精品解析：江苏扬州市江都区邵樊片2025-2026学年第二学期七年级数学期中试卷

七年级数学期中试卷 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共计24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答填卡相应的位置上） 1. 下列大学校徽内部图案中可以看成由某一个基本图形通过平移形成的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将沿方向平移到的位置，量得，，则，间的距离是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将三角板（其中，）绕点顺时针旋转得到，点在同一条直线上，那么旋转角等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一个正方形的边长是，若将其一组邻边长度分别增加2和减少2，所得长方形的面积与原正方形的面积相比（ ） A. 不变 B. 增加 C. 减少 D. 增加 7. 若，则m的值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中的的度数为 （ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共计30分，请将答案填涂在答填卡相应的位置上） 9. 某种球形病毒的直径大约为，则数用科学记数法表示为_____ ． 10. 计算：_____． 11. 若，，则______． 12. 如图，将周长为8的△ABC沿BC方向向右平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为_____________． 13. 计算：___________． 14. 若的结果中不含项，则的值为_____________． 15. 若，，，，则a，b，c，d的关系是______．（用“＜”连接） 16. 若是完全平方式，则m的值是_____． 17. 一个大正方形和四个一模一样的小正方形按如图、两种方式摆放，则图的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是______． 18. 已知，求的值为________． 三、解答题（本大题共有10小题，共计96分，请将解答过程写在答填卡相应的位置上，解答时应写出必要的计算过程，推演步骤或文字说明） 19. 计算： （1） （2） 20. 计算： （1） （2） 21. 解答下列各题： （1）已知，则的值为_______． （2）如果，求的值 （3）已知，求的值． 22. 如图，四边形和四边形关于直线成轴对称． （1）请你在图中用直尺和圆规作出对称轴；（保留作图痕迹，不写作法） （2）如果你只有一把无刻度的直尺，请你在图中画出对称轴．（保留作图痕迹，不写作法） 23. 如图，网格中每个小正方形边长为1，的顶点都在格点（网格线的交点）上，利用网格画图． （1）将先向上平移3格，再向左平移2格，得到（点A的对应点为，点B的对应点为，点C的对应点为），在图（1）中直接画出平移后的．整个平移过程中，线段扫过的图形面积为________； （2）将绕点A逆时针旋转得到的（点B的对应点为，点C的对应点为），在图（3）中直接画出旋转后的，并回答：线段与线段的位置关系为________． 24. 已知通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式． （1）如图可以得到乘法公式是______， （2）若，求的值； （3）若，求的值． 25. 观察下列等式： ； ； ；…… （1）请写出第④个等式：__________ （2）从上述等式中，你发现了什么规律，用适当的等式表示你发现的规律：__________； （3）证明你发现的规律． 26. 把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些图形的面积． （1）由图1，可得等式：__________； （2）如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？，请用等式表示出来． （3）请利用（2）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求 的值． 27. 数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1阴影部分的面积能解释的乘法公式： ； （2）用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图2的正方形，请你根据阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系： ； （3）若，，求的值； （4）如图3，正方形和正方形的边长分别为m，，若，，E是的中点，求阴影部分面积的和． 28. 小丁观看台球比赛后对小球的运动轨迹产生浓厚的兴趣，他将这一问题抽象为数学模型进行研究． 【探索模型】如图1所示，一个台球桌桌面，桌子两边视为两条挡板，分别为，，且，小球从点A滚向挡板，碰到上的点B后进行第一次反弹滚向挡板（A、B为定点），碰到上的点C后进行第二次反弹滚向点D．经过多次测量．他进一步发现，，且，． 【解决问题】小丁发现小球经过两次反弹后的路径平行于原来的路径，请你借助图2帮助小丁完善证明过程． （1）因为． 所以． 所以， 又因为， 所以____①___ 同理， 又因为， 所以②_______（③_________） 所以（等量代换）． 又因为． 所以． 所以④_____ 所以（⑤________） 【引申拓展】 （2）如图3，小丁把挡板固定，将挡板绕点B逆时针旋转（）至直线，若，球从A打到挡板和球从B打到挡板均按照【探索模型】中的规律反弹． 则⑥_____．（用含的代数式表示）； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学期中试卷 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共计24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答填卡相应的位置上） 1. 下列大学校徽内部图案中可以看成由某一个基本图形通过平移形成的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平移的性质，分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：由平移的性质可知，C选项的图案是通过平移得到的； A、B、D中的图案不是平移得到的； 故选：C． 【点睛】本题考查了平移的性质，解题的关键是掌握图案的平移进行解题． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，涉及同底数幂乘法、积的乘方、完全平方公式等知识点．需逐一分析各选项的正确性． 【详解】选项A：根据同底数幂相乘法则，底数不变，指数相加，即 ，计算正确； 选项B：积的乘方需将每个因子分别平方，即 ，而选项B中仅对平方，漏掉的平方，故错误； 选项C：积的乘方需将系数和每个字母分别乘方方，，故错误； 选项D：完全平方公式为，故错误． 故选A． 3. 下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查平方差公式的应用，解题思路是根据平方差公式的结构特征，即两个二项式中有一项相同，另一项互为相反数，对每个选项进行逐一分析．本题主要考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键． 【详解】解： 选项A：可整理为，符合平方差公式 结果为． 选项B：中，，则 属于完全平方的相反数，不符合平方差公式． 选项C：可整理为 同样为完全平方的相反数，不符合平方差公式． 选项D：中，与次数不同 无法构成相同项，不符合平方差公式． 故选：A． 4. 如图，将沿方向平移到的位置，量得，，则，间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：将沿方向平移到的位置， ， ，， ． 5. 如图，将三角板（其中，）绕点顺时针旋转得到，点在同一条直线上，那么旋转角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，求角度的问题，由题意可知，旋转角，结合的度数可得的度数即可，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点在同一条直线上，， ∴， 故选：C． 6. 如图，一个正方形的边长是，若将其一组邻边长度分别增加2和减少2，所得长方形的面积与原正方形的面积相比（ ） A. 不变 B. 增加 C. 减少 D. 增加 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用． 先分别求出长方形的面积与原正方形的面积，再比较即可． 【详解】解：长方形的面积，原正方形的面积， ， 即长方形的面积与原正方形的面积相比减少， 故选：C． 7. 若，则m的值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方，解题的关键在于正确掌握幂的乘方的运算法则。 根据幂的乘方的运算法则对式子进行变形，得到求解，即可解题． 【详解】解：∵， ， 即， ∴． 故选：A． 8. 如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中的的度数为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据得到，推出，求出，最后根据，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共计30分，请将答案填涂在答填卡相应的位置上） 9. 某种球形病毒的直径大约为，则数用科学记数法表示为_____ ． 【答案】 【解析】 【详解】解： 10. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】先运用积的乘方法则，将系数与字母分别乘方，再运用幂的乘方法则计算字母部分的幂，最后合并得到结果． 【详解】解：． 11. 若，，则______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式：，根据平方根公式计算即可． 【详解】解∶∵，， ∴， ∴， 故答案为∶12． 12. 如图，将周长为8的△ABC沿BC方向向右平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为_____________． 【答案】10 【解析】 【详解】根据题意，将周长为8的△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF， 则AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC， 又∵AB+BC+AC=8， ∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=10． 故答案为：10． 【点睛】本题考查平移的性质．利用数形结合的思想是解题关键． 13. 计算：___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题涉及同底数幂的乘法运算，积的乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先将变形为，然后利用幂的运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为： 14. 若的结果中不含项，则的值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，根据结果中不含项，得出，进而即可求解． 【详解】 ∵结果中不含项， ∴ 解得：， 故答案为：． 15. 若，，，，则a，b，c，d的关系是______．（用“＜”连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查负整数指数幂和零指数幂，根据负整数指数幂和零指数幂分别计算后再比较大小即可． 【详解】解：，，，， ∵， ∴， 故答案为：． 16. 若是完全平方式，则m的值是_____． 【答案】1或 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方式的概念，掌握完全平方式的形式特点是解题的关键． 根据完全平方式的定义，可得，即可求出m的值． 【详解】解：一般地，形如的式子叫做完全平方式． 由于， 所以 解得或 故答案为：或 17. 一个大正方形和四个一模一样的小正方形按如图、两种方式摆放，则图的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】设大正方形的边长为，小正方形的边长为，由图①和②列出方程组求出、的值，再根据图的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积等于大正方形的面积减去四个小正方形的面积，即可求解． 【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为， 由图①和②列出方程组得， 解得， 图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积， 故答案为：． 18. 已知，求的值为________． 【答案】2027 【解析】 【分析】根据已知等式变形得到的值，再对所求多项式进行降次变形，整体代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 则 ． 三、解答题（本大题共有10小题，共计96分，请将解答过程写在答填卡相应的位置上，解答时应写出必要的计算过程，推演步骤或文字说明） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 20. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 21. 解答下列各题： （1）已知，则的值为_______． （2）如果，求的值 （3）已知，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据同底数幂的除法运算得到，进而得到，即可求解； （2）根据幂的乘方和同底数相乘法则，即可求解； （3）根据幂的乘方和积的乘方对所求式子进行变形，再代入求值即可． 【小问1详解】 解： ， 解得； 【小问2详解】 解：， ； 【小问3详解】 解：， ． 22. 如图，四边形和四边形关于直线成轴对称． （1）请你在图中用直尺和圆规作出对称轴；（保留作图痕迹，不写作法） （2）如果你只有一把无刻度的直尺，请你在图中画出对称轴．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，即为所求． 【解析】 【分析】（1）连接，作出的垂直平分线即为所求作直线； （2）利用无刻度的直尺，通过连接对应点，依据对应点连线被对称轴垂直平分来确定对称轴．连接、交于点，延长、交于点，连接，所在直线即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图，网格中每个小正方形边长为1，的顶点都在格点（网格线的交点）上，利用网格画图． （1）将先向上平移3格，再向左平移2格，得到（点A的对应点为，点B的对应点为，点C的对应点为），在图（1）中直接画出平移后的．整个平移过程中，线段扫过的图形面积为________； （2）将绕点A逆时针旋转得到的（点B的对应点为，点C的对应点为），在图（3）中直接画出旋转后的，并回答：线段与线段的位置关系为________． 【答案】（1） 平移后的图形如图， 14 （2）如图， 垂直 【解析】 【分析】本题考查了画图形的平移与旋转，割补法求图形的面积，旋转的性质等知识，正确画出变换后的图形是解题的关键． （1）先确定三个顶点平移后的对应点，再依次连接即可得；线段扫过的图形是四边形，利用割补思想即可求解． （2）确定点A，B，C旋转后的对应点，再依次连接即可得到旋转后的三角形；由旋转的性质即可确定线段与线段的位置关系． 【小问1详解】 解：线段扫过的图形是四边形，其面积为； 故答案为：14； 【小问2详解】 解：绕点A逆时针旋转得到的如图， 由旋转的性质知，； 故答案为：垂直． 24. 已知通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式． （1）如图可以得到乘法公式是______， （2）若，求的值； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2）2 （3）13 【解析】 【分析】（1）根据大正方形的面积等于两个小正方形的面积加上两个长方形的面积，即可得出结果； （2）利用完全平方公式进行求解即可； （3）设，，利用完全平方公式变形计算即可. 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：设，， 由，得， 则， ∵，， ∴， ∴． ∴． 25. 观察下列等式： ； ； ；…… （1）请写出第④个等式：__________ （2）从上述等式中，你发现了什么规律，用适当的等式表示你发现的规律：__________； （3）证明你发现的规律． 【答案】（1） （2） （3） 证明：由（2）得（为正整数）， 则左边右边， 故结论得证． 【解析】 【分析】（1）模仿题干过程，进行分析作答即可； （2）设是自然数，且，则相邻的两个奇数为和，两个连续奇数的平方差等于； （3）利用乘法公式展开，证明左边等于右边即可； 【小问1详解】 解：依题意，第④个等式：； 【小问2详解】 解：设是自然数，且，则相邻的两个奇数为和， 规律可以表示为：（为正整数）； 【小问3详解】 略． 26. 把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些图形的面积． （1）由图1，可得等式：__________； （2）如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？，请用等式表示出来． （3）请利用（2）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求 的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过两种不同的方法计算图1的面积，即可得解； （2）通过两种不同的方法计算大正方形的面积，即可求解； （3）利用（2）中的等式变形后，直接代入求得答案即可． 【小问1详解】 解：图1的面积可表示为，也可表示为， ； 【小问2详解】 大正方形的面积可表示为，也可表示为， ； 【小问3详解】 ，，， ． 27. 数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1阴影部分的面积能解释的乘法公式： ； （2）用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图2的正方形，请你根据阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系： ； （3）若，，求的值； （4）如图3，正方形和正方形的边长分别为m，，若，，E是的中点，求阴影部分面积的和． 【答案】（1）； （2） （3）或 （4）6 【解析】 【分析】（1）根据大正方形面积的两种不同表达形式求解即可； （2）根据大正方形的面积等于小正方形的面积加上四个长方形的面积之和列出等量关系； （3）借助（2）的结论求解； （4）表示出阴影部分的面积，然后利用完全平方公式变形求解． 【小问1详解】 解：在图1中，大正方形面积， 组成大正方形的面积之和， ∴得到； 【小问2详解】 解：（答案形式不唯一）； 【小问3详解】 解：由题意得，， ∵，， ∴， ∵ ∴或； 【小问4详解】 延长交于点K，记的面积为，的面积为，长方形的面积为，的面积为， ∵E为的中点，正方形边长为m，正方形边长为n， ∴ ＝ ＝， ∴， ∵， ∴， 即若，E是的中点，则阴影部分面积的和为6． 28. 小丁观看台球比赛后对小球的运动轨迹产生浓厚的兴趣，他将这一问题抽象为数学模型进行研究． 【探索模型】如图1所示，一个台球桌桌面，桌子两边视为两条挡板，分别为，，且，小球从点A滚向挡板，碰到上的点B后进行第一次反弹滚向挡板（A、B为定点），碰到上的点C后进行第二次反弹滚向点D．经过多次测量．他进一步发现，，且，． 【解决问题】小丁发现小球经过两次反弹后的路径平行于原来的路径，请你借助图2帮助小丁完善证明过程． （1）因为． 所以． 所以， 又因为， 所以____①___ 同理， 又因为， 所以②_______（③_________） 所以（等量代换）． 又因为． 所以． 所以④_____ 所以（⑤________） 【引申拓展】 （2）如图3，小丁把挡板固定，将挡板绕点B逆时针旋转（）至直线，若，球从A打到挡板和球从B打到挡板均按照【探索模型】中的规律反弹． 则⑥_____．（用含的代数式表示）； 【答案】（1）；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定、角平分线的定义以及角度的计算，解题的关键是利用“等角的余角相等”和“两直线平行，内错角相等”等定理，结合反弹规律进行角度推导． （1）利用等角的余角相等得到；再由得到，进而推出，最后根据内错角相等判定． （2）根据平行线性质及反弹规律可求得结果； 【小问1详解】 （1）解：因为， 所以， 所以， 又因为， 所以 同理， 又因为， 所以（两直线平行，内错角相等）． 所以（等量代换）． 又因为， 所以， 所以， 所以（同位角相等，两直线平行）． 【小问2详解】 解：过点作，如图所示： ， ，即， 根据“反弹规律”，， ∴， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $