专题03 传统文化及跨学科应用（重难专练）（山东专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

**基本信息** 聚焦传统文化与跨学科情境，以“情境剥离—模型构建—方法迁移”为主线，系统整合初中数学全模块知识，强化数学建模与信息提取能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |传统文化|7类题型/21题|数与式“三步法”、方程“关系拆解法”、几何“模型转化法”|从文化场景抽象数学关系，覆盖数与式、方程、函数、几何、统计全模块，形成“概念—原理—应用”链条| |跨学科应用|3类题型/15题|物理“平行线转化”、化学“直角三角形构造”、多学科“数据提取法”|结合物理、化学等学科场景，构建跨学科数学模型，强化应用意识与实践能力|

专题03 传统文化及跨学科应用 内容导航 第一部分 重难考向解读 拆解核心难点，明确备考要点 核心模块 重难考向 考法解读/考向预测 第二部分 重难要点剖析 精解核心要点，点拨解题技巧 要点梳理 典例验知 技巧点拨 类题夯基 考向01 传统文化 考向02 跨学科应用 第三部分 重难提分必刷 靶向突破难点，精练稳步进阶 重●难●考●向●解●读 2023、2024、2025年考法解读 2026年考法预测 近三年山东中考该专题覆盖选择、填空、解答全题型，设传统文化、跨学科应用两大考向。以中华古代算学典籍、非遗文化、传统器物，及理化、天文地理、信息技术等跨学科场景为命题载体，核心考查数与式、方程不等式、函数、几何性质、解直角三角形、统计概率等基础考点。命题聚焦素养立意，核心考查信息提取、数学建模、运算求解与逻辑推理能力。 2026 年该专题仍为必考内容，命题情境将更贴合山东本土文化与前沿科技热点，对数学建模与信息提取能力的要求持续提升。备考需：一是夯实初中数学全模块基础知识点，熟练掌握各类题型通性通法；二是强化审题专项训练，快速剥离情境干扰，精准提取核心数学关系；三是针对性精练山东本地三年真题，总结建模规律，同步提升转化能力与运算准确率。 重●难●要●点●剖●析 考向01 传统文化 题型1 数与式 先剥离传统文化背景，提取核心数学运算规则。立方根求解按 “定位数→定个位→定十位” 三步法执行；科学记数法先还原大数，严格按 1≤|a|＜10 确定 a 值，通过小数点移动位数定 n；数列类问题先定位等差 / 等比规律，直接套用求和公式。核心是剔除文化干扰，转化为纯数与式运算。 1．（2025·山东滨州·中考真题）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．华罗庚解释如下： ①由，，，可得，由此确定是两位数； ②59319的个位上的数是9，因为只有的个位上的数是9，所以的个位上的数是9； ③如果划去59319后面的三位数319得到59，而，，又，由此确定的十位上的数是3，从而得到59319的立方根是39． 已知373248是一个整数的立方，请你按照上述方法，确定373248的立方根是______． 【答案】72 【分析】本题考查的是求解一个数的立方根，根据华罗庚的方法，首先判断立方根的位数：由于，因此立方根是两位数；其次，根据个位数字8，确定立方根的个位数字是2；最后，划去后三位248得到373，通过比较，，确定十位数字是7，从而得到立方根为72． 【详解】解：∵ ，，且 ， ∴ ， ∴ 是两位数． ∵ 373248 的个位数字是 8，且只有 的个位数字是 8， ∴ 的个位数字是 2， 划去 373248 后三位数字 248，得到 373． ∵ ，，且 ， ∴ 的十位数字是 7． 因此，． 故答案为 ：72． 2．（2025·山东·中考真题）好客山东以其宽厚仁德的人文情怀、风景秀丽的河海山川吸引了来自世界各地的朋友，据统计，山东省2024年全年接待游客超9亿人次．数据“9亿”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将“9亿”写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：“9亿”． 故选C． 3．（2024·山东烟台·中考真题）《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织，问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同．第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，天完工，问一共织了多少布？ A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】C 【分析】本题考查了数字的变化规律，由题意可知每天减少的量一样，由数的规律求和即可，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】解：由题意得，第一天织布尺，第天织布尺， ∴一共织布（尺）， 故选：． 题型2 方程与不等式 先逐句拆解古文或应用场景的数量关系，区分已知量与未知量，精准设元。分式方程重点抓住 “总价 ÷ 单价 = 数量” 的核心等量关系，求解后必须验根；不等式组类问题，锁定 “不超过、不少于” 等关键词列不等式，结合正整数解确定方案数。核心是把文化场景转化为标准方程模型。 4．（2025·山东东营·中考真题）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是元，购进B款哪吒玩偶的金额是元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍． (1)A、B两款玩偶的单价分别是多少元？ (2)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过元，问：有多少种进货方案？ 【答案】(1)A款哪吒玩偶的单价是元，B款哪吒玩偶的单价是8元 (2)4种 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设B款哪吒玩偶的单价是x元，则A款哪吒玩偶的单价是元，利用数量总价单价，结合用元购进A款哪吒玩偶的数量比用元购进B款哪吒玩偶少个，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即B款哪吒玩偶的单价），再将其代入中，即可求出A款哪吒玩偶的单价； （2）设再次购进m个A款哪吒玩偶，则再次购进个B款哪吒玩偶，根据“购进B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出共有4种进货方案． 【详解】（1）解：设B款哪吒玩偶的单价是x元，则A款哪吒玩偶的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（元）． 答：A款哪吒玩偶的单价是元，B款哪吒玩偶的单价是8元； （2）解：设再次购进m个A款哪吒玩偶，则再次购进个B款哪吒玩偶， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为，，，， ∴共有4种进货方案． 答：该超市共有4种进货方案． 5．（2025·山东东营·中考真题）六年级全体数学教师参加“包粽子·迎端午”活动，若每人包6个，则比计划多包9个；若每人包4个，则比计划少包7个，求计划包多少个粽子．设计划包x个粽子，可列方程为______． 【答案】＝ 【分析】本题考查了列一元一次方程． 根据题意列方程即可． 【详解】解：根据题意列方程得，． 故答案为：． 6．（2025·山东滨州·中考真题）我国古代很早就开始研究一次方程组，在《九章算术》的“方程”章中，古人用算筹表示一次方程组．例如，算筹图1表示的方程组为，图中省略了未知数x和y，各行从左到右用算筹依次表示未知数x，y的系数与相应的常数项．请写出算筹图2所表示的方程组，并求出该方程组的解． 【答案】， 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，正确列出方程组是解题的关键，根据题干中给出的方程组，获取信息，列出图2所表示的方程组，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得方程组 ，得③ ，得． 把代入②，得 ， ． ∴这个方程组的解是 题型3 函数与三角函数 先剥离传统文化背景，提取函数与几何核心条件。坐标旋转类先确定原点与初始坐标，牢记旋转坐标变换规律；一次函数最值类先列函数解析式，结合不等式求自变量范围，利用函数增减性求最值；三角函数类先作高构造直角三角形，结合垂径定理、勾股定理，用三角函数定义求解边角。 7．（2023·山东枣庄·中考真题）银杏是著名的活化石植物，其叶有细长的叶柄，呈扇形．如图是一片银杏叶标本，叶片上两点B，C的坐标分别为，将银杏叶绕原点顺时针旋转后，叶柄上点A对应点的坐标为___________．    【答案】 【分析】根据点的坐标，确定坐标系的位置，再根据旋转的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵B，C的坐标分别为， ∴坐标系的位置如图所示：    ∴点的坐标为：， 连接，将绕点顺时针旋转后，如图，叶柄上点A对应点的坐标为； 故答案为： 【点睛】本题考查坐标与旋转．解题的关键是确定原点的位置，熟练掌握旋转的性质． 8．（2023·山东烟台·中考真题）中华优秀传统文化源远流长、是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书、许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本． (1)求两种图书的单价分别为多少元？ (2)为等备“3．14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售．求两种图书分别购买多少本时费用最少？ 【答案】(1)《周髀算经》单价为40元，则《孙子算经》单价是30元； (2)当购买《周髀算经》27本，《孙子算经》53本时，购买两类图书总费用最少，最少总费用为2136元． 【分析】（1）设《周髀算经》单价为x元，则《孙子算经》单价是元，根据“用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本”列分式方程，解之即可求解； （2）根据购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半列出不等式求出m的取值范围，根据m的取值范围结合函数解析式解答即可． 【详解】（1）解：设《周髀算经》单价为x元，则《孙子算经》单价是元， 依题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：《周髀算经》单价为40元，则《孙子算经》单价是30元； （2）解：设购买的《周髀算经》数量m本，则购买的《孙子算经》数量为本， 依题意得，， 解得， 设购买《周髀算经》和《孙子算经》的总费用为y（元）， 依题意得，， ∵， ∴y随m的增大而增大， ∴当时，有最小值，此时（元）， （本） 答：当购买《周髀算经》27本，《孙子算经》53本时，购买两类图书总费用最少，最少总费用为2136元． 【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用，一次函数的实际应用以及一元一次不等式的实际应用，根据题意表示出y与x之间的函数关系式以及列出不等式是解题的关键． 9．（2025·山东东营·中考真题）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积（弦矢＋矢），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2，则的值为______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查垂径定理、勾股定理、三角函数的定义等知识点．如图，作交于，交圆弧于，利用垂径定理和勾股定理构建方程组求出，，利用余弦函数定义即可解决问题． 【详解】解：如图，作交于，交圆弧于， 由题意：， 设，由， ∴， ∵，为半径， ∴， 在中， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴． 故答案为：． 题型4 平行 先从古秤、空竹、古井测量等生活场景中抽象出平行线模型，识别三线八角。遇拐角类问题，过拐点作已知直线的平行线，利用平行线内错角、同位角相等转化角度；相似三角形类，先由平行判定三角形相似，再利用对应边成比例列等式求解线段长度。 10．（2023·山东烟台·中考真题）一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知，则的度数为_____．      【答案】/度 【分析】根据两直线平行，内错角相等，即可求解． 【详解】解：如图所示，依题意，， ∴， ∵，， ∴ ∴．    故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 11．（2021·山东烟台·中考真题）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线与井口的直径交于点E，如果测得米，米，米，那么为____________米． 【答案】3 【分析】由已知可知CD与AB平行，所以可利用解决． 【详解】解：（米）， ∴AB∥DC． （米）． 故答案为：3 【点睛】本题考查了相似三角形的应用的知识点，熟知相似三角形的判定与性质是解题的基础；善于从实际问题中发现问题、解决问题是关键． 12．（2025·山东济南·一模）为增强学生体质，感受中国的传统文化，某学校将国家级非物质文化遗产——“抖空竹”引入阳光特色大课间．下面图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小聪把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质及三角形的外角性质，熟记“两直线平行，同位角相等”及三角形的外角性质是解题的关键． 作辅助线，延长交于点，直接利用平行线的性质得出，进而利用三角形的外角性质得出答案． 【详解】解：如图所示：延长交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 题型5 圆 先从黄金分割、玉璧、割圆术等文化背景中，提取圆的半径、圆心角、弦等核心要素。黄金分割类设单位长度，结合勾股定理表示各线段验证比例关系；阴影面积类先确定内外圆半径，用面积差法求解；割圆术类将正多边形拆分为等腰三角形，用三角函数求边长，累加面积反推圆周率。 13．（2025·山东潍坊·中考真题）黄金分割被广泛应用在建筑、艺术等领域，我国早在战国时期就已知道并能应用黄金分割．中国澳门发行的邮票小型张《科学与科技——黄金比例》（如图）就是用黄金分割比作为主题设计的．    【阅读观察】 材料：黄金分割点的定义 如图2，若线段上的点满足，则点称作线段的黄金分割点，其中的比值称作黄金分割比，而的比值为，与互为倒数．    材料：黄金分割点的作法（借助尺规作图可以用不同方法确定图中线段的黄金分割点） 方法：如图，过点作； 在直线上截取，连接； 在上截取； 在上截取，即为所求．    方法：如图， 以为边作正方形； 取中点，连接； 以点为圆心，为半径作圆弧，与的延长线交于点； 以为边在一侧作正方形，交于点，可得．点即为所求．    【思考探究】 （1）说明图中； （2）用不同于（）的方法，说明图中； 【迁移拓展】 如图5，作圆内接正五边形： 作的两条互相垂直的半径和，取的中点，连接； 作的平分线，交于点； 过点作的垂线，交于点，，连接，； 截取，，连接，，，五边形即为所求．    （3）若，根据以上作法，证明：． 【答案】（）见解析；（）见解析；（）见解析． 【分析】（）设，则，勾股定理得，然后通过线段和差求出，则，所以； （）延长交于点，根据勾股定理得，所以，则有，所以，所以，则，从而可得； （）过点作于点，证明，通过性质可得，设，则，解得，所以，连接，在中，，所以，Rt中，，所以，根据垂径定理，得，所以，又，所以，从而得证． 【详解】（）解：设，则， 在中，根据勾股定理得， 所以， 所以， 所以； （）解：延长交于点， 在中，根据勾股定理，得， 所以， 因为，， 所以，， 所以， 所以， 所以， 所以，即， 所以； （3）证明：因为半径，所以，， 过点作于点， 因为平分， 所以， 所以， 所以， 所以， 在中，， 设，则， 解得， 所以， 连接，在中，， 所以， 在Rt中，， 所以， 根据垂径定理，得， 所以， 因为， 所以， 所以． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，正方形的性质，圆内接正五边形，黄金分割点等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 14．（2025·山东·中考真题）在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的内切圆、外切圆、勾股定理等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 如图：连接相交于O，由正方形的内切圆的半径是2，，，再运用勾股定理可得，则，最后根据圆的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：连接相交于O， ∵正方形的内切圆的半径是2， ∴，， ∴，， ∴图中阴影部分的面积是． 故选D． 15．（2024·山东东营·中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416，如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为．若用圆内接正八边形近似估计的面积，可得的估计值为_________． 【答案】 【分析】本题考查了圆内接正多边形的性质，三角形的面积公式，勾股定理等，正确求出正八边形的面积是解题的关键．过点A作，求得，根据勾股定理可得，即可求解． 【详解】 如图，是正八边形的一条边，点O是正八边形的中心，过点A作， 在正八边形中， ∴ ∵，，解得： ∴ ∴正八边形为 ∴ ∴ ∴的估计值为 故答案为：． 题型6 图形的变换 轴对称图形判断，紧扣 “沿直线折叠后两部分完全重合” 的定义，剔除篆体、纹样的视觉干扰；中心对称图形，验证绕中心旋转 180° 后能否与原图重合；三视图类先明确几何体观察方向，区分三视图视角，剔除遮挡线条，还原投影轮廓，严格遵循三视图投影规则。 16．（2025·山东德州·中考真题）“九达天衢”写成篆体，四个篆体字中可以看作轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称图形的定义，正确理解轴对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后，两部分完全重合，那么这个图形就是轴对称图形，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A、“九”写成篆体后，整体形状不对称，找不到一条直线，使该字沿此直线对折后两部分完全重合，不是轴对称图形； 选项B、“达”写成篆体后，左右两侧形状不一致，找不到一条直线，使该字沿此直线对折后两部分完全重合，不是轴对称图形； 选项C、“天”写成篆体后，能找到一条直线，使该字沿中间竖直方向对折后两部分完全重合，是轴对称图形； 选项D、“衢”写成篆体后，左右结构不对称，找不到一条直线，使该字沿此直线对折后两部分完全重合，不是轴对称图形； 故选：C． 17．（2025·山东青岛·中考真题）如图①，榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式．图②的左视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三视图．根据左视图是从左面观察到的图形，进行判断即可． 【详解】 解：由题意得图②的左视图是． 故选：A． 18．（2025·山东青岛·中考真题）围棋是中华民族发明的博弈活动．下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，本选项不符合题意； B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，本选项不符合题意； C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，本选项不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，本选项符合题意； 故选：D． 题型7 统计与概率 概率类先明确总事件数与符合条件的事件数，不放回抽取用树状图 / 列表法枚举所有等可能结果，再套用概率公式计算；方差类先求数据平均数，再代入方差公式计算，根据 “方差越小数据越稳定” 的原则判断结果。核心是从文化背景中精准提取统计数据与试验规则。 19．（2025·山东青岛·中考真题）京剧以其独特的艺术魅力和深厚的文化底蕴闻名于世，京剧的角色有生、旦、净、丑等．现有4张不透明卡片，正面分别印有“生”、“旦”、“净”、“丑”四种角色的卡通人物，卡片除正面图案外其余都相同．将这4张卡片背面朝上洗匀，先随机抽取一张，再从剩下的3张中随机抽取一张．利用画树状图或列表的方法表示所有可能出现的结果，并求抽取到的两张卡片中有“生”的概率． 【答案】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中抽取到的两张卡片中有“生”的结果数有6种， ∴抽取到的两张卡片中有“生”的概率是． 20．（2025·山东青岛·中考真题）为弘扬传统文化，培养学生的劳动意识，某校在端午节期间举行了包粽子活动，每个粽子的标准质量为．甲、乙两名同学各包了个粽子，每个粽子的质量（单位：）如下： 甲：，，，，； 乙：，，，，． 甲、乙两名同学包的粽子的质量比较稳定的是________（填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【分析】本题考查了方差的意义，理解方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定是解题的关键． 分别求出甲乙的方差，根据方差的意义求解即可． 【详解】解：甲的平均数为：， ∴； 乙的平均数为：， ∴， ∵， ∴甲、乙两名同学包的粽子的质量比较稳定的是甲， 故答案为：甲． 21．（2025·山东东营·中考真题）2025年是乙巳蛇年，“巳巳如意”将蛇年与如意相结合，表达对新一年事事如意、顺遂美好的期盼．将分别印有“巳”、“巳”、“如”、“意”的四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张，则抽取到的卡片上印有汉字“巳”的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查概率的计算，根据成功事件数与总事件数的比值求解． 【详解】解：总共有4张卡片，其中印有“巳”的卡片有2张， 因此，抽取到“巳”的概率为成功事件数除以总事件数，即， 故选：D． 考向02 跨学科 题型1 与物理结合 先从滑雪、光学反射、光线照射等物理场景中，提取平行线、角度、多边形等几何要素。平行线拐角类，过拐点作平行线，利用平行线性质转化角度求夹角；光学反射类，结合 “反射光线平行” 的物理规律，用平行线性质、三角形外角定理求角度；正多边形光线类，先求正多边形内 / 外角度数，再推导角度关系。 1．（2025·山东东营·中考真题）2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定和性质． 过点C作，得到，推出，，即可求出． 【详解】解：过点C作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故选：D． 2．（2023·山东·中考真题）某些灯具的设计原理与抛物线有关．如图，从点照射到抛物线上的光线，等反射后都沿着与平行的方向射出．若，，则___________．    【答案】 【分析】可求，由，即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， ， 故答案：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握性质是解题的关键． 3．（2023·山东枣庄·中考真题）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，求出正六边形的一个内角和一个外角的度数，得到，平行线的性质，得到，三角形的外角的性质，得到，进而求出的度数． 【详解】解：如图：    ∵正六边形的一个外角的度数为：， ∴正六边形的一个内角的度数为：， 即：， ∵一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，， ∴， ∴， ∴； 故选B． 【点睛】本题考查正多边形的内角和、外角和的综合应用，平行线的性质．熟练掌握多边形的外角和是，是解题的关键． 题型2 与化学结合 先从化学实验装置、酸碱滴定、环保测量等场景中，提取直角三角形、概率等数学模型。解直角三角形类，先作高构造直角三角形，结合倾斜角、仰角 / 俯角，用三角函数定义拆分线段、求解长度；概率类，先明确酸性、中性、碱性溶液的数量，确定总事件数与符合条件的事件数，直接套用概率公式计算。 1．（2023·山东青岛·中考真题）太阳能路灯的使用，既方便了人们夜间出行，又有利于节能减排．某校组织学生进行综合实践活动——测量太阳能路灯电池板的宽度．如图，太阳能电池板宽为，点O是的中点，是灯杆．地面上三点D，E与C在一条直线上，，．该校学生在D处测得电池板边缘点B的仰角为，在E处测得电池板边缘点B的仰角为．此时点A、B与E在一条直线上．求太阳能电池板宽的长度．（结果精确到．参考数据：，，，） 【答案】 【分析】过点作于点，过点作于点，先证和均为等腰直角三角形，四边形为矩形，为等腰直角三角形，设，则，，，然后在中，利用得，由此解出，再利用勾股定理求出即可得的长． 【详解】解：过点作于点，过点作于点，如图，    依题意得：，，， 又 和均为等腰直角三角形， ，， ，， ， ，，， 四边形为矩形， ，，， ， 为等腰直角三角形， ， 设，则， ， ， 在中，， 即：， ， 解得：， 检验：是原方程的根． ， 在等腰中，由勾股定理得：， 点为的中点， ， 答：太阳能电池板宽的长度约为． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形，理解题意，正确的作出辅助线构造直角三角形的，灵活运用锐角三角函数及勾股定理进行计算是解答此题的关键． 2．（2025·山东临沂·二模）实验是培养学生的创新能力的重要途径之一，如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，试管倾斜角为．（参考数据：，，） (1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度（结果精确到）； (2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度（结果精确到）． 【答案】(1)酒精灯与铁架台的水平距离的长度约为； (2)线段的长度约为． 【分析】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提． （1）求出、的长，再根据直角三角形的边角关系进行计算即可； （2）通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系求出答案即可． 【详解】（1）解：如图，过点E作于点G， ∵，， ，， 在中，，， ， ， 答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度约为； （2）解：如图，过点B分别作，，垂足分别为H、P，则四边形是矩形， 在中，，， ，， ， ∵， ， ， ∵，，， ， ， 答：线段的长度约为． 3．（2025·山东滨州·二模）酚酞试液是化学实验室中一种常见的酸碱指示剂，广泛应用于混碱滴定过程中，通常情况下，酚酞遇酸性或中性溶液均不变色，遇碱性溶液变红色一次化学实验课上，老师让学生用酚酞溶液检测4瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这4瓶溶液分别是：A盐酸（呈酸性）、B硝酸钾溶液（呈中性）、C氢氧化钠溶液（呈碱性）、D氢氧化钙溶液（呈碱性）．小明将酚酞试液随机滴入其中1瓶溶液，结果变红的概率是_________． 【答案】 【分析】本题考查了概率公式，直接根据概率公式列式代数进行求解即可； 【详解】解：酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色， 小明将酚酞试液随机滴人其中1瓶溶液里，盐酸（呈酸性）和硝酸钾溶液（呈中性）不变色，氢氧化钠溶液（呈碱性）和氢氧化钙溶液（呈碱性）变红， 结果变红的概率：． 故答案为： 题型3 与其他学科结合 先从天文、地理、文学、信息技术等跨学科场景中，剥离学科背景，提取核心数学模型。科学记数法按规则定 a 与 n 的值；进制转换先按权值展开转十进制，再用除基取余法转目标进制；方程类逆向推导或顺向设元求解；线段公理类直接匹配 “两点之间线段最短” 等公理；解直角三角形类结合太阳高度角构造模型，用三角函数求解。 1．（2025·山东青岛·中考真题）2025年5月，我国在西昌卫星发射中心成功将行星探测工程天问二号探测器发射升空，天问二号探测器将对小行星2016HO3和主带彗星311P开启科学探测，其中一个目标所在轨道与太阳间距将达到亿公里．亿，将374000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：将374000000用科学记数法表示为． 故选：B． 2．（2025·山东威海·中考真题）2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数： ． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数： ． 将二进制数化为三进制数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，理解例题的计算方法，按照例题代入计算即可． 将二进制数转换为三进制数，需先将二进制数转换为十进制数，再将十进制数转换为三进制数． 【详解】∵二进制数的各位权值从右到左依次为， 对应数值为： ∴二进制数对应的十进制数为 11． 将十进制数 11 转换为三进制数，采用“除3取余法”： ，余数为2； ，余数为0； ，余数为1． 将余数倒序排列，得到三进制数为． 故选：A． 3．（2025·山东烟台·中考真题）2025年2月2日是第29个“世界湿地日”，主题是“保护湿地共筑未来”．国家林草局公布的最新数据显示，全国湿地面积稳定保持在56350000公顷以上．将数据56350000用科学记数法表示为________． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是科学记数法—表示较大的数，把一个大于的数写成科学记数法的形式时，将小数点放到左边第一个不为的数位后作为，把整数位数减作为，从而确定它的科学记数法形式，熟练掌握以上知识是解题的关键．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，即可得出答案． 【详解】解：； 故答案为：． 4．（2025·山东淄博·中考真题）李白是我国唐代著名诗人，“李白斗酒诗百篇”，“诗”与“酒”都与李白有着不解之缘．后人有《李白醉酒》的数学诗（见下图）来描述李白饮酒作诗的豪放情景（❶处的大意为：先遇店后见花，如此三次）．则诗中李白的壶中原来有酒（   ） A．1斗 B．斗 C．斗 D．斗 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设李白的壶中原来有酒斗，根据题意列方程解应用题即可． 【详解】解：设李白的壶中原来有酒斗， ， 解得：， 故答案为：B． 5．（2025·山东滨州·中考真题）【背景资料】 最小覆盖圆在几何学和计算机科学中有着广泛的应用．我们把能完全覆盖某平面图形的最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆．如线段的最小覆盖圆是以线段为直径的圆，锐角三角形的最小覆盖圆是这个三角形的外接圆，直角三角形的最小覆盖圆是以斜边为直径的圆，钝角三角形的最小覆盖圆是以最长边为直径的圆，正方形的最小覆盖圆是以对角线为直径的圆． 【动手操作】 如图1，中，，请作出的最小覆盖圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．） 【迁移运用】 正方形的边长为7，在边上截取，以为边向外作正方形． （1）如图2，连接，求的最小覆盖圆的直径； （2）将图2中的正方形绕点C逆时针旋转（如图3），经过A，D，F三点，且与边分别交于点I，L，求的最小覆盖圆的直径； （3）将正方形绕点C旋转，分别取的中点M，N，P，Q，顺次连接各中点，得到四边形（如图4）．在旋转过程中，四边形的最小覆盖圆的直径d的值是否发生变化？如果不变，请直接写出d的值；如果变化，请直接写出d的取值范围． 【答案】【动手操作】图见解析；【迁移运用】（1）；（2）；（3）变化， 【分析】动手操作：作的中垂线，再以中垂线与的交点为圆心，交点与点之间的距离为半径画圆即可； （1）延长交于点，求得为钝角，根据题意得到为的最小覆盖圆的直径，在中，利用勾股定理进行求解即可； （2）连接，根据题意，易得为锐角三角形，的外接圆为其最小覆盖圆，根据正方形的性质，得到，进而得到即为的外接圆的直径，进行求解即可； （3）连接，交于点，交于点，连接，根据三角形的中位线定理，证明四边形为平行四边形，证明，推出四边形为正方形，进而得到四边形的最小覆盖圆的直径为的长，根据正方形的性质得到，根据，求出的范围，即可得出结果． 【详解】解：动手操作：∵中，， ∴是钝角三角形， ∴的最小覆盖圆为以为直径的圆，作图如下： 迁移运用： （1）∵正方形的边长为7，正方形， ∴， ∴， ∴为钝角三角形， ∴为最小覆盖圆的直径， 延长交于点，则：， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴； （2）连接，作于点，延长交于点， 则：四边形为矩形， ∴，， ∴，， 在中，， ∴， ∵，即：， ∴， ∵过点，， ∴，为的直径， 又∵， ∴为锐角三角形， ∴即为的最小覆盖圆， ∵， ∴，即：， ∴， ∴，即的最小覆盖圆的直径为； （3）变化； 连接，交于点，交于点，连接， ∵分别取的中点M，N，P，Q，顺次连接各中点，得到四边形， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵正方形，正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形为菱形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴，四边形的最小覆盖圆的直径为， ∴随着的变化而变化， ∵，即， ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查三角形的外接圆，圆周角定理，解直角三角形，正方形的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，综合性强，难度大，属于中考压轴题，熟练掌握题干给出的信息，判断三角形和四边形的最小覆盖圆，是解题的关键． 6．（2025·山东滨州·中考真题）如图，秦岭钟南山公路隧道是我国自主设计、施工的我国最长的双洞单向高速公路隧道，一度被誉为“天下第一隧”．隧道线形为直线，建成后通行里程大大缩短．下面能解释路程缩短原因的是（   ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【分析】本题考查线段的性质，根据两点之间，线段最短，进行判断即可． 【详解】解：由题意，路程缩短的原因是两点之间，线段最短； 故选C． 7．（2025·山东东营·中考真题）五一假期，小良家准备购买一套新楼房，要求楼层是一楼，位置在第二排，冬天采光不受第一排的影响．以下是小良和爸爸看房后完成的调查报告，请你根据报告中的信息，解决两个问题． 调查目的 居民楼一楼采光是否受到影响 调查数据 ①五一正午测得楼房影子的长度为，楼间距为，太阳光线与水平线的夹角为． ②一楼窗户下端距离地面的高度为． ③该小区冬至正午的太阳光线与水平线的夹角为，第一排楼房的影子会落在第二排楼房的墙上． 建立模型 小良同学根据调查数据画出了数学图形．如图， ，，，， ，．    测量工具 卷尺 参考数据     ，，，． 问题解决 （1）根据调查数据，请你计算楼房AB的高度（精确到）； （2）计算在冬至正午第一排楼房影子落在第二排楼房墙上的高度DE，并判断会不会影响一楼的采光（精确到）．    【答案】（1）； （2），不会影响一楼的采光 【分析】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键． （1） 根据正切的定义求出； （2）延长交延长线于点F，先根据正切的定义和的长求出，进一步求出，再使用一次正切的定义求出，根据结果进行判断即可． 【详解】解：（1）根据题意，得， 在Rt中，，，， ∵， ∴， ∴楼房的高度为； （2）如图，延长交的延长线于点F， ∵， ∴ 在Rt中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在Rt中， ∵一楼窗户下端距离地面的高度为， ∴不会影响一楼的采光． 8．（2025·山东·中考真题）【问题情境】 2025年5月29日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样探测的新篇章．某校航天兴趣小组受到鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某个部件使用3D打印完成，如图1． 【问题提出】 部件主视图如图2所示，由于1的尺寸不易直接测量，需要设计一个可以得到的长度的方案，以检测该部件中的长度是否符合要求． 【方案设计】 兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法． 测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱（圆柱）． 操作步骤：如图3，将两个钢柱平行放在部件合适位置，使得钢柱与部件紧密贴合．示意图如图4，分别与，相切于点，．用游标卡尺测量出的长度． 【问题解决】 已知，的长度要求是． （1）求的度数； （2）已知钢柱的底面圆半径为，现测得．根据以上信息，通过计算说明该部件的长度是否符合要求．（参考数据：） 【结果反思】 （3）本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度，能将圆柱换成其他几何体吗？如果能，写出一个；如果不能，说明理由． 【答案】（1）；（2）该部件的长度符合要求；（3）见解析 【分析】本题考查了切线长定理，解直角三角形的应用． （1）根据切线长定理求解即可； （2）解直角三角形求得，推出，据此求解即可； （3）能，将圆柱换成正方体． 【详解】解：（1）∵分别与，相切于点，， ∴，； （2）∵钢柱的底面圆半径为， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理， ∴， ∵， ∴该部件的长度符合要求； （3）能，将圆柱换成正方体．如图， 设正方体的棱长为，用游标卡尺测量出的长度． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 重●难●提●分●必●刷 （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（23-24七年级上·安徽芜湖·月考）是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，解题关键是正确确定和的值． 【详解】解：． 2．（2025·江苏宿迁·一模）我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于．将用科学记数法可以表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解： 故选：C． 3．（2025·山东济宁·二模）我国古代数学专著《九章算术》中有一道关于分钱的问题：甲、乙二人有钱若干，若甲给乙10钱，则甲的钱是乙的2倍；若乙给甲5钱，则乙的钱是甲的．若设甲原有x钱，乙原有y钱，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，列出相应的方程组是关键．由甲给乙10钱，则甲的钱是乙的2倍，得；由乙给甲5钱，则乙的钱是甲的，得，据此列出相应的方程组即可． 【详解】解：根据题意可得， 故选：A． 4．（2025·山东聊城·一模）中国的电商市场蓬勃发展，成为世界上最大的电商市场之一，而电商行业的繁荣也推动了快递行业的高速发展，其实早在我国汉代开始就设有“驿传”制度，也可以理解为最早的“快递”雏形．九章算术中有一道关于古代驿站送信的题目．其自话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用，设规定时间为天，根据题意列出方程即可，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设规定时间为天， 由题意得，． 故选：． 5．（2024·陕西宝鸡·三模）如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图2，筒车与水面分别交于点，筒车上均匀分布着若干盛水筒，P表示筒车的一个盛水筒，是的直径，连接，点M在的延长线上，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，邻补角等知识．熟练掌握直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，邻补角是解题的关键．如图2，连接，则，，由，可得，根据，求解作答即可． 【详解】解：如图2，连接，    ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 6．（2025·山东德州·二模）司南是我国古代辨别方向用的一种仪器，早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖（如图1），司南中心为一圆形，圆心为点O，根据八个方位将圆形八等分（图2中的点），连结，并延长交于点P．则D点位于点P的南偏西的角度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查正多边形与圆，熟练掌握正多边形与圆是解题的关键；连接，由题意易得正八边形每段弧所对的圆心角为，，然后问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵八个方位将圆形八等分（图2中的点， ∴正八边形每段弧所对的圆心角为， ∴， ∴点位于点的南偏西的角度是； 故选：C． 7．（2025·山东聊城·三模）数学是我国古代科学中一门重要学科，其发展源远流长，成就辉煌．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选B． 8．（2025·山东滨州·二模）觯（zhi），是古代饮酒用的器皿.《礼记·礼器》中记载“尊者举觯，卑者举角.”说明了古代礼仪中使用不同的酒器，来表达身份的区别.史书记载中，爵为一等酒器，觯为二等酒器，觚（gu）为三等酒器，角为四等酒器，杯为五等酒器.下图为西周小臣单觯，则该“觯”的三视图中图形相同的是（  ） A．主视图与俯视图 B．左视图与主视图 C．俯视图与左视图 D．左视图、俯视图、主视图均相同 【答案】B 【分析】根据三视图的定义去判断即可． 本题考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图的定义是解题的关键． 【详解】解：该几何体的主视图和左视图相同，俯视图不同， 故选：B． 二、填空题 9．（2025·湖北黄冈·一模）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．张欢同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位（单位：）是时间（单位：）的一次函数，表中是张欢记录的部分数据，当为20时，对应的高度为___________． … 1 2 3 … … 2 2.3 2.6 … 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，根据表格信息，掌握待定系数法求解析式是关键． 一次函数解析式为，运用待定系数法求出解析式为，把代入计算即可求解． 【详解】解：研究中发现水位（单位：）是时间（单位：）的一次函数， ∴设一次函数解析式为， ∴， 解得，， ∴一次函数解析式为， ∴当时，， ∴当为时，对应的高度为， 故答案为： ． 10．（2025·山东菏泽·二模）我国古代数学家刘徽在《九章算术》“圆田术”注中给出了用“割圆术”计算圆周率（圆周率=圆的周长与该圆直径的比）的方法.“割圆术”就是以圆内接正多边形来无限逼近圆，刘徽描述为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.如图，他计算圆周率是从正六边形开始的，此时圆的半径为，其内接正六边形的周长为，可得圆周率为3.当正十二边形内接于圆时，按照上述的方法计算，可得圆周率为________.（结果精确到，参考数据：） 【答案】 【分析】连接、，根据正十二边形的性质得到，是等腰三角形，作于，根据等腰三角形三线合一的性质得出，．设圆的半径R，解直角，求出，进而得到正十二边形的周长，那么圆周率．本题考查了解直角三角形的应用，正多边形和圆，等腰三角形的性质，求出正十二边形的周长是解题的关键． 【详解】解：如图， 设半径为的圆内接正十二边形的周长为． 连接、， ∵十二边形是正十二边形， ∴． 作于，又， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴圆周率． 故答案为． 三、解答题 11．（2025·河南周口·一模）我国古代文房四宝（笔、墨、纸、砚）是文人墨客必备的文具．某文房阁直接从作坊购进毛笔、砚台两款文具进行销售，进货价和销售价如下表： 毛笔 砚台 进货价/（元/件） 30 40 销售价/（元/件） 45 60 (1)该文房阁第一次用1300元购进毛笔、砚台两款文具共40件，求两款文具分别购进的件数； (2)第一次购进的两款文具售完后，该文房阁计划最多用5600元再次购进毛笔、砚台两款文具共150件，该文房阁应如何设计进货方案，才能使第二次所购毛笔、砚台全部销售完后能获得最大销售利润？最大销售利润是多少元？ 【答案】(1)购进毛笔30件，购进砚台10件 (2)应该购进毛笔40件，购进砚台110件，才能获得最大利润，最大利润为2800元 【分析】本题考查了一元一次方程，不等式的应用，一次函数的应用，熟练利用题意得到不等关系或等量关系是解题的关键． （1）设购进毛笔件，则购进砚台件，根据进货价为1300元列方程即可解答； （2）设第二次购进毛笔件，则购进砚台件，获得的利润为元，表示出第二次所购毛笔、砚台全部销售完后能获得销售利润，再利用最多用5600元再次购进毛笔、砚台列不等式求得自变量的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：设购进毛笔件，则购进砚台件， 根据题意可得， 解得， 件， 答：购进毛笔30件，购进砚台10件； （2）解：设第二次购进毛笔件，则购进砚台件，获得的利润为元， 根据题意可得， 最多用5600元再次购进毛笔、砚台两款文具共150件， ， 解得， 的最小值为40， ， 随的增大而减小， 则取最小值40时，最大利润为元， 件， 答：应该购进毛笔40件，购进砚台110件，才能获得最大利润，最大利润为2800元． 12．（2024·河南驻马店·一模）围棋起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，围棋距今已有四千多年的历史. 中国象棋也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂.国家“双减”政策实施后，某校为参加社团的同学去商场购买中国象棋和围棋. 其中购买40副象棋和20副围棋共花费2600元，已知购买1副象棋比1副围棋少花10元. (1)求每副象棋和围棋的单价； (2)随着社团活动的开展和同学们对棋类运动的热爱，学校决定再次购买40副围棋和副中国象棋，在购买时，恰逢商场推出了优惠活动，活动的方案如下： 方案一：购买围棋超过20副时，超过部分每购买1副围棋赠送1副中国象棋； 方案二：按购买总金额的八折付款． 分别求出按照方案一、二购买的总费用、关于m的函数关系式； (3)若选择方案二购买更合算，求m的取值范围． 【答案】(1)每副象棋的价格是40元，每副围棋的价格是50元 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了二元一次方程、一元一次不等式和列函数解析式，解题关键是准确把握题目中的数量关系，正确列出方程或不等式． （1）设每副象棋的价格是元，每副围棋的价格是元，列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据题目给出的优惠方案，列出关系式即可； （3）根据题意列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设每副象棋的价格是元，每副围棋的价格是元， 根据题意得：， 解得：． 答：每副象棋的价格是40元，每副围棋的价格是50元； （2）解：根据购买围棋超过20副时，超过部分每购买1副围棋赠送1副中国象棋， 可得； 根据按购买总金额的八折付款， 可得． （3）解：根据题意得， ， 解得，， 所以，m的取值范围． 13．（2025·山东潍坊·二模）桑梯是我国古代劳动人民发明的一种采桑工具．图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知，米，为固定张角大小的绳索，设，为保证安全，的调整范围是． (1)当时，测得米，求的长； (2)在安全使用范围下，求桑梯顶端到地面的距离范围．（结果精确到0.1米） （参考数据：，，，，，，，） 【答案】(1)米 (2)大于等于米且小于等于米． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，等腰三角形的性质等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过A作于E，由等边对等角和三角形内角和定理可得，由三线合一定理得到，再解直角三角形求出的长即可得到答案； （2）过点D作，垂足为F，分别求出和时，的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，过A作于E，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∵（米）， ∴（米） ∴的长为米； （2）解：过点D作，垂足为F， 当时， ∵， ∴， 由（2）知（米）， 在中，（米） 当时， ∵， ∴， 在中，（米）． ∴在安全使用范围下，桑梯顶端D到地面的距离范围为大于等于米且小于等于米． 14．（2025·山东济南·一模）根据以下材料，完成项目任务： 项目 测量光线入射点的距离及水池的深度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量 光从空气斜射入水中，入射光线射到水池的水面点后折射光线射到池底点处，入射角，折射角；入射光线射到水池的水面点后折射光线射到池底点处，入射角，折射角．为法线．入射光线和折射光线，及法线都在同一平面内，点到直线的距离为3米． 参考数据 ，，，，，， 项目任务 任务一 （1）求的长；（结果保留根号） 任务二 （2）若米，求水池的深（精确到0.01米）． 【答案】任务一：的长为米；任务二：水池的深约为2.44米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 任务一：根据题意和锐角三角函数，可以求得和的值，然后即可计算出的值； 任务二：根据任务一中的结果和锐角三角函数，可以求得水池的深． 【详解】解：任务一：作，交的延长线于点F，则， ∴，， ∵，， ∴，， ∵米， ∴（米），（米）， ∴（米）， 即的长为米； 任务二：设水池的深为x米，则米， 由题意可知：，，米， ∴（米），（米）， ∵， ∴， 解得， 即水池的深约为2.44米． 15．（2024·河南信阳·三模）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大意是：影像倒立，在光线交会处有一小孔；关于影像的大小，在于小孔相对物像的位置．图2是图1中小孔成像实验的示意图，在图2中，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：）的反比例函数，图象如图3所示，且当时，． (1)求y关于x的函数表达式； (2)若小孔到蜡烛的距离x为，求火焰的像高y； (3)根据反比例函数的图象分析，若火焰的像高y不超过时，求小孔到蜡烛的距离x至少是多少厘米？ 【答案】(1) (2)火焰的像高为 (3)若火焰的像高y不超过时，小孔到蜡烛的距离x至少是 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握用待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． （1）根据题意可设，然后用待定系数法即可解答； （2）把代入中，进行计算即可解答； （3）利用（2）的结论进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：设，把，代入中， 解得． y关于x的函数表达式为． （2）把代入中，解得． 火焰的像高为． （3）由（2）可得，当时，． 由的图象可得，当时，y随x的增大而减小， 若火焰的像高y不超过时，小孔到蜡烛的距离x至少是． 19 / 50 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 传统文化及跨学科应用 内容导航 第一部分 重难考向解读 拆解核心难点，明确备考要点 核心模块 重难考向 考法解读/考向预测 第二部分 重难要点剖析 精解核心要点，点拨解题技巧 要点梳理 典例验知 技巧点拨 类题夯基 考向01 传统文化 考向02 跨学科应用 第三部分 重难提分必刷 靶向突破难点，精练稳步进阶 重●难●考●向●解●读 2023、2024、2025年考法解读 2026年考法预测 近三年山东中考该专题覆盖选择、填空、解答全题型，设传统文化、跨学科应用两大考向。以中华古代算学典籍、非遗文化、传统器物，及理化、天文地理、信息技术等跨学科场景为命题载体，核心考查数与式、方程不等式、函数、几何性质、解直角三角形、统计概率等基础考点。命题聚焦素养立意，核心考查信息提取、数学建模、运算求解与逻辑推理能力。 2026 年该专题仍为必考内容，命题情境将更贴合山东本土文化与前沿科技热点，对数学建模与信息提取能力的要求持续提升。备考需：一是夯实初中数学全模块基础知识点，熟练掌握各类题型通性通法；二是强化审题专项训练，快速剥离情境干扰，精准提取核心数学关系；三是针对性精练山东本地三年真题，总结建模规律，同步提升转化能力与运算准确率。 重●难●要●点●剖●析 考向01 传统文化 题型1 数与式 先剥离传统文化背景，提取核心数学运算规则。立方根求解按 “定位数→定个位→定十位” 三步法执行；科学记数法先还原大数，严格按 1≤|a|＜10 确定 a 值，通过小数点移动位数定 n；数列类问题先定位等差 / 等比规律，直接套用求和公式。核心是剔除文化干扰，转化为纯数与式运算。 1．（2025·山东滨州·中考真题）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．华罗庚解释如下： ①由，，，可得，由此确定是两位数； ②59319的个位上的数是9，因为只有的个位上的数是9，所以的个位上的数是9； ③如果划去59319后面的三位数319得到59，而，，又，由此确定的十位上的数是3，从而得到59319的立方根是39． 已知373248是一个整数的立方，请你按照上述方法，确定373248的立方根是______． 2．（2025·山东·中考真题）好客山东以其宽厚仁德的人文情怀、风景秀丽的河海山川吸引了来自世界各地的朋友，据统计，山东省2024年全年接待游客超9亿人次．数据“9亿”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·山东烟台·中考真题）《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织，问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同．第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，天完工，问一共织了多少布？ A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 题型2 方程与不等式 先逐句拆解古文或应用场景的数量关系，区分已知量与未知量，精准设元。分式方程重点抓住 “总价 ÷ 单价 = 数量” 的核心等量关系，求解后必须验根；不等式组类问题，锁定 “不超过、不少于” 等关键词列不等式，结合正整数解确定方案数。核心是把文化场景转化为标准方程模型。 4．（2025·山东东营·中考真题）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是元，购进B款哪吒玩偶的金额是元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍． (1)A、B两款玩偶的单价分别是多少元？ (2)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过元，问：有多少种进货方案？ 5．（2025·山东东营·中考真题）六年级全体数学教师参加“包粽子·迎端午”活动，若每人包6个，则比计划多包9个；若每人包4个，则比计划少包7个，求计划包多少个粽子．设计划包x个粽子，可列方程为______． 6．（2025·山东滨州·中考真题）我国古代很早就开始研究一次方程组，在《九章算术》的“方程”章中，古人用算筹表示一次方程组．例如，算筹图1表示的方程组为，图中省略了未知数x和y，各行从左到右用算筹依次表示未知数x，y的系数与相应的常数项．请写出算筹图2所表示的方程组，并求出该方程组的解． 题型3 函数与三角函数 先剥离传统文化背景，提取函数与几何核心条件。坐标旋转类先确定原点与初始坐标，牢记旋转坐标变换规律；一次函数最值类先列函数解析式，结合不等式求自变量范围，利用函数增减性求最值；三角函数类先作高构造直角三角形，结合垂径定理、勾股定理，用三角函数定义求解边角。 7．（2023·山东枣庄·中考真题）银杏是著名的活化石植物，其叶有细长的叶柄，呈扇形．如图是一片银杏叶标本，叶片上两点B，C的坐标分别为，将银杏叶绕原点顺时针旋转后，叶柄上点A对应点的坐标为___________．    8．（2023·山东烟台·中考真题）中华优秀传统文化源远流长、是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书、许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本． (1)求两种图书的单价分别为多少元？ (2)为等备“3．14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售．求两种图书分别购买多少本时费用最少？ 9．（2025·山东东营·中考真题）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积（弦矢＋矢），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2，则的值为______． 题型4 平行 先从古秤、空竹、古井测量等生活场景中抽象出平行线模型，识别三线八角。遇拐角类问题，过拐点作已知直线的平行线，利用平行线内错角、同位角相等转化角度；相似三角形类，先由平行判定三角形相似，再利用对应边成比例列等式求解线段长度。 10．（2023·山东烟台·中考真题）一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知，则的度数为_____．      11．（2021·山东烟台·中考真题）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线与井口的直径交于点E，如果测得米，米，米，那么为____________米． 12．（2025·山东济南·一模）为增强学生体质，感受中国的传统文化，某学校将国家级非物质文化遗产——“抖空竹”引入阳光特色大课间．下面图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小聪把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 题型5 圆 先从黄金分割、玉璧、割圆术等文化背景中，提取圆的半径、圆心角、弦等核心要素。黄金分割类设单位长度，结合勾股定理表示各线段验证比例关系；阴影面积类先确定内外圆半径，用面积差法求解；割圆术类将正多边形拆分为等腰三角形，用三角函数求边长，累加面积反推圆周率。 13．（2025·山东潍坊·中考真题）黄金分割被广泛应用在建筑、艺术等领域，我国早在战国时期就已知道并能应用黄金分割．中国澳门发行的邮票小型张《科学与科技——黄金比例》（如图）就是用黄金分割比作为主题设计的．    【阅读观察】 材料：黄金分割点的定义 如图2，若线段上的点满足，则点称作线段的黄金分割点，其中的比值称作黄金分割比，而的比值为，与互为倒数．    材料：黄金分割点的作法（借助尺规作图可以用不同方法确定图中线段的黄金分割点） 方法：如图，过点作； 在直线上截取，连接； 在上截取； 在上截取，即为所求．    方法：如图， 以为边作正方形； 取中点，连接； 以点为圆心，为半径作圆弧，与的延长线交于点； 以为边在一侧作正方形，交于点，可得．点即为所求．    【思考探究】 （1）说明图中； （2）用不同于（）的方法，说明图中； 【迁移拓展】 如图5，作圆内接正五边形： 作的两条互相垂直的半径和，取的中点，连接； 作的平分线，交于点； 过点作的垂线，交于点，，连接，； 截取，，连接，，，五边形即为所求．    （3）若，根据以上作法，证明：． 14．（2025·山东·中考真题）在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 15．（2024·山东东营·中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416，如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为．若用圆内接正八边形近似估计的面积，可得的估计值为_________． 题型6 图形的变换 轴对称图形判断，紧扣 “沿直线折叠后两部分完全重合” 的定义，剔除篆体、纹样的视觉干扰；中心对称图形，验证绕中心旋转 180° 后能否与原图重合；三视图类先明确几何体观察方向，区分三视图视角，剔除遮挡线条，还原投影轮廓，严格遵循三视图投影规则。 16．（2025·山东德州·中考真题）“九达天衢”写成篆体，四个篆体字中可以看作轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 17．（2025·山东青岛·中考真题）如图①，榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式．图②的左视图是（   ） A． B． C． D． 18．（2025·山东青岛·中考真题）围棋是中华民族发明的博弈活动．下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 题型7 统计与概率 概率类先明确总事件数与符合条件的事件数，不放回抽取用树状图 / 列表法枚举所有等可能结果，再套用概率公式计算；方差类先求数据平均数，再代入方差公式计算，根据 “方差越小数据越稳定” 的原则判断结果。核心是从文化背景中精准提取统计数据与试验规则。 19．（2025·山东青岛·中考真题）京剧以其独特的艺术魅力和深厚的文化底蕴闻名于世，京剧的角色有生、旦、净、丑等．现有4张不透明卡片，正面分别印有“生”、“旦”、“净”、“丑”四种角色的卡通人物，卡片除正面图案外其余都相同．将这4张卡片背面朝上洗匀，先随机抽取一张，再从剩下的3张中随机抽取一张．利用画树状图或列表的方法表示所有可能出现的结果，并求抽取到的两张卡片中有“生”的概率． 20．（2025·山东青岛·中考真题）为弘扬传统文化，培养学生的劳动意识，某校在端午节期间举行了包粽子活动，每个粽子的标准质量为．甲、乙两名同学各包了个粽子，每个粽子的质量（单位：）如下： 甲：，，，，； 乙：，，，，． 甲、乙两名同学包的粽子的质量比较稳定的是________（填“甲”或“乙”）． 21．（2025·山东东营·中考真题）2025年是乙巳蛇年，“巳巳如意”将蛇年与如意相结合，表达对新一年事事如意、顺遂美好的期盼．将分别印有“巳”、“巳”、“如”、“意”的四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张，则抽取到的卡片上印有汉字“巳”的概率为（   ） A． B． C． D． 考向02 跨学科 题型1 与物理结合 先从滑雪、光学反射、光线照射等物理场景中，提取平行线、角度、多边形等几何要素。平行线拐角类，过拐点作平行线，利用平行线性质转化角度求夹角；光学反射类，结合 “反射光线平行” 的物理规律，用平行线性质、三角形外角定理求角度；正多边形光线类，先求正多边形内 / 外角度数，再推导角度关系。 1．（2025·山东东营·中考真题）2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·山东·中考真题）某些灯具的设计原理与抛物线有关．如图，从点照射到抛物线上的光线，等反射后都沿着与平行的方向射出．若，，则___________．    3．（2023·山东枣庄·中考真题）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 题型2 与化学结合 先从化学实验装置、酸碱滴定、环保测量等场景中，提取直角三角形、概率等数学模型。解直角三角形类，先作高构造直角三角形，结合倾斜角、仰角 / 俯角，用三角函数定义拆分线段、求解长度；概率类，先明确酸性、中性、碱性溶液的数量，确定总事件数与符合条件的事件数，直接套用概率公式计算。 1．（2023·山东青岛·中考真题）太阳能路灯的使用，既方便了人们夜间出行，又有利于节能减排．某校组织学生进行综合实践活动——测量太阳能路灯电池板的宽度．如图，太阳能电池板宽为，点O是的中点，是灯杆．地面上三点D，E与C在一条直线上，，．该校学生在D处测得电池板边缘点B的仰角为，在E处测得电池板边缘点B的仰角为．此时点A、B与E在一条直线上．求太阳能电池板宽的长度．（结果精确到．参考数据：，，，） 2．（2025·山东临沂·二模）实验是培养学生的创新能力的重要途径之一，如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，试管倾斜角为．（参考数据：，，） (1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度（结果精确到）； (2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度（结果精确到）． 3．（2025·山东滨州·二模）酚酞试液是化学实验室中一种常见的酸碱指示剂，广泛应用于混碱滴定过程中，通常情况下，酚酞遇酸性或中性溶液均不变色，遇碱性溶液变红色一次化学实验课上，老师让学生用酚酞溶液检测4瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这4瓶溶液分别是：A盐酸（呈酸性）、B硝酸钾溶液（呈中性）、C氢氧化钠溶液（呈碱性）、D氢氧化钙溶液（呈碱性）．小明将酚酞试液随机滴入其中1瓶溶液，结果变红的概率是_________． 题型3 与其他学科结合 先从天文、地理、文学、信息技术等跨学科场景中，剥离学科背景，提取核心数学模型。科学记数法按规则定 a 与 n 的值；进制转换先按权值展开转十进制，再用除基取余法转目标进制；方程类逆向推导或顺向设元求解；线段公理类直接匹配 “两点之间线段最短” 等公理；解直角三角形类结合太阳高度角构造模型，用三角函数求解。 1．（2025·山东青岛·中考真题）2025年5月，我国在西昌卫星发射中心成功将行星探测工程天问二号探测器发射升空，天问二号探测器将对小行星2016HO3和主带彗星311P开启科学探测，其中一个目标所在轨道与太阳间距将达到亿公里．亿，将374000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东威海·中考真题）2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数： ． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数： ． 将二进制数化为三进制数为（　　） A． B． C． D． 3．（2025·山东烟台·中考真题）2025年2月2日是第29个“世界湿地日”，主题是“保护湿地共筑未来”．国家林草局公布的最新数据显示，全国湿地面积稳定保持在56350000公顷以上．将数据56350000用科学记数法表示为________． 4．（2025·山东淄博·中考真题）李白是我国唐代著名诗人，“李白斗酒诗百篇”，“诗”与“酒”都与李白有着不解之缘．后人有《李白醉酒》的数学诗（见下图）来描述李白饮酒作诗的豪放情景（❶处的大意为：先遇店后见花，如此三次）．则诗中李白的壶中原来有酒（   ） A．1斗 B．斗 C．斗 D．斗 5．（2025·山东滨州·中考真题）【背景资料】 最小覆盖圆在几何学和计算机科学中有着广泛的应用．我们把能完全覆盖某平面图形的最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆．如线段的最小覆盖圆是以线段为直径的圆，锐角三角形的最小覆盖圆是这个三角形的外接圆，直角三角形的最小覆盖圆是以斜边为直径的圆，钝角三角形的最小覆盖圆是以最长边为直径的圆，正方形的最小覆盖圆是以对角线为直径的圆． 【动手操作】 如图1，中，，请作出的最小覆盖圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．） 【迁移运用】 正方形的边长为7，在边上截取，以为边向外作正方形． （1）如图2，连接，求的最小覆盖圆的直径； （2）将图2中的正方形绕点C逆时针旋转（如图3），经过A，D，F三点，且与边分别交于点I，L，求的最小覆盖圆的直径； （3）将正方形绕点C旋转，分别取的中点M，N，P，Q，顺次连接各中点，得到四边形（如图4）．在旋转过程中，四边形的最小覆盖圆的直径d的值是否发生变化？如果不变，请直接写出d的值；如果变化，请直接写出d的取值范围． 6．（2025·山东滨州·中考真题）如图，秦岭钟南山公路隧道是我国自主设计、施工的我国最长的双洞单向高速公路隧道，一度被誉为“天下第一隧”．隧道线形为直线，建成后通行里程大大缩短．下面能解释路程缩短原因的是（   ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 7．（2025·山东东营·中考真题）五一假期，小良家准备购买一套新楼房，要求楼层是一楼，位置在第二排，冬天采光不受第一排的影响．以下是小良和爸爸看房后完成的调查报告，请你根据报告中的信息，解决两个问题． 调查目的 居民楼一楼采光是否受到影响 调查数据 ①五一正午测得楼房影子的长度为，楼间距为，太阳光线与水平线的夹角为． ②一楼窗户下端距离地面的高度为． ③该小区冬至正午的太阳光线与水平线的夹角为，第一排楼房的影子会落在第二排楼房的墙上． 建立模型 小良同学根据调查数据画出了数学图形．如图， ，，，， ，．    测量工具 卷尺 参考数据     ，，，． 问题解决 （1）根据调查数据，请你计算楼房AB的高度（精确到）； （2）计算在冬至正午第一排楼房影子落在第二排楼房墙上的高度DE，并判断会不会影响一楼的采光（精确到）．    8．（2025·山东·中考真题）【问题情境】 2025年5月29日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样探测的新篇章．某校航天兴趣小组受到鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某个部件使用3D打印完成，如图1． 【问题提出】 部件主视图如图2所示，由于1的尺寸不易直接测量，需要设计一个可以得到的长度的方案，以检测该部件中的长度是否符合要求． 【方案设计】 兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法． 测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱（圆柱）． 操作步骤：如图3，将两个钢柱平行放在部件合适位置，使得钢柱与部件紧密贴合．示意图如图4，分别与，相切于点，．用游标卡尺测量出的长度． 【问题解决】 已知，的长度要求是． （1）求的度数； （2）已知钢柱的底面圆半径为，现测得．根据以上信息，通过计算说明该部件的长度是否符合要求．（参考数据：） 【结果反思】 （3）本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度，能将圆柱换成其他几何体吗？如果能，写出一个；如果不能，说明理由． 重●难●提●分●必●刷 （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（23-24七年级上·安徽芜湖·月考）是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏宿迁·一模）我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于．将用科学记数法可以表示为（　　） A． B． C． D． 3．（2025·山东济宁·二模）我国古代数学专著《九章算术》中有一道关于分钱的问题：甲、乙二人有钱若干，若甲给乙10钱，则甲的钱是乙的2倍；若乙给甲5钱，则乙的钱是甲的．若设甲原有x钱，乙原有y钱，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·山东聊城·一模）中国的电商市场蓬勃发展，成为世界上最大的电商市场之一，而电商行业的繁荣也推动了快递行业的高速发展，其实早在我国汉代开始就设有“驿传”制度，也可以理解为最早的“快递”雏形．九章算术中有一道关于古代驿站送信的题目．其自话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（ ） A． B． C． D． 5．（2024·陕西宝鸡·三模）如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图2，筒车与水面分别交于点，筒车上均匀分布着若干盛水筒，P表示筒车的一个盛水筒，是的直径，连接，点M在的延长线上，若，则（   ） A． B． C． D． 6．（2025·山东德州·二模）司南是我国古代辨别方向用的一种仪器，早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖（如图1），司南中心为一圆形，圆心为点O，根据八个方位将圆形八等分（图2中的点），连结，并延长交于点P．则D点位于点P的南偏西的角度是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·山东聊城·三模）数学是我国古代科学中一门重要学科，其发展源远流长，成就辉煌．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·山东滨州·二模）觯（zhi），是古代饮酒用的器皿.《礼记·礼器》中记载“尊者举觯，卑者举角.”说明了古代礼仪中使用不同的酒器，来表达身份的区别.史书记载中，爵为一等酒器，觯为二等酒器，觚（gu）为三等酒器，角为四等酒器，杯为五等酒器.下图为西周小臣单觯，则该“觯”的三视图中图形相同的是（  ） A．主视图与俯视图 B．左视图与主视图 C．俯视图与左视图 D．左视图、俯视图、主视图均相同 二、填空题 9．（2025·湖北黄冈·一模）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．张欢同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位（单位：）是时间（单位：）的一次函数，表中是张欢记录的部分数据，当为20时，对应的高度为___________． … 1 2 3 … … 2 2.3 2.6 … 10．（2025·山东菏泽·二模）我国古代数学家刘徽在《九章算术》“圆田术”注中给出了用“割圆术”计算圆周率（圆周率=圆的周长与该圆直径的比）的方法.“割圆术”就是以圆内接正多边形来无限逼近圆，刘徽描述为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.如图，他计算圆周率是从正六边形开始的，此时圆的半径为，其内接正六边形的周长为，可得圆周率为3.当正十二边形内接于圆时，按照上述的方法计算，可得圆周率为________.（结果精确到，参考数据：） 三、解答题 11．（2025·河南周口·一模）我国古代文房四宝（笔、墨、纸、砚）是文人墨客必备的文具．某文房阁直接从作坊购进毛笔、砚台两款文具进行销售，进货价和销售价如下表： 毛笔 砚台 进货价/（元/件） 30 40 销售价/（元/件） 45 60 (1)该文房阁第一次用1300元购进毛笔、砚台两款文具共40件，求两款文具分别购进的件数； (2)第一次购进的两款文具售完后，该文房阁计划最多用5600元再次购进毛笔、砚台两款文具共150件，该文房阁应如何设计进货方案，才能使第二次所购毛笔、砚台全部销售完后能获得最大销售利润？最大销售利润是多少元？ 12．（2024·河南驻马店·一模）围棋起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，围棋距今已有四千多年的历史. 中国象棋也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂.国家“双减”政策实施后，某校为参加社团的同学去商场购买中国象棋和围棋. 其中购买40副象棋和20副围棋共花费2600元，已知购买1副象棋比1副围棋少花10元. (1)求每副象棋和围棋的单价； (2)随着社团活动的开展和同学们对棋类运动的热爱，学校决定再次购买40副围棋和副中国象棋，在购买时，恰逢商场推出了优惠活动，活动的方案如下： 方案一：购买围棋超过20副时，超过部分每购买1副围棋赠送1副中国象棋； 方案二：按购买总金额的八折付款． 分别求出按照方案一、二购买的总费用、关于m的函数关系式； (3)若选择方案二购买更合算，求m的取值范围． 13．（2025·山东潍坊·二模）桑梯是我国古代劳动人民发明的一种采桑工具．图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知，米，为固定张角大小的绳索，设，为保证安全，的调整范围是． (1)当时，测得米，求的长； (2)在安全使用范围下，求桑梯顶端到地面的距离范围．（结果精确到0.1米） （参考数据：，，，，，，，） 14．（2025·山东济南·一模）根据以下材料，完成项目任务： 项目 测量光线入射点的距离及水池的深度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量 光从空气斜射入水中，入射光线射到水池的水面点后折射光线射到池底点处，入射角，折射角；入射光线射到水池的水面点后折射光线射到池底点处，入射角，折射角．为法线．入射光线和折射光线，及法线都在同一平面内，点到直线的距离为3米． 参考数据 ，，，，，， 项目任务 任务一 （1）求的长；（结果保留根号） 任务二 （2）若米，求水池的深（精确到0.01米）． 15．（2024·河南信阳·三模）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大意是：影像倒立，在光线交会处有一小孔；关于影像的大小，在于小孔相对物像的位置．图2是图1中小孔成像实验的示意图，在图2中，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：）的反比例函数，图象如图3所示，且当时，． (1)求y关于x的函数表达式； (2)若小孔到蜡烛的距离x为，求火焰的像高y； (3)根据反比例函数的图象分析，若火焰的像高y不超过时，求小孔到蜡烛的距离x至少是多少厘米？ 15 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $