专题03 函数（9大题型）（山东专用）-【好题汇编】2025年中考数学真题分类汇编

专题03 函数 考点概览 考点01 从函数的图象获取信息 考点02函数图象与坐标轴的交点问题 考点03根据一次函数增减求参数 考点04一次函数的实际应用 考点05二次函数的图象与性质 考点06实际问题与二次函数 考点07二次函数综合 考点08反比例函数与一次函数的交点问题 考点09反比例函数与几何综合 考点01 从函数的图象获取信息 1．（2025·山东济南·中考真题）A，B两地相距，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A地的距离与骑车时间的关系如图所示，则他们相遇时距离A地 ． 2．（2025·山东·中考真题）在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（）内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（   ）    A．当时，随的增大而减小 B．当时，有最大值 C．当时， D．当时， 考点02函数图象与坐标轴的交点问题 1．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，一次函数经过点，与轴交于点，与正比例函数交于点，则下列结论正确的是（    ） A． B．为的中点 C．方程的解是 D．当时， 2．（2025·山东·中考真题）取直线上一点，①过点作轴的垂线，交于点；②过点作轴的垂线，交于点；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点的坐标为，则点的坐标是 ． 考点03根据一次函数增减求参数 1．（2025·山东东营·中考真题）一次函数的函数值随的增大而减小，当时的值可以是（   ） A．3 B．2 C．1 D． 2．（2025·山东东营·中考真题）一次函数的函数值y随x的增大而减小，当时，y的值可以是（    ）． A．3 B．2 C．1 D． 考点04一次函数的实际应用 1．（2025·山东·中考真题）山东省在能源绿色低碳转型过程中，探索出一条“以储调绿”的能源转型路径．某地结合实际情况，建立了一座圆柱形蓄水池，通过蓄水发电实现低峰蓄能、高峰释能，助力能源转型． 已知本次注水前蓄水池的水位高度为5米，注水时水位高度每小时上升6米． (1)请写出本次注水过程中，蓄水池的水位高度y（米）与注水时间x（小时）之间的关系式； (2)已知蓄水池的底面积为万平方米，每立方米的水可供发电千瓦时，求注水多长时间可供发电万千瓦时？ 2．（2025·山东烟台·中考真题）2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元． (1)求甲、乙两种路灯的单价； (2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少． 考点05二次函数的图象与性质 1．（2025·山东威海·中考真题）已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·山东济南·中考真题）已知二次函数(a，b，c为常数，)图像的顶点坐标是，且经过，两点，．有下列结论： ①关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根； ②当时，y的值随x值的增大而减小；③； ④；⑤对于任意实数t，总有． 以上结论正确的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 3．（2025·山东潍坊·中考真题）已知二次函数，自变量与函数值的部分对应值如下表． … 0 1 2 … … c 2 2 … 下列说法正确的是（    ） A．若，则函数图象的开口向上 B．关于的方程的两个根是和4 C．点在一次函数的图象上 D．代数式的最大值为 4．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点． (1)若点为该二次函数的顶点， 求二次函数的表达式； 求线段长度的最大值； (2)若该二次函数与轴的一个交点为，且，求的取值范围． 5．（2025·山东青岛·中考真题）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（   ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 6．（2025·山东·中考真题）已知二次函数，其中，为两个不相等的实数． (1)当、时，求此函数图象的对称轴； (2)当时，若该函数在时，y随的增大而减小；在时，随的增大而增大，求的取值范围； (3)若点，，均在该函数的图象上，是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由 7．（2025·山东烟台·中考真题）如图，二次函数的部分图象与轴的一个交点位于和之间，顶点的坐标为．下列结论：①；②对于任意实数，都有；③；④若该二次函数的图象与轴的另一个交点为，且是等边三角形，则．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．①④ D．①③④ 考点06实际问题与二次函数 1．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在四边形中，，点在边上运动（不含），过点作，垂足为点．设的长度为的面积为，则下列结论正确的是（    ） A．边的长为6 B．在上时， C．在上时， D．随的增大而增大 2．（2025·山东东营·中考真题）如图1，在矩形中，，是边上的一个动点，，交于点，设，，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（2025·山东东营·中考真题）如图1，在矩形中，，E是边上的一个动点，，交于点F，设，，图2是点E从点B运动到点C的过程中，y关于x的函数图象，则的长为（    ）． A．5 B．6 C．7 D．8 4．（2025·山东青岛·中考真题）小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点正上方1.8米的点将球击出． 信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离，图象经过点，． 信息二：球和原点的水平距离（米）与时间（秒）（）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下： （秒） 0 … （米） 0 4 6 … (1)求与的函数关系式； (2)网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？ (3)当为秒时，小明将球击回、球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标为，纵坐标大于等于时，的取值范围为________（直接写出结果）． 考点07二次函数综合 1．（2025·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)问在抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； (3)将射线绕点逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点，再将抛物线沿直线平移，得到一条新的抛物线（其顶点为）．设这两条抛物线的交点为． ①求旋转角度的正切值； ②当时，求原抛物线平移的距离． 2．（2025·山东东营·中考真题）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求出抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标； (3)如图2，点M是抛物线的顶点，将沿翻折得到，与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得是以为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 3．（2025·山东烟台·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，作交于点E，垂足为点F，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)设点D的横坐标为， ①用含有的代数式表示线段的长度； ②是否存在点D，使是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 考点08反比例函数与一次函数的交点问题 1．（2025·山东淄博·中考真题）如图，反比例函数和的图象分别与直线依次相交于，，三点． (1)求出直线对应的函数表达式； (2)分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点．直线交轴于点，连接，．试判断的形状，并说明理由； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 2．（2025·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A和，点A的横坐标为2． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)观察图象，直接写出当时x的取值范围； (3)点C为x轴上一动点，连接，若的面积为18，求点C的坐标． 考点09反比例函数与几何综合 1．（2025·山东淄博·中考真题）如图，为矩形（边，分别在，轴的正半轴上）对角线上的点，且，经过点的反比例函数的图象分别与，相交于点，，连接，，，若的面积是24，则的面积为（   ） A．25 B．26 C． D． 2．（2025·山东青岛·中考真题）如图，正八边形的顶点，，，在坐标轴上，顶点，，，在第一象限．点在反比例函数的图象上，若，则的值为 ． 3．（2025·山东·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，A，C两点在坐标轴上，四边形是面积为4的正方形．若函数的图象经过点，则满足的的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·山东济南·中考真题）一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． (1)求m，k的值． (2)D为反比例函数图象上的一点且横坐标大于m． ①如图1，若点D的横坐标为4，连接，E为线段上一点，且，求点E的坐标； ②如图2，M为线段上一点，且，四边形是平行四边形，连接，若，求点D的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03函数 考点概览 考点01从函数的图象获取信息 考点02函数图象与坐标轴的交点问题 考点03根据一次函数增减求参数 考点04一次函数的实际应用 考点05二次函数的图象与性质 考点06实际问题与二次函数 考点07二次函数综合 考点08反比例函数与一次函数的交点问题 考点09反比例函数与几何综合 考点01从函数的图象获取信息 1.(2025山东济南中考真题)A,B两地相距100km,甲、乙两人骑车同时分别从A,B两地相向而行.假 设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A地的距离s(km)与骑车时间t(h)的关系如图所示，则他们相 遇时距离A地 km. ←s/km 100 804 甲 60 8 123 【答案】 300/4 1 【分析】本题属于一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是关键；设甲的函数图象为s=kt,乙的函数图 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 象为3=k,1+100,结合图形进而确定两函数解析式；利用两函数解析式联立方程组，进而求得方程组的解 即可 【详解】解：由图可得，甲的函数图象为正比例函数，乙的函数图象为一次函数，与纵坐标轴的交点为 (0,100), 设甲的函数图象为s=k1,乙的函数图象为s=k,t+100, 则30=2k1,80=k2+100, 解得k=15,k2=-20, :甲的函数图象为s=151,乙的函数图象为s=-20t+100, s=151 联立 s=-20t+100' 20 1 解得 300 S= 1 即他们相遇时距离A地300km. > 故答案为： 300 7 2.(2025山东·中考真题)在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度y(厘米/天)和光照强度 x(勒克斯)之间存在一定关系，在低光照强度范围(200≤x<1000)内，y与x近似成一次函数关系；在 中高光照强度范围(x≥1000)内，y与x近似成二次函数关系.其部分图象如图所示.根据图象，下列结论 正确的是() 0.61 0.3 O2001000 3000 A.当x≥1000时，y随x的增大而减小B.当x=2000时，y有最大值 C.当y≥0.6时，x≥1000 D.当y=0.4时，x=600 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、二次函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的 关键， 根据抛物线可直接判断A选项；根据抛物线以及相关数据可得抛物线的对称轴为x=2000,，进而判定B选 项；根据函数图象可判定C选项；根据二次函数的对称性可判定D选项 【详解】解：A.当x≥1000时，y随x的增大先增大、后减小，即A选项错误，不符合题意； B.由函数图象可知：抛物线的对称轴为r-1000+300-20,即当r=2000时，y有最大值，则B选项 2 正确，符合题意； C.由函数图象可知：当y≥0.6时，1000≤x≤3000，即C选项错误，不符合题意； D.当y=0.4时，由图象知，x对应的值有两个，即D选项错误，不符合题意. 故选B 考点02函数图象与坐标轴的交点问题 1.(2025山东潍坊中考真题)如图，一次函数y=kx+b经过点A0,4,与x轴交于点B,与正比例函数 y=k2x交于点P(1,2),则下列结论正确的是() A.k-k2>0 B.P为AB的中点 C.方程kx+b=k2x的解是x=2 D.当x<1时，kx+b>k2x 【答案】BD 【分析】本题考查了一次函数和正比例函数的性质，根据一次函数和正比例函数的性质逐一排除即可，掌 握一次函数和正比例函数的性质是解题的关键. 【详解】解：A、根据图象可知，k<0,k2>0, 3 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 “k-k2<0,原选项不符合题意； B、一次函数y=kx+b经过点A0,4),点P(1,2), k+b=2 b=4，解得： k=-2 b=4 .一次函数解析式为y=-2x+4, 当y=0时，x=2, B2,0), PA=V1-0)2+(2-42=V5,PB=V1-22+2-02=5, .:PA=PB, :P为AB的中点，原选项符合题意； C、方程kx+b=k2x的解是x=1,原选项不符合题意； D、当x<1时，kx+b>k2x,原选项符合题意： 故选：BD 2.(2025山东中考真题)取直线y=-x上一点4(，y),①过点4作x轴的垂线，交y=于点4，(x,,) ;②过点A作y轴的垂线，交y=-x于点A,x,y;；如此循环进行下去.按照上面的操作，若点A的坐标 为1，-1，则点A025的坐标是一 y=-x 【答案】(1- 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数规律探究：根据题意可以写出点4、A、A、A的坐标，从而 可以发现各点的变化规律，从而可以写出点A2的坐标. ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】解：：点A的坐标为1，-1)， :点4的横坐标为1， 点4的坐标为1，)， 点4的纵坐标为1， “点4的坐标为-1,1)， 同理点A的横坐标为-1， 点A的坐标为(-1，-)， 点A的坐标为1，-)， :四个点一个循环， 2025÷4=506余1， 点A02s5的坐标与点A相同，是1，-1)， 故答案为：(1，-1) 【点晴】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用 一次函数的性质和数形结合的思想解答 考点03根据一次函数增减求参数 1.(2025山东东营.中考真题)一次函数y=+2(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，当x=-1时y的值 可以是() A.3 B.2 C.1 D.-1 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质，不等式的性质，熟悉一次函数的性质是解题的关键.根据一次函数的 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 增减性可得k的取值范围，再把x=-1代入函数y=x+2(化≠0)，从而判断函数值y的取值范围，即可得出 结果 【详解】解：：一次函数y=+2(k≠0)的函数值y随x的增大而减小， k<0, 当x=-1时，y=-k+2>2, 选项中只有3符合要求， 故选：A. 2.(2025山东东营中考真题)一次函数y=kx+2(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，当x=-1时，y的 值可以是(). A.3 B.2 C.1 D.-1 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质，不等式的性质，熟悉一次函数的性质是解题的关键，根据一次函数的 增减性可得k的取值范围，再把x=-1代入函数y=c+2(k≠O),从而判断函数值y的取值范围，即可得出 结果 【详解】解：：一次函数y=x+2(k≠O)的函数值y随x的增大而减小， .k<0, 当x=-1时，y=-k+2>2, 选项中只有3符合要求， 故选：A. 考点04一次函数的实际应用 1.(2025山东中考真题)山东省在能源绿色低碳转型过程中，探索出一条“以储调绿”的能源转型路径.某 地结合实际情况，建立了一座圆柱形蓄水池，通过蓄水发电实现低峰蓄能、高峰释能，助力能源转型， 已知本次注水前蓄水池的水位高度为5米，注水时水位高度每小时上升6米. ()请写出本次注水过程中，蓄水池的水位高度y(米)与注水时间x(小时)之间的关系式： (2)己知蓄水池的底面积为0.4万平方米，每立方米的水可供发电0.3千瓦时，求注水多长时间可供发电4.2万 千瓦时？ 【答案】(I)y=6x+5 2)注水5小时可供发电4.2万千瓦时. 6 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网 www.zxxk .com 让教与学更高效 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用等知识点，正确列出函数解析式和方程是解题的 关键 (1)根据蓄水池的水位高度等于注水时水位每小时升高的高度乘以注水时间与本次注水前蓄水池的水位高 度的和，据此列出函数关系式即可： (2)根据y与x的函数关系式以及已知条件列关于x的一元一次方程并求解即可. 【详解】(1)解：由题意可得：蓄水池的水位高度y(米)与注水时间x(小时)之间的关系式y=6x+5 (2)解：根据题意，得0.46x+5)×0.3=4.2, 解得x=5. 答：注水5小时可供发电4.2万千瓦时. 2.(2025山东烟台·中考真题)2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决 定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统.己知购买1盏甲种路灯和2 盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元. (1)求甲、乙两种路灯的单价； (2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的3请通过计算设计 1 一 种购买方案，使所需费用最少 【答案】(1)甲、乙两种路灯的单价分别为60元，80元 (2)购买甲种路灯10盏，购买乙种路灯30盏，费用最少 【分析】本题考查了二元一次方程组以及一元一次不等式、一次函数的应用，根据题意列出方程组，不等 式以及一次函数关系式是解题的关键； 1)设甲、乙两种路灯的单价分别为x,y元，根据题意列出方程组，即可求解： (2)设购买甲种路灯m盏，则购买乙种路灯(40-m)盏，列出不等式，求得m≤10，设购买费用为n元， 得出n=-20m+3200,进而根据一次函数的性质，即可求解 【详解】(1)解：设甲、乙两种路灯的单价分别为x,y元，根据题意得， x+2y=220 3x+140=4y x=60 解得： y=80 答：甲、乙两种路灯的单价分别为60,80元 ○⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网 www zxxk com 让教与学更高效 (2)解：设购买甲种路灯m盏，则购买乙种路灯(40-m)盏，根据题意得， m≤兮40- 解得：m≤10 设购买费用为n元，根据题意得，n=60m+80(40-m)=-20m+3200 .-20<0 :当m取得最大值时，取得最小值， ∴.m=10时，40-m=40-10=30(盏)n=3000, 即购买甲种路灯10盏，购买乙种路灯30盏，费用最少， 答：购买甲种路灯10盏，购买乙种路灯30盏，费用最少 考点05二次函数的图象与性质 1.(2025山东威海中考真题)已知点(-2，y),3,2),7,y)都在二次函数y=-x-22+c的图象上，则 ,y2,3的大小关系是（) A.>y2>3B.y1>y3>y2 C.y2>片>y3 D.3>y2>y 【答案】C 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得开口向下，对称轴为直线x=2,则离对 称轴越近，函数值越大，据此求出三个点到对称轴的距离即可得到答案. 【详解】解：“二次函数解析式为y=-x-2)2+c, .二次函数y=-(x-2)2+c的图象开口向下，对称轴为x=2, “离对称轴越近，函数值越大， 点(-2，y)的横坐标-2与2的距离为-2-2=4；点(3,2)的横坐标3与2的距离为3-2=1；点(7，)的横 坐标7与2的距离为7-2=5. 1<4<5, .y2>y>y3 故选C. 2.(2025·山东济南中考真题)已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)图像的顶点坐标是 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (-1,n),且经过1,0)，(0，m两点，3<m<4.有下列结论： ①关于x的一元二次方程ax2+bx+c-n+1=0(a≠0)有两个不相等的实数根； ②当x>-1时，y的值随x值的增大而减小，③-号<a<-山： 4 ④4a-2b+c>0;⑤对于任意实数t,总有(t+1(at-a+b)≤0. 以上结论正确的有() A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，结合题意画出函数图像，结合函数图像一一判断即可得 出答案。 【详解】解：：二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)图像的顶点坐标是(-1，n), 且经过1,0)，(0，m)两点， :抛物线开口向下，对称轴为直线x=-1, :.a<0,抛物线与x轴的交点为：(1,0)和(-3,0)， 图象如下所示： y (-1;n) -y=n 令y=n-1,即把y=n向下平移一个单位， 再结合函数图像可知ax2+bx+c=n-1(a≠0)有两个不相等的实数根， 故关于x的一元二次方程ax2+bx+c-n+1=0(a≠0)有两个不相等的实数根，故①正确： :抛物线开口向下，对称轴为直线x=-1, :当x>-1时，y的值随x值的增大而减小，故②正确； :抛物线与x轴的交点为：(1,0)和(3,0 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :二次函数为y=a(x-1)(x+3)=ax2+2x-3=ax2+2ar-3a, .m=-3a, :3<m<4 3<-3a<4, 4 解得-3<a<-l,故③正确. 结合函数图像可知，当x=-2时，y=4a-2b+c>0,故④正确， :x=2a b b=2a, ..(t+1)(at-a+b)=(t+1(at-a+2a) =(1+1(a1+a =a(t+1)t+1) =a(t+12, :a<0,(t+1)2≥0， .at+1≤0， 即对于任意实数t,(1+1)(at-a+b)≤0，故⑤正确， 综上：①②③④⑤正确， 故选：A. 3.(2025·山东潍坊中考真题)已知二次函数y=ax2+bx+c,自变量x与函数值y的部分对应值如下表. 下列说法正确的是() A.若c≤0，则函数图象的开口向上 B.关于x的方程ax2+bx+c=m的两个根是-1和4 C.点(a,c)在一次函数y=2x+2的图象上 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10