专题10 圆最值问题之瓜豆圆模型专项训练（压轴题专项训练，四川成都专用）数学北师大版九年级下册

专题10 圆最值问题之瓜豆圆模型专项训练 问题1.如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？ 解析：Q点轨迹是一个圆 理由：Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，． 问题2.如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？ 解析：Q点轨迹是一个圆 理由：∵AP⊥AQ，∴Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO； 又∵AP：AQ=2：1，∴Q点轨迹圆圆心M满足AO：AM=2：1． 即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为2． 模型总结：条件：两个定量 主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）； 主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）． 结论：（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：∠PAQ=∠OAM； （2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比． 专项训练 一、单选题 1．如图，在每个小正方形边长为1的网格中，定点、、为3个格点，以点为圆心作圆，使点落在内，过点任意作弦，取的中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理，求一点到圆上的距离的最值问题，勾股定理与网格问题；连接，，根据垂径定理得出，得到在以为直径的上运动，连接交于点，当重合时，取得最小值，根据勾股定理求得，进而即可求解． 【详解】解：如图所示连接，， ∵的的中点 ∴， ∴， ∴在以为直径的上运动， 当重合时，取得最小值， ∵， ∴， 即的最小值为， 故选：A． 2．如图，A是上任意一点，点C在外，已知是等边三角形，则的面积的最大值为（ ） A． B．4 C． D．6 【答案】A 【分析】以为边向上作等边三角形，连接，证明得到，分析出点D的运动轨迹是以点M为圆心，长为半径的圆，在求出点D到线段的最大距离，即可求出面积的最大值． 【详解】解：如图，以为边向上作等边三角形，连接， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点D的运动轨迹是以点M为圆心，长为半径的圆，要使的面积最大，则求出点D到线段的最大距离， ∵是边长为4的等边三角形， ∴点M到的距离为， ∴点D到的最大距离为， ∴的面积最大值是， 故选A． 【点睛】本题考查了动点轨迹是圆的问题，解决本题的关键是利用构造全等三角形找到动点D的轨迹圆，再求出圆上一点到定线段距离的最大值． 3．如图，正方形中，，E是的中点．以点C为圆心，长为半径画圆，点P是上一动点，点F是边上一动点，连接，若点Q是的中点，连接，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称—最小距离和问题，正方形的性质，勾股定理．取点关于直线的对称点，连接、两线交于点，连接，，，过作于，根据勾股定理求出，再结合四点共线时最小即可得解． 【详解】解：如图，取点关于直线的对称点，连接、两线交于点，连接，，，过作于， ∵点是的中点， ∴， ∴点在以为圆心，半径为的圆上运动， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 当、、、四点共线时，的值最小，的最小值为， ∴的最小值为， 故选：A． 4．如图，已知在中，，，将绕点逆时针旋转．得到．点是边的中点，点为边上的动点，在绕点逆时针旋转的过程中，点的对应点是点，则线段长度的最大值与最小值的差是（    ）． A． B． C． D．18 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的三线合一性质，垂线段最短，圆的基本性质，熟练掌握勾股定理，等腰三角形的三线合一性质，垂线段最短，圆的基本性质是解题的关键．如图，连接，作于，于．求出的最小值以及最大值即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，作于，于， ∵绕点逆时针旋转得到，，， ∴点的对应点是点，， ，， 又∵点是边的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在旋转过程中，当点与重合时，的值最小，最小值为：， 当点与重合时，的值最大，最大值为：， ∴线段长度的最大值与最小值的差是：． 故选：C． 5．如图，在等腰直角三角形中，，点在以斜边为直径的半圆上，为的中点，则点沿半圆由点运动至点的过程中，线段的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，连接、、，根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半，得出，再结合等腰三角形三线合一的性质，得到，从而推出点的运动轨迹是以为直径的圆上，取的中点，以长为半径作，交、于点、，过点作于，即点在运动，利用等腰直角三角形的性质，求出，连接交于点，此时线段有最小值，先利用勾股定理求出，再根据求解即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接、、， 在等腰直角三角形中，， ，， 点是的中点， ， ， ， 为的中点， ，， ， 点的运动轨迹是以为直径的圆上， 取的中点，以长为半径作，交、于点、，过点作于，即点在运动， ， ， ，， ，， ， ， 连接交于点，此时线段有最小值， 在中，，， 故选：D． 【点睛】本题是圆与三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的斜边中线，直径所对圆周角、点到圆的距离等知识，确定点的运动轨迹是解题关键． 6．已知如图，，点E在圆弧上运动，点M是中点，线段绕点M顺时针旋转得到线段，，则的最小值为（   ） A．12 B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，使得，连接，过点作交延长线于点，则，由，得到，结合，易证四边形是正方形，由，点M是中点，得到，进而求出，利用勾股定理求出，由旋转的性质得到，推出，易证，推出，即可得到点是在以点为圆心，为半径的圆弧上运动，当三点共线时，有最小值，根据的最小值为即可求解． 【详解】解：如图，过点作，使得，连接，过点作交延长线于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∵，点M是中点， ∴，， ∴， ∴， 由旋转的性质得到， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴点是在以点为圆心，为半径的圆弧上运动， 当三点共线时，有最小值， ∴的最小值为． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆外一点到圆上的最短距离，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线，构造三角形全等，找到点F的运动轨迹是解题的关键． 7．如图，在平面直角坐标系中，以为圆心作圆，使其经过原点和点，若点是圆上异于的一点，点是弦的中点，则长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接、，过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，连接，根据垂径定理得出，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出，，根据两点之间，线段最短可得点、、三点共线时，的值最小，即可求解． 【详解】解：连接、，过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，连接，如图： ∵点的坐标是，， ∴，， ∴， 故是等腰直角三角形， ∴，， 故， 又∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，， ∵点是弦的中点， ∴， 故点是在以点为圆心的圆上， 当点、、三点共线时，的值最小； 此时． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆的综合应用，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，垂径定理等，根据垂径定理得出点是在以点为圆心的圆上是解题的关键． 二、填空题 8．如图，边长为的正方形内接于，点为弧上一动点（不与，重合），过点作于点，连接，则的最小值是 ． 【答案】## 【分析】本题考查了正方形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，到圆上一点的最值问题，勾股定理，取点的中点，连接，得出，则在以为圆心的圆上运动，当在上时，取得最小值，进而勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵ ∴ ∴在以为圆心的圆上运动， ∴当在上时，取得最小值， 最小值为 故答案为：． 9．如图，在中，，，，D是上一个动点，以为直径的圆O交于E，则线段的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了圆周角定理和勾股定理的综合应用，解决本题的关键是确定E点运动的轨迹，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题．连接，取的中点，以为直径作，由直径可得，进而可得点在以为直径的上运动，当点、、三点共线时，有最小值，此时，利用勾股定理求出，即可得解． 【详解】解：如图，连接，取的中点，以为直径作， 是直径， ， ， 点在以为直径的上运动， ， ， ， 当点、、三点共线时，有最小值，此时， ， ， ， 线段的最小值是 故答案为：． 10．如图，边长为的正方形中，以为直径在正方形内作半圆，点是半圆上动点，连接，把线段绕点逆时针旋转得线段，连接，则线段长度的最小值是 ． 【答案】 【分析】延长到，使，连接，取的中点，连接，证明，即可证明，从而，得在以为圆心，为半径的半圆上运动，故当共线时，最小，此时，即可得最小为． 本题考查旋转的性质，正方形性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是求出的轨迹． 【详解】解：延长到，使，连接，取的中点，连接，如图： 四边形是正方形， ， 由旋转可得：， ， ， ， ， ，即， ， ， ， 在以为圆心，为半径的半圆上运动， 当共线时，最小， 如图： ， ， 最小为； 故答案为：． 11．如图，是半径为2的的弦，将弧沿将翻折后，恰好经过圆心，点是翻折的弧上的一动点；连接并延长交于，点为的中点，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】连接，作，求出，并根据特殊的直角三角形性质求出边长和角度，确定为等边三角形，再连接，求出；根据三角形两边之差小于第三边的性质可得，从而可求得答案．本题考查圆的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，以及利用三角形三边关系求线段最值，作出相关辅助线是解题关键． 【详解】如图，连接，作，交M，交圆于点N， 由翻折可知：，， ∴是等边三角形， ∴， ∵ ， 为等边三角形， 连接， 点为的中点， 由三线合一性质可得：，即， 由垂径定理可得：为中点， ，当三点共线时取等号， ． 故答案为：． 12．如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作，且使得，连接，则长的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、两圆的位置关系、轨迹等知识，如图，作，使得，，则，，，由，推出，即（定长），由点是定点，是定长，推出点在半径为的上，由此即可解决问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 【详解】解：如图，作，使得，，则，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即（定长）， ∵点是定点，是定长， ∴点在半径为的上， ∵， ∴的最大值为， 故答案为：． 13．如图，在中，，，E、F分别是的中点，连接，将绕点B旋转一个角，连接并延长，与直线交于点G，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，掌握切线的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．证明点G在以为直径的圆上，得到当为的切线时，有最小值，此时F、G重合，据此求解即可． 【详解】解：如图，连接， 由题意得和都是等腰直角三角形，且，，，， ，，， ， ， ， 、C、A、G四点共圆， ， 点G在以为直径的圆上，点E在以B为圆心，为半径的圆上， 当为的切线时，有最小值，此时F、G重合， ， 即的最小值是， 故答案为： 14．如图，在中，半径，弦，Q是上的一个动点，连接，作，垂足为P，则在点Q移动的过程中，线段的最小值是 ． 【答案】8 【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，圆外一点到圆上一点的距离的最值，由知，点P在以为直径的的圆弧上，连接交于P，此时线段最短，进而求解即可．解题的关键是确定点的运动轨迹． 【详解】解： ∵， ∴， ∵点Q是劣弧上的一个动点， ∴点P在以为直径的的圆弧上， 如图所示，连接交于P，此时线段最短． ∵弦，半径， ∴直径，， 连接，则：， ∴， 在中， ， ∴． 故答案为：8． 15．如图，中，，，点D为上一点，将线段绕点P逆时针旋转得到，连接，过D作于E，连接 ，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据对角互补的四边形共圆，证得P，C，B，D四点共圆，点E在此圆上，即上，根据同弧所对的圆心角相等证得，从而得出，以为斜边作等腰直角三角形，延长交于点F，证四边形在上，连接，则E为与的交点（取得最小值），问题得解． 【详解】解：连接， 中，，， ， 线段绕点P逆时针旋转得到， ， ，即， ， ， ， ，即， 在四边形中，， ∴P，D，B，C四点共圆，如图为， 连接，则为的直径， ， ∴点E在上， 连接，则， ， 以为斜边作等腰直角三角形，如图所示，， ，即：， ， 延长交于点F，则， ，， 点在以点为圆心的圆上， 连接，则点E为与的交点（取得最小值）， 在中，， 的最小值＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转，四点共圆，圆周角定理，全等三角形的判定性质，构造辅助线是解题的关键． 16．如图，已知中，，点E是边上的动点，以为直径作，连接交于点D，则的最小值 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，圆周角定理，三角形三边关系，根据题意找出，当点在一直线上时，的值最小是解题的关键． 连接，利用直径定理得出直角，确定，得出当点在同一条直线上时，的值最小，然后利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴动点在以中点为圆心，2为半径的圆上运动， ∵， 当点在同一条直线上时，的值最小， ∵，， ∴由勾股定理得，， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 17．在矩形中，，点在上，点在平面内，，，连按，将线段绕着点顺时针旋转得到，则线段的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查矩形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，将线段绕点顺时针旋转得，得，将线段绕点顺时针旋转得，得，证明，得判断要使最大，则三点共线时最大，最大值为，根据勾股定理可求出即可得出结论 【详解】解：∵在平面内，且， ∴在以为圆心，3为半径的圆上，如图， 将线段绕点顺时针旋转得， ∴， 将线段绕点顺时针旋转得， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴在点为圆心，3为半径的圆上， 要使最大，则三点共线时最大，最大值为； ∵四边形是矩形， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴的最大值为， 故答案为：． 三、解答题 18．【提出问题】如图1，已知圆的半径为2，点是圆上一动点，点是圆外一点，连接，取的中点，当点在圆上运动时，判断点的运动轨迹．    【解决问题】 （1）小明同学进行了探究，他连接线段，取其中点，他猜想点的运动轨迹应该是以为圆心，1为半径的圆．请你帮小明同学完成证明过程． 【简单应用】 （2）如图2，已知正方形的边长为4，取的中点记为，以为圆心，长为直径作圆，点为圆上一动点，连接取其中点，求线段的最小值． 【灵活运用】 （3）如图3，正方形的边长为4，点在以为圆心长为半径的圆上，连接，取其中点，连接并延长交线段于点，请直接写出的最小度数． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）连接，利用三角形的中位线定理解答即可； （2）连接，取的中点G，连接，利用（1）的方法得到点F的运动轨迹是以G为圆心，1为半径的圆，则当点F在上时，线段的长最小，连接，过点G作于N，交于点M，利用矩形的判定与性质和三角形的中位线定理得到，，，利用勾股定理求得，则结论可求； （3）连接，取的中点H，连接，利用（1）的方法得到点F的运动轨迹是以H为圆心，为半径的圆，则当与相切时，取得最小度数；利用圆的切线的性质定理，直角三角形的边角关系定理和正方形的性质解答即可得出结论． 【详解】解：（1）连接，如图，    ∵B是的中点，C是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴点B的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆； （2）连接，取的中点G，连接，如图，    ∵正方形的边长为4，是的直径， ∴的半径为2， ∴， ∵G是的中点，F是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴点F的运动轨迹是以G为圆心，1为半径的圆， ∵点G为定点， ∴当点F在上时，线段的长最小，最小值为． 连接，过点G作于N，交于点M， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵点G为的中点， ∴， ∴， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴的最小值是． （3）的最小度数为．理由： 连接，取的中点H，连接，如图，    ∵正方形的边长为4， ∴， ∵H为的中点， ∴， ∵的半径为， ∴点H在上， ∵点E在以A为圆心长为半径的圆上， ∴． ∵点F为的中点，H为的中点， ∴为的中位线， ∴ ， ∴点F的运动轨迹是以H为圆心，为半径的圆， ∴当与相切时，取得最小度数．如图，    此时， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴． ∴的最小度数为． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，三角形的性质，三角形的中位线定理，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，点的轨迹，添加适当的辅助线构造三角形的中位线是解题的关键． 19．【问题情境】 （1）点A是外一点，点P是上一动点．若的半径为3，且，则点P到点A的最短距离为______． 【直接运用】 （2）如图1，在中，，，以为直径的半圆交于D，P是弧上的一个动点，连接，则的最小值是______． 【构造运用】 （3）如图2，已知正方形的边长为8，点M、N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿边方向向终点C和D运动，连接和交于点P，则点P到点C的最短距离，并说明理由． 【灵活运用】 （4）如图3，的半径为6，弦，点C为优弧上一动点，交直线于点M，则的面积最大值是______． 【答案】（1）2（2）（3），理由见解析（4） 【分析】（1）当点P是与的交点时，为最短，故可求解； （2）找到中点O，当A、P、O在同一直线上时，点P到点A的距离最短，故可求解； （3）先证明，再得到，得到P的运动轨迹，再根据圆外的点与圆的位置关系特点即可求解； （4）先求出，要想的面积最大，则需要点M到的距离最大，根据圆周角与圆心角的关系作，根据三线合一得到是等边三角形，故可求出此时的面积． 【详解】解：（1）∵点A是外一点，点P是上一动点．的半径为3，且， 当点P是线段与的交点时，为最短， 此时， 则点P到点A的最短距离为2； （2）如图，连接， 当点P是线段与的交点时，为最短， 当A、P、O在同一直线上时，点P到点A的距离最短， ∵，以为直径的半圆交于D，P是弧上的一个动点， ∴， ∵， ∴在中，， ∴的最小值为 故答案为：； （3）点P到点C的最短距离为，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵点M、N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿边方向向终点C和D运动， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故点P在以为直径的圆上运动，连接，与的交点，此交点P即为最小时的位置； ∵正方形的边长为8， ∴， 则 ∴在中，， ∴的最小值； （4）连接， ∵的半径为6，弦， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵弧弧 ∴， ∵，∴ ∵，要使面积最大，则点到的距离最大， 如图，∵，弧弧， ∴点M在以的上， 当时，点M到的距离最大, ∵ ∴是等边三角形， ∴结合三线合一，点到的距离 ∴的最大面积为 【点睛】此题主要考查圆的综合问题，点与圆的位置关系，全等三角形的判定与性质、垂径定理及圆周角定理的应用，等边三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 20．如图，在中，，，P是边上的一动点（不与点A，B重合），Q是边上的一动点（不与点A重合），连接，过点B作交延长线于点D，连接，过点A作交于点． (1)求证：； (2)若，当Q是的中点时，求的值； (3)连接BE，若，当线段取得最小值时，求的值（用含n的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）先证明，再根据相似三角形的性质定理即可证明结论； （2）如图：当时，过点Q作，垂足为H，先证明，并设，求出，同时证明得出，然后证明得，进一步得出，由此可求、，即可解答； （3）如图：取的中点O，连接，可知点B、D、A、Q在以点O为圆心，为直径的圆上，过点B、D、A三点作，连接，，，，证明，因此当n一定时，点Q固定，点也固定，所以当B、E、三点共线时，BE取最小值，进一步证明，求得，设，求出的值即可解答． 【详解】（1）证明：，， ， ，， ，， ， ， ． （2）解：如图1，过点Q作，垂足为H，则， 在中，，， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， 设，则， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ，且， ，即， ， ， ， ， ， ． （3）解：如图2，取的中点O，连接，则， ， ，， ， 点B、D、A、Q在以点O为圆心、为直径的圆上， 过点B、D、A三点作，连接，，，， ∵在中，弧弧BD， ， 在中，同理可得， 由（1）知，， ， ，， ， 在中，， ， ，即， ，，， ， ， 当n一定时，点Q固定，点也固定， 对于每个不同的n，线段都存在一个最小值， 当B、E、三点共线时，BE取最小值，如图3所示， ，， 垂直平分， ，即， ， ， ， ， 设，则， ， 在中，由勾股定理，得， ， ，即． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数、圆周角定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 圆最值问题之瓜豆圆模型专项训练 问题1.如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？ 解析：Q点轨迹是一个圆 理由：Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，． 问题2.如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？ 解析：Q点轨迹是一个圆 理由：∵AP⊥AQ，∴Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO； 又∵AP：AQ=2：1，∴Q点轨迹圆圆心M满足AO：AM=2：1． 即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为2． 模型总结：条件：两个定量 主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）； 主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）． 结论：（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：∠PAQ=∠OAM； （2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比． 专项训练 一、单选题 1．如图，在每个小正方形边长为1的网格中，定点、、为3个格点，以点为圆心作圆，使点落在内，过点任意作弦，取的中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，A是上任意一点，点C在外，已知是等边三角形，则的面积的最大值为（ ） A． B．4 C． D．6 3．如图，正方形中，，E是的中点．以点C为圆心，长为半径画圆，点P是上一动点，点F是边上一动点，连接，若点Q是的中点，连接，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．如图，已知在中，，，将绕点逆时针旋转．得到．点是边的中点，点为边上的动点，在绕点逆时针旋转的过程中，点的对应点是点，则线段长度的最大值与最小值的差是（    ）． A． B． C． D．18 5．如图，在等腰直角三角形中，，点在以斜边为直径的半圆上，为的中点，则点沿半圆由点运动至点的过程中，线段的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．已知如图，，点E在圆弧上运动，点M是中点，线段绕点M顺时针旋转得到线段，，则的最小值为（   ） A．12 B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，以为圆心作圆，使其经过原点和点，若点是圆上异于的一点，点是弦的中点，则长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．如图，边长为的正方形内接于，点为弧上一动点（不与，重合），过点作于点，连接，则的最小值是 ． 9．如图，在中，，，，D是上一个动点，以为直径的圆O交于E，则线段的最小值是 ． 10．如图，边长为的正方形中，以为直径在正方形内作半圆，点是半圆上动点，连接，把线段绕点逆时针旋转得线段，连接，则线段长度的最小值是 ． 11．如图，是半径为2的的弦，将弧沿将翻折后，恰好经过圆心，点是翻折的弧上的一动点；连接并延长交于，点为的中点，连接，则的最小值为 ． 12．如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作，且使得，连接，则长的最大值为 ． 13．如图，在中，，，E、F分别是的中点，连接，将绕点B旋转一个角，连接并延长，与直线交于点G，则的最小值是 ． 14．如图，在中，半径，弦，Q是上的一个动点，连接，作，垂足为P，则在点Q移动的过程中，线段的最小值是 ． 15．如图，中，，，点D为上一点，将线段绕点P逆时针旋转得到，连接，过D作于E，连接 ，则的最小值为 ． 16．如图，已知中，，点E是边上的动点，以为直径作，连接交于点D，则的最小值 17．在矩形中，，点在上，点在平面内，，，连按，将线段绕着点顺时针旋转得到，则线段的最大值为 ． 三、解答题 18．【提出问题】如图1，已知圆的半径为2，点是圆上一动点，点是圆外一点，连接，取的中点，当点在圆上运动时，判断点的运动轨迹．    【解决问题】 （1）小明同学进行了探究，他连接线段，取其中点，他猜想点的运动轨迹应该是以为圆心，1为半径的圆．请你帮小明同学完成证明过程． 【简单应用】 （2）如图2，已知正方形的边长为4，取的中点记为，以为圆心，长为直径作圆，点为圆上一动点，连接取其中点，求线段的最小值． 【灵活运用】 （3）如图3，正方形的边长为4，点在以为圆心长为半径的圆上，连接，取其中点，连接并延长交线段于点，请直接写出的最小度数． 19．【问题情境】 （1）点A是外一点，点P是上一动点．若的半径为3，且，则点P到点A的最短距离为______． 【直接运用】 （2）如图1，在中，，，以为直径的半圆交于D，P是弧上的一个动点，连接，则的最小值是______． 【构造运用】 （3）如图2，已知正方形的边长为8，点M、N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿边方向向终点C和D运动，连接和交于点P，则点P到点C的最短距离，并说明理由． 【灵活运用】 （4）如图3，的半径为6，弦，点C为优弧上一动点，交直线于点M，则的面积最大值是______． 20．如图，在中，，，P是边上的一动点（不与点A，B重合），Q是边上的一动点（不与点A重合），连接，过点B作交延长线于点D，连接，过点A作交于点． (1)求证：； (2)若，当Q是的中点时，求的值； (3)连接BE，若，当线段取得最小值时，求的值（用含n的代数式表示）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $