江苏省无锡市江阴市六校2025-2026学年高一下学期4月期中联考数学试卷

**基本信息** 2025-2026学年高一期中数学联考卷，聚焦复数、向量、立体几何、解三角形等核心知识，通过分层设问（如选择基础题与解答综合题）及真实情境（无人机测塔高、渡河问题），考查空间观念、运算能力与模型意识，适配期中阶段性能力检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数运算、向量坐标、斜二测画法|基础巩固，如第3题结合直观图还原平面图形，考查空间观念| |多选|3/18|复数性质、正方体异面直线、渡河问题|能力区分，如第11题通过流速与航向分析，体现数学思维的推理能力| |填空|3/15|纯虚数、旋转体体积、解三角形外接圆|细节深化，第13题旋转体体积计算，强化几何直观| |解答|5/77|向量应用、正方体体积比、斜坐标系、测量问题|创新应用，第19题无人机测塔高设计，落实数学眼光观察现实世界，贴合高考命题趋势|

2025-2026学年度第二学期期中联考试卷 高一数学 2026.04 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数，则 A． B． C． D． 2．若向量，，则 A． B． C． D． 3．如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，， ，则平面图形中对角线的长度为 A． B． C． D． 4． 在中，是的中点，为上的点，且．若，，则用表示为 A． B． C． D． 5．在中，角所对的边分别为，已知，则角为 A． B． C． D． 6．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则该圆锥表面积为 A． B． C． D． 7．已知复数（，为虚数单位），且，当取得最小值时，则在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．在平行四边形中，，动点在边上，则的取值范围是 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知虚数单位，复数，则 A．的共轭复数为 B． C．为实数 D．的虚部为 10．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体．那么在这四条线段中，线段所在直线是异面直线的是 A．直线和直线 B．直线和直线 C．直线和直线 D．直线和直线 11．一条东西方向的小河，河两岸平行，河宽，一艘小船在河南岸向河北岸航行．已知小船在静水中的速度大小为，河水的流速大小为，关于这艘船的渡河情况，下列说法正确的是 A．当小船以北偏西方向航行时，小船实际航向垂直河岸 B．当小船垂直河岸航行时，小船实际速度的大小为 C．当小船航程最短时，小船到达河北岸的时间为 D．当小船渡河时间最短时，小船垂直河岸方向航行 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知复数是纯虚数，则实数= ▲ ． 13．如图，点分别是直角三角形的边上的点， 斜边与扇形的弧相切，已知，则阴影 部分绕直线旋转一周所形成的几何体的体积为 ▲ ． 14． 记的面积为，的外接圆半径为，且， 则为 ▲ ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知． （1）求与垂直的单位向量的坐标； （2）若，求与的夹角的值． ▲ ▲ ▲ 16．（15分） 已知棱长为的正方体中，分别为的中点． （1）求证：四点共面； （2）若沿着平面将正方体截成两部分． （i）请判断几何体是否是台体（不需说明理由）； （ii）求截得的两部分的体积之比． ▲ ▲ ▲ 17．（15分） 如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标．假设． （1）计算的大小； （2）设，若三点共线，求实数的值； （3）设，求的面积． ▲ ▲ ▲ 18．（17分） 已知分别为三个内角的对边，，． （1）求； （2）若的面积为． （i）求的周长； （ii）如图，若为线段上（不含端点） 的两个动点， ，求的取值范围． ▲ ▲ ▲ 19．（17分） 某校数学兴趣小组计划测量本市双子塔塔顶之间的直线距离，设计了两套方案，具体如下： （1）方案一：无人机沿水平方向在两点观测塔顶，在同一个铅垂平面内（如示意图），若在处测得塔顶的俯角分别为，在处测得塔顶的俯角分别为，无人机飞行距离．利用上述数据能否计算出两塔塔顶之间直线距离?若能，求出（结果精确到）；若不能，请说明理由．（参考数据：） （2）方案二：在与两塔基底同一水平面内选取测量点，在点处分别测得塔顶的仰角为，测量点与两塔基底的夹角为． （i）假设塔高，试用表示两塔塔顶间距离； （ii）为实施方案二，需要测量两塔的高度，不妨以测量塔顶距水平地面的高度为例．兴趣小组在水平地面内选取点，在点测得塔顶的仰角分别为．若点是线段的中点，，试用表示． ▲ ▲ ▲ 数学试题 第4页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 江阴市2026年春学期六校高一期中教学质量调研测试 数学参考答案 2026.04 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．A 2．B 3．A 4．D 5．C 6．B 7．D 8．D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．ABD 10．BC 11．BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．解：（1）设该单位向量为，显然， 1分 ∴由题意得，，则， 2分 解得，或，， 则的坐标是或. （两组解各2分） 6分 （2）∵， 7分 ∴，， 9分 ∴， 11分 ∵ ∴与的夹角的值为． 13分 16．解：证明：如图所示： （1）连接AC，由正方体的性质可知：， ∴四边形为平行四边形， 2分 ∴， 又∵M，N分别是CD，AD的中点，∴MN∥AC，且， ∴， 5分 ∴四边形MNA′C′是梯形， ∴四点共面． 7分 （2）(i)多面体是棱台； 10分 (ii)； 12分 ， 13分 ． 15分 17．解：（1） ， 1分 所以 ； 5分 （2）,又三点共线，则存在实数使得 即，由平面向量基本定理得： 7分 ，解得， 所以实数的值； 10分 （3）， 11分 12分 ，又， 所以， 13分 所以. 15分 18．解：（1）由正弦定理可得：, 在中，， ∴， ∴， 2分 ∵在中，，所以， ∴，∴， ∵，∴ . 4分 （2）∵，∴， 5分 ∵，∴， 6分 又， ∴， 7分 ∴周长为 ； 8分 （3）由（2）代入可得：，解得：或， ∴或. 9分 如图可知：∵， ∴，故，， 10分 由正弦定理可得：， ∴，， 11分 设，其中，则，， 在中，由正弦定理可得， ∴， 12分 在中，由正弦定理可得， ∴， 13分 ∴， 15分 ∵，则， ∴. 17分 19．解：（1）在中，由正弦定理得， 2分 在中，由正弦定理得， 4分 由余弦定理得 ． 6分 （2） 图1 图2 （i）如图1，在中，∵，∴， 在中，∵，∴； 8分 在中，由余弦定理， ∴， ∴； 10分 （ii）如图2， ， 12分 在中，，即， 由余弦定理，， 14分 ∴， ∴． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $