学易金卷：高二数学下学期第三次月考（湘教版）（测试范围：湘教版必修第一册到选修二第3章）

**基本信息** 覆盖湘教版必修至选修二第3章核心内容，通过旅游概率等生活情境及立体几何折叠、椭圆定值证明等综合问题，分层考查数学抽象、逻辑推理与空间想象素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合、复数、概率、三角函数、向量、双曲线、立体几何、解三角形、统计、函数极值、抛物线|第3题以旅游决策为情境，考查全概率公式，体现数学眼光观察现实世界| |填空题|3题/15分|等比数列、直线与圆、切线问题|第14题结合切线与曲线交点，考查导数几何意义与方程思想| |解答题|5题/77分|数列求和、立体几何证明、函数导数应用、椭圆综合|17题折叠问题融合空间垂直证明与面面平行探究，19题椭圆综合考查面积最值与定值推理，凸显数学思维与语言表达能力|

2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C B A D C B D C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC BCD BC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．6 14．2或4 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【详解】（1）由，得，而，则， 由恒成立，得，即，， 因此，解得，而，则， 所以的解析式为. (7分) （2）由（1）得，，而，解得， 由，解得， 由余弦定理得， 由正弦定理，得．（13分） 16．（15分） 【详解】（1）由题意知数列满足， 当时，，故， 适合该式，故；（6分） （2）由（1）知 ，（8分） 记数列：，， 则，（11分） ，（14分） 故.（15分） 17．（15分） 【详解】（1）取中点，连接，如图， 又为的中点， ，由，则， 又为等腰直角三角形，，， ，又，平面， 平面，又平面， （6分） （2）平面平面，平面平面，，平面， 平面，平面，故，（8分） 故以为原点，为、、轴正方向的空间直角坐标系，设，   ， 则，，， 若存在使得平面平面，且，， 则，解得，， 则，， 设为平面的一个法向量，则， 令，即， 设是平面的一个法向量，则， 令，则， ，可得． 存在使得平面平面，此时（15分） 18．（17分） 【详解】（1）因为，所以，所以， 又，所以函数在处的切线方程为， 因为切线经过点，所以，解得；（4分） （2）由（1）知，函数的定义域为， 当时，在上恒成立，所以在上单调递增，无极值， 当时，令，得， 所以当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以当时，函数有极小值，极小值为， 由，所以，所以的取值范围为；（11分） （3）由得， 令，所以对任意的，且，恒成立， 所以在单调递减， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 因为二次函数在上单调递增， 所以函数在上的最小值为， 所以.（17分） 19．（17分） 【详解】（1）依题意可得，解得， 所以椭圆方程为；（4分） （2）（i）设为点到直线的距离， 所以的面积 显然当过点且与直线平行的直线与椭圆相切时取得最大值， 因为，，所以，设直线的方程为，即， 由，整理得， 由，解得（正值舍去）， 所以直线的方程为，又到直线的距离， 所以的最大值为， 则；（10分） （ii）设，则， 所以， 又直线的方程为，由，整理得， 所以，则， 即，同理可得， 所以 ， 因为，所以，则， 所以 ， 所以.（17分） 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版必修第一册到选修二第3章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1． 已知集合，那么（ ） A. B. C. D. 2．已知，若复数，则（ ） A.2 B. C.3 D. 3．小李一家打算去张家界或长沙旅游，去张家界与长沙的概率分别为0.6，0.4，在张家界去徒步爬山的概率为0.5，在长沙去徒步爬山的概率为0.6，则小李一家旅游时去徒步爬山的概率为（    ） A．0.54 B．0.56 C．0.58 D．0.6 4．．已知，函数的最小正周期为，若，且的图象关于直线对称，则（ ） A.-1 B.-2 C.-3 D.-4 5．若非零向量，满足，则（   ） A． B．存在，使得 C． D．当，时，的取值集合为 6．已知分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线上在第一象限内的一点，若，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．棱长为3的正方体中，为棱靠近的三等分点，为棱靠近的三等分点，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 8．在锐角三角形中，内角的对边分别为，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的有（ ） A. 数据2，3，5，7，10的上四分位数为7 B. 若事件A，B相互独立，则 C. 若数据的方差为5，则数据的方差为20 D. 将数字1，3，6，8，5随机排列成五位数，该五位数是偶数的概率为20% 10．已知，函数有两个极值点，，则（   ） A．可能是负数 B． C．曲线在点处的切线方程为 D．为定值 11．已知抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线交于两点（点在第二象限），则（    ） A．可能为等边三角形 B． C．若直线的倾斜角为，则 D．若直线的倾斜角为，则的面积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知等比数列的前n项和为，若，，则________． 13．已知直线l：是圆：的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则＝________． 14．已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则实数________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数，，且恒成立． (1)求的解析式； (2)记的内角，，的对边分别为，，，且，，的面积为，求． 16．（15分）已知数列前n项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 17．（15分）平面上两个等腰直角和，既是的斜边又是的直角边，沿边折叠使得平面平面，为斜边的中点． (1)求证：； (2)在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 18．（17分）已知函数，为实数. (1)若函数在处的切线经过点，求的值； (2)若有极小值，且极小值大于2，求的取值范围； (3)若对任意的，且恒成立，求的取值范围.（为自然常数） 19．（17分）在平面直角坐标系中，点分别是椭圆的右顶点、上顶点、左顶点，若的离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知两点，其中点在线段上运动（不含端点），与关于点对称，直线与椭圆的另一交点为点，直线与椭圆的另一交点为点，设直线的斜率分别为，直线的斜率分别为. （i）求的面积的最大值； （ii）求证：为定值，并求出该定值. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版必修第一册到选修第二册第三章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1． 已知集合，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】C 解析：因为，所以． 2．已知，若复数，则（ ） A.2 B. C.3 D. 【答案】B 解析：因为，所以，则． 3．小李一家打算去张家界或长沙旅游，去张家界与长沙的概率分别为0.6，0.4，在张家界去徒步爬山的概率为0.5，在长沙去徒步爬山的概率为0.6，则小李一家旅游时去徒步爬山的概率为（    ） A．0.54 B．0.56 C．0.58 D．0.6 【答案】A 解析：记小李一家去张家界为事件，去长沙为事件，去徒步爬山为事件， 则、、、， 所以， 即小李一家旅游时去徒步爬山的概率为. 故选：A 4．．已知，函数的最小正周期为，若，且的图象关于直线对称，则（ ） A.-1 B.-2 C.-3 D.-4 【答案】D 解析：因为，所以，解得．又的图象关于直线对称， 所以，解得．因为，所以， 所以. 5．若非零向量，满足，则（   ） A． B．存在，使得 C． D．当，时，的取值集合为 【答案】C 解析：由可得，A错误； 设向量，的夹角为，两边平方得， 所以，向量，同向，，B错误； 由，同向及得，C正确； 当，时，由，同向得，解得或， 当时，反向，舍去，符合条件，D错误. 故选:C. 6．已知分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线上在第一象限内的一点，若，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 由正弦定理可得，由双曲线的定义可求得，，在中应用余弦定理可得，由即可求解. 解析：因为，所以， 因为，所以，， 又，， 所以， 所以，所以，所以. 故选：. 7．棱长为3的正方体中，为棱靠近的三等分点，为棱靠近的三等分点，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 解析：依题意可得，， 在中由余弦定理， 所以， 则外接圆的半径， 又且平面， 设三棱锥的外接球的半径为，则， 所以外接球的表面积. 故选：D 8．在锐角三角形中，内角的对边分别为，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 解析：由余弦定理，与联立，可得， 即，由正弦定理可得，，即， 故或（舍去）， 因为，故，故， 所以，因为是锐角三角形， 所以，解得，则， 所以 . 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的有（ ） A. 数据2，3，5，7，10的上四分位数为7 B. 若事件A，B相互独立，则 C. 若数据的方差为5，则数据的方差为20 D. 将数字1，3，6，8，5随机排列成五位数，该五位数是偶数的概率为20% 【答案】AC 解析：对于A，，故该组数据的上四分位数为7，A正确； 对于B，若事件相互独立，则， 而与不一定相等，故B错误； 对于C，将数据同时乘以2得数据， 则方差变为原来的4倍，即20，C正确； 对于D，排列成的五位数个位数字为6或8的概率为， 故该五位数是偶数的概率为，D错误． 10．已知，函数有两个极值点，，则（   ） A．可能是负数 B． C．曲线在点处的切线方程为 D．为定值 【答案】BCD 解析：  由，则， 当时，，则在上单调递减，没有极值，故A错误， 当时，令，得， 不妨设，则，故B正确， 当时，，当时，， 所以在和上单调递增，在区间上单调递减， 所以是的极大值点，是的极小值点， 而，则， 所以 为定值，故D正确； 对于C，由，则，而， 则曲线在点处的切线方程为，故C正确. 故选：BCD 11．已知抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线交于两点（点在第二象限），则（    ） A．可能为等边三角形 B． C．若直线的倾斜角为，则 D．若直线的倾斜角为，则的面积为 【答案】BC 解析：  由已知可得，设直线的方程为， 设，， 由得，所以，， 对于，若为等边三角形，则， 根据抛物线的对称性可得此时直线与轴垂直，且，， 所以，， 所以不可能为等边三角形，故错误； 对于，因为，，所以， 因为两点在抛物线上，所以，，所以， 所以，故正确； 对于，若直线的倾斜角为，所以， 所以，， 所以 ，故正确； 对于，若直线的倾斜角为，直线的方程为，即， 所以到直线的距离为， 所以，故错误. 故选：. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知等比数列的前n项和为，若，，则________． 【答案】 解析：设等比数列的公比为，由可得： ， 若，又，则，这与矛盾； 所以，而，从而． 13．已知直线l：是圆：的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则＝________． 【答案】6 解析：圆标准方程为，圆心为，半径为， 因此，，即， 14．已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则实数________． 【答案】2或4 解析：因为，则，当时，， 则曲线在点处的切线为， 令，可得， 因为切线与曲线只有一个公共点， 即方程有唯一解， 则，解得或． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数，，且恒成立． (1)求的解析式； (2)记的内角，，的对边分别为，，，且，，的面积为，求． 【详解】（1）由，得，而，则， 由恒成立，得，即，， 因此，解得，而，则， 所以的解析式为. （2）由（1）得，，而，解得， 由，解得， 由余弦定理得， 由正弦定理，得． 16．（15分）已知数列前n项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 【详解】（1）由题意知数列满足， 当时，，故， 适合该式，故； （2）由（1）知 ， 记数列：，， 则， ， 故. 17．（15分）平面上两个等腰直角和，既是的斜边又是的直角边，沿边折叠使得平面平面，为斜边的中点． (1)求证：； (2)在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． (1)证明见解析 (2)存在， 【详解】（1）取中点，连接，如图， 又为的中点， ，由，则， 又为等腰直角三角形，，， ，又，平面， 平面，又平面， （2）平面平面，平面平面，，平面， 平面，平面，故， 故以为原点，为、、轴正方向的空间直角坐标系，设，   ， 则，，， 若存在使得平面平面，且，， 则，解得，， 则，， 设为平面的一个法向量，则， 令，即， 设是平面的一个法向量，则， 令，则， ，可得． 存在使得平面平面，此时 18．（17分）已知函数，为实数. (1)若函数在处的切线经过点，求的值； (2)若有极小值，且极小值大于2，求的取值范围； (3)若对任意的，且恒成立，求的取值范围.（为自然常数） 【详解】（1）因为，所以，所以， 又，所以函数在处的切线方程为， 因为切线经过点，所以，解得； （2）由（1）知，函数的定义域为， 当时，在上恒成立，所以在上单调递增，无极值， 当时，令，得， 所以当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以当时，函数有极小值，极小值为， 由，所以，所以的取值范围为； （3）由得， 令，所以对任意的，且，恒成立， 所以在单调递减， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 因为二次函数在上单调递增， 所以函数在上的最小值为， 所以. 19．（17分）在平面直角坐标系中，点分别是椭圆的右顶点、上顶点、左顶点，若的离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知两点，其中点在线段上运动（不含端点），与关于点对称，直线与椭圆的另一交点为点，直线与椭圆的另一交点为点，设直线的斜率分别为，直线的斜率分别为. （i）求的面积的最大值； （ii）求证：为定值，并求出该定值. 【详解】（1）依题意可得，解得， 所以椭圆方程为； （2）（i）设为点到直线的距离， 所以的面积 显然当过点且与直线平行的直线与椭圆相切时取得最大值， 因为，，所以，设直线的方程为，即， 由，整理得， 由，解得（正值舍去）， 所以直线的方程为，又到直线的距离， 所以的最大值为， 则； （ii）设，则， 所以， 又直线的方程为，由，整理得， 所以，则， 即，同理可得， 所以 ， 因为，所以，则， 所以 ， 所以. 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ ■■■■ 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A]B][C][D] 6[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 謀 4[A]B][C]D 8[A[B][C]D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 射 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) N B M 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版必修第一册到选修二第3章 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1． 已知集合，那么（ ） A. B. C. D. 2．已知，若复数，则（ ） A.2 B. C.3 D. 3．小李一家打算去张家界或长沙旅游，去张家界与长沙的概率分别为0.6，0.4，在张家界去徒步爬山的概率为0.5，在长沙去徒步爬山的概率为0.6，则小李一家旅游时去徒步爬山的概率为（    ） A．0.54 B．0.56 C．0.58 D．0.6 4．．已知，函数的最小正周期为，若，且的图象关于直线对称，则（ ） A.-1 B.-2 C.-3 D.-4 5．若非零向量，满足，则（   ） A． B．存在，使得 C． D．当，时，的取值集合为 6．已知分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线上在第一象限内的一点，若，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．棱长为3的正方体中，为棱靠近的三等分点，为棱靠近的三等分点，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 8．在锐角三角形中，内角的对边分别为，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的有（ ） A. 数据2，3，5，7，10的上四分位数为7 B. 若事件A，B相互独立，则 C. 若数据的方差为5，则数据的方差为20 D. 将数字1，3，6，8，5随机排列成五位数，该五位数是偶数的概率为20% 10．已知，函数有两个极值点，，则（   ） A．可能是负数 B． C．曲线在点处的切线方程为 D．为定值 11．已知抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线交于两点（点在第二象限），则（    ） A．可能为等边三角形 B． C．若直线的倾斜角为，则 D．若直线的倾斜角为，则的面积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知等比数列的前n项和为，若，，则________． 13．已知直线l：是圆：的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则＝________． 14．已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则实数________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数，，且恒成立． (1)求的解析式； (2)记的内角，，的对边分别为，，，且，，的面积为，求． 16．（15分）已知数列前n项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 17．（15分）平面上两个等腰直角和，既是的斜边又是的直角边，沿边折叠使得平面平面，为斜边的中点． (1)求证：； (2)在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 18．（17分）已知函数，为实数. (1)若函数在处的切线经过点，求的值； (2)若有极小值，且极小值大于2，求的取值范围； (3)若对任意的，且恒成立，求的取值范围.（为自然常数） 19．（17分）在平面直角坐标系中，点分别是椭圆的右顶点、上顶点、左顶点，若的离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知两点，其中点在线段上运动（不含端点），与关于点对称，直线与椭圆的另一交点为点，直线与椭圆的另一交点为点，设直线的斜率分别为，直线的斜率分别为. （i）求的面积的最大值； （ii）求证：为定值，并求出该定值. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $