专题14 概率与统计（复习讲义）（山东专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题14 概率与统计 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 考点一 统计（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：数据的集中趋势 题型二：数据的波动情况 题型三：统计图 必备知识 知识1 数据的集中趋势 知识2 数据的波动情况 知识3 统计图 命题预测 考点二 概率（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：简单概率求解 题型二：列举法求概率 题型三：几何图形的概率求解 必备知识 知识1 概率 命题预测 命题 透视 命题形式： 以选择、填空、解答题为主，题量稳定 2-3 题，分值 10-18 分。选填题侧重基础概念考查，解答题多结合统计图综合设问，常将统计与概率融合命题，试题多贴合生活实际与热点情境。 命题内容： 核心考查数据集中趋势、波动情况的计算与应用，统计图信息提取分析，以及列表 / 树状图法求概率。高频考查统计量的实际决策应用、统计与概率综合题型，聚焦数据分析核心素养考查。 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 数据的集中趋势 T20：平均数、中位数、众数的求解； T4：众数、中位数的求解 T6：众数、中位数的求解+条形统计图； T18：平均数、中位数、众数的求解； T18：平均数的估计+条形统计图； T6：平均数、中位数、众数的求解； T5：平均数、中位数、众数的求解； T5：平均数、中位数、众数的求解+折线统计图； T18：平均数、众数的求解+扇形统计图； 数据的波动情况 T20：方差的求解； T11：方差的实际意义； T5：方差的实际意义； T18：最优方案的选择 T6：方差的求解； T14：最优方案的选择； T5：方差的求解； T5：方差的求解； T14：方差的求解 统计图 T20：频数直方图； T18：条形图+扇形统计图； T18：扇形统计图； T18：折线统计图 T18：条形统计图+扇形统计图； T18：频数直方图+扇形统计图 T18：条形统计图+扇形统计图； T18：频数直方图 T18：平均数、众数的求解+扇形统计图； 求概率 T5：列表法或树状图法求概率； T18：概率+统计图 T12：已知概率求解相关数据 T14：列表法或树状图法求概率； T18：概率+统计图 命题预测 1. 考情预测 预计 2026 年山东中考本专题题量、分值保持稳定，仍以选择、填空、解答题为主，侧重结合生活热点、本地实际情境命题。高频考查统计量计算与决策应用、多类型统计图综合分析、列举法求概率，统计与概率融合考查仍是核心趋势，聚焦数据分析核心素养。 2. 备考建议 需夯实平均数、方差、概率等核心概念，熟练掌握统计图信息提取方法，强化列举法求概率的规范作答，重点训练统计与概率综合题型，结合实际问题提升数据分析与决策应用能力。 考点一 统计 题型一 数据的集中趋势 核心掌握平均数、中位数、众数的计算规则，平均数为全量数据求和除以个数；中位数需先将数据排序，按数据个数奇偶性取中间值或中间两数的均值；众数为出现次数最多的数，结合实际场景选择对应统计量做决策。 计算中位数未先对数据排序；误认众数为唯一值；忽略极端值对平均数的影响，决策时脱离数据分布；加权平均数的权值计算错误。 1．（2025·山东淄博·中考真题）某班主任为了解本班学生开学以来在周六、周日两天的运动锻炼情况，随机调查了10名学生在这两天的平均运动时间，收集的数据（单位：）如下：5，7，3，6，8，6，4，7，5，6．则这组数据的众数和中位数分别是（   ） A．5，6 B．5，7 C．6，6 D．6，7 2．（2025·山东东营·中考真题）电影《哪吒之魔童闹海》上映七天票房破45亿元，前七日综合票房分别是：4.9  4.8  6.2  7.3  8.1  8.4  8.6（亿元），那么这组数据的中位数是______亿元． 3．（2025·山东东营·中考真题）东营市各县区积极创建全国义务教育城乡优质均衡发展县，为了解城乡教育质量发展情况，从农村和城区各抽取1所学校进行艺术抽测，每个学校均随机抽测了10名学生，数据分析如下． （一）收集与整理 农村学校10名学生的艺术成绩（单位：分）： 64，74，78，82，84，86，86，92，96，98； 城区学校10名学生的艺术成绩（单位：分）： 62，70，79，83，85，87，87，90，97，100． （二）描述与分析 城乡学生艺术成绩的平均数、中位数、众数和方差如下： 统计量 平均数 中位数 众数 方差 农村 84 a 86 c 城区 84 86 b 118.6 根据以上信息，回答下列问题： （1）直接写出表格中a、b、c的值， ________， __________， ________； （三）迁移与应用 （2）若从本次艺术成绩在95分以上的4名学生中，任意选择两名学生参加艺术展演，请用列表法或画树状图的方法求出所选两名学生恰好都是城区学生的概率； （3）请从以上统计量中，任选一个统计量，对这两所学校的艺术成绩进行对比分析，并对艺术教学提出一条合理化建议． 题型二 数据的波动情况 核心掌握方差计算公式，先求数据平均数，再计算各数据与平均数差的平方的平均数。依据 “方差越小，数据波动越小、稳定性越强” 的规律，完成数据稳定性判断与方案优选类问题。 方差公式记忆错误，漏除以数据总个数；误将方差大小与数据整体水平高低挂钩；仅用方差做决策，忽略平均数等核心统计量；混淆标准差与方差的概念。 4．（2025·山东青岛·中考真题）为弘扬传统文化，培养学生的劳动意识，某校在端午节期间举行了包粽子活动，每个粽子的标准质量为．甲、乙两名同学各包了个粽子，每个粽子的质量（单位：）如下： 甲：，，，，； 乙：，，，，． 甲、乙两名同学包的粽子的质量比较稳定的是________（填“甲”或“乙”）． 5．（2025·山东烟台·中考真题）求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是（   ） A．的值是5 B．该组数据的平均数是7 C．该组数据的众数是6 D．若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小 6．（2025·山东潍坊·中考真题）为培育玉米新品种，研究人员对某生长期试验田和对照田中的玉米株高进行抽样调查并作比较研究，分别随机选取40株玉米测量其株高，整理数据如下． 【数据收集】 试验田玉米株高（cm） 对照田玉米株高（cm） 56，43，51，52，45，55，46，55，46，51，54，54，48，55，48，49，51，50，48，49，49，51，46，51，43，51，52，47，54，49，55，46，48，45，53，47，43，54，43，56． 41，52，40，48，60，40，44，54，44，45，46，55，48，40，48，54，50，50，52，52，52，60，52，52，40，54，48，40，54，54，55，46，56，40，60，60，56，57，52，60． 【数据整理】 把数据分为5组，制成如下频数分布表．（用表示株高，） 组别类型 A B C D E 试验田玉米株频数 4 8 15 11 2 对照田玉米株频数 7 5 6 14 8 （1）你赞同下面小亮的观点吗？请说明你的理由． 【数据描述】 根据频数分布表分别制作试验田频数直方图和对照田扇形统计图． （2）补全试验田频数直方图并计算对照田D组所占圆心角的度数； （3）已知此生长期的玉米株高满足为长势良好．比较以上两个统计图，写出图中蕴含的信息．（一条即可） 【数据分析】 对收集的数据进行分析，得出的统计量如下表： 统计量 中位数 众数 平均数 方差 试验田 49.5 51 49.73 15.10 对照田 52 52 50.28 40.05 （4）根据（3）中“长势良好”的标准及以上信息，评估此生长期试验田的玉米生长情况． 题型三 统计图 先明确各类统计图的核心特征，扇形图侧重占比与圆心角计算，条形图提取各组频数，折线图分析数据变化趋势，频数直方图关注组距与频数分布。多图结合题型先锁定公共关联量补全数据，再完成后续分析计算。 扇形图圆心角计算时，占比与 360° 乘除错误；多统计图间的数据对应关系错位；频数直方图的组距、频数计算失误；忽略样本估计总体的适用前提，盲目扩大估算范围。 7．（2025·山东滨州·中考真题）2025年6月6日是第30个全国“爱眼日”，为了增强学生的护眼意识，某校组织了一次全员护眼知识竞赛．以下是本次护眼知识竞赛成绩抽样与数据分析过程． 【收集数据】随机抽取了部分学生的竞赛成绩组成一个样本． 【整理数据】整理发现样本数据的最低分为51分，最高分为满分100分，对样本数据分成5组进行统计整理，绘制出如下不完整的统计表： 组别 分数 频数 百分比 第1组 第2组 10 第3组 15 第4组 40 第5组 【描述数据】根据样本数据的统计表绘制如下不完整的频数分布直方图． 【分析数据】请根据以上信息，解答下列问题： (1) ， ；请将频数分布直方图补充完整； (2)所抽取学生竞赛成绩的中位数处于第 组的分数段内； (3)计划将竞赛成绩不低于91分的学生评为“护眼知识达人”，请估计全校3000名学生中获得“护眼知识达人”的人数． 8．（2025·山东德州·中考真题）本学期，为提高七年级学生排球垫球水平，某校对七年级学生实施了“百日提升训练计划”，并分别于3月份和6月份进行了一分钟垫球数量测试，测试成绩用x（单位：个）表示，分为四个等级，包括优秀：；良好：；合格：；不合格：． 为了解本计划的实施效果，随机抽取了20名学生，对他们3月份和6月份的测试成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下： 信息一：3月份测试成绩如下： 17  33  28  27  35  19  21  22  25  22 25  27  19  27  18  27  28  29  31  32 信息二：6月份测试成绩绘制成不完整的条形图和扇形图如下： 信息三：测试成绩对比表如下： 月份 平均数/个 众数/个 优秀率 3月 a b 6月 29 c 请根据以上信息；完成下面问题： (1)补全条形图； (2)表中的 ， ， ； (3)已知该校七年级共400人，请估算七年级，6月份达到“优秀”等级的学生比3月份增加了多少人？ 9．（2025·山东济南·中考真题）某学校为了更好地开展学生体育活动，组织八年级学生进行体育测试（百分制），从中随机抽取了部分学生的成绩（成绩用x表示，单位：分），并对数据（成绩）进行整理，数据分为五组，下面给出了部分信息： a．抽取的学生体育测试成绩统计表和不完整的扇形统计图如下： 组别 成绩/分 人数（频数） A 1 B 5 C m D 16 E 20 b．D组的数据：60，60，61，62，62，63，63，66，67，67，70，70，71，74，75，79 请根据以上信息完成下列问题： (1)求随机抽取的学生人数； (2)统计表中的___________，扇形统计图中E组所对应扇形的圆心角为___________度； (3)抽取的八年级学生体育测试成绩的中位数为___________分； (4)若该校八年级共有800名学生参加了此次体育测试，请你估计该校八年级参加此次体育测试成绩达到60分及以上的学生人数． 知识1 数据的集中趋势 1. 平均数、中位数和众数 平均数、中位数和众数都反映了一组数据的集中趋势，平均数的大小与这组数据中的每个数据都有关，中位数与数据的排列顺序有关，众数主要研究各数据出现的次数． 在实际问题的情境中选择恰当的数据代表对数据作出评判或决策，有时需要根据题目给出的数据代表（如“从平均数和众数相结合看”）对数据作出评判．其中平均数易受极端数值的影响，在一组数据中，如果个别数据对平均数影响大，则常选中位数或众数作为数据的代表． 知识2 数据的波动情况 方差反映一组数据的波动大小，方差越大，数据的波动越大． 知识3 统计图 常用的统计图有扇形统计图、条形统计图和折线统计图．扇形统计图能清晰地体现出各部分占总体的百分比，条形统计图能得到每小组的频数，折线统计图能看出数据的变化趋势，解决问题时要根据需要选择合适的统计图． 1．（2025·山东烟台·模拟预测）为了调查不同时间段的车流量，某学校的兴趣小组统计了不同时间段的车流量，如图是各时间段的小车与公车的车流量，则下列说法正确的是（　　） A．小车的车流量相对更稳定 B．小车的车流量的平均数较大 C．小车与公车车流量的变化趋势相同 D．两种车车流量在同一时间段均达到低谷 2．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，用雷达图展示小智参与趣味数学活动过程中探索学习、动手操作、沟通合作、创新、问题解决五项能力的得分，分别按进行综合评价，则他的综合得分为（   ）． A．10 B．8 C． D． 3．（2025·山东东营·模拟预测）对于一组统计数据：，，，，，.下列说法错误的是（   ） A．众数是 B．中位数是 C．极差是 D．平均数是 二、填空题 4．（2025·山东青岛·模拟预测）小敏参加了“歌颂祖国75周年华诞”的诗歌创作大赛，以下为六位评委给小敏作品的打分（单位：分）：9，7，10，8，9，8．则这六个分数的中位数为__________ ． 5．（2025·山东青岛·模拟预测）小米同学是一名射击爱好者，她在一次比赛中的成绩如下 靶号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩（环） 6 7 7 8 8 9 9 9 10 结果10号靶的成绩被不小心误删了，若小米同学的平均成绩为8环，则小米同学成绩的中位数是______环． 6．（2025·山东东营·三模）某组数据的方差计算公式为，则该组数据的样本容量是______． 三、解答题 7．（2025·广东深圳·一模）百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级： ：，：，：，：， 下面给出了部分信息： 甲款评分数据中“满意”的数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款评分数据中组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90．甲、乙款评分统计表： 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中_______， _______， _______． (2)在此次测验中，有人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数． (3)（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率． 8．（2025·河南周口·一模）某校举办了“机器人知识”竞赛，竞赛满分100分，80分及以上为优秀．从甲班和乙班各随机抽取8名学生，对这8名学生的成绩进行了收集、整理、分析． 【收集数据】 甲班8名学生竞赛成绩：90，93，80，80，85，80，75， 乙班8名学生竞赛成绩：100，90，79，90，83，85，56， 【整理数据】小聪同学将甲、乙两个班级抽取学生的成绩进行了整理，并绘制了如图所示的统计图． 【分析数据】甲、乙两个班级抽取学生的竞赛成绩统计表， 班级 特征数 平均数 中位数 众数 方差 优秀率 甲班 80 n 乙班 m 90 【解决问题】请根据以上信息，解决以下问题： (1)填空：______，______，______填“>”“<”或“=”） (2)请你选择两个特征数进行分析，判断哪个班成绩比较好，并简要说明理由． (3)该校共有800人参加了此次竞赛活动，估计全校参加此次竞赛活动成绩在80分及以上的学生人数共有多少人？ 9．（2025·山东泰安·一模）2025年3月15日，我国“思维高景三号卫星-搭载天雁23星”成功发射．学校为了解学生对航空航天知识的掌握情况，对八、九年级学生进行了测试，此次测试采用百分制，并规定90分及以上为优秀，80～89分为良好，60～79分为及格，59分及以下为不及格，从八、九年级各随机抽取20名学生的测试成绩，将数据进行以下整理与分析． ①抽取八年级20名学生的成绩如表： 65 87 57 96 79 67 89 97 77 100 83 69 89 94 58 97 69 78 81 88 ②抽取八年级20名学生成绩的频数分布直方图如图1所示（数据分成5组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）； ③抽取九年级20名学生成绩的扇形统计图如图2所示； ④八年级、九年级各抽取的20名学生成绩的平均数、中位数、方差如表： 年级 平均数 中位数 方差 八年级 81 a 167.9 九年级 82 81 106.3 请根据以上信息，回答下列问题： (1)a=_______； (2)补全八年级20名学生成绩的频数分布直方图； (3)目前该校八年级学生有400人，九年级学生有600人，估计两个年级此次测试成绩达到优秀的学生总人数； (4)你认为哪个年级的学生成绩较好？请说明理由并给出合理化建议． 10．（2025·山东·模拟预测）2024年12月17日，神舟十九号乘组完成首次出舱活动，用时9小时，刷新了中国航天员单次出舱活动时长纪录．为大力弘扬航天精神，普及航天知识，激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，校团委以此为契机，组织了“航空航天知多少”知识竞赛．随机抽查七、八年级各15名同学成绩进行分析，相关信息如图表所示： 成绩x/分 七年级 4 3 5 3 八年级 0 0 5 10 平均数 中位数 众数 方差 七年级 15.4 a 16 8 八年级 18.2 18 b 说明：七年级抽取的15名同学的竞赛成绩在分数段内的具体成绩为14，16，17，16，15，16，15，16．根据以上信息，解答下列问题． (1) ； ； (2) （填“”“”或“”）．你认为哪个年级同学掌握有关“航天”的知识更好？请说明理由； (3)学校从“”范围内随机抽取了4名学生，其中有3名男生和1名女生，若从这4名学生中随机选取2名学生进行访谈，请用列表或画树状图的方法求所选取的2名学生恰好是2名男生的概率． 11．（2025·山东聊城·三模）2025年月是第个全国近视防控宣传教育月，其主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”，某社区医院的眼科大夫进行入校园检查七、八年级的学生视力活动，检查结束后，随机抽取部分八年级的学生的视力情况进行查看，将视力情况（用表示）分为四组：组（），组（），组（），组（） 其中组的视力情况为：，，，，，，，，，，，，，，，，， 绘制了如下不完整的频数直方图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)补全频数直方图，抽取的学生总数为_______； (2)扇形统计图中组所对应的圆心角的度数为_______； (3)视力在以下（包括）的学生通常认为是低于正常水平的，需要及时复查治疗，如果该校初二年级有名学生，请估计该年级视力低于正常水平的有多少学生？ 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 4.6 4.8 4.7 2.03 八年级 4.5 a 4.6 3.06 (4)求出表中的a值，并根据表中的数据评价一下七八年级学生的视力情况，并对视力较差的学生提出合理化的建议． 考点二 概率 题型一 简单概率求解 紧扣古典概型概率公式 P (A)= 事件 A 包含的等可能结果数 / 试验所有等可能结果数，先精准确定总事件数与目标事件数，一步计算概率，适用于单次、等可能的基础随机事件求解。 误判非等可能事件为等可能事件，直接套用公式；目标事件数与总事件数计数时出现重复或遗漏；混淆放回与不放回试验场景，导致结果数计算错误。 1．（2025·山东济南·中考真题）在一个不透明的袋中有2个红球、3个黄球和4个白球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为___________． 2．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，小莹对三个相连的方格进行涂色．在给每个方格涂色时，均从红、蓝两种颜色中随机选取一种，那么相邻两个方格所涂颜色不同的概率是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·山东东营·中考真题）2025年是乙巳蛇年，“巳巳如意”将蛇年与如意相结合，表达对新一年事事如意、顺遂美好的期盼．将分别印有“巳”、“巳”、“如”、“意”的四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张，则抽取到的卡片上印有汉字“巳”的概率为（   ） A． B． C． D． 题型二 列举法求概率 针对两步及以上的随机事件，两步试验用列表法、三步及以上用树状图法，不重不漏地列举所有等可能结果，再数出符合条件的目标结果数，代入概率公式计算，作答时规范标注试验的放回 / 不放回规则。 列举结果时出现重复或遗漏；不放回试验误按放回场景计算总结果数；概率计算时分子分母对应关系错误；作答不规范，未说明所有等可能结果的总数。 4．（2025·山东东营·中考真题）盒中有四张卡片，分别印有孤岛槐林、黄河入海口、红色刘集、孙子文化园图案，它们的形状和大小完全相同．两名同学先后从中随机抽取一张卡片（抽完后放回），则他们抽到的卡片图案相同的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·山东滨州·中考真题）在一次试验中，每个电子元件▄有通电或断电两种状态，并且这两种状态的可能性相等．如图，在一定时间段内，A，B之间电流能够正常通过的概率是______． 6．（2025·山东德州·中考真题）把英文单词“”中的字母依次写在完全相同的6张卡片上，每张卡片上只写其中的1个字母．然后将卡片洗匀，从中随机抽取2张，恰好是字母相同的两张卡的概率是_______． 题型三 几何图形的概率求解 核心运用几何概率公式，P (A)= 构成事件 A 的区域长度 / 面积 / 体积 ÷ 试验全部结果所构成的区域长度 / 面积 / 体积。先通过规则公式、割补法分别计算目标区域与总区域的几何量，再求比值得到概率。 总区域与目标区域的几何量计算错误；不规则图形的面积割补方法不当；混淆长度比与面积比的适用场景；忽略随机点在区域内等可能分布的核心前提。 7．（2024·山东济南·中考真题）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成四个扇形，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为______． 8．（2024·山东东营·中考真题）如图，四边形是平行四边形，从①，②，③，这三个条件中任意选取两个，能使是正方形的概率为（   ） A． B． C． D． 9．（2024·山东威海·中考真题）如图，在扇形中，，点是的中点．过点作交于点，过点作，垂足为点．在扇形内随机选取一点，则点落在阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 知识1 概率 画树状图或列表是列举所有机会均等的结果的重要方法，通过画树状图或列表，把所有机会均等的结果一一列出，有利于帮助我们分析问题，并且可以避免出现重复和遗漏． 1．（2025·山东泰安·一模）泰安市境内有诸多风景名胜，泰山、东平湖、大汶口文化遗址、徂徕山、岱庙就是其中处景点，将这处景点制作成卡片（除汉字外其他都相同），随机从中抽取张卡片，则抽到含“山”字卡片的概率为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·山东临沂·二模）在2025年春晚《迎福》中展示了中华民族多种非遗文化，包含了潍坊风筝、植物染、南京云锦、扬州绒花、成都漆艺等，若从以上五种非遗文化中随机选一种文化展开学习，则选中“植物染”的概率是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·山东聊城·三模）某校艺术节演讲比赛的决赛共有8名学生入围，将8名同学分为A、B两组，A组有3名男生和1名女生，B组有2名男生和2名女生，现在分别从A，B两组中随机抽取1名学生进行，则抽取的两名同学都是男生的概率是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·山东滨州·二模）如图1所示，是地理学科实践课上第一小组同学在一张面积为的长方形卡纸上绘制的山东省政区图（图中阴影部分），他们想了解该图案的面积是多少，经研究采取了以下办法：将长方形卡纸水平放置在地面上，在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果）．他们将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的统计图，由此估计不规则图案的面积大约为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2025·山东青岛·三模）如图，小靓用七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形内，装饰图中的三角形顶点，分别在边，上，三角形的边在边上，若在矩形区域内随机取点，则这个点落在空白部分的概率______． 6．（2025·山东济南·三模）如图，在扇形中，，．在扇形内随机选取一点，则点落在阴影部分的概率是_____． 7．（2025·山东菏泽·三模）如图，中，，点是的中点．过点作交于点，过点作，垂足为点．在扇形内随机选取一点，则点落在阴影部分的概率________． 8．（2025·山东济南·二模）一个不透明口袋中装有8个白球和若干个黑球，这些球除颜色外其余均相同，在不允许将球倒出来的前提下，为估计口袋中黑球的个数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出1个球记下颜色后放回摇匀，不断重复上述过程多次，发现摸到黑球的频率稳定在0.6，根据上述数据，可估计口袋中大约有___________个黑球． 9．（2025·山东济南·二模）在一个不透明的口袋中，装有红球和黄球共20个，它们除颜色外没有任何区别．摇匀后从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验，发现摸到黄球的频率是0.4，则口袋中大约有红球_______个． 三、解答题 10．（2025·广东深圳·一模）百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级： ：，：，：，：， 下面给出了部分信息： 甲款评分数据中“满意”的数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款评分数据中组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90．甲、乙款评分统计表： 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中_______， _______， _______． (2)在此次测验中，有人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数． (3)（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率． 11．（2025·山东枣庄·二模）石家庄市有A，B，C，D，E五个景区很受游客喜爱．一旅行社对某小区居民在暑假期间去以上五个景区旅游（只选一个景区）的意向做了一次随机调查统计，并根据这个统计结果制作了如下两幅不完整的统计图． (1)该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是 人， ，想去C景区的有 人，并补全条形统计图； (2)被调查到的居民想去 景区旅游的人数最多，若该小区有居民1500人，试估计去该景区旅游的居民约有多少人？ (3)小明同学已去过E景区旅游，暑假期间计划与父母从A，B，C，D四个景区中，任选两个去旅游，求选到A，C两个景区的概率．（要求画树状图或列表求概率） 12．（2025·山东青岛·二模）“五一”期间，小明一家为外出游玩目的地争执不下，小明爸爸想去崂山巨峰，而妈妈想去北九水．于是小明设计了一个游戏：有一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成三个扇形，转动转盘两次，若第次指针指向的数字减去第次的差为正数，则去崂山巨峰，若差为负数则去北九水．若指针刚好落在分割线上，则需要重新转动转盘，请用列表或画树状图的方法说明这个游戏对双方是否公平． 4 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 概率与统计 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 考点一 统计（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：数据的集中趋势 题型二：数据的波动情况 题型三：统计图 必备知识 知识1 数据的集中趋势 知识2 数据的波动情况 知识3 统计图 命题预测 考点二 概率（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：简单概率求解 题型二：列举法求概率 题型三：几何图形的概率求解 必备知识 知识1 概率 命题预测 命题 透视 命题形式： 以选择、填空、解答题为主，题量稳定 2-3 题，分值 10-18 分。选填题侧重基础概念考查，解答题多结合统计图综合设问，常将统计与概率融合命题，试题多贴合生活实际与热点情境。 命题内容： 核心考查数据集中趋势、波动情况的计算与应用，统计图信息提取分析，以及列表 / 树状图法求概率。高频考查统计量的实际决策应用、统计与概率综合题型，聚焦数据分析核心素养考查。 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 数据的集中趋势 T20：平均数、中位数、众数的求解； T4：众数、中位数的求解 T6：众数、中位数的求解+条形统计图； T18：平均数、中位数、众数的求解； T18：平均数的估计+条形统计图； T6：平均数、中位数、众数的求解； T5：平均数、中位数、众数的求解； T5：平均数、中位数、众数的求解+折线统计图； T18：平均数、众数的求解+扇形统计图； 数据的波动情况 T20：方差的求解； T11：方差的实际意义； T5：方差的实际意义； T18：最优方案的选择 T6：方差的求解； T14：最优方案的选择； T5：方差的求解； T5：方差的求解； T14：方差的求解 统计图 T20：频数直方图； T18：条形图+扇形统计图； T18：扇形统计图； T18：折线统计图 T18：条形统计图+扇形统计图； T18：频数直方图+扇形统计图 T18：条形统计图+扇形统计图； T18：频数直方图 T18：平均数、众数的求解+扇形统计图； 求概率 T5：列表法或树状图法求概率； T18：概率+统计图 T12：已知概率求解相关数据 T14：列表法或树状图法求概率； T18：概率+统计图 命题预测 1. 考情预测 预计 2026 年山东中考本专题题量、分值保持稳定，仍以选择、填空、解答题为主，侧重结合生活热点、本地实际情境命题。高频考查统计量计算与决策应用、多类型统计图综合分析、列举法求概率，统计与概率融合考查仍是核心趋势，聚焦数据分析核心素养。 2. 备考建议 需夯实平均数、方差、概率等核心概念，熟练掌握统计图信息提取方法，强化列举法求概率的规范作答，重点训练统计与概率综合题型，结合实际问题提升数据分析与决策应用能力。 考点一 统计 题型一 数据的集中趋势 核心掌握平均数、中位数、众数的计算规则，平均数为全量数据求和除以个数；中位数需先将数据排序，按数据个数奇偶性取中间值或中间两数的均值；众数为出现次数最多的数，结合实际场景选择对应统计量做决策。 计算中位数未先对数据排序；误认众数为唯一值；忽略极端值对平均数的影响，决策时脱离数据分布；加权平均数的权值计算错误。 1．（2025·山东淄博·中考真题）某班主任为了解本班学生开学以来在周六、周日两天的运动锻炼情况，随机调查了10名学生在这两天的平均运动时间，收集的数据（单位：）如下：5，7，3，6，8，6，4，7，5，6．则这组数据的众数和中位数分别是（   ） A．5，6 B．5，7 C．6，6 D．6，7 【答案】C 【分析】本题考查中位数和众数，根据中位数、众数的意义和计算方法进行计算即可． 【详解】解：这组数据排列为：3，4，5，5，6，6，6，7，7，8，处于中间的两个数据为6，6，故中位数为； 在这组数据中出现次数最多的是6，则众数为6， 故选：C． 2．（2025·山东东营·中考真题）电影《哪吒之魔童闹海》上映七天票房破45亿元，前七日综合票房分别是：4.9  4.8  6.2  7.3  8.1  8.4  8.6（亿元），那么这组数据的中位数是______亿元． 【答案】7.3 【分析】本题考查中位数，将一组数据排序后，位于中间一位或中间两位的平均数为这组数据的中位数，据此进行求解即可． 【详解】解：将数据排序后，中间一个数据为7.3， ∴中位数为7.3； 故答案为：7.3． 3．（2025·山东东营·中考真题）东营市各县区积极创建全国义务教育城乡优质均衡发展县，为了解城乡教育质量发展情况，从农村和城区各抽取1所学校进行艺术抽测，每个学校均随机抽测了10名学生，数据分析如下． （一）收集与整理 农村学校10名学生的艺术成绩（单位：分）： 64，74，78，82，84，86，86，92，96，98； 城区学校10名学生的艺术成绩（单位：分）： 62，70，79，83，85，87，87，90，97，100． （二）描述与分析 城乡学生艺术成绩的平均数、中位数、众数和方差如下： 统计量 平均数 中位数 众数 方差 农村 84 a 86 c 城区 84 86 b 118.6 根据以上信息，回答下列问题： （1）直接写出表格中a、b、c的值， ________， __________， ________； （三）迁移与应用 （2）若从本次艺术成绩在95分以上的4名学生中，任意选择两名学生参加艺术展演，请用列表法或画树状图的方法求出所选两名学生恰好都是城区学生的概率； （3）请从以上统计量中，任选一个统计量，对这两所学校的艺术成绩进行对比分析，并对艺术教学提出一条合理化建议． 【答案】（1）85，87，95.2；（2）；（3）建议见解析 【分析】本题主要考查了中位数，众数，方差的定义，用列表法或画树状图的方法求概率，利用平均数、中位数、众数、方差作决策等知识． （1）根据中位数，众数，方差的定义求解即可． （2）农村学校95分以上学生有2人，分别记为，，城区学校95分以上学生有2人，分别记为，，画出树状图，根据概率公式求解即可． （3）答案不唯一，只要能对平均数、中位数、众数、方差任一统计量进行比较，数据大小比较，进而提出合理建议即可． 【详解】解：（1）， 城区学校10名学生的艺术成绩中出现次数最多的是87， 故， （2）农村学校95分以上学生有2人，分别记为，，城区学校95分以上学生有2人，分别记为，，画树状图如下： 总共有12种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中所选两名学生恰好都是城区学生的结果有2种， ∴P（所选两名学生恰好都是城区学生）． （3）例：从平均数看，城区学校和农村学校的艺术成绩水平相同，建议继续保持城乡优质均衡发展； 从中位数看，城区学校的艺术成绩高于农村学校的艺术成绩，建议加强农村学校艺术教学； 从众数看，城区学校的艺术成绩高于农村学校的艺术成绩，建议提高农村学校艺术教学水平； 从方差看，城区学校艺术成绩的方差大于农村学校艺术成绩的方差，城区学校艺术成绩波动较大，建议减小两极分化． 题型二 数据的波动情况 核心掌握方差计算公式，先求数据平均数，再计算各数据与平均数差的平方的平均数。依据 “方差越小，数据波动越小、稳定性越强” 的规律，完成数据稳定性判断与方案优选类问题。 方差公式记忆错误，漏除以数据总个数；误将方差大小与数据整体水平高低挂钩；仅用方差做决策，忽略平均数等核心统计量；混淆标准差与方差的概念。 4．（2025·山东青岛·中考真题）为弘扬传统文化，培养学生的劳动意识，某校在端午节期间举行了包粽子活动，每个粽子的标准质量为．甲、乙两名同学各包了个粽子，每个粽子的质量（单位：）如下： 甲：，，，，； 乙：，，，，． 甲、乙两名同学包的粽子的质量比较稳定的是________（填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【分析】本题考查了方差的意义，理解方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定是解题的关键． 分别求出甲乙的方差，根据方差的意义求解即可． 【详解】解：甲的平均数为：， ∴； 乙的平均数为：， ∴， ∵， ∴甲、乙两名同学包的粽子的质量比较稳定的是甲， 故答案为：甲． 5．（2025·山东烟台·中考真题）求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是（   ） A．的值是5 B．该组数据的平均数是7 C．该组数据的众数是6 D．若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小 【答案】C 【分析】本题考查的是方差的计算，众数的含义，平均数的含义，根据方差公式及数据特征，逐一分析选项的正误． 【详解】解：选项A、算式中平方差项数为5，对应数据个数，正确． 选项B、平均数，正确． 选项C、数据中6和8均出现2次，次数最多，故众数为6和8，而非仅6，错误． 选项D、加入两个7后，数据更集中，方差由减小为，正确． 综上，错误的说法是C． 故选C 6．（2025·山东潍坊·中考真题）为培育玉米新品种，研究人员对某生长期试验田和对照田中的玉米株高进行抽样调查并作比较研究，分别随机选取40株玉米测量其株高，整理数据如下． 【数据收集】 试验田玉米株高（cm） 对照田玉米株高（cm） 56，43，51，52，45，55，46，55，46，51，54，54，48，55，48，49，51，50，48，49，49，51，46，51，43，51，52，47，54，49，55，46，48，45，53，47，43，54，43，56． 41，52，40，48，60，40，44，54，44，45，46，55，48，40，48，54，50，50，52，52，52，60，52，52，40，54，48，40，54，54，55，46，56，40，60，60，56，57，52，60． 【数据整理】 把数据分为5组，制成如下频数分布表．（用表示株高，） 组别类型 A B C D E 试验田玉米株频数 4 8 15 11 2 对照田玉米株频数 7 5 6 14 8 （1）你赞同下面小亮的观点吗？请说明你的理由． 【数据描述】 根据频数分布表分别制作试验田频数直方图和对照田扇形统计图． （2）补全试验田频数直方图并计算对照田D组所占圆心角的度数； （3）已知此生长期的玉米株高满足为长势良好．比较以上两个统计图，写出图中蕴含的信息．（一条即可） 【数据分析】 对收集的数据进行分析，得出的统计量如下表： 统计量 中位数 众数 平均数 方差 试验田 49.5 51 49.73 15.10 对照田 52 52 50.28 40.05 （4）根据（3）中“长势良好”的标准及以上信息，评估此生长期试验田的玉米生长情况． 【答案】（1）不赞同，理由见解析；（2）见解析，；（3）见解析；（4）见解析 【分析】本题考查频数分布表，统计图，利用方差作决策： （1）根据分组方法，求出最大值与最小值的差，进而求出组数为5和组数为10的组距，进行判断即可； （2）根据分布表补全直方图，利用360度乘以D组所占的百分比，求出圆心角的度数即可； （3）求出试验田和对照田中长势良好的玉米株数所占的比例，进行分析即可； （4）利用相关数据进行说明即可。 【详解】解：（1）不赞同． 理由：样本中数据的个数是40，数据的最大值与最小值之差是20．若组数为5，则组距为4，是合适的．若分成10组，则组距为2，不仅繁琐，且会使某些组的频数为0，容易将性质相近的数据分散到其它组，不能正确显示数据分布的特征和规律． （2）补全直方图如图： D组对应的圆心角为 （3）试验田中长势良好的玉米株数为，占比； 对照田中长势良好的玉米株数占比为； 所以，试验田中长势良好的玉米株数占比高于对照田； （4）从中位数、众数、平均数来看，试验田略低于对照田，且均在长势良好范围内；而从方差看，试验田明显低于对照田，说明试验田玉米株高数据波动小，相对集中．综合以上信息，试验田长势好于对照田． 题型三 统计图 先明确各类统计图的核心特征，扇形图侧重占比与圆心角计算，条形图提取各组频数，折线图分析数据变化趋势，频数直方图关注组距与频数分布。多图结合题型先锁定公共关联量补全数据，再完成后续分析计算。 扇形图圆心角计算时，占比与 360° 乘除错误；多统计图间的数据对应关系错位；频数直方图的组距、频数计算失误；忽略样本估计总体的适用前提，盲目扩大估算范围。 7．（2025·山东滨州·中考真题）2025年6月6日是第30个全国“爱眼日”，为了增强学生的护眼意识，某校组织了一次全员护眼知识竞赛．以下是本次护眼知识竞赛成绩抽样与数据分析过程． 【收集数据】随机抽取了部分学生的竞赛成绩组成一个样本． 【整理数据】整理发现样本数据的最低分为51分，最高分为满分100分，对样本数据分成5组进行统计整理，绘制出如下不完整的统计表： 组别 分数 频数 百分比 第1组 第2组 10 第3组 15 第4组 40 第5组 【描述数据】根据样本数据的统计表绘制如下不完整的频数分布直方图． 【分析数据】请根据以上信息，解答下列问题： (1) ， ；请将频数分布直方图补充完整； (2)所抽取学生竞赛成绩的中位数处于第 组的分数段内； (3)计划将竞赛成绩不低于91分的学生评为“护眼知识达人”，请估计全校3000名学生中获得“护眼知识达人”的人数． 【答案】(1)10%，30%，见解析 (2)4 (3)全校获得“护眼知识达人”的同学约有900人 【分析】本题考查了频率和频数，频数分布直方图，中位数，利用样本估计总体． （1）根据第2组的频数和百分比，求出抽取的学生人数，再求出相应的值，补全频数分布直方图即可； （2）根据中位数的定义求解即可 （3）利用全校人数乘以成绩不低于91分的学生占比，即可求解． 【详解】（1）解：抽取的学生人数为人， 则， ， ，， 补全频数分布直方图如下： （2）解：抽取的名学生竞赛成绩中，中位数为第和名学生竞赛成绩的平均数， 由（1）可知，第1组有5人，第2组有10人，第3组有15人，第4组有40人， 前三组人数为人，前四组人数为人， 则中位数处于第4组的分数段内， 故答案为：4； （3）解：由（1）可知，，即全校91分以上的同学占比约为， 则全校91分以上的同学约有（人）， 答：全校获得“护眼知识达人”的同学约有900人． 8．（2025·山东德州·中考真题）本学期，为提高七年级学生排球垫球水平，某校对七年级学生实施了“百日提升训练计划”，并分别于3月份和6月份进行了一分钟垫球数量测试，测试成绩用x（单位：个）表示，分为四个等级，包括优秀：；良好：；合格：；不合格：． 为了解本计划的实施效果，随机抽取了20名学生，对他们3月份和6月份的测试成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下： 信息一：3月份测试成绩如下： 17  33  28  27  35  19  21  22  25  22 25  27  19  27  18  27  28  29  31  32 信息二：6月份测试成绩绘制成不完整的条形图和扇形图如下： 信息三：测试成绩对比表如下： 月份 平均数/个 众数/个 优秀率 3月 a b 6月 29 c 请根据以上信息；完成下面问题： (1)补全条形图； (2)表中的 ， ， ； (3)已知该校七年级共400人，请估算七年级，6月份达到“优秀”等级的学生比3月份增加了多少人？ 【答案】(1)见解析 (2)27；；； (3)6月份达到“优秀”等级的学生比3月份增加了60人． 【分析】题目主要考查扇形统计图和条形统计图的综合应用，利用样本估计总体等，理解题意，结合图形获取相关信息是解题关键． （1）结合条形统计图和扇形统计图得出合格的人数为：人，然后确定优秀的人数，补全统计图即可； （2）根据众数得定义即可确定a的值，利用优秀率的计算方法求解即可； （3）用总人数乘以相应的优秀率，然后相减即可得出结果． 【详解】（1）解：根据题意得，合格的人数为：人， ∴优秀的人数为：人， 补全统计图如下： （2）根据题意得，3月测试成绩中27出现的次数最多， ∴， ∵优秀：； ∴3月份中优秀的人数为4人，6月份中优秀的人数为7人， ∴，， 故答案为：27；；； （3）6月份达到“优秀”的人数为：人， 3月份达到“优秀”的人数为：人， ∴人， ∴6月份达到“优秀”等级的学生比3月份增加了60人． 9．（2025·山东济南·中考真题）某学校为了更好地开展学生体育活动，组织八年级学生进行体育测试（百分制），从中随机抽取了部分学生的成绩（成绩用x表示，单位：分），并对数据（成绩）进行整理，数据分为五组，下面给出了部分信息： a．抽取的学生体育测试成绩统计表和不完整的扇形统计图如下： 组别 成绩/分 人数（频数） A 1 B 5 C m D 16 E 20 b．D组的数据：60，60，61，62，62，63，63，66，67，67，70，70，71，74，75，79 请根据以上信息完成下列问题： (1)求随机抽取的学生人数； (2)统计表中的___________，扇形统计图中E组所对应扇形的圆心角为___________度； (3)抽取的八年级学生体育测试成绩的中位数为___________分； (4)若该校八年级共有800名学生参加了此次体育测试，请你估计该校八年级参加此次体育测试成绩达到60分及以上的学生人数． 【答案】(1)50人 (2)8，144 (3)70 (4)576人 【分析】本题考查频数分布表，扇形统计图，求中位数，利用样本估计总体等： （1）用B组人数除以所占百分比即为所求； （2）m等于总人数减去其它各组的人数，E组人数占总人数的比例乘以360度即为对应的圆心角的度数； （3）根据中位数的定义求解； （4）利用样本估计总体即可求解． 【详解】（1）解：（人） 即随机抽取的学生人数为50人； （2）解：， 扇形统计图中E组所对应扇形的圆心角为：， 故答案为：8，144； （3）解：将50人成绩从低到高排序，第25和26人的平均分为中位数， ，， 第25和26人在D组，结合 D组数据可得第25和26人成绩均为70分， 抽取的八年级学生体育测试成绩的中位数为70分， 故答案为：70； （4）解：（人） 即估计此次体育测试成绩达到60分及以上的学生人数为576人． 知识1 数据的集中趋势 1. 平均数、中位数和众数 平均数、中位数和众数都反映了一组数据的集中趋势，平均数的大小与这组数据中的每个数据都有关，中位数与数据的排列顺序有关，众数主要研究各数据出现的次数． 在实际问题的情境中选择恰当的数据代表对数据作出评判或决策，有时需要根据题目给出的数据代表（如“从平均数和众数相结合看”）对数据作出评判．其中平均数易受极端数值的影响，在一组数据中，如果个别数据对平均数影响大，则常选中位数或众数作为数据的代表． 知识2 数据的波动情况 方差反映一组数据的波动大小，方差越大，数据的波动越大． 知识3 统计图 常用的统计图有扇形统计图、条形统计图和折线统计图．扇形统计图能清晰地体现出各部分占总体的百分比，条形统计图能得到每小组的频数，折线统计图能看出数据的变化趋势，解决问题时要根据需要选择合适的统计图． 1．（2025·山东烟台·模拟预测）为了调查不同时间段的车流量，某学校的兴趣小组统计了不同时间段的车流量，如图是各时间段的小车与公车的车流量，则下列说法正确的是（　　） A．小车的车流量相对更稳定 B．小车的车流量的平均数较大 C．小车与公车车流量的变化趋势相同 D．两种车车流量在同一时间段均达到低谷 【答案】B 【分析】本题主要考查了从统计图获取信息，求平均数，由统计图可知，小车的车流量的波动比公车的车流量波动大，据此可判断A；小车的车流量在每个时段都大于公车的车流量，结合平均数的定义可判断B；小车的车流量先上升后下降，再上升，公车的车流量，先上升后下降，据此可判断C；根据统计图可知小车的低谷比公车的低谷早，据此可判断D． 【详解】解：A、由统计图可知，小车的车流量的波动比公车的车流量波动大，故公车的车流量相对更稳定，原说法错误，不符合题意； B、观察小车与公车的车流量图可知，小车的车流量在每个时段都大于公车的车流量， ∴小车的车流量的平均数较大，原说法正确，符合题意； C、小车的车流量先上升后下降，再上升，公车的车流量，先上升后下降，二者的变化趋势不相同，原说法错误，不符合题意； D、两种车车流量不在同一时间段均达到低谷，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 2．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，用雷达图展示小智参与趣味数学活动过程中探索学习、动手操作、沟通合作、创新、问题解决五项能力的得分，分别按进行综合评价，则他的综合得分为（   ）． A．10 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了加权平均数的计算，加权平均数公式为：（其中分别为的权）． 根据加权平均数的计算公式计算即可． 【详解】 ， 故选：C． 3．（2025·山东东营·模拟预测）对于一组统计数据：，，，，，.下列说法错误的是（   ） A．众数是 B．中位数是 C．极差是 D．平均数是 【答案】B 【分析】根据平均数、众数、中位数和极差的定义分别进行计算，即可求出答案． 此题考查了平均数、众数、中位数和极差，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值，中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数，众数是一组数据中出现次数最多的数． 【详解】解：出现了次，出现的次数最多， 则众数是； 共有个数，将数据按照从小到大顺序排列为：，，，，， 中位数是第，个数的平均数， 则中位数是； 极差是； 平均数是：； 则说法错误的是B； 故选：B． 二、填空题 4．（2025·山东青岛·模拟预测）小敏参加了“歌颂祖国75周年华诞”的诗歌创作大赛，以下为六位评委给小敏作品的打分（单位：分）：9，7，10，8，9，8．则这六个分数的中位数为__________ ． 【答案】8.5（分） 【分析】本题主要考查中位数的计算，解题的关键是，若这组数有偶数个，则中位数是中间两个的平均值． 先从小到大排序，再根据中位数的求解，若这组数有偶数个，则中位数是中间两个的平均值即可． 【详解】这组数从小到大排序为：7，8，8，9，9，10共6个数字， 所以这组数的中位数为第三、第四位的均值， 故中位数为（分）． 故答案为：8.5（分）． 5．（2025·山东青岛·模拟预测）小米同学是一名射击爱好者，她在一次比赛中的成绩如下 靶号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩（环） 6 7 7 8 8 9 9 9 10 结果10号靶的成绩被不小心误删了，若小米同学的平均成绩为8环，则小米同学成绩的中位数是______环． 【答案】8 【分析】本题考查了平均数和中位数．先求得10号靶的成绩，再根据中位数白定义求解即可． 【详解】解：10号靶的成绩为（环）， 则10个成绩从小到大重新排列为：6，7，7，7，8，8，9，9，9，10， 则小米同学成绩的中位数是（环）， 故答案为：8． 6．（2025·山东东营·三模）某组数据的方差计算公式为，则该组数据的样本容量是______． 【答案】 【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的计算公式． 根据方差的计算公式可直接得出答案． 【详解】解：， 该组数据的样本容量是， 故答案为：． 三、解答题 7．（2025·广东深圳·一模）百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级： ：，：，：，：， 下面给出了部分信息： 甲款评分数据中“满意”的数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款评分数据中组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90．甲、乙款评分统计表： 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中_______， _______， _______． (2)在此次测验中，有人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数． (3)（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率． 【答案】(1)，， (2)估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为人 (3)图见解析， 【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体，列表法或树状图法求概率等知识，正确理解中位数、众数的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键． （1）根据中位数的定义可得的值，根据众数的定义可得的值，用分别减去其他三个等级所占百分比可得的值，即可得出的值； （2）由甲、乙两款的非常满意的人数之和即可得出答案； （3）用树状图法求解即可． 【详解】（1）解：甲款评分数据中“满意”的数据中出现的次数最多， 众数． 乙款评分数据中、两组共有个数据， 乙款评分数据的中位数为第个和第个数据的平均数，而这两个数据分别为、，中位数． 乙款评分数据在组人数所占百分比为， 即． 故答案为：，，． （2）解：甲款评分数据中“非常满意”的人数占比， 对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为： （人）． 答：估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为人． （3）解：画树状图为： 由树状图可知，共有种等可能的结果数，其中两人都选择同款聊天机器人的结果为种，所以两人都选择同款聊天机器人的概率为． 8．（2025·河南周口·一模）某校举办了“机器人知识”竞赛，竞赛满分100分，80分及以上为优秀．从甲班和乙班各随机抽取8名学生，对这8名学生的成绩进行了收集、整理、分析． 【收集数据】 甲班8名学生竞赛成绩：90，93，80，80，85，80，75， 乙班8名学生竞赛成绩：100，90，79，90，83，85，56， 【整理数据】小聪同学将甲、乙两个班级抽取学生的成绩进行了整理，并绘制了如图所示的统计图． 【分析数据】甲、乙两个班级抽取学生的竞赛成绩统计表， 班级 特征数 平均数 中位数 众数 方差 优秀率 甲班 80 n 乙班 m 90 【解决问题】请根据以上信息，解决以下问题： (1)填空：______，______，______填“>”“<”或“=”） (2)请你选择两个特征数进行分析，判断哪个班成绩比较好，并简要说明理由． (3)该校共有800人参加了此次竞赛活动，估计全校参加此次竞赛活动成绩在80分及以上的学生人数共有多少人？ 【答案】(1)84，80，； (2)甲班成绩较好，理由见解析 (3)550人 【分析】本题考查了统计的知识，熟练掌握中位数、众数、方差的意义是解答本题的关键． （1）根据中位数的定义可求出m，根据众数的定义可求出n，根据折线的波动幅度可判断方差的大小； （2）选择两个特征数分析即可； （3）用800乘以80分及以上的学生人数占的比例即可． 【详解】（1）解：乙班成绩从小到大排列：56，75，79，83，85，90，90，100， ， 甲班成绩出现次数最多的数据为，故， 由“抽取学生的竞赛成绩折线统计图”可知：甲班学生的成绩更集中， ， 故答案为：84，80，； （2）甲班成绩较好，理由如下： ①从平均数和优秀率的角度来说，甲、乙两个班级成绩的平均分一样，但甲班优秀率高于乙班，所以甲班成绩比乙班好； ②从平均数和方差的角度来说，甲、乙两个班级成绩的平均分一样，但乙班的方差大于甲班的方差，所以甲班的成绩比较好答案不唯一； （3）人， 答：估计全校参加此次竞赛活动成绩在80分及以上的学生人数共有550人． 9．（2025·山东泰安·一模）2025年3月15日，我国“思维高景三号卫星-搭载天雁23星”成功发射．学校为了解学生对航空航天知识的掌握情况，对八、九年级学生进行了测试，此次测试采用百分制，并规定90分及以上为优秀，80～89分为良好，60～79分为及格，59分及以下为不及格，从八、九年级各随机抽取20名学生的测试成绩，将数据进行以下整理与分析． ①抽取八年级20名学生的成绩如表： 65 87 57 96 79 67 89 97 77 100 83 69 89 94 58 97 69 78 81 88 ②抽取八年级20名学生成绩的频数分布直方图如图1所示（数据分成5组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）； ③抽取九年级20名学生成绩的扇形统计图如图2所示； ④八年级、九年级各抽取的20名学生成绩的平均数、中位数、方差如表： 年级 平均数 中位数 方差 八年级 81 a 167.9 九年级 82 81 106.3 请根据以上信息，回答下列问题： (1)a=_______； (2)补全八年级20名学生成绩的频数分布直方图； (3)目前该校八年级学生有400人，九年级学生有600人，估计两个年级此次测试成绩达到优秀的学生总人数； (4)你认为哪个年级的学生成绩较好？请说明理由并给出合理化建议． 【答案】(1)82； (2)见解析； (3)优秀的学生总人数大约有280人； (4)九年级学生成绩较好，理由见解析． 【分析】本题考查中位数、众数、平均数以及频数分布直方图，理解中位数、众数、平均数的定义是解题关键． (1)根据中位数的定义求出八年级这20名学生成绩的中位数，即a的值； (2)根据频数之和等于样本容量可求出“60～70”的频数，进而补全频数分布直方图， (3)分别求出八、九年级优秀等级的人数，进而即可求解； (4)根据八、九年级的平均数，中位数，方差比较得出答案． 【详解】（1）解：把八年级20名学生的成绩按从小到大排序后，位于第10和11位的分数为81，83， 处在中间位置的两个数的平均数为2， 因此中位数是82，即a＝82， 故答案为：82； （2）结合八年级20名学生的成绩表，得出60～70的人数有4人， 补全频数分布直方图，如图1所示： （3）八年级优秀人数为：（人）， 九年级优秀的人数为：（人）， （人）， 答：优秀的学生总人数大约有280人； （4）九年级学生成绩较好， 理由：九年级学生成绩的平均数较大，而方差较小，说明平均成绩较高，且波动不大，因此九年级学生的成绩较好． 10．（2025·山东·模拟预测）2024年12月17日，神舟十九号乘组完成首次出舱活动，用时9小时，刷新了中国航天员单次出舱活动时长纪录．为大力弘扬航天精神，普及航天知识，激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，校团委以此为契机，组织了“航空航天知多少”知识竞赛．随机抽查七、八年级各15名同学成绩进行分析，相关信息如图表所示： 成绩x/分 七年级 4 3 5 3 八年级 0 0 5 10 平均数 中位数 众数 方差 七年级 15.4 a 16 8 八年级 18.2 18 b 说明：七年级抽取的15名同学的竞赛成绩在分数段内的具体成绩为14，16，17，16，15，16，15，16．根据以上信息，解答下列问题． (1) ； ； (2) （填“”“”或“”）．你认为哪个年级同学掌握有关“航天”的知识更好？请说明理由； (3)学校从“”范围内随机抽取了4名学生，其中有3名男生和1名女生，若从这4名学生中随机选取2名学生进行访谈，请用列表或画树状图的方法求所选取的2名学生恰好是2名男生的概率． 【答案】(1)16，19 (2)，八年级同学掌握有关“航天”的知识更好，理由见解析 (3) 【分析】（1）将七年级15名同学的成绩按照从小到大的顺序排列，中间第8名同学的成绩即为中位数，八年级15名同学中出现次数最多的成绩即为众数； （2）方差的计算公式：；中位数、众数越大，掌握情况越好，方差越小，越稳定，只需比较这三个数即可； （3）列表可知所有可能的情况共有n种，其中选取的2名学生恰好是两名男生的结果有m种，； 本题主要考查了中位数、众数和方差的定义与计算，列表法或树状图法求概率等知识点，熟练掌握方差的计算和列表法或树状图法求概率是解题的关键． 【详解】（1）解：将七年级抽取的15名同学的竞赛成绩按照从小到大的顺序排列，排在第8名的成绩为16， ∴． 由八年级抽取的15名同学的竞赛成绩统计图可知成绩为19的人数最多， ∴． 故答案为：16，19； （2）由图表信息可知， ∵七年级成绩的方差为8，八年级成绩的方差为1.76， ∴． 故答案为：． 八年级同学掌握有关“航天”的知识更好． 理由：∵八年级成绩的平均数、中位数、众数都大于七年级，且八年级成绩的方差小于七年级， ∴八年级同学掌握有关“航天”的知识更好； （3）列表如表： 男 男 男 女 男 —— (男，男) (男，男) (男，女) 男 (男，男) —— (男，男) (男，女) 男 (男，男) (男，男) —— (男，女) 女 (女，男) (女，男) (女，男) —— 共有12种等可能的结果，其中所选取的2名学生恰好是两名男生的结果有6种， ∴所选取的2名学生恰好是2名男生的概率为． 11．（2025·山东聊城·三模）2025年月是第个全国近视防控宣传教育月，其主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”，某社区医院的眼科大夫进行入校园检查七、八年级的学生视力活动，检查结束后，随机抽取部分八年级的学生的视力情况进行查看，将视力情况（用表示）分为四组：组（），组（），组（），组（） 其中组的视力情况为：，，，，，，，，，，，，，，，，， 绘制了如下不完整的频数直方图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)补全频数直方图，抽取的学生总数为_______； (2)扇形统计图中组所对应的圆心角的度数为_______； (3)视力在以下（包括）的学生通常认为是低于正常水平的，需要及时复查治疗，如果该校初二年级有名学生，请估计该年级视力低于正常水平的有多少学生？ 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 4.6 4.8 4.7 2.03 八年级 4.5 a 4.6 3.06 (4)求出表中的a值，并根据表中的数据评价一下七八年级学生的视力情况，并对视力较差的学生提出合理化的建议． 【答案】(1)补全统计图见解析， (2) (3)该年级视力低于正常水平的有名学生 (4)，建议见解析 【分析】（1）通过B组数据数出B组频数，结合扇形统计图中C组占比求出总数，再算出C组频数补全直方图． （2）用A组频数除以总数再乘得到A组圆心角度数． （3）先算出样本中视力低于正常水平（A、B组）的频率，再用总人数乘该频率估计总体． （4）先根据总数确定八年级数据个数，排序找中位数得，再对比七、八年级统计量评价视力情况并提建议． 【详解】（1）解：设抽取学生总数为，则 ， ∴ ， 解得． 故抽取的学生总数为． 组频数组频数，补全直方图如下： ， 故答案为：40； （2）解：∵ A组频数是，总数是， ∴ A组所对应圆心角的度数． 故答案为 ． （3）解： 估计视力低于正常水平的学生数（名）． 故估计该年级视力低于正常水平的有名学生 ． （4）解：八年级抽取名学生，中位数是按顺序排列后第、个数据的平均数．将八年级视力数据排序后，第、个数据都是， ∴ 中位数． 对比七、八年级数据，七年级平均数、中位数、众数都大于八年级，七年级方差小于八年级方差 ．说明七年级学生视力整体较好，数据更集中；八年级视力稍差，数据离散程度大 ． 建议：视力较差学生应减少电子产品使用时间，保证充足睡眠，坚持做眼保健操，多参加户外活动，定期检查视力． 【点睛】本题主要考查了频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数等知识点，熟练掌握各统计量的计算方法和统计图的运用是解题的关键． 考点二 概率 题型一 简单概率求解 紧扣古典概型概率公式 P (A)= 事件 A 包含的等可能结果数 / 试验所有等可能结果数，先精准确定总事件数与目标事件数，一步计算概率，适用于单次、等可能的基础随机事件求解。 误判非等可能事件为等可能事件，直接套用公式；目标事件数与总事件数计数时出现重复或遗漏；混淆放回与不放回试验场景，导致结果数计算错误。 1．（2025·山东济南·中考真题）在一个不透明的袋中有2个红球、3个黄球和4个白球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为___________． 【答案】 【分析】此题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率． 直接利用概率公式求解即可． 【详解】解：因为不透明的袋中有2个红球、3个黄球和4个白球，这些球除颜色外都相同， 所以从中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为， 故答案为：． 2．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，小莹对三个相连的方格进行涂色．在给每个方格涂色时，均从红、蓝两种颜色中随机选取一种，那么相邻两个方格所涂颜色不同的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列举法求概率，列举所有可能结果红红蓝，红蓝红，红蓝蓝，蓝蓝红，蓝红红，蓝红蓝，红红红，蓝蓝蓝，共种， 相邻两个方格所涂颜色不同的有种，红蓝红，蓝红蓝，然后用概率公式即可求解，掌握列举法求概率是解题的关键． 【详解】解：∵从红、蓝两种颜色中随机选取一种， ∴有红红蓝，红蓝红，红蓝蓝，蓝蓝红，蓝红红，蓝红蓝，红红红，蓝蓝蓝，共种， 相邻两个方格所涂颜色不同的有种，红蓝红，蓝红蓝， ∴故相邻两个方格所涂颜色不同的概率是， 故选：． 3．（2025·山东东营·中考真题）2025年是乙巳蛇年，“巳巳如意”将蛇年与如意相结合，表达对新一年事事如意、顺遂美好的期盼．将分别印有“巳”、“巳”、“如”、“意”的四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张，则抽取到的卡片上印有汉字“巳”的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查概率的计算，根据成功事件数与总事件数的比值求解． 【详解】解：总共有4张卡片，其中印有“巳”的卡片有2张， 因此，抽取到“巳”的概率为成功事件数除以总事件数，即， 故选：D． 题型二 列举法求概率 针对两步及以上的随机事件，两步试验用列表法、三步及以上用树状图法，不重不漏地列举所有等可能结果，再数出符合条件的目标结果数，代入概率公式计算，作答时规范标注试验的放回 / 不放回规则。 列举结果时出现重复或遗漏；不放回试验误按放回场景计算总结果数；概率计算时分子分母对应关系错误；作答不规范，未说明所有等可能结果的总数。 4．（2025·山东东营·中考真题）盒中有四张卡片，分别印有孤岛槐林、黄河入海口、红色刘集、孙子文化园图案，它们的形状和大小完全相同．两名同学先后从中随机抽取一张卡片（抽完后放回），则他们抽到的卡片图案相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列表法求概率，通过列举所有可能的抽取结果，再找出两人抽到卡片图案相同的结果，最后根据概率公式计算出相应概率． 【详解】解：记印有孤岛槐林、黄河入海口、红色刘集、孙子文化园图案的卡片分别为a，b，c，d，列表如下： a b c d a b c d 由表格可知，共有16种等可能的结果，其中他们抽到的卡片图案相同的结果有4种， ∴所求概率为， 故选：D． 5．（2025·山东滨州·中考真题）在一次试验中，每个电子元件▄有通电或断电两种状态，并且这两种状态的可能性相等．如图，在一定时间段内，A，B之间电流能够正常通过的概率是______． 【答案】 【分析】本题考查列举法求概率，列出所有等可能的结果，再利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，共有A断B通，A断B断，A通B断，A通B通，共4种等可能的结果，其中A，B之间电流能够正常通过的结果只有A通B通1种情况， 故A，B之间电流能够正常通过的概率是； 故答案为：． 6．（2025·山东德州·中考真题）把英文单词“”中的字母依次写在完全相同的6张卡片上，每张卡片上只写其中的1个字母．然后将卡片洗匀，从中随机抽取2张，恰好是字母相同的两张卡的概率是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了列表法与树状图法、概率公式，解题时要熟练掌握并能根据题意画出树状图是关键． 依据题意，画出树状图，从而可得随机抽取2张共有30种等可能性，其中恰好是字母相同的两张卡片有4种，进而可以计算概率求解． 【详解】根据题意，画出树状图如下： 从中随机抽取2张共有30种等可能性，其中恰好是字母相同的两张卡片有4种， 从中随机抽取2张，恰好是字母相同的两张卡片的概率为． 故答案为：． 题型三 几何图形的概率求解 核心运用几何概率公式，P (A)= 构成事件 A 的区域长度 / 面积 / 体积 ÷ 试验全部结果所构成的区域长度 / 面积 / 体积。先通过规则公式、割补法分别计算目标区域与总区域的几何量，再求比值得到概率。 总区域与目标区域的几何量计算错误；不规则图形的面积割补方法不当；混淆长度比与面积比的适用场景；忽略随机点在区域内等可能分布的核心前提。 7．（2024·山东济南·中考真题）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成四个扇形，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为______． 【答案】 【分析】根据简单地概率公式计算即可． 本题考查了简单地概率公式计算，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，一共有4种等可能性，其中红色的等可能性只有1种， 故当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为． 故答案为：． 8．（2024·山东东营·中考真题）如图，四边形是平行四边形，从①，②，③，这三个条件中任意选取两个，能使是正方形的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的判定，用概率公式求概率，掌握正方形的判定方法和概率公式是解题的关键． 根据从①，②，③，这三个条件中任意选取两个，共有①②、①③、②③，3种方法，由正方形的判定方法，可得①②、①③共有2种可判定平行四边形是正方形．再根据概率公式求解即可． 【详解】解：从①，②，③，这三个条件中任意选取两个，共有①②、①③、②③，3种方法，由正方形的判定方法，可得①②、①③共有2种可判定平行四边形是正方形． ∴，从①，②，③，这三个条件中任意选取两个，能使是正方形的概率为． 故选：A． 9．（2024·山东威海·中考真题）如图，在扇形中，，点是的中点．过点作交于点，过点作，垂足为点．在扇形内随机选取一点，则点落在阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是求不规则图形的面积，几何概率，根据阴影部分面积等于扇形的面积，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∵点是的中点 ∴ ∴ ∴ ∴，， 点落在阴影部分的概率是 故选：B． 知识1 概率 画树状图或列表是列举所有机会均等的结果的重要方法，通过画树状图或列表，把所有机会均等的结果一一列出，有利于帮助我们分析问题，并且可以避免出现重复和遗漏． 1．（2025·山东泰安·一模）泰安市境内有诸多风景名胜，泰山、东平湖、大汶口文化遗址、徂徕山、岱庙就是其中处景点，将这处景点制作成卡片（除汉字外其他都相同），随机从中抽取张卡片，则抽到含“山”字卡片的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．随机从中抽取张卡片有种等可能结果，其中抽到含“山”字卡片的有种结果，再根据概率公式求解即可. 【详解】解：随机从中抽取张卡片有种等可能结果，其中抽到含“山”字卡片的有泰山、徂徕山种结果， 则抽到含“山”字卡片的概率为． 故选：C ． 2．（2025·山东临沂·二模）在2025年春晚《迎福》中展示了中华民族多种非遗文化，包含了潍坊风筝、植物染、南京云锦、扬州绒花、成都漆艺等，若从以上五种非遗文化中随机选一种文化展开学习，则选中“植物染”的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查概率的计算，根据概率公式即可求解． 【详解】解：总共有5种非遗文化，每种被选中的可能性相等．选中“植物染”是其中一种情况，故概率为． 故选B． 3．（2025·山东聊城·三模）某校艺术节演讲比赛的决赛共有8名学生入围，将8名同学分为A、B两组，A组有3名男生和1名女生，B组有2名男生和2名女生，现在分别从A，B两组中随机抽取1名学生进行，则抽取的两名同学都是男生的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列表法与树状图法求概率，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 根据题意先列表，然后根据概率公式列式计算即可得出答案． 【详解】列表：            A组 B组             男 男 男 女 男 男男 男男 男男 女男 男 男男 男男 男男 女男 女 男女 男女 男女 女女 女 男女 男女 男女 女女 共16种等可能结果，抽取的两名同学都是男生的结果是6种， ∴抽取的两名同学都是男生的概率是． 故选：A． 4．（2025·山东滨州·二模）如图1所示，是地理学科实践课上第一小组同学在一张面积为的长方形卡纸上绘制的山东省政区图（图中阴影部分），他们想了解该图案的面积是多少，经研究采取了以下办法：将长方形卡纸水平放置在地面上，在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果）．他们将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的统计图，由此估计不规则图案的面积大约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查利用频率估算概率，几何概率，先根据折线图，利用频率估算出概率，再利用几何概率的计算公式，进行求解即可． 【详解】解：由图可知，随着试验次数的增加，频率稳定在左右， ∴， ∴不规则图案的面积为； 故选B． 二、填空题 5．（2025·山东青岛·三模）如图，小靓用七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形内，装饰图中的三角形顶点，分别在边，上，三角形的边在边上，若在矩形区域内随机取点，则这个点落在空白部分的概率______． 【答案】/ 【分析】设七巧板的边长为，根据正方形的性质、矩形的性质分别表示出，，进一步求出落在空白部分的概率． 本题考查了几何概率，矩形的性质，七巧板，关键是熟悉七巧板的特征，表示出，的长． 【详解】解：设七巧板的边长为，则，， ∴矩形区域的面积， ∴空白部分的面积， ∴这个点落在空白部分的概率为． 故答案为：． 6．（2025·山东济南·三模）如图，在扇形中，，．在扇形内随机选取一点，则点落在阴影部分的概率是_____． 【答案】 【分析】本题考查了几何概率和扇形的面积，分别表示出扇形和扇形的面积，再根据几何概率的概念求值即可． 【详解】解：扇形的面积：； 扇形的面积：． ∴点D落在阴影部分的概率是：， 故答案为：． 7．（2025·山东菏泽·三模）如图，中，，点是的中点．过点作交于点，过点作，垂足为点．在扇形内随机选取一点，则点落在阴影部分的概率________． 【答案】 【分析】本题考查的是求不规则图形的面积，几何概率，根据阴影部分面积等于扇形的面积，即可求解． 【详解】解：∵，，， ， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴，， 点落在阴影部分的概率是， 故答案为：． 8．（2025·山东济南·二模）一个不透明口袋中装有8个白球和若干个黑球，这些球除颜色外其余均相同，在不允许将球倒出来的前提下，为估计口袋中黑球的个数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出1个球记下颜色后放回摇匀，不断重复上述过程多次，发现摸到黑球的频率稳定在0.6，根据上述数据，可估计口袋中大约有___________个黑球． 【答案】12 【分析】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量，根据摸到黑球的频率稳定在0.6，得到摸到黑球的概率为0.6，设黑球有个，根据黑球的数量等于总量乘以概率，列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵摸到黑球的频率稳定在0.6， ∴摸到黑球的概率为0.6， 设黑球有个，则：， 解得：； 故答案为：12． 9．（2025·山东济南·二模）在一个不透明的口袋中，装有红球和黄球共20个，它们除颜色外没有任何区别．摇匀后从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验，发现摸到黄球的频率是0.4，则口袋中大约有红球_______个． 【答案】12 【分析】本题主要考查用频率估计概率，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到摸到黄球的概率是0.4，据此求出黄球的数量，进而求解即可． 【详解】解：∵通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是0.4， ∴摸到黄球的概率是0.4， ∴黄球的个数为（个）， ∴口袋中大约有红球（个）， 故答案为：12． 三、解答题 10．（2025·广东深圳·一模）百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级： ：，：，：，：， 下面给出了部分信息： 甲款评分数据中“满意”的数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款评分数据中组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90．甲、乙款评分统计表： 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中_______， _______， _______． (2)在此次测验中，有人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数． (3)（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率． 【答案】(1)，， (2)估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为人 (3)图见解析， 【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体，列表法或树状图法求概率等知识，正确理解中位数、众数的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键． （1）根据中位数的定义可得的值，根据众数的定义可得的值，用分别减去其他三个等级所占百分比可得的值，即可得出的值； （2）由甲、乙两款的非常满意的人数之和即可得出答案； （3）用树状图法求解即可． 【详解】（1）解：甲款评分数据中“满意”的数据中出现的次数最多， 众数． 乙款评分数据中、两组共有个数据， 乙款评分数据的中位数为第个和第个数据的平均数，而这两个数据分别为、，中位数． 乙款评分数据在组人数所占百分比为， 即． 故答案为：，，． （2）解：甲款评分数据中“非常满意”的人数占比， 对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为： （人）． 答：估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为人． （3）解：画树状图为： 由树状图可知，共有种等可能的结果数，其中两人都选择同款聊天机器人的结果为种，所以两人都选择同款聊天机器人的概率为． 11．（2025·山东枣庄·二模）石家庄市有A，B，C，D，E五个景区很受游客喜爱．一旅行社对某小区居民在暑假期间去以上五个景区旅游（只选一个景区）的意向做了一次随机调查统计，并根据这个统计结果制作了如下两幅不完整的统计图． (1)该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是 人， ，想去C景区的有 人，并补全条形统计图； (2)被调查到的居民想去 景区旅游的人数最多，若该小区有居民1500人，试估计去该景区旅游的居民约有多少人？ (3)小明同学已去过E景区旅游，暑假期间计划与父母从A，B，C，D四个景区中，任选两个去旅游，求选到A，C两个景区的概率．（要求画树状图或列表求概率） 【答案】(1)200；35；40；图见解析 (2)B；525人 (3) 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图，画树状图求概率，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用D景区的人数除以占比，求出被调查到的总人数，再列式求出，去C景区的人数，最后补全条形统计图，即可作答． （2）运用样本估计总体进行列式计算，即可作答． （3）先画树状图，得出共有12种等可能的结果数，其中选到A，C两个景区的结果数为2，运用概率公式进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：， ∴该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是200人， ， 即； 想去C景区的人数为：（人）， 补全条形统计图为： （2）解：由（）的补全条形统计图得出被调查到的居民想去B景区旅游的人数最多，且 ∴， ∴估计去该景区旅游的居民约有525人； （3）解：依题意，画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中选到A，C两个景区的结果数为2， ∴选到A，C两个景区的概率． 12．（2025·山东青岛·二模）“五一”期间，小明一家为外出游玩目的地争执不下，小明爸爸想去崂山巨峰，而妈妈想去北九水．于是小明设计了一个游戏：有一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成三个扇形，转动转盘两次，若第次指针指向的数字减去第次的差为正数，则去崂山巨峰，若差为负数则去北九水．若指针刚好落在分割线上，则需要重新转动转盘，请用列表或画树状图的方法说明这个游戏对双方是否公平． 【答案】这个游戏对双方是公平的，理由见解析 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 根据概率公式求出去崂山巨峰、去北九水的概率的概率，再进行比较，即可得出答案． 【详解】解：这个游戏对双方是公平的，理由如下： 列表如下： 第2次    第1次 由表知，共有种等可能结果，其中差为正数的有种结果，差为负数的有种结果， 所以去崂山巨峰的概率去北九水的概率， 则这个游戏对双方是公平的． 4 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $