精品解析：浙江省杭州市西湖区杭师大附中2024-2025学年高一下学期期中数学试题

杭师大附中2024学年第二学期高一年级期中考藏 高一数学试卷 命题人：曹斌 审题人：魏朝翰 命题时间：2025.4.10 本试题满分150分，考试时间120分钟 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的备选答案中，只有一个是符合题意的.） 1. 把化成度结果为（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数的最小正周期为，其中，则（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 3. 已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为 A. B. C. D. 4. 若为第二象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 若（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 已知是夹角为两个单位向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 位于P处的雷达接收到在其正东方向相距海里的B处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后，即刻通知位于P处雷达北偏东且与P处雷达相距30海里的M处的甲船前往救援，则甲船至少需要航行的海里数为（ ） A. B. C. D. 8. 在棱长为1的正方体中，E，F，G分别是棱的中点，P是底面ABCD内一动点，若直线与平面EFG没有公共点，则线段PB长度的最小值为（ ） A 1 B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的备选答案中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全得部分分，选错或不选得0分） 9. 设是的共轭复数，下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 是实数 10. 已知是两个互相垂直的单位向量，，则下列结论中正确的有（ ） A. B. C. D. 与的夹角为 11. 内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则有两解 C. 若，且，则为等边三角形 D. 若，则可以是钝角三角形 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分.） 12. 已知，且，则的值为______. 13. 将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是______. 14. 在四面体ABCD中，，则四面体ABCD的外接球的体积为______. 四、解答题（本大题共5小题，共计77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 如图，在平面直角坐标系中，以为始边作角与（），它们终边分别与单位圆交于点，点. （1）求的值； （2）求的值. 16. 如图，长方体中，，点P为的中点. （1）求证：直线平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 17. 在中，，D为AC边上的中点，E为BC边上一点，且. （1）当时，若，求的值； （2）当时，求的值. 18. 如图，在中，，D为边AC上一点且. （1）若， （i）求； （ii）求的面积； （2）求的取值范围. 19. 对于向量集，记向量．如果存在向量，使得，那么称是向量集的“长向量”． （1）设向量，．若是向量集的“长向量”，求实数x的取值范围； （2）设向量，，则向量集是否存在“长向量”？给出你的结论并说明理由； （3）已知均是向量集的“长向量”，其中，．设在平面直角坐标系xOy中的点集，其中，，且与关于点对称，与关于点对称，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 杭师大附中2024学年第二学期高一年级期中考藏 高一数学试卷 命题人：曹斌 审题人：魏朝翰 命题时间：2025.4.10 本试题满分150分，考试时间120分钟 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的备选答案中，只有一个是符合题意的.） 1. 把化成度的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据弧度和角度的转化关系可得正确的选项. 【详解】. 故选：C. 2. 已知函数的最小正周期为，其中，则（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦型函数的周期公式计算即得. 【详解】依题意，，因，则得. 故选：B. 3. 已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可知圆锥底面半径为1，母线长为2，即可直接计算侧面积. 【详解】因为圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形， 所以该圆锥底面半径为1，母线长为2， 所以该圆锥的侧面积为. 故选：A. 【点睛】本题考查圆锥侧面积的计算，熟记公式是关键，属于基础题. 4. 若为第二象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用同角的平方公式和正弦的二倍角公式即可求解. 【详解】由第二象限角，且，可得， 再由正弦的二倍角公式得， 故选：C. 5. 若（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简复数，再根据复数的几何意义判断即可. 【详解】因为，所以， 所以复数在复平面内对应的点为，位于第四象限. 故选：D 6. 已知是夹角为的两个单位向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量数量积的定义求得，再根据投影向量的概念计算即可. 【详解】依题意，， 则， 于是，向量在向量上的投影向量为. 故选：D. 7. 位于P处的雷达接收到在其正东方向相距海里的B处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后，即刻通知位于P处雷达北偏东且与P处雷达相距30海里的M处的甲船前往救援，则甲船至少需要航行的海里数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意利用余弦定理可解. 【详解】题意如图， 当甲船沿航行时，航行的里数最少. 由题意，，在中，根据余弦定理可得： ， 所以. 即甲船至少需要航行的海里数为. 故选：B. 8. 在棱长为1的正方体中，E，F，G分别是棱的中点，P是底面ABCD内一动点，若直线与平面EFG没有公共点，则线段PB长度的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据面面平行的判定定理，可证平面平面，结合题意，可得点P在直线AC上运动，再根据正方形的性质即可求解. 【详解】连接，因为E，F，G分别是棱的中点， 所以， 又平面，平面，平面， 平面，平面，平面，， 所以平面平面，又平面， 从而有平面，即点平面， 又点P在平面内，平面平面， 所以点P在直线AC上运动， 由正方形性质可得当点P位于AC中点时，BP最小，此时. 故选：C 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的备选答案中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全得部分分，选错或不选得0分） 9. 设是的共轭复数，下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 是实数 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据复数的四则运算、复数的模、共轭复数以及复数的定义加以计算判断. 【详解】对于A，令，则， 于是，所以A正确； 对于B，令，则，因为， ，所以B正确； 对于C，令，满足， 而，，所以C错误； 对于D，令，则， 而是实数，所以D正确. 故选：ABD. 10. 已知是两个互相垂直的单位向量，，则下列结论中正确的有（ ） A. B. C. D. 与的夹角为 【答案】ABD 【解析】 【分析】先利用求模公式以及数量积的运算律得出，再利用求模公式、数量积的运算律、向量的夹角公式逐一判断ABD；设，利用平面向量基本定理判断的存在性判断C. 【详解】由题意可知，，且， 则， ， ， 故，B正确； ，故A正确； 因，， 若，则，使得， 因不共线，则，此方程组无解， 故与不共线，故C错误； 因， 则， 因，则，故D正确. 故选：ABD 11. 的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则有两解 C. 若，且，则为等边三角形 D. 若，则可以是钝角三角形 【答案】AC 【解析】 【分析】由三角形大边对大角及正弦定理判断AB选项，由向量加法的几何意义、数量积的运算判断C选项；由两角和的正切公式判断D选项. 【详解】A选项，在中，由得，即，所以，A正确； B选项，由正弦定理得即，解得， 又因为，所以，所以只能是锐角，所以只有一解，B错误； C选项，和分别表示与和同方向的单位向量， 以这两个单位向量为邻边的平行四边形是菱形， 又由结合菱形性质知的角平分线与垂直， 所以是等腰三角形且， 又因为，且，所以， 所以是等边三角形，C正确； D选项，因为， 所以， 所以，即， 因，所以， 又因为， 所以，所以是锐角三角形，D错误； 故选：AC. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分.） 12. 已知，且，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由诱导公式计算可得. 【详解】，所以， 因为，所以 所以， 故答案为：. 13. 将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是______. 【答案】. 【解析】 【分析】利用三角函数的平移可得新函数，再结合正弦函数的图像性质，可求得函数的对称轴方程为，，通过对取值进行比较，从而可得平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程. 【详解】因为函数的图象向右平移个单位长度， 可得， 由正弦函数的图像性质可知，函数的对称轴方程为，， 解得，， 当时，；当时，， 所以平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是. 故答案为：. 14. 在四面体ABCD中，，则四面体ABCD的外接球的体积为______. 【答案】## 【解析】 【分析】将四面体放入长方体中，利用长方体的处接球即为四面体的外接球，求解即可. 【详解】将四面体放入长方体中，如图所示： 设长方体的长，宽，高分别为，则，所以， 设长方体的外接球半径为，则，解得， 又长方体的处接球即为四面体的外接球， 所以四面体的外接球的体积为. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共计77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 如图，在平面直角坐标系中，以为始边作角与（），它们的终边分别与单位圆交于点，点. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用单位圆求出点的坐标，进而由三角函数的定义求函数值即可； （2）由（1）代入两角和的正切公式求解即可． 【小问1详解】 由已知，角的终边与单位圆交于，且的横坐标为， 所以，又是第一象限角，所以，即， 所以， 因为的终边与单位圆交于点，点的纵坐标为， 所以，又是第二象限角，所以， 所以， 所以； 【小问2详解】 由（1）知，，所以. 16. 如图，长方体中，，点P为的中点. （1）求证：直线平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）设，求证，再利用线面平行判定定理判定即可； （2）将问题转化为求或其补角的余弦值，利用余弦定理计算即可. 【小问1详解】 设，连接， 因，且为长方体， 则四边形为正方形，故为线段中点， 因点P为的中点，则为的中位线，则， 又平面，平面，则平面. 【小问2详解】 连接，由（1）可知，则直线与所成角是或其补角， 因，点P为的中点， 则，， 在中，， 在中，， 在中，， 在中由余弦定理得，， 故直线与所成角的余弦值为. 17. 在中，，D为AC边上的中点，E为BC边上一点，且. （1）当时，若，求的值； （2）当时，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意建立平面直角坐标系，写出坐标和向量，再通过题目给条件列式即可； （2）先设出点坐标，利用和条件列式并联立即可求解. 【小问1详解】 由题意得，以为坐标原点建立平面直角坐标系，如图，则， ，、，又D为AC边上的中点，， 当时，E为BC边上的中点，，即、、， 又，，即，解得， . 【小问2详解】 设，则，又，，， 、，又，，即，解得， ，解得. 18. 如图，在中，，D为边AC上一点且. （1）若， （i）求； （ii）求的面积； （2）求的取值范围. 【答案】（1）（i）；（ii） （2） 【解析】 【分析】（1）（i）已知，，可计算出，在中，利用正弦定理，结合已知的、和，建立等式求解；（ii）先由余弦定理，结合已知的、和，求解，最后依据三角形面积公式，计算的面积. （2）在中，用角表示；在中，结合角、的关系，用角表示，然后将转化为关于角的三角函数，根据角度范围，结合三角函数的性质求取值范围. 【小问1详解】 （i），，又，. 在中，已知，，，根据正弦定理可得， 即. （ii）在中，已知，，，根据余弦定理可得 ，将数值代入可得， 即，解得或. 由图可知，在中，，则，，. 根据三角形面积公式可得， 的面积. 【小问2详解】 由（1）可知，，，又， 则在中， ，即； 在中，由正弦定理可得，即. 在中，因为，所以，即. 因此，. ，，，即. 故的取值范围为. 19. 对于向量集，记向量．如果存在向量，使得，那么称是向量集的“长向量”． （1）设向量，．若是向量集的“长向量”，求实数x的取值范围； （2）设向量，，则向量集是否存在“长向量”？给出你的结论并说明理由； （3）已知均是向量集的“长向量”，其中，．设在平面直角坐标系xOy中的点集，其中，，且与关于点对称，与关于点对称，求的最小值． 【答案】（1） （2）存在“长向量”，且“长向量”为，，理由见解析 （3）4044 【解析】 【分析】（1）根据向量模长的不等关系，解得的范围即可； （2）根据“长向量”的定义，结合三角函数的性质解不等式即可； （3）根据向量坐标代入计算，结合向量不等式得到，再设，得到向量关系，从而求得最值. 【小问1详解】 由题意可得：，，， 则，解得： 【小问2详解】 存在“长向量”，且“长向量”为，，理由如下： 由题意可得，若存在“长向量”，只需使， 因为，，，，，， 所以，故只需使 ， 即，即， 当或6时，符合要求，故存在“长向量”，且“长向量”为，. 【小问3详解】 由题意，得，，即， 即，同理， 三式相加并化简，得：， 即，，所以， 设，由，解得， 即 设，则依题意得：， 得， 故， ， 所以， 因为 所以， 当且仅当时等号成立， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题考查向量新定义问题.关键点是根据已学知识，理解题中“长向量”的定义，将向量坐标代入计算，再结合向量不等式得到，得到向量关系，从而求得最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$