精品解析：江西省赣州市章贡区2025—2026学年下学期期中考试八年级数学试题卷

2025−2026学年第二学期期中考试八年级数学试题卷 说明： 1．本试题卷共有六个大题，23个小题，满分120分，考试时间为120分钟． 2．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其它位置无效． 一、单项选择题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念即可求出答案． 【详解】解：A、原式＝，故A不符合题意． B、原式＝，故B符合题意． C、原式＝|a|，故C不符合题意． D、原式＝，故D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的概念，本题属于基础题型． 2. 以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. C. 8，12，13 D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵，∴能构成直角三角形，故A不符合题意； ∵，∴能构成直角三角形，故B不符合题意； ∵，，，∴不能构成直角三角形，故C符合题意； ∵，∴能构成直角三角形，故D不符合题意． 3. 如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若AB＝13，AC＝10，则该菱形的面积为（　　） A. 65 B. 120 C. 130 D. 240 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理可以求得菱形另一条对角线的长度，再由菱形的面积计算公式可得答案． 【详解】解：∵AC=10，∴AO=5，∴BO=，∴BD=24 ∴菱形的面积为 故选B． 【点睛】本题考查菱形的面积，灵活应用勾股定理和菱形的面积计算公式是解题关键． 4. 如图是五边形的三个外角，若则=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出五边形的内角和，结合，即可求出答案. 【详解】解：根据题意，五边形的内角和为：， ∵ ， ∵， ∴； 故选：C. 【点睛】本题考查了多边形的内角和，多边形的外角，解题的关键是熟练掌握求多边形内角和的公式进行解题. 5. 如图，在中，，，直尺的一边与重合，另一边分别交，于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽的长为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理，得到，再根据30度角所对的直角边等于斜边一半，得到，，利用勾股定理，求出和的长，即可得到直尺宽的长． 【详解】解：由题意可知，，，， ， ， ， ， ，， 在中，， ， 在中，， ， ， 故选C． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，30度角所对的直角边等于斜边一半，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键． 6. 如图，在四边形中，，分别以为边向外作正方形，其面积分别是，且，则的长度为（ ） A. B. 14 C. 15 D. 【答案】D 【解析】 【分析】在上截取，连接，得出平行四边形和相等的角，假设，表示出面积，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：如图所示，在上截取，连接， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 假设， ∴，，， ∴， 由勾股定理得， ∴． 二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 7. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零，进一步求解即可． 【详解】解：∵ 在实数范围内有意义， ∴， 解得 ． 故答案为 ． 8. 若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据多边形外角和是360度，正多边形的各个内角相等，各个外角也相等，直接用可求得边数． 【详解】解：多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是， 即该正多边形的边数是8， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了多边形外角和以及多边形的边数，解题的关键是掌握正多边形的各个内角相等，各个外角也相等． 9. 若，用含的式子表示为___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 10. 已知，求代数式的值为____________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，将代数式进行因式分解后，将的值代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：3． 11. “出入相补，各从其类”是魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中系统提出的核心原理．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”，其中四边形、、均为正方形．若，，则正方形的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质得到，，，证明，根据全等三角形的性质得到，求得，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：四边形、、均为正方形， ，，， ， ， ， 在中，， 即正方形的面积为， 故答案为：． 12. 如图，在中，，，，平分交于点D，在边上存在一点E（不与点B重合），作关于直线的对称图形为，若点F落在的边上，则的长为______． 【答案】2或或4 【解析】 【分析】判断得出点F在以点D为圆心，长为半径的圆上，分三种情况讨论，画出图形，利用含30度角的直角三角形以及勾股定理求解即可． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得，而是定长， ∴点F在以点D为圆心，长为半径的圆上，当点在边上时，如图， ∵， ∴于点E， ∴； 当点F在边上时，有两种情况， 当E、F在如图的的位置时，作， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴； 当E、F在如图的的位置时（与A重合）， ∴； 若F在边上时，此时对应的E点不在上，此情况不存在， 综上，的长为1或或4． 故答案为：2或或4． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，含30度角的直角三角形以及勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的化简以及零指数幂的运算求解即可． （2）根据完全平方公式以及平方差公式求解即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 14. 如图，在四边形中，，是边的中点，．求证：四边形是矩形． 【答案】 证明：∵是边的中点， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定及矩形的判定，熟练掌握判定定理是解题关键．利用可证明，得出，根据得出，即可证明四边形是平行四边形，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明四边形是矩形． 【详解】略 15. 如图，某学校有一块四边形草坪，，，，为方便师生行走，现要修一条小路． （1）求小路的长（结果保留根号）． （2）求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理： （1）先求出，再利用勾股定理求解即可； （2）根据（1）所求得到，由勾股定理的逆定理可得，再求出即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵，， ∴， ∴． 16. 如图，在平行四边形中，平分，已知． （1）求的长； （2）若，求． 【答案】（1）10 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质，结合角平分线的定义，推出，即可； （2）勾股定理逆定理，得到是直角三角形，且，进而求出的度数，再根据平行线的性质，进行求解即可． 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形， ，， ， 平分， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， 是直角三角形，且， ， ， ． 17. 如图，已知正七边形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图． （1）在图1中，画出一个以为边的平行四边形； （2）在图2中，画出一个以为边的菱形． 【答案】（1） 如图，四边形即为所求； （2） 如图，四边形即为所求； 【解析】 【分析】本题考查作图—复杂作图，平行四边形的判定和菱形的判定： （1）连接交于M，交于N．四边形是平行四边形． （2）连接，延长交于点，四边形是菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 同学们都知道，凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为“勾股数”．比如3，4，5或11，60，61等． （1）请你写出另外两组勾股数：6，___________，___________；7，___________，___________； （2）清朝的扬州籍数学家罗士琳提出了四个构造勾股数的法则，其中有两个法则如下： （Ⅰ）如果是大于1的奇数，那么是一组勾股数 （Ⅱ）如果是大于2的偶数，那么是一组勾股数 在一组勾股数中，其中有一个数为12，根据法则（Ⅰ）（Ⅱ），求出符合要求的所有勾股数； 【答案】（1）8，10；24，25 （2）勾股数为5、12、13或12、35、37 【解析】 【分析】（1）根据勾股数的定义解决此题． （2）①根据题干中法则（Ⅰ）解决此题． ②根据题干给出的法则（Ⅰ）和（Ⅱ）进行分类讨论求解． 【小问1详解】 解：依题意，6，8，10；7，24，25； 【小问2详解】 解：根据法则（Ⅰ），∵是大于1的奇数， ∴， 则或． 或（不是奇数，舍去）． ． ． 勾股数为5、12、13． 根据法则（Ⅱ）， 则或或， 或（舍去）或（舍去）． 则，， 勾股数为12、35、37． 综上所述，勾股数为5、12、13或12、35、37． 19. 如图1，过的对角线交点作两条互相垂直的直线，分别交于四点，连接． （1）试判断四边形的形状，并说明理由． （2）如图2，如果四边形是正方形，其它条件不变，试判断四边形的形状并说明理由． 【答案】（1）四边形的形状是菱形；理由见解析 （2）四边形是正方形；理由见解析 【解析】 【分析】（1）先证明，可得，同理可得，结合，即可证明四边形是菱形． （2）先证明，可得，同理可得，结合，即可证明四边形是菱形，进而证明，可得，即可证明菱形是正方形． 【小问1详解】 解：四边形的形状是菱形． 理由如下：在平行四边形中，， ． 在和中，， ． ． 同理可得， 四边形是平行四边形． ， 四边形是菱形； 【小问2详解】 解：四边形的形状是正方形． 理由如下：在正方形中，， ． 在和中，， ． ． 同理可得， 四边形是平行四边形． ， 四边形是菱形． ， ． 在和中，， ． ， ． 菱形是正方形． 20. 如图 1，是一电动门，当它水平下落时，可以抽象成如图2所示的矩形 ，其中，，此时它与出入口 等宽，与地面的距离；当它抬起时，变为平行四边形，如图3所示，此时，与水平方向的夹角为． （1）求点到地面的距离； （2）一辆高，宽的汽车从该入口进入时，汽车需要与保持的安全距离，此时，汽车能否安全通过，若能，请通过计算说明；若不能，说明理由． 【答案】（1） （2）汽车能安全通过 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作 于点， 交于点，根据解直角三角形的知识进行解答即可； （2）根据解直角三角形、锐角三角函数进行解答即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作 于点，交于点，则， ， ， ； 【小问2详解】 在上取，作于点， 交于点， 交于点，当汽车与保持安全距离时， ∵汽车宽度为， ， ， ， ， ， ∴汽车能安全通过. 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 【阅读理解】我们将与称为一对“有理化因子”，因为，所以构造“有理化因子”再将其相乘可以有效地将和中的“根号”去掉，于是二次根式的除法可以这样计算：如．像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 【问题解决】根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： （1）有理化因子与之间的关系是___________； A．互为相反数 B．绝对值相等 C．互为倒数 （2）已知，求的值； （3）计算：的值． 【答案】（1）C （2） （3）2025 【解析】 【分析】（1）将与进行相乘判断关系即可； （2）先化简x和y的值，再根据提取公因式化简求解即可； （3）先分母有理化，再利用裂项相消法求和，最后根据平方差公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴有理化因子与互为倒数． 故选：C； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解： ． 22. 【课本再现】 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 【定理证明】 如图1，在中，D，E分别是边的中点．求证：且． 以下是小贤的证明思路：如图2延长到点F，使，连接． （1）请你根据小贤添加的辅助线，写出完整的证明步骤． 【知识应用】 （2）如图3，在四边形中，E，F，G，H分别为各边中点．求证：四边形是平行四边形． （3）如图4，在四边形中，对角线与相交于点H，E，F分别为边的中点，连接，分别交于点M，N，且．求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，则平行且等于，得平行且等于．再证四边形是平行四边形，得平行且等于，即可得出结论； （2）连接，由，分别是，的中点，得，，由，分别是，的中点，得，，故，，从而四边形是平行四边形； （3）取的中点，连接、，根据三角形中位线定理得到，，，，根据题意得到，根据平行线的性质、等腰三角形的判定定理解答即可． 【详解】证明：（1）如图，延长到点，使，连接连接． ，， 四边形是平行四边形，平行且等于， 平行且等于． 四边形是平行四边形， 平行且等于． 又， ∴且； （2）四边形是平行四边形；理由如下： 连接，如图： ，分别是，的中点， ∴，， ，分别是，的中点， ∴，， ∴，， 四边形是平行四边形； （3）取的中点，连接、， 是的中点，是的中点， ，， ∴， 同理，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等边对等角等知识；熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图1，正方形的边长为4，连接，点为线段上任意一点（点不与，重合），过点作分别交于点．点为的中点，连接． （1）若，则________，________； （2）如图2，连接，．求证：且； （3）如图3，在（2）的条件下，设交于点，延长交于点，连接． ①探究之间的数量关系，并说明理由； ②若，则________． 【答案】（1）， （2）见解析 （3）①，理由见解析；② 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 根据等腰直角三角形的性质得出； 可证得，从而，进而得出结论； 连接，延长至，使，可证得，从而，进而证得，从而，进一步得出结论； 设，则，，在中，由勾股定理得方程，求得的值，可证得． 【小问1详解】 解：四边形是正方形， ， ， ∴， ， 四边形是矩形，， ， ， 为的中点， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 证明：在正方形和矩形中， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：：如图， ，理由如下： 连接，延长至，使， 由知，， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 设，则，， 在中，由勾股定理得， ， ， ， ， 由知，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025−2026学年第二学期期中考试八年级数学试题卷 说明： 1．本试题卷共有六个大题，23个小题，满分120分，考试时间为120分钟． 2．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其它位置无效． 一、单项选择题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. C. 8，12，13 D. 3. 如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若AB＝13，AC＝10，则该菱形的面积为（　　） A. 65 B. 120 C. 130 D. 240 4. 如图是五边形的三个外角，若则=（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，直尺的一边与重合，另一边分别交，于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽的长为（ ） A. B. C. D. 无法确定 6. 如图，在四边形中，，分别以为边向外作正方形，其面积分别是，且，则的长度为（ ） A. B. 14 C. 15 D. 二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 7. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 8. 若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________. 9. 若，用含的式子表示为___________． 10. 已知，求代数式的值为____________． 11. “出入相补，各从其类”是魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中系统提出的核心原理．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”，其中四边形、、均为正方形．若，，则正方形的面积为___________． 12. 如图，在中，，，，平分交于点D，在边上存在一点E（不与点B重合），作关于直线的对称图形为，若点F落在的边上，则的长为______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2）． 14. 如图，在四边形中，，是边的中点，．求证：四边形是矩形． 15. 如图，某学校有一块四边形草坪，，，，为方便师生行走，现要修一条小路． （1）求小路的长（结果保留根号）． （2）求的度数． 16. 如图，在平行四边形中，平分，已知． （1）求的长； （2）若，求． 17. 如图，已知正七边形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图． （1）在图1中，画出一个以为边的平行四边形； （2）在图2中，画出一个以为边的菱形． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 同学们都知道，凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为“勾股数”．比如3，4，5或11，60，61等． （1）请你写出另外两组勾股数：6，___________，___________；7，___________，___________； （2）清朝的扬州籍数学家罗士琳提出了四个构造勾股数的法则，其中有两个法则如下： （Ⅰ）如果是大于1的奇数，那么是一组勾股数 （Ⅱ）如果是大于2的偶数，那么是一组勾股数 在一组勾股数中，其中有一个数为12，根据法则（Ⅰ）（Ⅱ），求出符合要求的所有勾股数； 19. 如图1，过的对角线交点作两条互相垂直的直线，分别交于四点，连接． （1）试判断四边形的形状，并说明理由． （2）如图2，如果四边形是正方形，其它条件不变，试判断四边形的形状并说明理由． 20. 如图 1，是一电动门，当它水平下落时，可以抽象成如图2所示的矩形 ，其中，，此时它与出入口 等宽，与地面的距离；当它抬起时，变为平行四边形，如图3所示，此时，与水平方向的夹角为． （1）求点到地面的距离； （2）一辆高，宽的汽车从该入口进入时，汽车需要与保持的安全距离，此时，汽车能否安全通过，若能，请通过计算说明；若不能，说明理由． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 【阅读理解】我们将与称为一对“有理化因子”，因为，所以构造“有理化因子”再将其相乘可以有效地将和中的“根号”去掉，于是二次根式的除法可以这样计算：如．像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 【问题解决】根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： （1）有理化因子与之间的关系是___________； A．互为相反数 B．绝对值相等 C．互为倒数 （2）已知，求的值； （3）计算：的值． 22. 【课本再现】 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 【定理证明】 如图1，在中，D，E分别是边的中点．求证：且． 以下是小贤的证明思路：如图2延长到点F，使，连接． （1）请你根据小贤添加的辅助线，写出完整的证明步骤． 【知识应用】 （2）如图3，在四边形中，E，F，G，H分别为各边中点．求证：四边形是平行四边形． （3）如图4，在四边形中，对角线与相交于点H，E，F分别为边的中点，连接，分别交于点M，N，且．求证：． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图1，正方形的边长为4，连接，点为线段上任意一点（点不与，重合），过点作分别交于点．点为的中点，连接． （1）若，则________，________； （2）如图2，连接，．求证：且； （3）如图3，在（2）的条件下，设交于点，延长交于点，连接． ①探究之间的数量关系，并说明理由； ②若，则________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $