专题05 一元一次方程与二元一次方程组（5大考点）（全国通用）2026年中考数学一模分类汇编

专题05 一元一次方程与二元一次方程组 5大考点概览 考点01解一元一次方程 考点02一元一次方程的应用 考点03解二元一次方程组 考点04实际问题与二元一次方程组 考点05求参数 解一元一次方程 考点01 1．（2026·浙江舟山·一模）若代数式的值是，则___________． 2．（2026·浙江湖州·一模）小江解方程的过程如下： 解：去分母，得…………第一步 去括号，得…………第二步 合并同类项，得…………第三步 移项，得…………第四步 合并同类项，得…………第五步 (1)小江的解题过程有错误，他从第______步开始出现错误； (2)写出正确的解答过程． 3．（2026·安徽合肥·一模）解方程：，并检验． 4．（2026·广东广州·一模）定义运算：，例如．若，则__________． 5．（2026·陕西西安·一模）数轴上表示数m和的点到原点的距离相等，则m为________． 一元一次方程的应用 考点02 6．（2026·广东深圳·一模）氢氧化钠具有强碱性，用途广泛．已知该化合物中各元素的正负化合价代数和为0，下表是部分元素的化合价，则氢H元素的化合价应该为（   ） 元素 钠 氧O 氢H 化合价 ▲ A．0 B． C． D． 7．（2026·广东深圳·一模）【阅读材料】 养成健康饮水的习惯 素材1 《中国居民膳食指南》中提到“足量饮水”的建议：在温和气候条件下，成年人每天需喝水，如果等到渴了再喝水，身体可能已经处于缺水状态．建议大家养成主动饮水的习惯．喝水时要注意避免喝过冷或过热的水，否则会引起胃肠道不适，健康饮水的适宜温度在． 素材2 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．已知温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．整个接水过程中不计热量损失． 小贴士 接水过程不计热量损失，即：开水体积×开水的温度+温水的体积温水的温度=混合后的体积混合后的温度． 【问题解决】 (1)若用空杯先接了温水，后再接的开水，此时温水和开水混合后共有___________水； (2)小康先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，请解决以下问题： ①小康接水的时间一共用了，得到一杯的水，求这杯水混合后的水温； ②若小康想得到一杯温度不低于的水（不计热量损失），求小康接开水的时间至少是多少秒？ 8．（2026·广东佛山·一模）【项目主题】研学活动前期策划 【项目背景】为深化实践育人，某班计划利用小长假开展为期5天的研学活动．研学主题为“探工业智造，品非遗匠心”，具体研学活动内容包括如下： （1）①参观工业设计城；②游览智能制造科技园；③参加机器人操作体验活动； （2）①观看民俗表演；②参观非遗文化展览馆；③研学后参加非遗宣讲活动． 现有甲、乙、丙三家旅行社，收费标准均为500元/人．为更大程度地帮助同学降低研学费用，项目小组与三个旅行社沟通后，得到的优惠方案如下： 旅行社 优惠方案 甲旅行社 人均享9折优惠． 乙旅行社 缴纳1000元团游会员费后，人均可享8折优惠． 丙旅行社 为弘扬非遗文化，参加研学后非遗宣讲活动的人数若能超过半数（含半数），人均可享7折优惠；否则，人均享95折优惠． 【项目任务】项目小组通过初步计算发现：若全班同学都报名参加此次5天研学活动，选择乙旅行社的总费用比甲旅行社少1500元． (1)该班有几名同学？ (2)为选择一家最优惠的旅行社进行报名，项目小组前期需要收集哪些信息？又该如何根据这些信息做出选择？ 9．（2026·江苏扬州·一模）2026年是红军长征胜利90周年，某车间接到制作一批纪念章的任务，原计划每天制作400枚可以完成．实际制作时，每天比原计划多做100枚，结果提前5天完成任务，求这批纪念章一共有多少枚？设这批纪念章一共有x枚，请列方程解决问题． 10．（2026·江苏连云港·一模）某种直饮机上有温水、开水两个按钮，操作屏示意图如图所示，小明先接温水再接开水，打算接的水，期间不计热损失，利用图中信息解决下列问题： 物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量（开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度）． 生活经验：饮水适宜温度是（包括与）． (1)若小明先接温水，则还需再接开水的时间为____； (2)设小明接温水的时间为 ， ①若最终杯子中水的温度是，求的值； ②若要使水杯中水的温度为饮水适宜温度，求的取值范围． 11．（2026·江苏无锡·一模）杆秤是中国传统的称重工具，也是“公平、公正”的象征．某数学兴趣小组尝试制作一根简易杆秤，原料包括：一根轻质杆秤、一个秤盘（重量）、一个秤砣（重量）、一些细绳等（秤杆和细绳重量忽略不计）． 【了解原理】 组员已经知道，杆秤称物符合杠杆原理（动力动力臂阻力阻力臂）．如图，设所称物体重量为，则秤盘及物体的总质量为，秤盘到提纽的水平距离，秤砣到提纽的距离．当秤杆平衡时，得． (1)若取，为了得到零刻度点O的位置，在秤盘为空的状态下，调节秤砣的位置至杆秤平衡，此时点C的位置即为点O．请计算此时的长． 【数学建模】 (2)在（1）的条件下，为了得到其它刻度线的制作规律，请先分析y与x之间的函数关系，并依此说明杆秤上的刻度线是否是均匀的，即当x每增加相同的数值，y的增加量是否也相同？ 【调整优化】 (3)杆秤可用的长度，为了保证杆秤的最大刻度不小于，请计算说明a的取值范围． 12．（2026·江苏无锡·一模）2026年江苏省城市足球联赛又将拉开帷幕、足球比赛积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若某队进行了15场比赛，其中负了5场，共得24分，则该队胜了几场？假设该队胜了x场，根据题意可得方程为（   ） A． B． C． D． 13．（2026·江苏无锡·一模）《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐，乙发齐，七日至长安，今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国，乙从齐国出发，7日到长安，现乙先出发2日，甲才从长安出发．问甲经过多少日与乙相逢？设甲经过日与乙相逢，可列方程为（   ） A． B． C． D． 14．（2026·江苏无锡·一模）古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百三十里，驽马日行一百四十里，驽马先行一十一日，问良马几何追及之．意思是：跑得快的马每天走230里，跑得慢的马每天走140里．慢马先走11天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则由题意，可列方程为（　　） A． B． C． D． 15．（2026·江苏无锡·一模）我国古代数学著作《九章算术》中有一道“假田”问题．具体如下：今有田亩租赁，出租第一年3亩收1钱；第二年4亩收1钱；第三年5亩收1钱．三年共收得地租100钱．问租赁田多少亩？若设租赁田亩，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 16．（2026·浙江衢州·一模）如图，将某种规格的长方形纸板按照图1、图2所示的两种方法裁剪，分别可裁得2块小长方形纸板和3块小正方形纸板．3块相同的小长方形纸板和2块小正方形纸板可做成图3所示的无盖长方体纸盒． 现有此种规格的长方形纸板共m张．设按图1方法裁剪用了x张长方形纸板，剩余的纸板按图2方法裁剪．部分数量关系如下表： 裁剪方法纸板数量（张） 图1所示方法 图2所示方法 裁得的纸板数量 小长方形纸板数 正方形纸板数 y (1)①若裁剪出的小长方形和小正方形纸板恰好全部用完，用含x的代数式表示y； ②当时，最多能做多少个无盖长方体纸盒？列方程解决问题； (2)当时，最多能做多少个无盖长方体纸盒？请直接写出答案． 17．（2026·浙江杭州·一模）某学校一种营养快餐由蛋白质、脂肪、矿物质、碳水化合物四种成分组成，一份营养快餐的总质量为，各种成分的质量如下表：经检测，蛋白质的质量比矿物质质量的4倍多15g，则列出方程正确的是（   ） 成分 蛋白质 脂肪 矿物质 碳水化合物 质量（g） 15 120 A． B． C． D． 18．（2026·浙江杭州·一模）每年月日至月日为我国个人所得税综合所得年度汇算清缴期．开展个税汇算，有利于纳税人准确计算全年实际应纳个人所得税，通过专项附加扣除（子女教育、赡养老人、住房贷款利息等）依法享受税收优惠，多退少补，切实维护纳税人合法权益，促进税负公平． 材料一：全年应纳税所得额全年税前综合收入（不包括三险一金，且后文中的提到税前综合收入均不包括三险一金）元（基本减除费用）专项附加扣除．应纳税额全年应纳税所得额适用税率速算扣除数． 居民个人综合所得税率表（部分） 全年应纳税所得额 税率（） 速算扣除数 不超过元的 超过元至元的 超过元至元的 居民全年一次性奖金税率表（部分） 全年一次性奖金 税率（） 速算扣除数 不超过元的 超过元至元的 超过元至元的 材料二：根据财政部的政策，至年月日之前，居民个人取得的全年一次性奖金可以选择并入当年的综合收入，也可以选择单独计算纳税．如果单独计算纳税，全年一次性奖金的税额计算公式为：全年一次性奖金应纳税额全年一次性奖金收入适用税率速算扣除数． 例如，小张全年税前综合收入为元，其中全年一次性奖金元，无专项附加扣除，若小张选择合并计税，则应纳税额元；若小张选择单独计税，则应纳税额元．材料三：为兼顾不同家庭的实际负担，个税设置专项附加扣除，其中子女教育专项附加扣除额度为元，夫妻可协商分配扣除额度，选择各，或者一方扣除． (1)小李全年税前综合收入为元，其中全年一次性奖金元，专项附加扣除有额度元，试通过计算，为小李选择纳税最少的计税方式． (2)应届本科毕业生小王，无专项附加扣除．经过对比，小王发现自己最优全年纳税额为元．已知其全年一次性奖金不低于元但不超过元，试问小王的税前年综合收入范围是多少？ (3)小陈、小丽夫妻有一女儿正在读初中，夫妻俩税前年综合收入均为万元，其中小陈全年一次性奖金元，小丽全年一次性奖金元，除子女教育外均无其他专项附加扣除．小丽觉得大家收入都相同，应该平摊子女教育的额度，但是小陈反对，认为自己全部扣除更加合理．从家庭综合收入的角度考虑，请你通过计算说明谁的方式更合理． 解二元一次方程组 考点03 19．（2026·浙江金华·一模）解方程组： 20．（2026·浙江台州·一模）解方程组：． 21．（2026·浙江湖州·一模）关于和的二元一次方程组的解是__________． 22．（2026·江苏宿迁·一模）若，满足方程组，则的值为______． 23．（2026·广东汕尾·一模）下面是两位同学解方程组的做法： 善善的做法： 由方程①，得③． 将方程③代入②，得：，解得． 把代入③，得． ∴方程组的解为 美美的做法： 由，得③． 由，得， 解得． 把代入①，得． ∴方程组的解为 请认真阅读并完成下面的问题： (1)善善的消元方法是______；美美的消元方法是______． (2)判断______（选填“善善”或“美美”）的解答过程有误，并运用该同学的消元方法进行正确解答． 24．（2026·广东·一模）解方程组． 25．（2026·山西吕梁·一模）计算与解方程组 (1)计算：； (2)解方程组：． 26．（2026·江苏无锡·一模）解不等式及解方程组： (1)解不等式：； (2)解方程组：． 27．（2026·山西吕梁·一模）计算与解方程组 (1)计算：； (2)解方程组： 28．（2026·山西吕梁·一模）方程组的解是（　　） A． B． C． D． 29．（2026·山西太原·一模）按要求完成下列各题： (1)计算：； (2)解方程组：． 实际问题与二元一次方程组 考点04 30．（2026·广东佛山·一模）如图所示，某学校开发一块长方形试验田作为劳动教育实践基地，通过初步设计，该试验田由大小形状完全相同的7块小长方形组成，经测量，试验田的周长为米，请计算该试验田的面积． 31．（2026·福建泉州·一模）某航天基地规划建设新型试验场，将部分原有测试平台改建为智能观测区．改建后，智能观测区与测试平台总面积共198亩，测试平台面积是智能观测区面积的．若设改建后智能观测区的面积为x亩，测试平台的面积为y亩，则根据条件可列方程组是（   ） A． B． C． D． 32．（2026·江苏无锡·一模）明代数学家程大位的著作《算法统宗》中有一个问题：老头提篮去赶集，一共花去七十七；满满装了一菜篮，十斤大肉三斤鱼；买好未曾问单价，只因回家心里急；道旁行人告诉他，九斤肉五钱五斤鱼．问肉、鱼各价几何？若设肉x元/斤，鱼y元/斤，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 33．（2026·江苏徐州·一模）张大伯新建了一个养殖场，需要去集市购买母鸡，鸡仔，鸭子共只．已知一只母鸡元，一只鸭子元，只鸡仔元．张大伯一共花费了元，已知鸡仔一共买了只，问母鸡和鸭子各买了多少只？ 34．（2026·浙江丽水·一模）龙泉青瓷工艺是世界级非物质文化遗产，“浙”赛区冠军奖杯采用龙泉青瓷工艺制作，如图，杯身高占总高的，杯身高与底座高之和是，杯顶高与杯身高之和是，设杯身高为，底座高为，则根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 35．（2026·浙江·一模）我国数学著作《九章算术·卷七·盈不足》中有这样一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”译文：现有黄金9枚、白银11枚，放在天平两边，重量正好相等．如果从黄金中拿1枚放到白银那边，从白银中拿1枚放到黄金这边（互换1枚），这时黄金一边轻了13两．问：1枚黄金、1枚白银各重多少？设黄金一枚重两，白银一枚重两，根据题意，下列方程正确的是（    ）． A． B． C． D． 36．（2026·浙江温州·一模）清朝时期的课本《代微积拾级》中用“”来表示相当于的代数式．若“”的值为,“”的值为，则“天”与“地”的和为______． 37．（2026·浙江嘉兴·一模）某实践小组想仅用一架天平和一个10克的砝码测量出壹元硬币和伍角硬币的质量．于是，他们找来足够多的壹元和伍角硬币（假设同种类每枚硬币的质量相同），经过操作得到如下记录．请帮该实践小组算一算，一枚壹元硬币和一枚伍角硬币的质量分别是多少克？设一枚壹元硬币的质量为克，一枚伍角硬币的质量为克，则和满足的方程组是（   ） 记录 天平左边 天平右边 状态 记录一 5枚壹元硬币，1个10克的砝码 10枚伍角硬币 平衡 记录二 15枚壹元硬币 20枚伍角硬币，1个10克的砝码 平衡 A． B． C． D． 38．（2026·云南·一模）请你根据下列素材，完成有关任务， 背景 某文具店计划购进A，B两种品牌的笔袋． 素材一 A品牌笔袋每个进价比B品牌多5元； 素材二 2个A品牌和3个B品牌笔袋共需85元． 请完成下列任务： (1)求A，B两种品牌笔袋的每个进价； (2)该店计划购进两种品牌笔袋共40个，总进价不超过700元，且A品牌笔袋的数量不少于B品牌的一半，求共有几种进货方案． 39．（2026·云南保山·一模）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 为深入推进乡村振兴战略，助力乡村产业发展，某合作社推出云南特色苹果销售业务，主营甲、乙两个品种的苹果． 素材一 2箱甲种苹果和1箱乙种苹果的售价之和为280元； 素材二 3箱甲种苹果和2箱乙种苹果的售价之和为460元； 素材三 某公司计划从该合作社购买甲乙两种苹果共200箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果箱数的3倍． 请完成下列任务： (1)每箱甲种苹果，每箱乙种苹果的售价分别是多少元？ (2)给出该公司最节省费用的购买方案． 40．（2026·广东深圳·一模）成都市某中学数学组组织学生举行“数学创意大赛”，需购买A、B两奖品．若购买A奖品4个和B奖品5个，需210元；购买A奖品5个和B奖品6个，需255元． (1)A、B两奖品的单价各是多少元？ (2)学校计划共购买奖品300个，设购买A奖品个，购买这300个奖品的总费用为W元． ①求W关于的函数关系式； ②若购买A奖品的数量不少于40个，同时又不超过90个，则该学校购进A奖品、B奖品各多少个，才能使总费用最少？ 41．（2026·山西阳泉·一模）某初中八年级1班学生在博物馆进行研学活动，博物馆有人工讲解与智能AI讲解两种讲解服务可供选择，人工讲解每个小组可以请一位讲解员，费用由组员均摊，优点是可以随时与讲解员互动，但价格较高；智能AI讲解需组内每位同学租赁语音导览器，不能互动但价格较低．八年级1班共有7个小组，每组6人．若有4个组选择人工讲解、3个组选择智能AI讲解，所需总费用为1500元；若有2个组选择人工讲解，5个组选择智能AI讲解，所需总费用为1380元． (1)分别求请一位人工讲解员和租赁一个语音导览器的单价； (2)若要求此次讲解的总费用不高于1600元，请问至少有几个组选择智能AI讲解？ 42．（2026·云南大理·一模）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 大理白族扎染技艺流传千年，是第一批国家级非物质文化遗产，被誉为“针尖上的青花瓷”．某校文化节期间，舞蹈社团计划购买扎染服饰若干套用于表演，以彰显白族扎染非遗魅力，增强学生对大理民族文化的了解，提升文化自信． 素材一 经市场调查发现，每套女款扎染服饰比每套男款扎染服饰贵20元． 素材二 购买3套女款扎染服饰和5套男款扎染服饰共需540元； 素材三 该社团计划购买女款和男款服饰共30套，男女款均需购买，且购买男款的数量不超过购买女款数量的． 请完成下列任务： (1)任务一：计算每套女款和每套男款扎染服饰的价格分别是多少元？ (2)任务二：请给出最节省费用的购买方案． 求参数 考点05 43．（2026·四川南充·一模）若m，n互为倒数，且满足，则n的值为（   ） A． B． C． D．2 44．（2026·广东佛山·一模）已知是关于x的方程的解，则m的值是______． 45．（2026·河南周口·一模）已知关于x的一元一次方程的解为，则a的值为（   ） A． B．6 C． D． 46．（2026·河北石家庄·一模）已知是关于x的方程的解，则m的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 47．（2026·浙江丽水·一模）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为_________． 48．（2026·河南商丘·一模）若关于，的二元一次方程组的解都为正数，则的取值范围为______． 49．（2026·山东枣庄·一模）若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为______． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一元一次方程与二元一次方程组 5大考点概览 考点01解一元一次方程 考点02一元一次方程的应用 考点03解二元一次方程组 考点04实际问题与二元一次方程组 考点05求参数 解一元一次方程 考点01 1．（2026·浙江舟山·一模）若代数式的值是，则___________． 【答案】 【分析】根据题意列出分式方程求解的值，再检验即可．注意分式有意义的条件，分母不能为． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， 检验当时，， 因此是原分式方程的解． 2．（2026·浙江湖州·一模）小江解方程的过程如下： 解：去分母，得…………第一步 去括号，得…………第二步 合并同类项，得…………第三步 移项，得…………第四步 合并同类项，得…………第五步 (1)小江的解题过程有错误，他从第______步开始出现错误； (2)写出正确的解答过程． 【答案】(1)一 (2)见解析 【详解】（1）解：他从第一步开始出现错误； （2）解： ， 去分母，得， 去括号，得 ， 移项，得 合并同类项，得 ， 系数化为1，得． 3．（2026·安徽合肥·一模）解方程：，并检验． 【答案】是原方程的解，检验见解析 【分析】解一元一次方程并检验即可． 【详解】解：去括号,得 移项,得 合并同类项,得 系数化为1,得； 检验：把代入原方程,得 左边 右边 左边右边 所以是原方程的解. 4．（2026·广东广州·一模）定义运算：，例如．若，则__________． 【答案】 【分析】根据新定义的运算法则得到关于x的方程，然后解方程即可． 【详解】解：由题意可得， 解得． 5．（2026·陕西西安·一模）数轴上表示数m和的点到原点的距离相等，则m为________． 【答案】 【详解】解：数轴上表示数m和的点到原点的距离相等， ， ， ， ． 一元一次方程的应用 考点02 6．（2026·广东深圳·一模）氢氧化钠具有强碱性，用途广泛．已知该化合物中各元素的正负化合价代数和为0，下表是部分元素的化合价，则氢H元素的化合价应该为（   ） 元素 钠 氧O 氢H 化合价 ▲ A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据化合物化合价代数和为0的规则，先设未知数，再列方程求解，即可得到结果． 【详解】解：设氢元素的化合价为， ∵化合物中各元素正负化合价代数和为，且中钠、氧、氢各有个原子，钠元素化合价为，氧元素化合价为， ∴列方程得：， 解得：， 故氢元素化合价为， 7．（2026·广东深圳·一模）【阅读材料】 养成健康饮水的习惯 素材1 《中国居民膳食指南》中提到“足量饮水”的建议：在温和气候条件下，成年人每天需喝水，如果等到渴了再喝水，身体可能已经处于缺水状态．建议大家养成主动饮水的习惯．喝水时要注意避免喝过冷或过热的水，否则会引起胃肠道不适，健康饮水的适宜温度在． 素材2 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．已知温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．整个接水过程中不计热量损失． 小贴士 接水过程不计热量损失，即：开水体积×开水的温度+温水的体积温水的温度=混合后的体积混合后的温度． 【问题解决】 (1)若用空杯先接了温水，后再接的开水，此时温水和开水混合后共有___________水； (2)小康先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，请解决以下问题： ①小康接水的时间一共用了，得到一杯的水，求这杯水混合后的水温； ②若小康想得到一杯温度不低于的水（不计热量损失），求小康接开水的时间至少是多少秒？ 【答案】(1)温水和开水混合后共毫升水 (2)这杯水混合后的水温为；小康接开水的时间至少是秒． 【分析】（）根据题意列出算式，然后通过运算法则即可求解； （）设小康同学接了温水，则接了开水，根据题意得，解得，求出小康同学接了温水，开水，从而求得这杯水混合后的水温； 设小康接开水的时间是秒，由题意列出不等式，即可． 【详解】（1）解：， 答：此时温水和开水混合后共毫升水； （2）解：设小康同学接了温水，则接了开水， 根据题意得：， 解得：， ∴，， ∴小康同学接了温水，开水， ∴这杯水混合后的水温为； 设小康接开水的时间是秒，由题意得： ， 解得：， ∴接开水的时间至少是秒． 8．（2026·广东佛山·一模）【项目主题】研学活动前期策划 【项目背景】为深化实践育人，某班计划利用小长假开展为期5天的研学活动．研学主题为“探工业智造，品非遗匠心”，具体研学活动内容包括如下： （1）①参观工业设计城；②游览智能制造科技园；③参加机器人操作体验活动； （2）①观看民俗表演；②参观非遗文化展览馆；③研学后参加非遗宣讲活动． 现有甲、乙、丙三家旅行社，收费标准均为500元/人．为更大程度地帮助同学降低研学费用，项目小组与三个旅行社沟通后，得到的优惠方案如下： 旅行社 优惠方案 甲旅行社 人均享9折优惠． 乙旅行社 缴纳1000元团游会员费后，人均可享8折优惠． 丙旅行社 为弘扬非遗文化，参加研学后非遗宣讲活动的人数若能超过半数（含半数），人均可享7折优惠；否则，人均享95折优惠． 【项目任务】项目小组通过初步计算发现：若全班同学都报名参加此次5天研学活动，选择乙旅行社的总费用比甲旅行社少1500元． (1)该班有几名同学？ (2)为选择一家最优惠的旅行社进行报名，项目小组前期需要收集哪些信息？又该如何根据这些信息做出选择？ 【答案】(1)50名 (2)需要收集该班参加非遗宣讲活动的人数，设参加非遗宣讲活动的人数为m，当时，选择丙旅行社最优惠；当时，选择乙旅行社最优惠 【分析】（1）设该班有x名同学.，由题意得，甲旅行社的总费用为：（元） 乙旅行社的总费用为：（元），根据“选择乙旅行社的总费用比甲旅行社少1500元”建立一元一次方程求解； （2）根据丙旅行社的优惠规则，需要先收集参加非遗宣讲的人数，再分情况计算丙的总费用，和甲乙的总费用比较后即可得到最优惠的选择方案． 【详解】（1）解：设该班有x名同学.，由题意得，甲旅行社的总费用为：（元） 乙旅行社的总费用为：（元） 由题意得： 整理得： 解得： 答：该班有50名同学． （2）解：当时， 甲旅行社总费用：（元）； 乙旅行社总费用：（元） 丙旅行社的优惠规则和该班参加非遗宣讲活动的人数有关， 因此首先需要收集该班参加非遗宣讲活动的人数． 设参加非遗宣讲活动的人数为m，该班总人数为50，全班人数的半数为25， 当时，丙旅行社总费用为：（元） 因为，此时丙旅行社总费用最低，选择丙旅行社； 当时，丙旅行社总费用为：（元） 因为，此时乙旅行社总费用最低，选择乙旅行社． 答：需要收集该班参加非遗宣讲活动的人数，设参加非遗宣讲活动的人数为m，当时，选择丙旅行社最优惠；当时，选择乙旅行社最优惠． 9．（2026·江苏扬州·一模）2026年是红军长征胜利90周年，某车间接到制作一批纪念章的任务，原计划每天制作400枚可以完成．实际制作时，每天比原计划多做100枚，结果提前5天完成任务，求这批纪念章一共有多少枚？设这批纪念章一共有x枚，请列方程解决问题． 【答案】10000枚 【分析】设这批纪念章一共有枚，原计划每天制作400枚，原计划完成时间为天，实际每天比原计划多做100枚，实际每天制作枚，实际完成时间为天，根据实际比原计划提前5天完成，列方程求解即可； 【详解】解：设这批纪念章一共有枚， 根据题意可得， 解得：， 答：这批纪念章一共有枚． 10．（2026·江苏连云港·一模）某种直饮机上有温水、开水两个按钮，操作屏示意图如图所示，小明先接温水再接开水，打算接的水，期间不计热损失，利用图中信息解决下列问题： 物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量（开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度）． 生活经验：饮水适宜温度是（包括与）． (1)若小明先接温水，则还需再接开水的时间为____； (2)设小明接温水的时间为 ， ①若最终杯子中水的温度是，求的值； ②若要使水杯中水的温度为饮水适宜温度，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）设需再接开水的时间为．根据题意列出一元一次方程，解方程即可得出答案； （2）①由题意知温水体积为，开水体积为，设水杯中水的温度为，根据题意得出与的关系式，再代入数据即可求解； ②根据饮水适宜温度是，结合①中的与的关系式，列出不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】（1）解：设需再接开水的时间为． 根据题意，得， 解得． 答：需再接开水的时间为． （2）解：①由题意，知温水体积为，开水体积为， 设水杯中水的温度为，由题意， ∴， ∴当时． 解得： ②∵饮水适宜温度是， ∴， 解得． 11．（2026·江苏无锡·一模）杆秤是中国传统的称重工具，也是“公平、公正”的象征．某数学兴趣小组尝试制作一根简易杆秤，原料包括：一根轻质杆秤、一个秤盘（重量）、一个秤砣（重量）、一些细绳等（秤杆和细绳重量忽略不计）． 【了解原理】 组员已经知道，杆秤称物符合杠杆原理（动力动力臂阻力阻力臂）．如图，设所称物体重量为，则秤盘及物体的总质量为，秤盘到提纽的水平距离，秤砣到提纽的距离．当秤杆平衡时，得． (1)若取，为了得到零刻度点O的位置，在秤盘为空的状态下，调节秤砣的位置至杆秤平衡，此时点C的位置即为点O．请计算此时的长． 【数学建模】 (2)在（1）的条件下，为了得到其它刻度线的制作规律，请先分析y与x之间的函数关系，并依此说明杆秤上的刻度线是否是均匀的，即当x每增加相同的数值，y的增加量是否也相同？ 【调整优化】 (3)杆秤可用的长度，为了保证杆秤的最大刻度不小于，请计算说明a的取值范围． 【答案】(1) (2)x每增加相同的数值，y的增加量相同 (3) 【分析】（1）由，得，将代入求解即可； （2）由题意可得，设（为常数），计算即可； （3）求得，由 得x随着a的增大而减小，结合反比例函数的性质代入即可求解． 【详解】（1）解：令，得， ， ∴， ∴， 即； （2）解：， ， ， 设（为常数）， 则， ∴是常数． ∴x每增加相同的数值，y的增加量相同． （3）解：， 整理得， ∵， ∴x随着a的增大而减小． 当最大刻度是时，令， 得， ∴． 12．（2026·江苏无锡·一模）2026年江苏省城市足球联赛又将拉开帷幕、足球比赛积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若某队进行了15场比赛，其中负了5场，共得24分，则该队胜了几场？假设该队胜了x场，根据题意可得方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算出胜场和平场的总场次，再根据积分规则列出方程即可； 【详解】解：∵该队共进行15场比赛，负了5场， ∴胜场和平场的总场次为场， ∵设胜了场， ∴平的场次为场， 又∵胜一场得3分，平一场得1分，总得分为24分， ∴总得分等于胜场得分加平场得分，可列方程：． 13．（2026·江苏无锡·一模）《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐，乙发齐，七日至长安，今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国，乙从齐国出发，7日到长安，现乙先出发2日，甲才从长安出发．问甲经过多少日与乙相逢？设甲经过日与乙相逢，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将长安到齐国的总路程看作单位1，根据题意得到甲乙各自的行走时间和日行程，利用甲的行程加乙的行程等于总路程的等量关系列方程即可． 【详解】解：设总路程为单位1， ∵甲走完全程需要5日， ∴甲每日的行程为， 甲走了日， ∴甲的总行程为， ∵乙走完全程需要7日， ∴乙每日的行程为， 又∵乙先出发2日，甲出发日后相逢， ∴乙一共行走了日， ∴乙的总行程为， ∵甲、乙两人的行程和等于总路程1， ∴可得方程 ． 14．（2026·江苏无锡·一模）古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百三十里，驽马日行一百四十里，驽马先行一十一日，问良马几何追及之．意思是：跑得快的马每天走230里，跑得慢的马每天走140里．慢马先走11天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则由题意，可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】追及时快马走的总路程等于慢马走的总路程，根据路程公式即可列方程． 【详解】解：∵快马每天走230里， ∴快马走的总路程为里， ∵慢马每天走140里，且先走11天， ∴慢马一共走了天，总路程为， 追及时两马路程相等，因此可得方程． 15．（2026·江苏无锡·一模）我国古代数学著作《九章算术》中有一道“假田”问题．具体如下：今有田亩租赁，出租第一年3亩收1钱；第二年4亩收1钱；第三年5亩收1钱．三年共收得地租100钱．问租赁田多少亩？若设租赁田亩，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三年共得100钱”列方程即可． 【详解】解：根据题意，得． 16．（2026·浙江衢州·一模）如图，将某种规格的长方形纸板按照图1、图2所示的两种方法裁剪，分别可裁得2块小长方形纸板和3块小正方形纸板．3块相同的小长方形纸板和2块小正方形纸板可做成图3所示的无盖长方体纸盒． 现有此种规格的长方形纸板共m张．设按图1方法裁剪用了x张长方形纸板，剩余的纸板按图2方法裁剪．部分数量关系如下表： 裁剪方法纸板数量（张） 图1所示方法 图2所示方法 裁得的纸板数量 小长方形纸板数 正方形纸板数 y (1)①若裁剪出的小长方形和小正方形纸板恰好全部用完，用含x的代数式表示y； ②当时，最多能做多少个无盖长方体纸盒？列方程解决问题； (2)当时，最多能做多少个无盖长方体纸盒？请直接写出答案． 【答案】(1)①②6 (2)13 【分析】（1）①根据长方形和正方形的纸板比为，即可列式求解． ②将代入，结合长方形和正方形的纸板比为，列出一元一次方程，即可求解． （2）设能做个无盖长方体纸盒，根据题意列一元一次不等式，再验证是否满足要求即可． 【详解】（1）解：①∵由题意可知，小长方形纸板有块，正方形纸板有块， ∴， ∴； ②当时， 依题意得：， 解得：， ∴图1方法用9张纸板，图2方法用4张纸板． ∴（个）， 答：最多能做6个无盖长方体纸盒； （2）解：设能做个无盖长方体纸盒，则需要小长方形纸板块，正方形纸板块， ∴按图1方法裁剪张，按图2方法裁剪张， ∴， 解得：， ∵为整数， ∴的最大值为13， 检验，当时，需要小长方形纸板块，正方形纸板块， 取20张纸板按图1方法裁剪，得到小长方形纸板40块；取9张纸板按图2方法裁剪，得到小长方形纸板27块，满足条件， 答：最多能做13个无盖长方体纸盒． 17．（2026·浙江杭州·一模）某学校一种营养快餐由蛋白质、脂肪、矿物质、碳水化合物四种成分组成，一份营养快餐的总质量为，各种成分的质量如下表：经检测，蛋白质的质量比矿物质质量的4倍多15g，则列出方程正确的是（   ） 成分 蛋白质 脂肪 矿物质 碳水化合物 质量（g） 15 120 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据总质量求出蛋白质和矿物质的质量和，再结合两者的数量关系整理得到方程即可． 【详解】解：营养快餐总质量为，其中脂肪质量为，碳水化合物质量为， 蛋白质与矿物质的总质量为， 又蛋白质的质量比矿物质质量的倍多，矿物质质量为， 蛋白质质量为， 因此可得方程：． 18．（2026·浙江杭州·一模）每年月日至月日为我国个人所得税综合所得年度汇算清缴期．开展个税汇算，有利于纳税人准确计算全年实际应纳个人所得税，通过专项附加扣除（子女教育、赡养老人、住房贷款利息等）依法享受税收优惠，多退少补，切实维护纳税人合法权益，促进税负公平． 材料一：全年应纳税所得额全年税前综合收入（不包括三险一金，且后文中的提到税前综合收入均不包括三险一金）元（基本减除费用）专项附加扣除．应纳税额全年应纳税所得额适用税率速算扣除数． 居民个人综合所得税率表（部分） 全年应纳税所得额 税率（） 速算扣除数 不超过元的 超过元至元的 超过元至元的 居民全年一次性奖金税率表（部分） 全年一次性奖金 税率（） 速算扣除数 不超过元的 超过元至元的 超过元至元的 材料二：根据财政部的政策，至年月日之前，居民个人取得的全年一次性奖金可以选择并入当年的综合收入，也可以选择单独计算纳税．如果单独计算纳税，全年一次性奖金的税额计算公式为：全年一次性奖金应纳税额全年一次性奖金收入适用税率速算扣除数． 例如，小张全年税前综合收入为元，其中全年一次性奖金元，无专项附加扣除，若小张选择合并计税，则应纳税额元；若小张选择单独计税，则应纳税额元．材料三：为兼顾不同家庭的实际负担，个税设置专项附加扣除，其中子女教育专项附加扣除额度为元，夫妻可协商分配扣除额度，选择各，或者一方扣除． (1)小李全年税前综合收入为元，其中全年一次性奖金元，专项附加扣除有额度元，试通过计算，为小李选择纳税最少的计税方式． (2)应届本科毕业生小王，无专项附加扣除．经过对比，小王发现自己最优全年纳税额为元．已知其全年一次性奖金不低于元但不超过元，试问小王的税前年综合收入范围是多少？ (3)小陈、小丽夫妻有一女儿正在读初中，夫妻俩税前年综合收入均为万元，其中小陈全年一次性奖金元，小丽全年一次性奖金元，除子女教育外均无其他专项附加扣除．小丽觉得大家收入都相同，应该平摊子女教育的额度，但是小陈反对，认为自己全部扣除更加合理．从家庭综合收入的角度考虑，请你通过计算说明谁的方式更合理． 【答案】(1)选择合并计税方式纳税最少； (2)小王的税前年综合收入不低于元，不高于元； (3)小陈的方式更合理． 【分析】本题考查了有理数运算的应用，一元一次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题干给出的应纳税额计算公式，分类计算不同方案的总纳税额，通过比较大小得到最优结果； （）设小王全年一次性奖金为，税前年综合总收入为，分类计算不同方案的总纳税额， 从而计算满足，即小王的税前年综合收入不低于元，不高于元； （）根据题干给出的应纳税额计算公式，分类计算不同方案的总纳税额，通过比较大小得到最优结果． 【详解】（1）解：分别计算两种计税方式的总应纳税额，再比较大小， 合并计税：全年应纳税所得额（元）， ∵， ∴适用税率，速算扣除数，则应纳税额（元）， 单独计税：综合部分应纳税所得额（元），综合部分应纳税额为，全年一次性奖金元，适用税率，速算扣除数，奖金应纳税额（元）， 总应纳税额（元）， 因为， 所以合并计税纳税更少， 答：选择合并计税方式； （2）解：设小王全年一次性奖金为，税前年综合总收入为， 单独计税时，奖金应纳税额为，综合部分应纳税所得额为， 当时，， 总应纳税额满足：， 整理得，代入的范围得， 当时，， 总应纳税额满足：， 整理得，解得， 综上，小王税前年综合收入满足， 答：小王的税前年综合收入不低于元，不高于元； （3）解：子女教育总扣除额度为元，分别计算两种扣除方式的家庭总纳税额： 第一种：平摊扣除，两人各扣除元， 计算小陈税额：小陈总收入元，奖金元，工资部分元，综合部分应纳税所得额（元）， 综合税额（元）， 奖金税额（元）， 小陈总税额（元）， 计算小丽税额：小丽总收入元，奖金元，工资部分元， 综合部分应纳税所得额（元）， 综合税额（元）， 奖金税额（元）， 小丽总税额（元）， 家庭总税额（元）； 第二种：小陈全额扣除元，小丽不扣除， 计算小陈税额： 综合部分应纳税所得额（元）， 综合税额（元）， 奖金税额（元）， 小陈总税额（元）， 计算小丽税额：综合部分应纳税所得额（元）， 综合税额（元）， 奖金税额（元）， 小丽总税额（元）， 家庭总税额（元）， 因为， 所以小陈的方式下家庭总纳税额更少， 答：小陈的方式更合理． 解二元一次方程组 考点03 19．（2026·浙江金华·一模）解方程组： 【答案】 【分析】利用加减消元法解二元一次方程组即可． 掌握消元法解方程组是解题的关键． 【详解】解：， 由得：， 解得， 将代入②中得：， 解得， 方程组的解为． 20．（2026·浙江台州·一模）解方程组：． 【答案】． 【分析】根据加减消元法解方程组即可． 【详解】解：， 得： 得：， 把，代入，得， 所以原方程组的解为． 21．（2026·浙江湖州·一模）关于和的二元一次方程组的解是__________． 【答案】 【详解】解： ①②得， 即 解得：， 将代入①得， 解得： ∴方程组的解为： 22．（2026·江苏宿迁·一模）若，满足方程组，则的值为______． 【答案】 【分析】将方程组中的两个方程相加，再进行化简即可得出答案． 【详解】解：， ①＋②，得：， ∴， 即的值为． 23．（2026·广东汕尾·一模）下面是两位同学解方程组的做法： 善善的做法： 由方程①，得③． 将方程③代入②，得：，解得． 把代入③，得． ∴方程组的解为 美美的做法： 由，得③． 由，得， 解得． 把代入①，得． ∴方程组的解为 请认真阅读并完成下面的问题： (1)善善的消元方法是______；美美的消元方法是______． (2)判断______（选填“善善”或“美美”）的解答过程有误，并运用该同学的消元方法进行正确解答． 【答案】(1)代入消元法，加减消元法 (2)美美，见解析 【分析】（1）根据两人的消元方法可得答案； （2）根据两人的解题过程可知美美在计算时方程右边的4没有乘以2，导致后续过程错误，据此利用加减消元法写出正确的解题过程即可． 【详解】（1）解：由题意得，善善的消元方法是代入消元法，美美的消元方法是加减消元法； （2）解：由题意得，美美的解答过程有误，正确解答如下： 由，得③， 由，得，解得． 把代入①，得． ∴原方程组的解为． 24．（2026·广东·一模）解方程组． 【答案】 【分析】利用加减消元法解题，两个式子相加消去未知数，再代入方程①求出的值． 【详解】解： ①+②得：， 解得： 把代入①得：， 解得： ∴原方程组的解是 25．（2026·山西吕梁·一模）计算与解方程组 (1)计算：； (2)解方程组：． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）分别计算乘方、负整数指数幂，然后按运算顺序进行计算即可； （）用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ，得，解得， 将代入，得， ∴原方程组的解为． 26．（2026·江苏无锡·一模）解不等式及解方程组： (1)解不等式：； (2)解方程组：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据解一元一次不等式的步骤计算即可得出结果； （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：移项可得：， 合并同类项可得：， 系数化为1可得：； （2）解：， 由可得：， 解得， 将代入②可得：， 解得， ∴方程组的解为． 27．（2026·山西吕梁·一模）计算与解方程组 (1)计算：； (2)解方程组： 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算括号内的运算，再算乘方、负整数指数幂和绝对值，然后算乘法，最后算加法； （2）利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 由①②得，，解得； 将代入①得，，解得， ∴原方程组的解为：． 28．（2026·山西吕梁·一模）方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】方程组运用加减法求解即可． 【详解】解： 得，， 解得， 把代入①得：， 解得， 所以，方程组的解为． 29．（2026·山西太原·一模）按要求完成下列各题： (1)计算：； (2)解方程组：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据负整数指数幂、零指数幂和有理数的减法、乘法法则计算，最后计算加减法即可得到答案； （2）利用加减消元法或代入消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：， 方法1：，得③， ，得，解得． 把代入①，得． 所以方程组的解是． 方法2：由①得：③， 把③代入②得：④，解得：， 把代入③得：． 所以方程组的解是． 实际问题与二元一次方程组 考点04 30．（2026·广东佛山·一模）如图所示，某学校开发一块长方形试验田作为劳动教育实践基地，通过初步设计，该试验田由大小形状完全相同的7块小长方形组成，经测量，试验田的周长为米，请计算该试验田的面积． 【答案】平方米 【分析】设小长方形的长为x米，宽为y米，根据图形的摆放建立方程组，再解方程组求出x、y的值，进而可求解． 【详解】解：设小长方形的长为x米，宽为y米， ∴，，， ∴， 解得：， ∴每一个小长方形的面积为平方米， ∴该试验田的面积为平方米． 31．（2026·福建泉州·一模）某航天基地规划建设新型试验场，将部分原有测试平台改建为智能观测区．改建后，智能观测区与测试平台总面积共198亩，测试平台面积是智能观测区面积的．若设改建后智能观测区的面积为x亩，测试平台的面积为y亩，则根据条件可列方程组是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】只需从题干中提取两个等量关系，依次列出方程即可． 【详解】解：∵设改建后智能观测区的面积为亩，测试平台的面积为亩， 根据“智能观测区与测试平台总面积共198亩”，可得第一个方程： 根据“测试平台面积是智能观测区面积的”，可得第二个方程： 因此可列方程组为． 32．（2026·江苏无锡·一模）明代数学家程大位的著作《算法统宗》中有一个问题：老头提篮去赶集，一共花去七十七；满满装了一菜篮，十斤大肉三斤鱼；买好未曾问单价，只因回家心里急；道旁行人告诉他，九斤肉五钱五斤鱼．问肉、鱼各价几何？若设肉x元/斤，鱼y元/斤，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】从题干中提取两个等量关系，依次列方程即可得到结果． 【详解】解：设肉元/斤，鱼元/斤，根据题意得， ． 33．（2026·江苏徐州·一模）张大伯新建了一个养殖场，需要去集市购买母鸡，鸡仔，鸭子共只．已知一只母鸡元，一只鸭子元，只鸡仔元．张大伯一共花费了元，已知鸡仔一共买了只，问母鸡和鸭子各买了多少只？ 【答案】母鸡买了只，鸭子买了只． 【分析】先求出母鸡和鸭子共买了只，再根据一只母鸡元，一只鸭子元，只鸡仔元共花费了元列方程组，解方程组求出、的值即可． 【详解】解：设母鸡买了只，鸭子买了只， ∵母鸡，鸡仔，鸭子共买只，鸡仔一共买了只， ∴母鸡和鸭子共买了（只）， ∵一只母鸡元，一只鸭子元，只鸡仔元．张大伯一共花费了元， ∴， 解得：， ∴母鸡买了只，鸭子买了只． 34．（2026·浙江丽水·一模）龙泉青瓷工艺是世界级非物质文化遗产，“浙”赛区冠军奖杯采用龙泉青瓷工艺制作，如图，杯身高占总高的，杯身高与底座高之和是，杯顶高与杯身高之和是，设杯身高为，底座高为，则根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题干中的相等关系列方程组即可． 【详解】解：设杯身高为，底座高为， 根据杯身高与底座高之和是，可得：， 杯身高占总高的， 总高为， 杯顶高与杯身高之和是， 又杯顶高与杯身高之和是， ， 可列方程组为． 35．（2026·浙江·一模）我国数学著作《九章算术·卷七·盈不足》中有这样一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”译文：现有黄金9枚、白银11枚，放在天平两边，重量正好相等．如果从黄金中拿1枚放到白银那边，从白银中拿1枚放到黄金这边（互换1枚），这时黄金一边轻了13两．问：1枚黄金、1枚白银各重多少？设黄金一枚重两，白银一枚重两，根据题意，下列方程正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意的两个等量关系，列出方程组即可． 【详解】解：由黄金9枚和白银11枚的重量相等，可列方程：， 互换1枚后，天平一边为8枚黄金和1枚白银，另一边为1枚黄金和10枚白银， ∴根据题意，可列方程：， ∴方程组为． 36．（2026·浙江温州·一模）清朝时期的课本《代微积拾级》中用“”来表示相当于的代数式．若“”的值为,“”的值为，则“天”与“地”的和为______． 【答案】 【详解】解：设“天”与“地”分别为，， 由题意得：，整理得：， 得：， ∴， ∴“天”与“地”的和为． 37．（2026·浙江嘉兴·一模）某实践小组想仅用一架天平和一个10克的砝码测量出壹元硬币和伍角硬币的质量．于是，他们找来足够多的壹元和伍角硬币（假设同种类每枚硬币的质量相同），经过操作得到如下记录．请帮该实践小组算一算，一枚壹元硬币和一枚伍角硬币的质量分别是多少克？设一枚壹元硬币的质量为克，一枚伍角硬币的质量为克，则和满足的方程组是（   ） 记录 天平左边 天平右边 状态 记录一 5枚壹元硬币，1个10克的砝码 10枚伍角硬币 平衡 记录二 15枚壹元硬币 20枚伍角硬币，1个10克的砝码 平衡 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据表格记录，列出方程组即可. 【详解】解：设一枚壹元硬币的质量为克，一枚伍角硬币的质量为克， 由题意，得. 38．（2026·云南·一模）请你根据下列素材，完成有关任务， 背景 某文具店计划购进A，B两种品牌的笔袋． 素材一 A品牌笔袋每个进价比B品牌多5元； 素材二 2个A品牌和3个B品牌笔袋共需85元． 请完成下列任务： (1)求A，B两种品牌笔袋的每个进价； (2)该店计划购进两种品牌笔袋共40个，总进价不超过700元，且A品牌笔袋的数量不少于B品牌的一半，求共有几种进货方案． 【答案】(1)A，B两种品牌笔袋的每个进价分别为20元，15元 (2)7 【分析】（1）设A，B两种品牌笔袋的每个进价分别为x元，y元，根据题意列出二元一次方程组求解； （2）设该店计划购进A品牌笔袋m个，则购进B品牌笔袋个，根据题意列出一元一次不等式组求解． 【详解】（1）解：设A，B两种品牌笔袋的每个进价分别为x元，y元， 根据题意得， 解得 答：A，B两种品牌笔袋的每个进价分别为20元，15元； （2）解：设该店计划购进A品牌笔袋m个，则购进B品牌笔袋个， 根据题意得， 解得 ∴，15，16，17，18，19，20 ∴共有7种进货方案． 39．（2026·云南保山·一模）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 为深入推进乡村振兴战略，助力乡村产业发展，某合作社推出云南特色苹果销售业务，主营甲、乙两个品种的苹果． 素材一 2箱甲种苹果和1箱乙种苹果的售价之和为280元； 素材二 3箱甲种苹果和2箱乙种苹果的售价之和为460元； 素材三 某公司计划从该合作社购买甲乙两种苹果共200箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果箱数的3倍． 请完成下列任务： (1)每箱甲种苹果，每箱乙种苹果的售价分别是多少元？ (2)给出该公司最节省费用的购买方案． 【答案】(1)每箱甲种苹果售价100元.每箱乙种苹果售价80元 (2)最节省费用的购买方案为购买甲种苹果50箱，乙种苹果150箱 【分析】（1）设每箱甲种苹果的售价是元，每箱乙种苹果的售价是元，根据题中的等量关系，列出方程组，求解即可； （2）设购买甲种苹果箱，总费用为元，则购买乙种苹果箱，先根据题意，列出不等式，得，再根据题意得，最后根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设每箱甲种苹果的售价是元，每箱乙种苹果的售价是元， 由题可列，， 解得， 则每箱甲种苹果售价100元.每箱乙种苹果售价80元； （2）解：设购买甲种苹果箱，总费用为元，则购买乙种苹果箱， ，解得， ， ， 随的增大而增大， 当时，取得最小值，则， 该公司最节省费用的购买方案是购买甲种苹果50箱，乙种苹果150箱． 40．（2026·广东深圳·一模）成都市某中学数学组组织学生举行“数学创意大赛”，需购买A、B两奖品．若购买A奖品4个和B奖品5个，需210元；购买A奖品5个和B奖品6个，需255元． (1)A、B两奖品的单价各是多少元？ (2)学校计划共购买奖品300个，设购买A奖品个，购买这300个奖品的总费用为W元． ①求W关于的函数关系式； ②若购买A奖品的数量不少于40个，同时又不超过90个，则该学校购进A奖品、B奖品各多少个，才能使总费用最少？ 【答案】(1)A奖品的单价是15元，B奖品的单价是30元 (2)① ；②该学校购进A奖品90个，B奖品210个时总费用最少 【分析】（1）设A奖品的单价是元，B奖品的单价是元，根据两种购买方式的费用建立方程组，解方程组即可得； （2）①先求出购买B奖品为个，再根据（1）的结果即可得； ②利用一次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：设A奖品的单价是元，B奖品的单价是元， 由题意得：， 解得， 答：A奖品的单价是15元，B奖品的单价是30元； （2）解：①由题意可知，购买B奖品为个， 则， 即关于的函数关系式为 ； ②∵购买A奖品的数量不少于40个，同时又不超过90个， ， ∵，， ∴在内，随的增大而减小， ∴当时，取得最小值，此时， 答：该学校购买A奖品90个，B奖品210个，才能使总费用最少． 41．（2026·山西阳泉·一模）某初中八年级1班学生在博物馆进行研学活动，博物馆有人工讲解与智能AI讲解两种讲解服务可供选择，人工讲解每个小组可以请一位讲解员，费用由组员均摊，优点是可以随时与讲解员互动，但价格较高；智能AI讲解需组内每位同学租赁语音导览器，不能互动但价格较低．八年级1班共有7个小组，每组6人．若有4个组选择人工讲解、3个组选择智能AI讲解，所需总费用为1500元；若有2个组选择人工讲解，5个组选择智能AI讲解，所需总费用为1380元． (1)分别求请一位人工讲解员和租赁一个语音导览器的单价； (2)若要求此次讲解的总费用不高于1600元，请问至少有几个组选择智能AI讲解？ 【答案】(1)请一位人工讲解员的单价为240元，租赁一个语音导览器的单价为30元 (2)至少有2个组选择智能AI讲解． 【分析】（1）设请一位人工讲解员的单价为元，租赁一个语音导览器的单价为，列方程组求解即可； （2）设有个组选择智能AI讲解，根据“此次讲解的总费用不高于1600元”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设请一位人工讲解员的单价为元，租赁一个语音导览器的单价为元． ， 解得：． 答：请一位人工讲解员的单价为240元，租赁一个语音导览器的单价为30元． （2）解：设有个组选择智能AI讲解． ∵此次讲解的总费用不高于1600元， ∴， 解得， 为整数， ． 答：至少有2个组选择智能AI讲解． 42．（2026·云南大理·一模）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 大理白族扎染技艺流传千年，是第一批国家级非物质文化遗产，被誉为“针尖上的青花瓷”．某校文化节期间，舞蹈社团计划购买扎染服饰若干套用于表演，以彰显白族扎染非遗魅力，增强学生对大理民族文化的了解，提升文化自信． 素材一 经市场调查发现，每套女款扎染服饰比每套男款扎染服饰贵20元． 素材二 购买3套女款扎染服饰和5套男款扎染服饰共需540元； 素材三 该社团计划购买女款和男款服饰共30套，男女款均需购买，且购买男款的数量不超过购买女款数量的． 请完成下列任务： (1)任务一：计算每套女款和每套男款扎染服饰的价格分别是多少元？ (2)任务二：请给出最节省费用的购买方案． 【答案】(1)每套女款扎染服饰80元，每套男款扎染服饰60元 (2)当购买女款扎染服饰20套、男款扎染服饰10套时，总费用最低 【分析】（1）设每套女款扎染服饰元，每套男款扎染服饰元，列方程组，解方程组即可； （2）设购买女款扎染服饰套，则购买男款扎染服饰套，购买总费用为W元，得到，由购买男款的数量不超过购买女款数量的得到，求出，计算即可． 【详解】（1）解：设每套女款扎染服饰元，每套男款扎染服饰元， ，解得，， 答：每套女款扎染服饰80元，每套男款扎染服饰60元； （2）解：设购买女款扎染服饰套，则购买男款扎染服饰套，购买总费用为W元， ， 购买男款的数量不超过购买女款数量的 ，解得 随的增大而增大， 当时，的值最小 当购买女款扎染服饰20套时，总费用最低， 此时，购买男款扎染服饰套． 当购买女款扎染服饰20套、男款扎染服饰10套时，总费用最低． 求参数 考点05 43．（2026·四川南充·一模）若m，n互为倒数，且满足，则n的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据倒数的性质得到，展开已知等式后代入求出的值，再根据倒数定义即可得到的值． 【详解】解：∵互为倒数， ∴， ∵， 展开等式得， 把代入得， ∴， 又∵互为倒数， ∴ ． 44．（2026·广东佛山·一模）已知是关于x的方程的解，则m的值是______． 【答案】 【分析】把代入，即可解答． 【详解】解：是关于x的方程的解， ∴可得， 解得． 45．（2026·河南周口·一模）已知关于x的一元一次方程的解为，则a的值为（   ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【分析】把代入，得出关于a的一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 46．（2026·河北石家庄·一模）已知是关于x的方程的解，则m的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】将代入，即可求出m的值． 【详解】解：将代入，则方程为 解得． 47．（2026·浙江丽水·一模）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为_________． 【答案】 【分析】利用加减消元法解二元一次方程组，得到用含的代数式表示的与，再代入，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值. 【详解】解： 48．（2026·河南商丘·一模）若关于，的二元一次方程组的解都为正数，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】先解二元一次方程组，得出，，根据方程组的解都为正数，得出关于的不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】解： 得：，解得 得：，解得 因为、都为正数，所以： 解得： 49．（2026·山东枣庄·一模）若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为______． 【答案】4 【分析】将两个方程相加，可得，结合列出关于k的方程，即可求解． 【详解】解： 得，， ， ， ， ． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $