专题05三角形的概念与内角和复习讲义(知识梳理+15大题型+突破题型)2025-2026学年沪教版五四制七年级数学下册

专题05三角形概念与内角和复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.识别：三角形的基本元素（顶点、边、角），掌握三角形的定义与表示方法。 2.掌握：三角形三边关系定理，能判断三条线段能否构成三角形，并确定第三边的取值范围。 3.了解：等腰三角形、等边三角形的定义，能按边和角对三角形进行分类。 4.认识：三角形的高、中线、角平分线，掌握它们的定义与画法，理解中线平分面积、角平分线平分内角的性质。 5.熟记：三角形内角和定理，掌握其证明方法（平行线法），能进行角度计算。 1.运用：三边关系解决线段构成、边长范围、等腰三角形边长计算等问题。 2.绘制：三角形的高、中线、角平分线，能在不同类型三角形中准确画出这些线段。 3.计算：结合内角和定理、外角性质、角平分线、平行线等知识，进行角度计算与推理。 4.推理：能完成简单的几何说理题，规范书写推理步骤，建立严谨的几何思维。 5.辨析：辨析三角形高的位置（锐角、直角、钝角三角形高的不同分布），避免概念混淆。 1.攻克：攻克三角形三边关系、内角和计算、外角性质等基础必考题型。 2.掌握：掌握三角形高、中线、角平分线的画法与相关计算，应对作图与计算类考题。 3.突破：突破结合平行线、角平分线的内角和综合题，提升复杂图形分析能力。 4.衔接：衔接后续全等三角形、等腰三角形等知识，为几何综合题奠定基础。 题型01.三角形的识别与概念 题型02.构成三角形的条件 题型03第三边取值范围 题型04.三边关系的应用 题型05.三角形的分类 题型06.三角形角平分线的定义 题型07.三角形高的画法 题型08.与三角形高有关的计算 题型09.由三角形中线求长度 题型10.由三角形中线求面积 题型11.三角形内角和定理的证明 题型12.平行线与内角和问题 题型13.角平分线与内角和问题 题型14.三角形内角和定理的应用 题型15.三角形外角的定义与性质 解答题6题 知识点01:三角形的定义与表示 定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做三角形。 三要素：顶点、边、内角。 知识点02:三角形的分类 知识点03:三角形的三边关系（重中之重） · 定理：三角形任意两边之和 大于 第三边。 a+b>c,a+c>b,b+c>a) · 推论：任意两边之差 小于 第三边。 |a-b|<c 知识点04:三角形的三条重要线段（高、中线、角平分线） 线段类型 定义 核心性质 图形 角平分线 平分三角形一个内角，且交对边于一点的线段 三角形三条角平分线交于一点（内心），该点到三边距离相等 中线 连接三角形一个顶点和对边中点的线段 三角形三条中线交于一点（重心），中线平分三角形面积 高 从三角形一个顶点向对边（或对边延长线）作垂线，顶点与垂足间的线段 三角形三条高交于一点（垂心）；高的位置随三角形形状变：锐角△高都在内部，直角△两直角边为高，钝角△两条高在外部 知识点05:三角形内角和定理 1. 定理内容 三角形的三个内角的和等于 180°。∠A+∠B+∠C=180∘ 2. 证明思路（重点） (1)过三角形的一个顶点作对边的平行线； (2)利用两直线平行，内错角相等，把三个内角转化为一个平角； (3)平角 = 180°，从而证明内角和为 180°。 ∵ EF∥BC（已知）， ∴ ∠EAB = ∠B（两直线平行，内错角相等）， ∠FAC = ∠C（两直线平行，内错角相等）。 又∵ ∠EAB + ∠BAC + ∠FAC = 180°（平角的定义）， ∴ ∠B + ∠BAC + ∠C = 180°（等量代换）。 即三角形三个内角的和等于 180°。 知识点06:外角的定义及性质： 定义：一边与另一边的延长线组成的角 性质：外角等于与它不相邻的两个内角和；外角大于任何一个不相邻内角 题型01.三角形的识别与概念 【典例】下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键．据此解答即可． 【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形， 故选：C． 【跟踪专练1】如图，在中， ，若的周长为，则______． 【答案】 【分析】本题考查三角形的周长，根据的周长减去可得结论． 【详解】解：根据题意得， ∵， ∴， 故答案为：18． 【跟踪专练2】如图，在中，点是上的一点，点是上的一点，若，点是的五等分点，若的面积是，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的面积问题，三角形面积与底和高的关系，利用等高的两个三角形，其面积比等于底边的比，即可求出的面积，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵与等高，， ∴， ∵与等高，点是的五等分点， ∴， 故选：． 题型02.构成三角形的条件 【典例】已知三角形的三边长分别为，，，若为奇数，则这样的三角形有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】利用三角形三边关系求出的取值范围，再根据为奇数确定符合条件的的个数即可得到答案． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为，，，根据三角形三边关系，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边， ∴， 整理得， ∵为奇数， ∴满足条件的奇数为，，共个， 即这样的三角形有个． 【跟踪专练1】如图，有甲、乙两根小棒，现用剪刀把其中一根小棒剪断，若得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形，则剪断的小棒是______（填“甲”或“乙”）． 【答案】乙 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键 通过分别假设剪开甲、乙小棒，分析所得到的线段长度与另一根小棒长度之间是否满足三边关系来确定正确答案． 【详解】解：根据三角形的三边关系， 假设剪开乙小棒，设乙小棒长度为，剪成两段长度分别为、，甲小棒长度为， ∵乙小棒的长度大于甲小棒，即， ∴， ∴剪开乙小棒得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形； 假设剪开甲小棒， ∵乙小棒的长度大于甲小棒， ∴同理可得，甲小棒剪成的两根小棒的和小于乙小棒，故围不成三角形，不符合题意； 综上所述，剪开的小棒是乙． 故答案为：乙 ． 【跟踪专练2】在中，边上的中线把的周长分成24和12的两部分，则的长是（   ） A．16 B．8 C．16或8 D．8或4 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、中线的定义、三角形的三边关系等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 设，，则，再分且和且两种情况分别列出一元一次方程求解并运用三角形的三边关系判断即可解答． 【详解】解：设，则， 当且时，即，解得：， ∴，， ∵， ∴能组成三角形，即符合题意； 当且时，即，解得：； ∴，， ∵， ∴三边不能组成三角形，即不符合题意； 综上，的长是16． 故选A． 题型03第三边取值范围 【典例】已知三角形的三边长分别为2，6，，则的值可以是（   ） A．2 B．4 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，进行求解即可． 【详解】解：由题意，，即：． 故的值可以是7． 【跟踪专练1】若a，b，c为三角形的三边，且a，b满足，第三边c为奇数，则_____ ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了非负数的性质以及三角形三边关系的应用，正确理解三角形的三边关系是解题的关键． 根据非负数的性质求出a和b的值，再利用三角形三边关系求出c的范围，结合c为奇数确定c的值即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 根据三角形三边关系，有，即， ∵为奇数， ∴． 故答案为：9． 【跟踪专练2】三根底端对齐的小棒被挡板遮住了一部分，它们的长度如图所示．若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查三角形三边关系，设第三根小棒的长度是，根据题意，可得，再由图中挡板高度进一步确定，结合选项即可得到答案．熟记三角形三边关系是解决问题的关键． 【详解】解：由图可知，一根小棒的长度为，一根小棒的长度为， 设第三根小棒的长度是，若三根小棒可以围成三角形， 则由三角形三边关系可知， 即， 再由图中挡板高度为，则， 结合四个选项可知，第三根小棒的长度可以是4 故选：D． 题型04.三边关系的应用 【典例】如图，为了估计池塘岸边 M，N两点之间的距离，小明在该池塘的一侧选取一点O，测得，，则M，N两点之间的距离可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，，且 ∴， 则， 观察四个选项，是符合， 故选：C 【跟踪专练1】如图，在中，，将平移6个单位长度得到，M是的中点，则的最大值为______． 【答案】10 【分析】如图，连接，根据题意得到，，然后根据三角形三边关系求解． 【详解】解：如图，连接， 由平移得， 因为点M是的中点， 所以， 因为 所以当点A在上时，取得最大值，即的长度， 因为 所以的最大值为10． 【跟踪专练2】点A，B，C，D在同一平面，若，，，长的取值不可能的是（  ） A．1 B．5 C．8 D．12 【答案】D 【详解】解：根据三角形三边关系，可得， ∵，， ∴， 根据三角形三边关系，可得， ∵， ∴． ∵，不在该取值范围内， ∴长度的取值不可能是12． 题型05.三角形的分类 【典例】如图，一把不透明的尺子挡住了三角形的一部分，则这个三角形的类别为（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的分类，属于基础题型，掌握其分类的方法是做题的关键．根据题意与图可得，这个三角形为锐角三角形． 【详解】解：根据题意与图可得，这个三角形为锐角三角形． 故选：C． 【跟踪专练1】在中，的补角为，则是_______三角形． 【答案】钝角 【分析】本题主要考查补角的定义、三角形内角和定理．根据补角的定义求出的度数，再根据三角形的分类判断即可． 【详解】的补角是， ， ， 是钝角， 是钝角三角形． 故答案为：钝角． 【跟踪专练2】已知三边a、b、c满足，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．以上都不对 【答案】C 【分析】根据平方和绝对值的非负性，得出，即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∴， ∴是等边三角形，即锐角三角形． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平方和绝对值的非负性，三角形的分类，解题的关键是掌握平方和绝对值的非负性，以及三角形的分类：三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形． 题型06.三角形角平分线的定义 【典例】如图△中，已知，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线，三角形其中一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线． 根据三角形角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵，平分， ∴． 故选：B． 【跟踪专练1】如图，在中，是中线，是角平分线，是高．填空： （1）___________________； （2）_________________________； （3）_______________； 【答案】 / / / / / 【分析】本题主要考查了三角形高，角平分线和中线的定义： （1）根据三角形中线的定义进行求解即可； （2）根据角平分线的定义进行求解即可； （3）根据三角形高的定义进行求解即可． 【详解】解：（1）∵在中，是中线， ∴， 故答案为：； ； （2）∵在中，是角平分线， ∴， 故答案为：；； （3）∵在中，是高， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在中，是上两点，且平分，下列说法中不正确的是（   ） A． B．是的角平分线 C．是的中线 D．是的高 【答案】A 【分析】本题考查三角形的高线，三角形的角平分线定义，三角形的中线等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．利用和三角形中线的定义可判断C选项的正确；利用平分和角平分线的定义即可判断出B选项的正确；由三角形的高线的定义，可判断D选项的正确；利用角平分线的定义只能得到，但没有办法得到，可判断出A选项错误． 【详解】解：∵，即点E为中点， ∴是的中线，故C正确，不符合题意； ∵平分， ∴是的角平分线，故B正确，不符合题意； ∵，即， ∴是的高，故D正确，不符合题意； ∵平分， ∴． 但没有办法得到，故A错误，符合题意． 故选：A． 题型07.三角形高的画法 【典例】如图，，，，垂足分别为点、、，中边上的高是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴中边上的高是． 【跟踪专练1】如图，，，，在中，边上的高是________． 【答案】 【分析】本题考查三角形的高，掌握相关知识是解决问题的关键．三角形的高是指，从三角形顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，据此解答即可． 【详解】解：在中，边上的高应该是从向引垂线， ， 边上的高是． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，，垂足分别为C，E，则下列说法不正确的是（　　）    A．是的高 B．是的高 C．是的高 D．是的高 【答案】D 【分析】本题考查三角形高的定义，根据三角形的高的定义判断即可，记住从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高是解决问题的关键． 【详解】解：根据题意，观察图象可知：是的高，是的高，是的高， ∴符合题意是D选项， 故选：D． 题型08.与三角形高有关的计算 【典例】如图，在中，，垂足为点． 则的长为 __________． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形高有关的计算，掌握等面积法求高是解题的关键． 根据题意，，由此即可求解． 【详解】解：根据题意得，， ∴， 故答案为： ． 【跟踪专练1】如图，，为垂足，，为垂足，，，，那么点到的距离是_______，点到的距离是_____． 【答案】 6 【分析】根据点到直线的距离定义，找到点到的垂线段，直接利用已知的长度得到结果； 先通过直角三角形的两条直角边计算三角形面积，再以为底、为高，结合面积相等的关系列等式求解的长度． 【详解】解：∵，垂足为， ∴点到的垂线段为， 又∵， ∴点到的距离是． ∵在中，，，， ∴． ∵，垂足为， ∴点到的距离是的长度， 此时，已知， ∴，解得， ∴点到的距离是． 【跟踪专练2】如图，中，，，，，P为线段上一动点（可以与重合），连接，令长为x，则x的取值范围是________． 【答案】 【分析】当P在B处时，最长为4；当时，最短，利用列方程计算即可． 【详解】解：∵，， ∴当P在B处时，最长， 此时； 当时，最短，如图： ∵， ∴ ； ∴． 题型09.由三角形中线求长度 【典例】如图，若是的中线，，则的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了中线的定义和性质，掌握三角形中线的定义和性质是解题的关键． 根据三角形中线的性质可知． 【详解】解：∵是的中线，即 ∴ ∵ ∴． 故选：D． 【跟踪专练1】如图，在中，是边上的中线，的周长是，的周长是，，则______． 【答案】 【分析】根据三角形中线的定义可得，再根据三角形周长公式表示出和的周长，利用作差法建立等式即可求出的长． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长是，的周长是， ∴的周长的周长 ， ∵， ∴， ∴． 【跟踪专练2】如图，在中，是的高，是的中线，若，的面积为，则长为（    ） . A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的面积公式，三角形的中线的性质，三角形的高的定义，通过是的高，的面积为，求得，再由是的中线得，代入即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是的高，的面积为， ∴， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， 故选：． 题型10.由三角形中线求面积 【典例】如图所示，是的中线，的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D．以上答案都不对 【答案】C 【分析】本题考查三角形中线的性质，三角形的中线将三角形分为两个面积相等的小三角形．根据三角形中线的性质求解即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴． 故选：C． 【跟踪专练1】如图，是的中线，点E为的中点，若，则为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【详解】解：∵点E为的中点，， ∴， ∵是的中线， ∴. 【跟踪专练2】如图，若的面积为2，且点A，B，C分别是EC、AF、BD的中点，那么阴影部分的面积为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】A 【分析】利用中点性质得出线段倍数关系，进而得出相关三角形面积的倍数关系，最后将阴影部分面积转化为几个已知面积三角形的和即可求解． 【详解】解：如图，连接、、， ， 点 是的中点 点是的中点 点是的中点 点是的中点，即 点是的中点，即 点是的中点，即 由图可知，阴影部分的面积为 阴影部分的面积为 题型11.三角形内角和定理的证明 【典例】如图：PC、PB是∠ACB、∠ABC的平分线，∠A=40º，∠BPC=________． 【答案】110°/110度 【分析】首先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的性质可得进而． 可求的度数，再次在中利用三角形内角和即可求解． 【详解】解： 又∵BP平分CP平分 故答案为：110°． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的性质，此类题解题的关键是找出角平分线平分的两个角的和的度数，从而利用三角形内角和定理求解． 【跟踪专练1】如图，点为凸透镜的光心，点为凸透镜的焦点，根据凸透镜成像规律：过光心的光线经凸透镜后传播方向不变；过焦点的光线经凸透镜折射后，折射光线平行于主光轴．发光点发出的光经过凸透镜折射后所成的像为，已知，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角相等、三角形内角和定理、平行线的性质．根据对顶角相等可知，根据三角形内角和为可以求出，根据两直线平行同位角相等可得． 【详解】解：， ， 在中，， ， ， ． 故答案为：． 【跟踪专练2】在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如图所示的四种辅助线，其中能证明“的内角和是”的有（    ）    ①过点C作 ②延长到点F，过点C作 ③作于点D ④过上一点D作， A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题． 【详解】解：①．由，则，．由，得． ②．由，则，．由，得． ③．由于，则，无法证得三角形内角和是． ④．由，得，．由，得，，那么．由，得． ∴能证明的内角和是的有3个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键． 题型12.平行线与内角和问题 【典例】如图，在中，，，，则的度数为________．    【答案】83 【分析】根据三角形的内角和及平行线的性质即可求解． 【详解】解：，， ， 又， ， 故答案为：83． 【点睛】本题考查了三角形的内角和及平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，四边形中，点是上一点，过点作，若，则___________°． 【答案】57 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握两直线平行同位角相等． 首先根据平行线的性质得到，，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：57． 【跟踪专练2】数学课上，同学们用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质的运用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 利用平行线的性质和各角之间的关系即可求解． 【详解】解：如图，标注三角形的三个顶点A、、． ． 图案是由一张等宽的纸条折成的， ， 又纸条的长边平行， ， ． 故选：C． 题型13.角平分线与内角和问题 【典例】如图，在中，是的角平分线，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，根据题意得到，由角平分线的定义即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 故选：D ． 【跟踪专练1】如图，在中，，分别是的高线和角平分线，已知，，则______． 【答案】30 【分析】根据三角形高和角平分线的性质得到、，进而利用三角形内角和定理得到，再得到，据此求出的度数，进而求出的度数． 【详解】解：，分别是的高线和角平分线， 、， ， ， ， 在中，， ， ， ， ． 【跟踪专练2】如图，，、、分别平分，外角，外角，以下结论：①，②，③，④，其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角性质、平行线的判定一一判定即可． 【详解】解：①设点A、B在直线上， ∵、分别平分的内角，外角， ∴平分的外角， ∴， ∵，且， ∴， ∴，故①正确． ②∵、分别平分的内角、外角， ∴， ∴，故②正确． ③∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确． ④∵ ∴， ∴，故④正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角性质、平行线的判定等，熟悉各个概念的内容是解题的关键． 题型14.三角形内角和定理的应用 【典例】如图，一轮船在海上向正东方向行驶，在A处测得灯塔C位于北偏东，在B处测得灯塔C位于北偏东，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余角性质，三角形内角和计算即可． 本题考查了方向角的计算，熟练掌握方向角的意义，三角形内角和是解题的关键． 【详解】解：根据题意，在A处测得灯塔C位于北偏东，在B处测得灯塔C位于北偏东，得，， 故， 故选：A． 【跟踪专练1】如图，已知，为的边上的一点，且，．则________． 【答案】 【分析】首先根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，可以求出，再根据三角形内角和定理求出． 【详解】解：， ， ， ， 在中， ． 【跟踪专练2】如图1，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点O反射后，形成反射光线，我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．如图2，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列判断错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和性质，平行线的判定和性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键． 根据反射的性质和平行线的性质和判定逐项判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴，故此选项不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，不能得出，原结论错误，故此选项符合题意； D、∵， ∴， ∵，， ， ∴，故此选项不符合题意； B、与D选项同理得出，，， 则 ∴， 故此选项不符合题意； 题型15.三角形外角的定义与性质 【典例】如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质和三角形外角的性质，解题的关键是根据两直线平行得到同位角相等．根据平行线的性质求出，然后利用三角形外角性质解答即可． 【详解】解：∵， ，， ∵， ， 故选：B． 【跟踪专练1】如图，放置在水平操场上的篮球架的横梁始终平行于，与上拉杆形成的，主柱垂直于地面，通过调整和后拉杆的位置来调整篮筐的高度．当时，点，，在同一直线上，则的度数是_____． 【答案】/度 【分析】延长交于点，由对顶角相等可得，结合三角形的外角的性质可计算得．根据题意可得，则． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵点，，在同一直线上， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∵横梁始终平行于， 又∵由调整得到， ∴， ∴． 【跟踪专练2】如图，于点，点、分别是射线、上的动点（不与点重合），延长至点，的角平分线及其反向延长线分别交、的角平分线于点、．若中有一个角是另一个角的3倍，则为（    ）． A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和的问题，以及三角形外角的性质，先根据角平分线和平角的定义可得：，分4种情况讨论，①当时，②当时，③当时，④当时，根据三角形内角和定理及外角的性质可得结论． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， 当①时． ， ∵平分， ∴， ∴ ∴， ∵于点， ∴， ∴， ②当时， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴此种情况不成立． ③当时， 设， 则：， 解得：， ∴， ∴， ∴． ④当时， 同理得：， ∴ ∴ ∴此种情况不成立． 综上所述，的度数为或， 故选∶C． 【解答题】 1．如图，在直角三角形中，，，，． (1)点到直线的距离是垂线段___________的长度，该长度是___________． (2)画出表示点到直线的距离的线段，并求这个距离． 【答案】(1)，3 (2)图见解析， 【分析】（1）根据点到直线的距离即可解答； （2）作于点，则垂线段的长度就是点到直线的距离，再利用等积法即可求出的长． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴点到直线的距离是垂线段的长度，该长度是； （2）解：如图，作于点，则垂线段的长度就是点到直线的距离， ∵， ∴． 2．如图，已知的周长为35，是边上的中线，． (1)当时，求的长． (2)能否等于12？为什么？ 【答案】(1)5 (2)不能等于12，理由见解析 【分析】本题考查了与三角形中线有关的计算、三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键． （1）先求出，再根据三角形的周长公式可得，然后根据三角形中线的性质解答即可得； （2）假设能等于12，则，再利用三角形的三边关系解答即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵的周长为35， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴． （2）解：不能等于12，理由如下： 假设能等于12， ∵， ∴， ∵的周长为35， ∴， ∴， ∴的三边长分别为，此时，不满足三角形的三边关系， ∴不能等于12． 3．如图，在四边形中，，与交于点E，，设的面积为，的面积为，的面积为，的面积为． (1)求证： (2)若，，，都是整数，且四边形的面积是25，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（1）作交于点，证明出，得出，即可得证； （2）由题意可得，，从而得出，由于，且，，，都是整数，，，，均不符合题意，进而得出，分情况计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：作交于点， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵与等高， ∴， 同理可得， ∴， 由题意可得：， ∴， 由于，且，，，都是整数，，，，，均不符合题意， ∴， 当时，此时，，符合题意； 当时，没有满足题意的，，，故不符合题意； 当时，没有满足题意的，，，故不符合题意； 当时，此时，，符合题意； 综上所述，或． 4．如图，，垂足分别为D、F． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行进行解答即可； （2）先推导出，可得到，则，即可解答． 【详解】（1）证明：， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ． 5．如图，在中，已知是角平分线，． (1)求的度数； (2)若于E，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，以及三角形外角的性质，熟练掌握三角形内角和以及角平分线的定义是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理得出，再由角平分线的定义求出，然后根据三角形外角的性质求解即可； （2）由垂直的定义得，然后根据即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∵是的角平分线 ∴， ∴； （2）∵， ∴． ∴． 6．如图，平分，过作，交直线于点，点在直线上（点不与重合），连接． (1)若平分，， ①根据题意在图1中补全图形； ②求出的度数． (2)设，当点在直线上运动时，直接写出与的数量关系（用含的式子表示）． 【答案】(1)①见解析；② (2)；；． 【分析】（1）①按题意，作出图形，即可；②根据平行线的性质，求出，根据平行线的性质，角平分线的性质，可得，根据三角形的外角性质得出即可； （2）分类讨论：当点在线段之间；当点在线段的延长线上；当点在线段的延长线上；根据三角形的内角和，平行线的性质，三角形的外角完成计算即可． 【详解】（1）解：①图形如下： ②∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）解：设，当点在线段上时； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴； 设，当点在线段的延长线上时； 同理可得，， ∵ ∴ ∴ 设，当点在线段的延长线上时； 同理可得，， ∴， ∴， ∴． 综上所述：；；． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05三角形概念与内角和复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.识别：三角形的基本元素（顶点、边、角），掌握三角形的定义与表示方法。 2.掌握：三角形三边关系定理，能判断三条线段能否构成三角形，并确定第三边的取值范围。 3.了解：等腰三角形、等边三角形的定义，能按边和角对三角形进行分类。 4.认识：三角形的高、中线、角平分线，掌握它们的定义与画法，理解中线平分面积、角平分线平分内角的性质。 5.熟记：三角形内角和定理，掌握其证明方法（平行线法），能进行角度计算。 1.运用：三边关系解决线段构成、边长范围、等腰三角形边长计算等问题。 2.绘制：三角形的高、中线、角平分线，能在不同类型三角形中准确画出这些线段。 3.计算：结合内角和定理、外角性质、角平分线、平行线等知识，进行角度计算与推理。 4.推理：能完成简单的几何说理题，规范书写推理步骤，建立严谨的几何思维。 5.辨析：辨析三角形高的位置（锐角、直角、钝角三角形高的不同分布），避免概念混淆。 1.攻克：攻克三角形三边关系、内角和计算、外角性质等基础必考题型。 2.掌握：掌握三角形高、中线、角平分线的画法与相关计算，应对作图与计算类考题。 3.突破：突破结合平行线、角平分线的内角和综合题，提升复杂图形分析能力。 4.衔接：衔接后续全等三角形、等腰三角形等知识，为几何综合题奠定基础。 题型01.三角形的识别与概念 题型02.构成三角形的条件 题型03第三边取值范围 题型04.三边关系的应用 题型05.三角形的分类 题型06.三角形角平分线的定义 题型07.三角形高的画法 题型08.与三角形高有关的计算 题型09.由三角形中线求长度 题型10.由三角形中线求面积 题型11.三角形内角和定理的证明 题型12.平行线与内角和问题 题型13.角平分线与内角和问题 题型14.三角形内角和定理的应用 题型15.三角形外角的定义与性质 解答题6题 知识点01:三角形的定义与表示 定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做三角形。 三要素：顶点、边、内角。 知识点02:三角形的分类 知识点03:三角形的三边关系（重中之重） · 定理：三角形任意两边之和 大于 第三边。 a+b>c,a+c>b,b+c>a) · 推论：任意两边之差 小于 第三边。 |a-b|<c 知识点04:三角形的三条重要线段（高、中线、角平分线） 线段类型 定义 核心性质 图形 角平分线 平分三角形一个内角，且交对边于一点的线段 三角形三条角平分线交于一点（内心），该点到三边距离相等 中线 连接三角形一个顶点和对边中点的线段 三角形三条中线交于一点（重心），中线平分三角形面积 高 从三角形一个顶点向对边（或对边延长线）作垂线，顶点与垂足间的线段 三角形三条高交于一点（垂心）；高的位置随三角形形状变：锐角△高都在内部，直角△两直角边为高，钝角△两条高在外部 知识点05:三角形内角和定理 1. 定理内容 三角形的三个内角的和等于 180°。∠A+∠B+∠C=180∘ 2. 证明思路（重点） (1)过三角形的一个顶点作对边的平行线； (2)利用两直线平行，内错角相等，把三个内角转化为一个平角； (3)平角 = 180°，从而证明内角和为 180°。 ∵ EF∥BC（已知）， ∴ ∠EAB = ∠B（两直线平行，内错角相等）， ∠FAC = ∠C（两直线平行，内错角相等）。 又∵ ∠EAB + ∠BAC + ∠FAC = 180°（平角的定义）， ∴ ∠B + ∠BAC + ∠C = 180°（等量代换）。 即三角形三个内角的和等于 180°。 知识点06:外角的定义及性质： 定义：一边与另一边的延长线组成的角 性质：外角等于与它不相邻的两个内角和；外角大于任何一个不相邻内角 题型01.三角形的识别与概念 【典例】下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在中， ，若的周长为，则______． 【跟踪专练2】如图，在中，点是上的一点，点是上的一点，若，点是的五等分点，若的面积是，则的面积为（    ） A． B． C． D． 题型02.构成三角形的条件 【典例】已知三角形的三边长分别为，，，若为奇数，则这样的三角形有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【跟踪专练1】如图，有甲、乙两根小棒，现用剪刀把其中一根小棒剪断，若得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形，则剪断的小棒是______（填“甲”或“乙”）． 【跟踪专练2】在中，边上的中线把的周长分成24和12的两部分，则的长是（   ） A．16 B．8 C．16或8 D．8或4 题型03第三边取值范围 【典例】已知三角形的三边长分别为2，6，，则的值可以是（   ） A．2 B．4 C．7 D．8 【跟踪专练1】若a，b，c为三角形的三边，且a，b满足，第三边c为奇数，则_____ ． 【跟踪专练2】三根底端对齐的小棒被挡板遮住了一部分，它们的长度如图所示．若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型04.三边关系的应用 【典例】如图，为了估计池塘岸边 M，N两点之间的距离，小明在该池塘的一侧选取一点O，测得，，则M，N两点之间的距离可能是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在中，，将平移6个单位长度得到，M是的中点，则的最大值为______． 【跟踪专练2】点A，B，C，D在同一平面，若，，，长的取值不可能的是（  ） A．1 B．5 C．8 D．12 题型05.三角形的分类 【典例】如图，一把不透明的尺子挡住了三角形的一部分，则这个三角形的类别为（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．无法判断 【跟踪专练1】在中，的补角为，则是_______三角形． 【跟踪专练2】已知三边a、b、c满足，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．以上都不对 题型06.三角形角平分线的定义 【典例】如图△中，已知，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在中，是中线，是角平分线，是高．填空： （1）___________________； （2）_________________________； （3）_______________； 【跟踪专练2】如图，在中，是上两点，且平分，下列说法中不正确的是（   ） A． B．是的角平分线 C．是的中线 D．是的高 题型07.三角形高的画法 【典例】如图，，，，垂足分别为点、、，中边上的高是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，，，，在中，边上的高是________． 【跟踪专练2】如图，，垂足分别为C，E，则下列说法不正确的是（　　）    A．是的高 B．是的高 C．是的高 D．是的高 题型08.与三角形高有关的计算 【典例】如图，在中，，垂足为点． 则的长为 __________． 【跟踪专练1】如图，，为垂足，，为垂足，，，，那么点到的距离是_______，点到的距离是_____． 【跟踪专练2】如图，中，，，，，P为线段上一动点（可以与重合），连接，令长为x，则x的取值范围是________． 题型09.由三角形中线求长度 【典例】如图，若是的中线，，则的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．8 【跟踪专练1】如图，在中，是边上的中线，的周长是，的周长是，，则______． 【跟踪专练2】如图，在中，是的高，是的中线，若，的面积为，则长为（    ） . A． B． C． D． 题型10.由三角形中线求面积 【典例】如图所示，是的中线，的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D．以上答案都不对 【跟踪专练1】如图，是的中线，点E为的中点，若，则为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 【跟踪专练2】如图，若的面积为2，且点A，B，C分别是EC、AF、BD的中点，那么阴影部分的面积为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 题型11.三角形内角和定理的证明 【典例】如图：PC、PB是∠ACB、∠ABC的平分线，∠A=40º，∠BPC=________． 【跟踪专练1】如图，点为凸透镜的光心，点为凸透镜的焦点，根据凸透镜成像规律：过光心的光线经凸透镜后传播方向不变；过焦点的光线经凸透镜折射后，折射光线平行于主光轴．发光点发出的光经过凸透镜折射后所成的像为，已知，，则______． 【跟踪专练2】在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如图所示的四种辅助线，其中能证明“的内角和是”的有（    ）    ①过点C作 ②延长到点F，过点C作 ③作于点D ④过上一点D作， A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型12.平行线与内角和问题 【典例】如图，在中，，，，则的度数为________．    【跟踪专练1】如图，四边形中，点是上一点，过点作，若，则___________°． 【跟踪专练2】数学课上，同学们用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型13.角平分线与内角和问题 【典例】如图，在中，是的角平分线，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在中，，分别是的高线和角平分线，已知，，则______． 【跟踪专练2】如图，，、、分别平分，外角，外角，以下结论：①，②，③，④，其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型14.三角形内角和定理的应用 【典例】如图，一轮船在海上向正东方向行驶，在A处测得灯塔C位于北偏东，在B处测得灯塔C位于北偏东，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，已知，为的边上的一点，且，．则________． 【跟踪专练2】如图1，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点O反射后，形成反射光线，我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．如图2，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列判断错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型15.三角形外角的定义与性质 【典例】如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，放置在水平操场上的篮球架的横梁始终平行于，与上拉杆形成的，主柱垂直于地面，通过调整和后拉杆的位置来调整篮筐的高度．当时，点，，在同一直线上，则的度数是_____． 【跟踪专练2】如图，于点，点、分别是射线、上的动点（不与点重合），延长至点，的角平分线及其反向延长线分别交、的角平分线于点、．若中有一个角是另一个角的3倍，则为（    ）． A．或 B．或 C．或 D．或 【解答题】 1．如图，在直角三角形中，，，，． (1)点到直线的距离是垂线段___________的长度，该长度是___________． (2)画出表示点到直线的距离的线段，并求这个距离． 2．如图，已知的周长为35，是边上的中线，． (1)当时，求的长． (2)能否等于12？为什么？ 3．如图，在四边形中，，与交于点E，，设的面积为，的面积为，的面积为，的面积为． (1)求证： (2)若，，，都是整数，且四边形的面积是25，求的值． 4．如图，，垂足分别为D、F． (1)求证：； (2)若，求证：． 5．如图，在中，已知是角平分线，． (1)求的度数； (2)若于E，求的度数． 6．如图，平分，过作，交直线于点，点在直线上（点不与重合），连接． (1)若平分，， ①根据题意在图1中补全图形； ②求出的度数． (2)设，当点在直线上运动时，直接写出与的数量关系（用含的式子表示）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $