学易金卷：高一数学下学期第三次月考（湘教版）（测试范围：湘教版必修第二册第1～4章）

2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C A D D C A B C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BD BCD AC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）原式 (5分) （2）由为第一象限角，且， 即，解得，； 又，且，故． （13分） 16．（15分） 【解析】（1）取的中点，连接, 因为分别为中点，所以且， 因为，所以， 因为为中点，所以且，即四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面. （7分） （2）因为，且，所以，; 所以的面积为， 设三棱锥的高为，则, ，解得，即三棱锥的高为. （15分） 17．（15分） 【解析】（1）解：当时，可得，同理可得， 因为，所以， 则， 而， 所以， 即向量和的夹角的余弦值为. （7分） （2）解：由， 可得 ， 因为，可，即， 所以的取值范围为. （15分） 18．（17分） 【解析】（1）证明：由已知，DC∥AG，且DC=AG， 则AGCD为平行四边形，∴AD=CG， 又AD=BC，则BC=GC， 由知，则为正三角形， 在中，AB＝2，， 由余弦定理可知，， 有，则， 又，，则平面PBC， 而AC在平面PAC内，则平面平面PBC. （7分） （2）设E为BC的中点，连接GE，PE，则， ∵平面ABCD，PC在平面PBC内， ∴平面平面PBC， ∴平面PBC，为直线PG与平面PBC所成的角， 又直线PB与平面ABCD所成角为45°，则PC=BC， 又，， ∴在中，， 即直线PG与平面PBC所成角的正切值为. （17分） 19．（17分） 【解析】（1）因为，所以， 整理可得，所以， 因为，所以；（4分） （2）取的中点，连接，所以， 因为，所以，所以为的中点， 因为， 所以 ， 由余弦定理可得，即， 当且仅当时等号成立， 所以，所以， 所以，所以长度的最大值为；（10分） （3）由正弦定理得， 所以，， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，解得， 所以，所以， 所以的周长的取值范围为 （17分） 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版必修第二册第1章~第4章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数，则（   ） A．2 B．1 C． D． 2．已知，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，点为正方形的中心，点在平面外，是线段的中点，则下列各选项中两条直线不是异面直线的为（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 5．在中，若，则是（   ） A． B．或 C．或 D． 6．在平行四边形中，为的中点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 1 7．如图的方斗杯古时候常作为盛酒的容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，上底面边长为，下底面边长为，厚度忽略不计.现往该方斗杯里倒酒，当倒入时，酒的高度恰好是方斗杯高度的一半，则该方斗杯的容积为（    ） A． B． C． D． 8．已知在钝角中，是钝角，，点是边上一点，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，其中为虚数单位，在复平面内对应点为，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，纯虚数 B. 满足的点的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆 C. 的虚部为 D. 若且复数是方程的一个根，则方程的另一个复数根为 10．在中，内角的对边分别为，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则一定是等腰三角形 D．若，则一定是等边三角形 11．如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，是线段上的动点，则（    ）. A．存在点，使平面 B．不存在点，使四点共面 C．三棱锥的体积是定值 D．经过四点的球的表面积为10 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，在中，是的中点， 若，则实数的值是__________. 13．一个正方体的平面展开图如图所示，在该正方体中，则与所成的角为 ． 14．在三棱锥中，底面是等腰直角三角形，，且与的面积之比为，若点都在球的球面上，则球的表面积为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知． (1)化简求值：； (2)若是第一象限角，，且，求的值． 16．（15分）如图，在直三棱柱中，分别是的中点. (1)证明：平面； (2)若，且，求三棱锥的高. 17．（15分）如图，在平行四边形中，，若分别是边所在直线上的点，且满足，其中. (1)当时，求向量和的夹角的余弦值； (2)当时，求的取值范围. 18．（17分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，AD=BC，AB//CD，∠ADC=120°，AB=2CD=2，直线PB与平面ABCD所成角为45°，G是AB的中点． （1）求证： 平面PAC⊥平面PBC； （2）求直线PG与平面PBC所成角的正切值． 19．（17分）在中，内角的对边分别是，已知，且. (1)求； (2)若为内一点且，求长度的最大值； (3)若为锐角三角形，求的周长的取值范围. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版必修第二册第1章~第4章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数，则（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 由复数的除法运算、模长公式即可求解. 【详解】，得， 所以. 故选：C 2．已知，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】设与的夹角为，,， 由题意可知，， ， 则，即，故，结合,，解得． 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 根据齐次式可得，进而根据正切差角公式求解. 【详解】由得，故， 因此， 故选：D 4．如图，点为正方形的中心，点在平面外，是线段的中点，则下列各选项中两条直线不是异面直线的为（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 根据空间中点，线，面的位置关系逐一判断即可. 【详解】在正方形中，， 所以在平面内，不在直线上， 又不在平面内，所以与异面； 因为平面，在平面内，不在直线上， 又不在平面内，所以与异面； 因为平面，在平面内，不在直线上， 又不在平面内，所以与异面； 连接，因为点为正方形的中心，又是线段的中点， 所以，所以在平面内，所以与不是异面直线. 故选：. 5．在中，若，则是（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 由正弦定理得到方程结合题设数据即可求解. 【详解】由正弦定理得，即， 所以，又因为， 所以角，所以，故或. 故选：C 6．在平行四边形中，为的中点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【详解】 由图可知，为的中点，所以 则 又因为平行四边形，所以， 解得 故选：A 7．如图的方斗杯古时候常作为盛酒的容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，上底面边长为，下底面边长为，厚度忽略不计.现往该方斗杯里倒酒，当倒入时，酒的高度恰好是方斗杯高度的一半，则该方斗杯的容积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 设线段、、、的中点分别为、、、，利用台体的体积公式计算出棱台与棱台的体积之比，即可得该方斗杯可盛该种酒的总容积. 【详解】设线段、、、的中点分别为、、、，如下图所示： 易知四边形为等腰梯形，因为线段、的中点分别为、， 则， 设棱台的高为，体积为， 则棱台的高为，设其体积为， 则，则， 所以，，所以，该方斗杯可盛该种酒的总容积为. 故选：B. 8．已知在钝角中，是钝角，，点是边上一点，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 利用正弦定理可得，结合向量可得，结合基本不等式运算求解. 【详解】因为，由正弦定理可得， 且，则，可得， 且，则， 又因为，则， 可得， 则， 因为，则， 又因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即的最小值为. 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，其中为虚数单位，在复平面内对应点为，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，纯虚数 B. 满足的点的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆 C. 的虚部为 D. 若且复数是方程的一个根，则方程的另一个复数根为 【答案】BD 【详解】对于A，当时，则不为纯虚数，故A错误； 对于B，即到原点距离为2的点构成，故点的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆，故B正确； 对于C，的虚部为，故C错误； 对于D，，且复数是方程的一个根，则方程的另一个复数根是其中一个根的共轭复数，为，故D正确.故选：BD. 10．在中，内角的对边分别为，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则一定是等腰三角形 D．若，则一定是等边三角形 【答案】BCD 利用举反例式即可判断A；利用余弦函数的单调性即可判断B；利用正弦定理化边为角结合两角和 的正弦公式及三角形内角和定理即可判断C;利用正弦定理化边为角即可判断D； 【详解】对于A：当时，满足，而此时，故A错误； 对于B：因函数在区间上单调递减，故时，有， 又因为大边对大角，小边对小角即可得到，故B正确； 对于C：因为，所以,即，故， 又因为,故或(舍去)，所以一定是等腰三角形，故选项C正确； 对于D：因为，所以，即， 故，所以,则一定是等边三角形,故选项D正确； 故选：BCD 11．如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，是线段上的动点，则（    ）. A．存在点，使平面 B．不存在点，使四点共面 C．三棱锥的体积是定值 D．经过四点的球的表面积为10 【答案】AC 根据平行的传递性可得，结合线面平行的判定定理即可判断A；当Q与点重合时，四点共面，即可判断B；结合三棱锥体积公式判断C；易知经过四点的球即为长方体的外接球，求出球的半径即可判断D. 【详解】连接，当是的中点时，因为，所以． 因为平面平面，所以平面，故A正确， 如图，在正方体中，连接． 因为分别是的中点，所以．又因为，所以，所以四点共面，即当Q与点重合时，四点共面，故B错误， 直线上的点到面的距离为2，而，所以是定值， 故C正确， 设G,H分别为，的中点，则为长宽高分别为2，2，1的长方体，根据分割补形法知：经过四点的球即为长方体的外接球，所求球的直径满足：，经过四点的球的表面积为，故D错误． 故选：AC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，在中，是的中点，若，则实数的值是__________. 【答案】 【详解】因为，所以为的中点， 因为是的中点， 所以， 所以, 因为，所以，故答案为： 13．一个正方体的平面展开图如图所示，在该正方体中，则与所成的角为 ． 【答案】 将平面展开图复原为如图所示的正方体后结合正方体的性质可得与所成的角即为或其补角，故可求线线角的大小. 【详解】将平面展开图复原为如图所示的正方体： 设正方体的棱长为，连接，则， 由正方体的性质可得，故四边形为平行四边形， 故，故与所成的角即为或其补角，而， 故与所成的角为， 故答案为：. 14．在三棱锥中，底面是等腰直角三角形，，且与的面积之比为，若点都在球的球面上，则球的表面积为 . 【答案】 作出辅助线，根据两三角形面积之比求出，因为两两垂直，故三棱锥的外接球即为以为长宽高的长方体外接球，从而得到外接球半径，得到外接球表面积. 【详解】三角形是等腰直角三角形，，故⊥， 由勾股定理得， 取的中点，则， 因为，，平面， 故⊥平面， 因为平面，所以⊥， 设，则，， 故⊥，， 与的面积之比为，故，解得， 故， 点都在球的球面上，因为两两垂直， 故三棱锥的外接球即为以为长宽高的长方体外接球， 故外接球半径为， 球的表面积为 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知． (1)化简求值：； (2)若是第一象限角，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）原式 （2）由为第一象限角，且， 即，解得，； 又，且，故． 16．（15分）如图，在直三棱柱中，分别是的中点. (1)证明：平面； (2)若，且，求三棱锥的高. 【答案】 (1)证明见解析 (2) （1）利用平行四边形的性质得出线线平行，再结合线面平行的判定证明即可； （2）利用等体积法可求答案. 【详解】（1）取的中点，连接, 因为分别为中点，所以且， 因为，所以， 因为为中点，所以且，即四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面. （2）因为，且，所以，; 所以的面积为， 设三棱锥的高为，则, ，解得，即三棱锥的高为. 17．（15分）如图，在平行四边形中，，若分别是边所在直线上的点，且满足，其中. (1)当时，求向量和的夹角的余弦值； (2)当时，求的取值范围. 【答案】 (1) (2) （1）当时，求得，，进而求得和，结合向量的夹角公式，即可求解； （2）根据向量的线性运算法则，得到，结合向量数量积的运算律，化简得到，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：当时，可得，同理可得， 因为，所以， 则， 而， 所以， 即向量和的夹角的余弦值为. （2）解：由， 可得 ， 因为，可，即， 所以的取值范围为. 18．（17分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，AD=BC，AB//CD，∠ADC=120°，AB=2CD=2，直线PB与平面ABCD所成角为45°，G是AB的中点． （1）求证： 平面PAC⊥平面PBC； （2）求直线PG与平面PBC所成角的正切值． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】（1）分析可知，AC⊥BC，AC⊥PC，进而可证AC⊥平面PBC，再根据面面垂直的判定即可得出结论； （2）∠GPE为直线PG与平面PBC所成的角，再转化到三角形中求解即可. 【详解】（1）证明：由已知，DC∥AG，且DC=AG， 则AGCD为平行四边形，∴AD=CG， 又AD=BC，则BC=GC， 由知，则为正三角形， 在中，AB＝2，， 由余弦定理可知，， 有，则， 又，，则平面PBC， 而AC在平面PAC内，则平面平面PBC. （2）设E为BC的中点，连接GE，PE，则， ∵平面ABCD，PC在平面PBC内， ∴平面平面PBC， ∴平面PBC，为直线PG与平面PBC所成的角， 又直线PB与平面ABCD所成角为45°，则PC=BC， 又，， ∴在中，， 即直线PG与平面PBC所成角的正切值为. 19．（17分）在中，内角的对边分别是，已知，且. (1)求； (2)若为内一点且，求长度的最大值； (3)若为锐角三角形，求的周长的取值范围. 【详解】（1）因为，所以， 整理可得，所以， 因为，所以； （2）取的中点，连接，所以， 因为，所以，所以为的中点， 因为， 所以 ， 由余弦定理可得，即， 当且仅当时等号成立， 所以，所以， 所以，所以长度的最大值为； （3）由正弦定理得， 所以，， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，解得， 所以，所以， 所以的周长的取值范围为 学科网（北京）股份有限公司 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ ■■■■ 2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A]B][C][D] 6[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 謀 4[A]B][C]D 8[A[B][C]D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 射 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) D G 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版必修第二册第1章~第4章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数，则（   ） A．2 B．1 C． D． 2．已知，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，点为正方形的中心，点在平面外，是线段的中点，则下列各选项中两条直线不是异面直线的为（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 5．在中，若，则是（   ） A． B．或 C．或 D． 6．在平行四边形中，为的中点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 1 7．如图的方斗杯古时候常作为盛酒的容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，上底面边长为，下底面边长为，厚度忽略不计.现往该方斗杯里倒酒，当倒入时，酒的高度恰好是方斗杯高度的一半，则该方斗杯的容积为（    ） A． B． C． D． 8．已知在钝角中，是钝角，，点是边上一点，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，其中为虚数单位，在复平面内对应点为，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，纯虚数 B. 满足的点的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆 C. 的虚部为 D. 若且复数是方程的一个根，则方程的另一个复数根为 10．在中，内角的对边分别为，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则一定是等腰三角形 D．若，则一定是等边三角形 11．如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，是线段上的动点，则（    ）. A．存在点，使平面 B．不存在点，使四点共面 C．三棱锥的体积是定值 D．经过四点的球的表面积为10 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，在中，是的中点， 若，则实数的值是__________. 13．一个正方体的平面展开图如图所示，在该正方体中，则与所成的角为 ． 14．在三棱锥中，底面是等腰直角三角形，，且与的面积之比为，若点都在球的球面上，则球的表面积为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知． (1)化简求值：； (2)若是第一象限角，，且，求的值． 16．（15分）如图，在直三棱柱中，分别是的中点. (1)证明：平面； (2)若，且，求三棱锥的高. 17．（15分）如图，在平行四边形中，，若分别是边所在直线上的点，且满足，其中. (1)当时，求向量和的夹角的余弦值； (2)当时，求的取值范围. 18．（17分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，AD=BC，AB//CD，∠ADC=120°，AB=2CD=2，直线PB与平面ABCD所成角为45°，G是AB的中点． （1）求证： 平面PAC⊥平面PBC； （2）求直线PG与平面PBC所成角的正切值． 19．（17分）在中，内角的对边分别是，已知，且. (1)求； (2)若为内一点且，求长度的最大值； (3)若为锐角三角形，求的周长的取值范围. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $