福建省莆田市城厢区 擢英中学2025-2026学年九年级下学期模拟考试卷 数学试题

**基本信息** 本卷以九年级数学核心知识为载体，融合时代素材（如稀土储量科学记数法）、新定义创新（反序数）及几何综合（旋转相似），全面考查数学眼光、思维与语言，适配中考模拟需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|实数、图形性质、函数基础|第3题结合稀土资源情境，体现应用意识| |填空题|6/24|函数意义、统计频率、几何计算|第16题矩形与圆相切，考查空间观念| |解答题|9/86|代数综合、几何证明、新定义探究|第24题反序数定义，培养创新意识；第25题旋转综合，发展推理能力|

2025-2026学年擢英中学九年级下模拟考试卷 数学试题 一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. -4的倒数是（　　） A. B. 4 C. D.-4 2. 下列图案中，不是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 稀土是加工制造国防、军工等工业品不可或缺的原料.据有关统计数据表明：我 国已探明稀土储量约4400万吨，居世界第一位.用科学记数法表示44000000为（　　） A.44×10⁶ B.4.4×10⁷ C.4.4×10⁸ D.0.44×10⁹ 4. 将直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周后形成的几何体可以是（　　） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（　　） A.a³+a²=a⁵ B.[(-a)²]³=a⁶ C.3a+2a=5a² D.a³·a³=a⁹ 6. 一个正比例函数的图象经过点A(6,a) 和点B(b,9). 若 点A 与点B 关于原点 对称，则这个正比例函数的表达式为（　　） A. B. C. D. 7. 滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是10 cm, 当重物上升6π cm 时，滑轮的一条半 径OA 绕轴心O 按逆时针方向旋转的角度约为（　　） A.36° B.54° C.72° D.108° 第7题 8. 如图，在一块长15m, 宽10m 的矩形花园基地上修建两横一纵 三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为x m. 若 种植花苗的面积为112 m², 依题意可列方程为（　　） A.10x+15×2x=150-112 B.10×2x+15x=150-112 C.(10—2x)(15—x)=112 D.(10—x)(15—2x)=112 第8题 9. 如图，将Rt△ABC 绕点A 逆时针旋转一定角度，得到△ADE, 点 D 恰好在BC 上 .若∠CAE=54°, 则∠ADE的度数为（　　） A.45° B.54° C.60° D.63° 10. 如图，下列图形是由同样大小的棋子按照一定规律排列而成的，其中，图①中有5颗棋子，图②中有8颗棋子，图③中有13颗棋子，图④中有20颗棋子，按照此规律排列下去，第图⑨的棋子数为（　　） A．53 B．69 C．85 D．100 二．填空题（每题4分，共24分） 11. 若代数式有意义，则实数x 的取值范围是 . 12. 已知反比例函数 若它的图象在每个象限内y 随x 的增大而增大，写出一个符合条件的a 的值： . 13. 一次数学测试后，某班50名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为12,9,11,8,则第5组的频率是 . (用小数表示) 14. 如图，为了测量河宽AB (假设河的两岸平行),在河的彼岸选择一点A,在点C处测得∠ACB 为30°,点D处测得∠ADB为60°,若CD=60m,则河宽 AB为 m. (结果保留根号) 第14题图 第16题图 15. 已知点A(-3,y₁),B(2,y₂),C(3,y₃)在抛物线y=x²-2x+c 上，则y₁,y₂,y₃的大小关系是 . 16. 如图，在矩形纸盒ABCD中，恰好能放进两个外切且均以r为半径的圆形纸片，已知⊙O₁ 与AD,AB 相切，⊙O₂与 CB,CD相切，其中AB=9,AD=8, 则r的值为 . 三、解答题(9小题，共86分）) 17. （8分）计算： 18.（8分）如图，已知点A,E,F,C 在同一直线上，AF=CE,∠B=∠D, AD//BC, 求证：AD=BC. 19.（8分）先化简，再求值:，其中是满足条件的合适的非负数. 20. （8分）某校甲、乙两班联合举办了“趣味数学”竞赛，从甲班和乙班各随机抽 取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据(成绩)进行了收集、整理、分析，下面给出了部分信息. 【收集数据】 甲班10名学生竞赛成绩：85,78,86,79,72,91,79,71,70,89 乙班10名学生竞赛成绩：85,80,77,85,80,73,90,74,75,81 【整理数据】 班级 70≤x<80 80≤x<90 90≤x≤100 甲班 6 3 1 乙班 4 5 1 【分析数据】 班级 平均数 中位数 众数 方差 甲班 80 a b 51.4 乙班 80 80 80,85 C 【解决问题】根据以上信息，回答下列问题： (1)直接写出：a= ,b= ,并计算c 的值； (2)请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个班成绩比较好，简要说明理由； (3)甲班共有学生45人，乙班共有学生40人，按竞赛规定，80分及80分以上的学生可以获奖，估计这两个班可以获奖的总人数是多少? 21.（8分）如图，在平行四边形ABCD中，已知AD>AB. (1)作∠BAD的平分线交BC于点E, 在AD上截取AF=AB,连接EF; (要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) (2)写出四边形ABEF 的形状并证明. 22.（10分） 如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°,以 AB为直径作⊙O,过点C 作直线CD 交AB 的延长线于点D, 使 ∠BCD=∠A. (1)求证：CD 为⊙O 的切线； (2)若DE 平分∠ADC, 且分别交AC,BC于点E,F,当 CE=2时，求EF的长. 3 学科网（北京）股份有限公司 23. (10分)已知抛物线y =ax²—4ax+12(a为常数，a≠0). (1)求该抛物线的对称轴； (2)若抛物线与x轴的两个交点分别为点A,B(点A在原点O的左侧),OB= 3OA. ①求a的值； ②设m<2<n,抛物线的一段y =ax²-4ax+12(m≤x≤n)夹在两条均与x 轴平行的直线l₁,l₂之间.若直线l₁,l₂之间的距离为9,求n-m的最大值. 24. (12分)阅读材料，回答问题. 由自然数1,2,3,4, … ,n 组成的一列数称为一个排列，一个排列的形式可以是递增、递减或随机无序的.我们把按从小到大的递增排列叫做顺序排列，如：1,2,3,4, … ,n 就是一个顺序排列.显然，随机给定一列数，它的顺序排列是固定且唯一的.对于不是顺序排列的一列数，它必然存在数; 排在 ;之前但是>, 此时我们称(a,a) 为一个反序对.一个排列a₁,a₂,a₃,…,a的所有反序对的总个数称为这个排列的反序数 ， 记 为 N(a₁,a₂,a,...,a), 例 如 ，N(4,3,1,2)=5.若一个排列的反序数是奇数，则称这个排列为奇排列；若反序数是偶数，则称这个排列为偶排列. (1)N(4,1,3,2)= 　;它是 一个 　 排列； (2)在以1,2,3组成的所有排列中随机抽取一列，求抽取的排列满足反序数大于1且为偶排列的概率； (3)将排列中相邻的两个数互换位置称为相邻对换.排列(4,1,5,3,2)至少要通过多少次相邻对换才能得到顺序排列?请简要说明； (4)证明：在一个有 n 个数的排列中，如果将任意两个数互换位置，其余数不 动，则该排列的奇偶性一定发生改变。 5 学科网（北京）股份有限公司 25. (14分)在△ABC 中，∠ACB=90°,将△ABC绕点C旋转得到△DEC,点 A 的对应点D 在边AB上，连接BE. (1)如图1,求证：△BCE∽△ACD; (2)如图2,当BE=4,BD=3时，求AC 的长； (3)如图3,过点E 作 AB 的平行线交AC 的延长线于点F, 连接DF 交 BC 于点K. ①求证：△EFC≌△BDC; ②当 时，求的值. ( A ) 图 1 ( A ) 图 2 图 3 2025-2026学年擢英中学九年级下模拟考数学试卷 参考答案与试题解析 一 、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B A B D D C D C 二 、填空题 11. x>2 12. 12.-1 (答案不唯 一 ) 13. 0 . 2 14. 30 15. y₁>y₃>y₂ 16. 2.5 解：连接,则=2r 根据勾股定理 （9-2r）+（8-2r）=（2r） 4r-36r+145=0 r=2.5 三 、解答题 17 . 解：原式=1 -21+3 - 3+1+1=18 18 .证明：∵AD//BC ∴∠A=∠C 在△ADF 和△CBE 中 ∴△ADF≌△CBE(AAS) ∴AD=B C 19 . 解 ： ∵x≠0 且 x—2≠0 ∴x≠0 且 x≠2 ∴x=1 20解：(1)79,79 乙班的方差为 (2)乙班成绩比较好，理由如下： 两个班的平均数相同，乙班的中位数、众数高于甲班，方差小于甲班，代表乙班成绩比甲班稳定，所以乙班成绩比较好 (3)(人) 答：估计这两个班可以获奖的总人数大约是42人 21. 如图,EF 即为所求 (2)四边形ABEF是菱形，证明如下： ∵AE平分∠ BAD ∴∠BAE=∠DAE ∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AD//BC ∴∠BEA=∠DAE ∴∠BEA=∠BAE ∴BE=AB ∵AF=AB ∴AF=BE 又∵AF//BE ∴四边形ABEF 是平行四边形 又∵AF=AB ∴平行四边形ABEF 是菱形. 22. (1)证明：∵在Rt△ABC 中，∠ACB=90°, 以AB 为直径作⊙O ∴点C 在⊙O 上 如图，连接OC ∵∠ACB=90° ∴∠A+∠ABC=90° ∵OC=OB ∴∠ABC=∠OCB 又∵∠BCD=∠A ∴∠BCD+∠OCB=90° 即∠OCD=90° ∵OC 是⊙O的半径 ∴CD 是⊙O 的切线； (2)解：∵DE平分∠ADC ∴∠CDE=∠ADE 又∵∠BCD=∠A ∴∠A+∠ADE=∠BCD+∠CDF 即∠CEF=∠CFE ∴CE=CF=2 ∵∠ACB=90° ∴EF= 23.解：(1) ∴该抛物线的对称轴为直线x=2; (2)①令y=0, 则 y=ax²—4ax+12=0 设该方程的两根为x₁,x₂(x₁<x₂) ∵点A 在原点O 的左侧，OB=3OA ∴x₂=-3x1 ∴x₁+x₂=4,即 x₁+(-3x₁)=4 ∴x₁=-2,x₂=6 把(-2,0)代入y=ax²-4ax+12 得a(-2)²-4×(-2)a+12=0 解得a=-1; ②∵a=-1 ∴该函数的表达式为 y=-x²+4x+12=-(x-2)²+16 ∴该抛物线的顶点坐标为(2,16) ∵该抛物线的一段y=-x²+4x+12 (m≤x≤n)夹在两条均与x 轴平行 的直线l₁和l₂ 之间，且m<2<n 如图，上方的平行线不能在顶点 (2,16)下方 ∵直线l₁ 和l₂ 之间的距离为9 ∴要使 n—m 最大，则直线l₁ 经过 顶点(2,16) 此时直线l₂ 为y=16-9=7 当y=-(x-2)²+16=7 时 解得x₁=-1,x2=5 ∴n—m 的最大值为5-(-1)=6. 24.(1)4,偶 (2)解：易知1,2,3可以组成六个排列，其反序数及奇偶性分别为： ①N(1,2,3)=0, 为偶排列； ②N(1,3,2)=1, 为奇排列； ③N(2,1,3)=1, 为奇排列； ④N(2,3,1)=2, 为偶排列； ⑤N(3,1,2)=2, 为偶排列； ⑥N(3,2,1)=3, 为奇排列 所以 (3)解：至少要经过6次相邻对换 (4,1,5,3,2)中将5向右做2次相 邻对换得到(4,1,3,2,5); 再将4向右做3次相邻对换得到(1,3,2,4,5); 再将3向右做1次相邻对换得到顺序排 列(1,2,3,4,5); (4)证明：设对换位置的两个数为a,b, 则这 两个数有相邻和不相邻两种情况： I. 若这两个数相邻，即将排列 (…,a,b,…) 变成新排列( … ,b, a,…) 通过观察可知，变换后的排列，其 反序对的变化与a,b 之外的数无关 ①若a<b,则变换位置后，反序对 增加1,新排列的反序数增加1, 奇偶性改变 ②若a>b,则变换位置后，反序对 减少1,新排列的反序数减少1, 奇偶性改变 所以可以得到结论：经过一次相邻对换，排列的奇偶性一定发生改变Ⅱ .若a,b 不相邻，设中间有k 个数即将排列(...,a,C₁,C₂,C₃,...,Ck,b,...) 变成新排列(...,b,c₁, C₂,C₃,...,Ck,a,...), 可以分为以下两步： ①将a 向右进行相邻对换，通过k+ 1次相邻对换得到( … ,C₁,C₂, C₃,…,Ck,b,a,…), ②再将 b 向左做相邻对换，通过 k 次相邻对换到达a 原来的位置， 得到最终的排列( … ,b,c₁,C₂, C₃,…,Ck,a,…) 总共进行了k +1+k =2k+1次相邻对换，易知2k+1为奇数 上述已经证明结论：每经过一次相邻对换，排列的奇偶性都发生一次改变， 所以经过2k+1 次(奇数次)相邻对换后，排列的奇偶性也一定发生改变 综上所述，在一组有n 个数的排列 中，如果将任意两个数互换位置， 其余数不动，则该排列的奇偶性一 定发生改变. (其他证明言之有理亦给分) 25. (14分) (1)证明：由旋转的性质可知，CA=CD, CB=CE, ∠ACD=∠BCE ∴△ACD∽△BCE; (2)解：由(1)可知，△ACD∽△BCE ∴∠CBE=∠A, 又∵∠A+∠ABC=90° ∴∠ABC+∠CBE=90° ∴∠DBE=90° 在Rt△DBE中，ED= ∴AB=ED=5 ∴AD=AB -BD=5-3=2 ∴BC=2AC 在 Rt△ABC 中 ，AC²+BC²=AB² ∴AC²+(2AC)²=5², 解得AC= (3)①证明：由旋转的性质可知， CA=CD, CB=CE,∠ACB=∠DCE=90° ∴∠A=∠CDA ∵EF//AB ∴∠EFC+∠A=180° ∵∠CDB+∠CDA=180° ∴∠CDB=∠EFC ∵∠BCF=∠BCE+∠ECF=90°, ∠DCE=∠BCE+∠BCD=90° ∴∠BCD=∠ECF 在△EFC 和△BDC 中 ∴△EFC≌△BDC(AAS); ②解：如图3,作CG⊥AB, 垂足为G,延长 EF,BC交于点H, 设 AC=3x 图 3 在Rt△ABC中 ， AB=∵CG⊥AB ∴∠AGC=90°=∠ACB ∵∠BAC=∠CAG ∴△ACG∽△ABC ∵CD=CA ∵△EFC≌△BDC ∴ ,CF=CD=CA ∵EF//AB ∴∠H=∠ABC,∠AFH=∠A 在 △ABC 和△FHC中 ∴△ABC≌△FHC(AAS) ∴FH=AB=5x ∵EF//AB ∴△BDK∽△HFK ∴ 13 学科网（北京）股份有限公司 $