浙江杭州地区(含周边)重点中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学学科试题

绝密★考试结束前 2025学年第二学期期中杭州地区（含周边）重点中学 高一年级数学学科试题 命题：萧山中学 审校：严州中学新安江校区 长河高级中学 考生须知： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟： 2.答题前，在答题卷密封区内填写班级、考试号和姓名： 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效： 4.考试结束后，只需上交答题卷。 第I卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.已知复数z满足(1-i)z=2,则z在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知全集U=AUB={L,2,3,4},集合B={2,4},则A∩(CuB)= A.(1 B.1,3} C.{1,3,4 D.{1,2,3} 3.已知向量=(1,0)，6=(5，)，则ā在6上的投影向量为 A. B.5方 C. 4 D.56 4 2 4.在△ABC中，角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.若a=20,b=11,B=30°，则这样的三角形 解的个数为 A.0 B.1 C.2 D.不确定 5.已知sna-)专sna+)}则儡日 anB的值为 A月 B.2 c. D.3 6.矩形ABCD中，点E是边AD上靠近点A的三等分点，点F是边DC的中点，连接BE,BF分 别与AC交于P,Q两点.若PO=1AB+4AD,则元+μ的值为 A月 B c D. 6 7.设直角三角形的两直角边长为α，b,斜边长为c.记该三角形绕边长为x的边旋转所得的几何体 体积为V(x),则V(a),V(b),V(c)满足的关系为 A.V(a)+V(b)=V(c) B.V2(a)+V2(b)=V2(c) 11 1 1 C.V(a)"V(b)V(c) D.rat⑥d 8.定义域为(0，+∞)的函数f(x)满足：对任意的x,y都有f(x·y)=f(x)+fOy),当x>1,f(x)<0. 若关于x的不等式f(2-x)+f(arx-a)>0恒成立，则正实数a的取值范围为 A.0<a<1 B.a>1 C.0<a<4 D.a>4 高一数学试题卷第1页共4页 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.关于空间中直线与平面的位置关系，下列命题正确的是 A.若直线I与平面平行，则1与平面内的任意一条直线都平行 B.若直线a不平行于平面a且a丈a,则平面a内不存在与a平行的直线 C.若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行 D.若直线I与平面α平行，则I与平面α内的任意一条直线都没有公共点 10.在△ABC中，角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,hn,h,h.分别为边a,b,c的高.若a=2, acosC+√3 asin C=b+c,则下列说法正确的是 A.A=π 3 B.h的最大值为√ +定的值可取 C. 2 D.△ABC内切圆半径的值可取对 1l.己知函数f(x)=sin2x+cos2x,k∈N,则 A.当k=3时，函数f(x)的最小正周期为π B.当k=3时，函数fx)的图象关于x=工对称 4 k4时，函数)的最小 D.当k=4时，函数f(x)图象不是中心对称图形 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知平面向量a,6满足日==2，a与6的夹角为120，则日-的值为△ 13.电视剧《太平年》再现了吴越国王钱弘俶“纳土归宋”的历史.杭州宝石山上的保椒塔，正是百 姓为祈愿其平安而建的.为了测量这座历史古塔的高度AB(A为 D 塔顶，B为塔底)，测量人员在山脚平地上选取了两个观测点C和 D,使得C,D,B三点共线，在点C处测得塔顶A的仰角为30°， B 在点D处测得塔顶A的仰角为45°，若测得两点间距离CD为33 米，则通过计算预估保俶塔的高度AB为▲米. 14.已知正方体ABCD-ABC,D,的棱长为3，点N在棱CC上， C,N=2NC,点M在棱BC上（点M异于B,C两点），若平面 AMN截正方体ABCD-AB,C,D所得的截面为五边形，则线段 MN长的取值范围为▲一· 第14题图 高一数学试题卷第2页共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(本题满分13分)己知关于x的一元二次方程x2+px+q=0(p,9∈R)的两个根为31,2，且1,2 是一对共轭复数. (1)若z=3+2i(i是虚数单位)，求实数P,9的值： (2)若=2，-2=6，求，+的值. 16.(本题满分15分)已知函数f(x)=Asi(0x+p)(A>0,o>0,0<p<2π)的部分图象如图所示. (1)求函数f(x)的解析式： 2 (2)将函数y=fx)的图象向右平移”个单位，得到函数y=g(x)的 图像.记h)=fx)+g(),求M)在0，牙上的值域. 7π 12 6 -3… 第16题图 17.(本题满分15分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知A=45°，B=30°，b=1, 点D是△ABC内部一点且满足AC⊥CD,BD平分∠ABC. (1)求a的值； (2)求△ACD的面积： (3)求tan∠ADB的值. D A B 第17题图 高一数学试题卷第3页共4页 18.(本题满分17分)已知函数fx)=1-e 1+er (1)求函数f(x)在区间(0，+∞)上的值域： ②求证2需 (3)若不等式f(2x)+af(-x)·f(2x)+1≥0对任意的x∈(0，+o)恒成立，求实数a的取值范围. 19.(本题满分17分)在平面直角坐标系中，对任意平面向量AB=(x,y),把AB绕其起点逆时针方 向旋转0角得到向量AC=(xcos0-ysin0,xsin0+ycos0),则称点C为关于A的“B-0旋转 点”.已知O为原点，A1,0),B(2,0),C(3,0),点P为关于O的“A-α旋转点”，点Q为关于P 的“B-B旋转点”，点R为关于Q的“C-B旋转点”. （I)若a=B=背，求点P及点0的坐标： (2)当u=B时，求Og的范围： (3)证明：对任意a∈(0，)，存在唯一BE(0,a),使得P,Q,R共线. 高一数学试题卷第4页共4页 2025学年第二学期期中杭州地区（含周边）重点中学 高一年级数学学科参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1 2 3 4 6 8 A B B C B D D C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.BD 10.ABD 11.BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.2W5 13. 33(W3+1) 14.(1,V2) 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本题满分13分) (1)法一：由2i+3是x2+px+q=0的一个根，可得(2i+3)2+p(2i+3)+q=0 整理得5+3p+9+(2p+12i=0,p,9∈R,则5+3p+g=0 2p+12=0 所以p=-6,9=13 .6分 法二：由2i+3是x2+px+q=0的一个根，可知-2i+3也是x2+px+q=0的一个根 韦达定理可得：p=-(3+2i+3-2)=-6 9=(3+2i)(3-2i)=13 ….6分 (2)设31=a+bi,2=a-bi(a,b∈R) =2,得G+=4又因为-小6，符训= 所以a=0 2 l5+22l=|2a=v10 ..13分 16.(本题满分15分) 0由图可得4=57-沿（引，T=,o>0, :0=2z=2,则fx)=V5sin(2x+p), 又/（得}-5sm2x登+p-5,解00-号+2rk2, 0<0<2m,-号，e)=5s2x+） ……….7分 高一数学参考答案第1页共3页 2)8-f-君)-6sm2(-君+5sm2a )+)sin(2x++5sin2xsi2c cos2x)=3sim(2x+) xe引2x+[], 则当2x+云-2时，Mx)取得最小值为， 3 6-6 当2x+严=T时，Mx)取得最大值为3，(x)的取值范围为 .....15分 62 17.(本题满分15分) (1)由正弦定理，得a=bsin41 sin Bsin30 sin45- .4分 (2)由题意知，∠BCD=∠CBD=15°，所以∠BDC=150° 在△BCD中，BD=CD, 法一：由余弦定理BC2=BD2+CD2-2BD.CDcos150°，可得CD=V3-1 在RIMCD,AC=CD=V3-·A4CD的面积SAC:CD=Y3-.0分 2 法二：由正弦定理 BC CD sin∠BDC sin∠CBD 得CD=BC,sin∠CBD-V2sin15 =V3-1 …..10分 sin∠BDC sin 1:50° (3)记∠1DC=a,ana=5+1, 2 所以tan∠ADB=tan(210°-a)=tan(30-a)=,tan30-tana-4+V 1+tan30°.tana 13 。.15分 18.(本题满分17分) 。+在0切单调避减，值域为0 ….4分 (2)证明：右边=2f)。 2.1-e* 1+e -21-e1+e)_1-e2 1+f2(x)1+ +e+ey+0-ey1+e=f2)=左边 所以f2x)= 2f(x) 1+f2(x) …8分 (3)x∈R,-x)=e-e-f,函数y=f)是奇函数 -l+ex-e'+1 由(2)可知不等式了2x)+-xf2x)+1≥0转化为2f) 1+f2(x) -ax02f+120 1+f2(x) 41 2at 令t=f(x),t∈(-1,0)；不等式转化为 0+1+7+1≥0 高一数学参考答案第2页共3页 整理得2a≤ 令u=t2,u∈(0，l), g)=4++1在01)单调递减，可得8w>g山=4. Itu u 所以2a≤4，即实数a的取值范围为(-o,2]. ..17分 19.（本题满分17分》 当a=0=号时，P兮9.丽=-9，西-号5.00=0+顶=2 点Q的坐标为(2√3). .4分 (2)P(cosa,sina),PB=(2-cosa,-sina),P=(x,y) 根据向量旋转公式可得 x=(2-cosa)cosa+sin2 a=2cosa-cos2a y=(2-cosa)sina-sina cosa =2sina-sin2a 00=OP+PO=(3cosa-cos2a,3sina-sin 2a) o0=(3cosa-cos2a)2+(3sina-sin2a)2=v10-6cosa 因为-1≤cosa≤1，所以0Q∈[2,4] .11分 (3)P,Q,R共线等价于PB/1QC P(cosa,sina),PB=(2-cosa,-sina) 根据向量旋转公式 [x=(2-cosa)cos B+sina sin B=2cos B-cos(a+B) y=(2-cosa)sin B-sina cos B=2sin B-sin(a+B) 则PQ=(2cosB-cos(a+β)，2sinB-sin(a+B), OC=PC-PO=(3-cosa-2cosB+cos(a+B),-sina-2sin B+sin(a+B)), 考虑PB=QC, [3-cosa-2cos B+cos(a+B)].(-sin a)=[-sina-2sin B+sin(a+B)](2-cosa), 即sinB= sina<sina, 5-4cosa 故对任意a∈(0，，存在唯一Be(Q,a,使得PQ,R共线。 ..17分 高一数学参考答案第3页共3页