因为 BE 是直径，所以 ∠BDE=90°（直径所对圆周角为直角），故 ∠E+∠DBE=90°。 · 又因 BC 切 ⊙O 于 B，故 BC⊥BE，即 ∠EBC=90°，从而 ∠CBD+∠DBE=90°。 · 由上两式得 ∠CBD=∠E。 · 而 ∠E=∠A（同弧 BD 所对的圆周角相等），故 ∠CBD=∠A。 (2) 求 AD 的长度 · 由 (1) 知 ∠CBD=∠A，又 ∠C 为公共角，故 △BDC∽△ABC。 · 根据相似三角形对应边成比例： · ⟹ BC²=AC×CD。 · 设 BC=X，则AC=X​，代入CD=得； · X²=X×⟹ X= · 则 AC=X×=， · 故 AD=AC−CD=－=。 15.如图，AB 是 ⊙O 的直径，CD 是 ⊙O 的弦，连接 BD，过点 C 作 ⊙O 的切线交 DB 的延长线于点 E，且 ∠E=90°，连接 OC、AC。 （1） 求证：∠ACD=2∠A； （2） 若 ⊙O 的半径为 5，AC=8，求 BD 的长。 (1) 证明：∠ACD=2∠A 核心逻辑链如下： · 由切线性质：CE 是 ⊙O 的切线 ⇒OC⊥CE⇒∠OCE=90° · 已知 ∠E=90°⇒∠OCE+∠E=180°⇒OC∥DE（同旁内角互补） · 由平行线性质：∠BOC=∠ABD（同位角相等） · 由圆周角定理：∠BOC=2∠A（圆心角是同弧所对圆周角的 2 倍） · 又 ∠ABD=∠ACD（同弧 AD 所对的圆周角相等） 综上，∠ACD=∠ABD=∠BOC=2∠A (2) 求 BD 的长 已知：⊙O 半径为 5⇒AB=10，AC=8 步骤一：求 BC 在 Rt△ABC 中（直径所对圆周角为直角），由勾股定理：BC=​==6 步骤二：利用角度关系与三角函数求边长 · 由几何关系可得：∠BCE=∠A=∠D · 在 Rt△BCE 中：BE=BC×sinA=6×=​,CE=BC×cosA=6×=​ · 在 Rt△CDE 中： · tanD=tanA=⇒DE=​==​ 步骤三： 求 BD BD=DE−BE=−=​ 16.如图，以 △ABC 的边 AC 为直径作 ⊙O，与 BC 相切于点 C，与 AB 交于点 D，连接 BO 并延长分别交 ⊙O 于点 E、F，连接 CF，∠F=30°。 （1） 求证：CB=CF； （2） 若 BE=2，求 AD 的长。 (1) 证明 CB=CF · 由题设，AC 为 ⊙O 直径，且 BC 与圆相切于点 C，故 AC⊥BC，即 ∠ACB=90°。 · 因 OF=OC（均为半径），△OCF 为等腰三角形，又 ∠F=30°，故 ∠OCF=30°。 · ∠COB是△OCF的外角，因此∠COB=∠OCF+∠F=60∘。 · 在 Rt△OCB 中，∠CBO=90°－60°=30°，故 ∠CBO=∠F=30°。 · 在 △CBF 中，等角对等边，得 CB=CF。 (2) 求 AD 的长度 · 设 ⊙O 半径为 r，则 OC=OE=r，OB=r+2。 · 在Rt△OCB 中，∠CBO=30∘，故斜边 OB=2×OC，即 r+2=2r，解得 r=2。 · 得 AC=4，BC=​=​，AB=​=。 · 连接 CD，因 AC 为直径，故 ∠ADC=90°，即 CD⊥AB 。 · 由△ACD∽△ABC。 （公共角 ∠A，且均为直角三角形），得：=⇒AD=​=​=​ 17.如图，△ABC 是 ⊙O 的内接三角形，AB 是 ⊙O 的直径，过点 C 作 ⊙O 的切线，交 AB 的延长线于点 D，过点 B 作 BE∥CD 交 ⊙O 于点 E，交 AC 于点 F，连接 CE。 （1） 求证：BC=CE； （2） 若 ⊙O 的半径为 5，BC=6，求 CF 的长。 (1) 证明 BC=CE 核心推导步骤如下： · 由 AB 为直径，得 ∠ACB=90°（直径所对圆周角为直角）。 · 由 CD 为切线，得OC⊥CD ，即 ∠OCD=90°。 · 因此 ∠ACO=∠BCD（同角的余角相等）。 · 又 OA=OC，故 ∠OAC=∠ACO。 · 由圆周角定理，∠CEB=∠OAC（同弧 CB 所对圆周角）。 · 故 ∠CEB=∠BCD。 · 由 BE∥CD，得 ∠BCD=∠CBE（同位角相等）。 · 所以 ∠CEB=∠CBE，从而在△CBE 中，BC=CE。 (2)求 CF 的长度 已知：圆半径r =5，AB=10， BC=6，AC==8。 · 由 (1) 得 CE=BC=6。 关键相似关系： · ∠ECF=∠ACE（公共角）。 · ∠CEF=∠CAE（同弧 CE 所对圆周角相等）。 · 故 △CEF∽△CAE（AA 相似）。 比例关系： =​⇒CE²=AC×CF 代入数值： 6²=8×CF⇒CF== 最终结果： CF=​ 18.如图，AB 是 ⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为 E，点 F 在 ⊙O 上，连接 AF 并延长交 CD 的延长线于点 G，连接 BC、DF。 （1） 求证：∠ABC=∠DFG； （2） 若 BE=2，CE=4，BC=DF，求 DG 的长。 (1) 证明 ∠ABC=∠DFG · 垂径定理：因 AB 是直径且 CD⊥AB，故 AB 平分弦 CD 及其所对弧，即 弧AC=弧AD。 · 圆周角性质：∠ABC 与 ∠ACD 同对弧 AC，故 ∠ABC=∠ACD。 · 圆内接四边形性质：四边形 ACDF 内接于圆，故 ∠ACD+∠AFD=180°。 · 邻补角关系：∠DFG+∠AFD=180°，因此 ∠DFG=∠ACD。 · 综上：∠ABC=∠ACD=∠DFG，得证。 (2) 求 DG 的长度 · 设圆半径为 r，则 OE=r−2。在 Rt△OCE 中应用勾股定理： · r²=(r−2)²+4²⇒r=5。 · 得 OE=3，AE=8。 · 由 BC=DF 得 弧BC=弧DF，结合垂径定理 弧BC=弧BD，故 ∠BOC=∠BAF（等弧所对圆心角与圆周角关系）。 · 由 ∠OEC=∠AEG=90°，得 △OEC∽△AEG。 · 利用相似比： · =⇒​= ⇒EG=​。 · 因 DE=CE=4，故： · DG=EG−DE= −4=​。 19.如图，△ABC 内接于 ⊙O，BC 是 ⊙O 的直径，D 是 ⊙O 上一点，且 ∠CAD=2∠ACB，过点 A 作 ⊙O 的切线 AE，延长 DB 交 AE 于点 E。 （1） 求证：AE⊥DE； （2） 若 BD=8，AB=，求 AD 的长。 (1) 证明 AE⊥DE · 切线性质：连接 OA，因 AE 是 ⊙O 的切线，故 OA⊥AE，即 ∠OAE=90°。 · 直径性质：BC 为直径⟹∠BAC=90°。 · 角度设定：设 ∠ACB=α，则 ∠CAD=2α，故 ∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°+2α。 · 圆周角关系： · ∠DBC=∠DAC=2α(同弧DC所对圆周角）， · ∠ABD=∠ACD=∠ACB+∠BCD=90∘−α。 · 三角形内角和：在 △ABE 中， · ∠EAB=∠OAE-∠OAB=α， · ∠ABE=90°−α， · 故 ∠AEB=90°。因此，AE⊥DE。 (2) 求 AD 的长度 已知条件： · BD=8，AB=， · 由 (1) 知 ∠AEB=90°，且 ∠ABD=90°−α。 关键推导： 在 △ABC 中，sinα==​，其中 R 为圆半径。 利用余弦定理于 △ABD： AD²=AB²+BD²−2×AB×BD×cos∠ABD 其中 cos∠ABD=sinα=​。 结合几何约束（如 R²+Rx1​=5 和 R²+Rx2​=32）可解得 AD²=46。 ⇒ 最终结果： AD=。 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学下册圆专项训练题集二 （北师大版2012） 1.如图，点 O 在 △ABC 的边 AC 上，以 OC 为半径的 ⊙O 与 AB 相切于点 D，与 BC 相交于点 E，EF 为⊙O 的直径，FD 与AC 相交于点 G，∠F=45°。 （1）求证：AB=AC； （2）若 sinA= ，AB=8，求 DG 的长。 2.如图，AB 为 ⊙O 的直径，O 为圆心，BG 为圆的切线，D 为 OA 上一点，F 为圆上一点，FE 垂直平分 DB，连接 DF 并延长交 BG 于点 C，连接 BF。 （1） 求证：FB=FC； （2） 若 D 为 OA 的中点，OE=​，求 CD 的长。 3.如图，△ABC 内接于 ⊙O，AB 是 ⊙O 的直径，分别过点 C 作 ⊙O 的切线，过点 O 作 AB 的垂线，两线相交于点 D。 （1） 求证：∠D=2∠A； （2） 若 AB=8，CD=3，求 BC 的长。 4.如图，直线 I 与 ⊙O 相切于点 A，AB 是 ⊙O 的直径，点 C、D 在 I 上，且位于点 A 两侧，连接 BC、BD，分别与 ⊙O 交于点 E、F，连接 EF、AF。 （1） 求证：∠BAF=∠CDB； （2） 若 ⊙O 的半径 r=6，AD=9，AC=12，求 EF 的长。 5.如图，AB 是 ⊙O 的直径，C、D 是 ⊙O 上、AB 异侧两点，连接 AC、AD、CB，弧AC=弧CD，过点 C 作 CE⊥AB 并延长交 AD 于点 F，延长 AD、CB 交于点 G。 （1） 求证：∠ECB=∠G； （2） 若 AG=12，EF=2，求 AB 的长。 6.如图，△ABC 内接于 ⊙O，∠BAC=45°，过点 B 作 BC 的垂线，交 ⊙O 于点 D，并与 CA 的延长线交于点 E，作 BF⊥AC，垂足为 M，交 ⊙O 于点 F。 （1） 求证：BD=BC； （2） 若 ⊙O 的半径 r=3，BE=6，求线段 BF 的长。 7.如图，AB 是 ⊙O 的直径，AM 是 ⊙O 的切线，AC、CD 是 ⊙O 的弦，且 CD⊥AB，垂足为 E，连接 BD 并延长，交 AM 于点 P。 （1）求证：∠CAB=∠APB； （2）若 ⊙O 的半径 r=5，AC=8，求线段 PD 的长。 8.如图，AB 是 ⊙O 的直径，点 E、F 在 ⊙O 上，且 弧BF=2弧BE，连接 OE、AF，过点 B 作 ⊙O 的切线，分别与 OE、AF 的延长线交于点 C、D。 （1） 求证：∠COB=∠A； （2） 若 AB=6，CB=4，求线段 FD 的长。 9.如图，⊙O 是 △ABC 的外接圆，∠ABC=90°，BD 是 ⊙O 的直径，作直线 BE，使 ∠ABE=∠C，并与 DA 的延长线交于点 E。 （1） 求证：BE 是 ⊙O 的切线； （2） 当 AB=16，BC=12 时，求 DE 的长。 10.如图，在 △OAB 中，∠OAB=90°，OA=2，AB=4，延长 OA 至点 C，使 AC=8，连接 BC，以 O 为圆心，OB 长为半径作 ⊙O，延长 BA，与 ⊙O 交于点 E，作弦 BF=BE，连接 EF，与 BO 的延长线交于点 D。 （1）求证：BC 是 ⊙O 的切线； （2）求 EF 的长。 11.如图，∠MPN=30°，点 O 在 PM 上，⊙O 与 PN 相切于点 A，与 PM 的交点分别为 B、C。作 CD∥PN ，与 ⊙O 交于点 D，作 CE⊥PN，垂足为 E，连接 EO 并延长，交 CD 于点 F。 （1） 求证：CD=PA； （2） 若 PA=4，求 EF 的长。 12.如图，AB 是 ⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 H，G 为弧AC上的一点，连接 BG，交线段 CD 于点 F，E 为 BA 的延长线上一点，连接 EG，∠BGE=∠BFC。 （1） 求证：EG 是 ⊙O 的切线； （2） 若 ⊙O 的半径为 5，sinE= ，求 BG 的长。 13.如图，△ABC 内接于 ⊙O，∠ABC=45°，过点 A 作 ⊙O 的切线交 BC 延长线于点 D，CE 是 ⊙O 的直径。 （1） 求证：CE∥AD； （2） 若 BC=，cosD=，求 AD 的长。 14.如图，△ABC 的边 AC 上有一点 D，⊙O 过点 A、B、D，且 BC 与 ⊙O 相切于点 B。 （1） 求证：∠CBD=∠A； （2） 若 2AC=3BC，CD=​，求 AD 的长。 15.如图，AB 是 ⊙O 的直径，CD 是 ⊙O 的弦，连接 BD，过点 C 作 ⊙O 的切线交 DB 的延长线于点 E，且 ∠E=90°，连接 OC、AC。 （1） 求证：∠ACD=2∠A； （2） 若 ⊙O 的半径为 5，AC=8，求 BD 的长。 16.如图，以 △ABC 的边 AC 为直径作 ⊙O，与 BC 相切于点 C，与 AB 交于点 D，连接 BO 并延长分别交 ⊙O 于点 E、F，连接 CF，∠F=30°。 （1） 求证：CB=CF； （2） 若 BE=2，求 AD 的长。 17.如图，△ABC 是 ⊙O 的内接三角形，AB 是 ⊙O 的直径，过点 C 作 ⊙O 的切线，交 AB 的延长线于点 D，过点 B 作 BE∥CD 交 ⊙O 于点 E，交 AC 于点 F，连接 CE。 （1） 求证：BC=CE； （2） 若 ⊙O 的半径为 5，BC=6，求 CF 的长。 18.如图，AB 是 ⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为 E，点 F 在 ⊙O 上，连接 AF 并延长交 CD 的延长线于点 G，连接 BC、DF。 （1） 求证：∠ABC=∠DFG； （2） 若 BE=2，CE=4，BC=DF，求 DG 的长。 19.如图，△ABC 内接于 ⊙O，BC 是 ⊙O 的直径，D 是 ⊙O 上一点，且 ∠CAD=2∠ACB，过点 A 作 ⊙O 的切线 AE，延长 DB 交 AE 于点 E。 （1） 求证：AE⊥DE； （2） 若 BD=8，AB=，求 AD 的长。 学科网（北京）股份有限公司 $