1.2.2 第2课时 平行四边形的判定定理3-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年八年级下册数学（湘教版·新教材）

参考答案 第1章四边形 1.1多边形 第1课时多边形及其内角和 1.C2.D3.114.C5.B6.18° 7.解：由图知135°+x°+(x+9)°+126°+120°+(2x-120)°=(6-2)×180°，解得x= 112.5. 8.解：(1)当0=360°时，360°=(n一2)×180°，解得n=4..甲的说法对，边数n为4.当 0=630°时，630°=(n一2)×180°，解得n=5.5.n为正整数，∴.乙的说法不对.(2)由题 意，得(n十x-2)×180°-(n-2)×180°=540°，解得x=3..x的值是3. 9.C10.D11.B 12.解：，AF∥CD,∴.∠CDB=∠F.五边形ABCDE是正五边形，CD=CB, ∠DCB=∠ABC=5-2X18D=108.∴∠CBD=∠CDB=号×(180-∠DCB)= 5 36.∴∠F=36°.∠ABD=∠ABC-∠CBD=72°.∴∠BAF=∠ABD-∠F=36. 13.解：∠A+∠C=∠GHF,∠B+∠D=∠HGE,∴.∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+ ∠F=∠GHF+∠HGE+∠E+∠F=360°. 14.15【变式题1】6或7 【变式题2】解：设新多边形的边数为n.由题意，得180°(n一2)=2160°，解得n=14. ·剪去一角有如图所示的三种剪法，剪完后新多边形的边数可以有三种情况：比原多 边形多一条边，相等，少一条边.∴.原多边形的边数为13或14或15. 第2课时多边形的外角和 1.D2.A3.B4.10 5.解：设∠D的外角为a.由题意，得a=360°-∠1-∠2-∠3=50°.∠D=180°- a=130°. 6.解：设这个多边形的边数是n.根据题意，得(n一2)·180°=2×360°，解得n=6.∴这 个多边形的边数是6. 7.C8.A9.B10.C11.224°12.32 13.解：(1)①④⑥(2)如图所示.（答案不唯一） ③ ⑤ 14.解：1520°=8×180°+80°=(10一2)×180°+80°，.该多边形的边数为10，多加 的外角的度数为80°. 15.解：(1)∠1十∠2=∠A+∠C.理由如下：：∠1+∠ABC+∠2+∠ADC=360°， ∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，∴.∠1+∠2=∠A+∠C.(2)∠C-∠A=2∠O. 理由如下：：BO,DO是∠CBE,∠CDF的平分线，∴.∠CDF=2∠FDO=2∠CDO, ∠CBE=2∠EBO=2∠CBO.由(1)可知∠FDO+∠EBO=∠A+∠O,∠CDF+ ∠CBE=2∠FDO+2∠EBO=∠A+∠C,.2∠A+2∠O=∠A+∠C.∴.∠C-∠A= 2∠0. 1.2平行四边形 1.2.1平行四边形的性质 第1课时平行四边形边、角的性质 1.C2.平行四边形3.45°4.C5.B6.B 一1 7.解：，四边形ABCD是平行四边形，∴.BC∥AD,BC=AD=5.∴∠D=∠FCE.,E 是CD的中点，DE=CE.∠AED=∠FEC,△ADE≌△FCE(角边角).FC= AD=5.,.BF=BC+FC=10. 8.C9.510.D11.A12.25°13.12 14.解：(1)，四边形ABCD是平行四边形，.AB∥CD.∠BAE=∠AED.,AE平分 ∠DAB,.∠DAE=∠BAE.∴.∠DAE=∠AED..AD=DE=5..EC=8,.CD= DE+EC=13..□ABCD的周长为2(AD+CD)=36.(2):AD=5,CD=13,AC= 12,∴.AD2+AC=CD.∴△ADC为直角三角形，即AC⊥AD..□ABCD的面积为 AD·AC=60. 15.证明：(1).四边形ABCD是平行四边形..AB∥CD.∴.∠CEF=∠2.由折叠的性 质，得∠1=∠CEF,∴∠1=∠2.(2)∠1=∠2，∴.GE=GF.由折叠的性质，得BF= BF.DE=BF,.DE=BF..AB∥CD,∴.∠DEG=∠EGF..EG∥BF,.∠EGF= (DE=B'F, ∠B'FG.∴.∠DEG=∠BFG.在△DEG和△BFG中，∠DEG=∠B'FG,∴.△DEG≌ GE=GF, △BFG(边角边)..DG=B'G. 专题特训！平行四边形与角平分线结合的有关问题 1.B2.B3.304.2【变式题1】4或2【变式题2】2或14 5.(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形，∴.AB∥CD..∠ABC+∠BCD=180°. :∠ABC,∠BCD的平分线交于边AB上的点E处，∠CBE=∠ABE=号∠ABC, ∠BCE=∠DCE=2∠BCD.·∠CBE+∠BCE=2（∠ABC+∠BCD)=9O ∴∠BEC=90°.∴BE⊥CE.(2)解：：四边形ABCD是平行四边形，.CD=AB=√3， AD=BC,AD∥BC.∴.∠AEB=∠CBE=∠ABE,∠DEC=∠BCE=∠DCE..AE= AB=√5，DE=CD=√5.∴.BC=AD=AE+DE=2√3.在Rt△BCE中，CE= √/BC2-BE2=3. 第2课时平行四边形的对角线的性质 1.B2.C3.A4.A5.9 【变式题】解：：四边形ABCD是平行四边形，.OA=OC.又：△OAB的周长比△OBC 的周长大3，.(AB+OA+OB)-(BC+OB+OC)=3..AB-BC=3.□ABCD的 周长是30，.AB+BC=15..AB=9. 6.证明：四边形ABCD是平行四边形，.OA=OC,OB=OD.E,F分别是OB,OD (OA=OC, 的中点，∴.OE=OF.在△AOE和△COF中，∠AOE=∠COF,∴.△AOE≌△COF(边 OE=OF, 角边)..AE=CF 7.C8.D9.510.2 11.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，，OB=OD,AD∥BC..∠BFO= ∠DEO,∠FBO=∠EDO.∴.△BFO≌△DEO(角角边)..OE=OF.(2)解：：四边形 ABCD是平行四边形，OB=OD=号BD=13,OA=OC=号AC=5.:ACLAB, ∠BAC=90°.∴.AB=V√OB2-OA=12.△BFO≌△DEO,.S△so=SADEO· Ss=S8aE十Sam十Sam=Sam=Sac=ZAB·AC=60, 12.解：(1)□ABCD是“倍线平行四边形”.理由如下：，四边形ABCD是平行四边形， 0A=0C=号AC=2,BD=20B.AB=BC,OB⊥AC.∠A0B=90.OB= √AB2-OA=6..BD=12.:AC=4,.BD=3AC..□ABCD是“倍线平行四边 形”.(2)：口ABCD是“倍线平行四边形”，BD=3AC,OB=号BD,OA=号AC. 2 ∴.OB=3OA.:AC⊥AB,.∠BAO=90°.∴.OB2-OA2=AB2,即9OA2-OA2= (2√2)2..OA=1(负值已舍去)..AC=2.∴BC=√AB2+AC=2√3. 专题特训过平行四边形对角线交点的直线问题 及常见面积模型【回归教材】 1.证明：：AC与BD是口ABCD的对角线，且相交于点O,.OA=OC.AD∥BC, ∴.∠MAO=∠NCO.又，∠AOM=∠CON,·△AOM≌△CON(角边角)..OM= ON..点O是线段MN的中点. 【变式题1】7【变式题2】2 2.13.124.①③④ 1.2.2平行四边形的判定 第1课时平行四边形的判定定理1,2 1.D2.D 3.证明：：四边形ABCD是平行四边形，AB∥CD,AB=CD.:E,F分别是边AB, CD的中点，∴AE=AB,CF=CD.∴AE=CR.四边形AECF是平行四边形. ∴.AF=CE (AB=CD, 4.证明：在△BEA和△DFC中，AE=CF,∴.△BEA≌△DFC(边边边)..∠EAB= BE=DF, ∠FCD.∴∠BAC=∠DCA.∴AB∥CD.又：AB=CD,∴.四边形ABCD是平行四边形. 5.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 6.证明：AB⊥BD,CD⊥BD,∴.∠ABD=∠CDB=90°.在Rt△ABD和Rt△CDB中， AD=CB,:R△ABD≌R△CDB(斜边、直角边).AB=CD.又：AD=BC四边 BD=DB, 形ABCD是平行四边形. 7.C8.D 9.解：(1)①证明：，∠B=∠AED,.DE∥BC.:AB∥CD,四边形BCDE为平行 四边形.②证明：·AE=BE,AE=CD,∴.CD=BE.AB∥CD,.四边形BCDE为 平行四边形.（任选一种即可）(2)由(1)得DE=BC=10,,AD⊥AB,AD=8,∴.AE= √/DE2-AD2=6. 10.证明：：四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴.∠ADB=∠CBD.,BE=DF, ,BE+EF=DF+EF,即BF=DE.又，BN=DM,∴△BNE≌△DMF(边角边)， △BFN≌△DEM(边角边)..NE=MF,NF=ME.∴.四边形MENF是平行四边形. 11.解：(1)6t2t8一2t或2t一8(2)AD∥BC,∴.当PD=QE时，以P,Q,E,D 为顶点的四边形是平行四边形.分两种情况讨论：当点Q在点E右侧，即0<<4时， 则6一t=8-2t,解得t=2;当点Q在点E左侧，即4<t<6时，则6一t=2t一8，解得t= 兰镲上所述，当1=2或=兰时，以点P,Q,E,D为顶点的四边形是平行四边形。 第2课时平行四边形的判定定理3 1.D2.OB=OD(答案不唯一) 3.平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∠ADO=∠CEO, 4.证明：CE∥AB,.∠ADE=∠CED.在△AOD和△COE中，∠AOD=∠COE, OA=OC, .△AOD≌△COE(角角边).∴.OD=OE.又，OA=OC,∴.四边形ADCE是平行四边形. 5.B 6.解：四边形ABCD是平行四边形.理由如下：在四边形ABCD中，∠A=36°，∠B= 144°，∠C=36°，.∠A=∠C,∠D=360°-∠A-∠B-∠C=144°.∠B=∠D..四 边形ABCD是平行四边形. —3 7.C8.A9.120 ∠FAE=∠BCE, 10.(1)证明：，AF∥BC,.∠FAE=∠BCE.在△AEF和△CEB中，AE=CE, ∠AEF=∠CEB, .△AEF≌△CEB(角边角)..EF=BE..四边形ABCF是平行四边形.（2)解：.四边 形ABCF是平行四边形，∴.BF=2EF=2,AB∥CF.∴∠CFB=∠ABD=90°..CF⊥ BD.:BC=CD,.BD=2BF=4.∴.AD=√AB2+BD=5. 11.解：(1)一理由如下：：四边形ABCD是平行四边形，.OA=OC.,OP=OQ, ∴.四边形APCQ是平行四边形.二理由如下：连接AC,交BD于点O.,四边形 ABCD是平行四边形，∴.OA=OC,OB=OD.DQ=BP,∴.OQ=OP.∴.四边形APCQ 是平行四边形.（任选其一即可）(2)如图，点Q即为所求.（答案不唯一） 1.3中心对称和中心对称图形 1.A2.D3.√13 4.解：(1)如图①，△DCB即为所求.(2)如图②，四边形A'B'C'D'即为所求。 图① 图② 5.D6.B7.解：都是中心对称图形，其对称中心分别是点A,B,C,D,如图所示. 8.C9.C10.12 11.解：(1)如图所示.(2)四边形BCBC是平行四边形.理由如下：由中心对称的性质， 得OB=OB',OC=OC,∴四边形BCB'C是平行四边形. R A' B 12.解：(1)△ADC和△EDB成中心对称.(2)8(3)由(1)得BE=AC=3..5-3< AE<5+3,即2<AE<8.,DE=AD,.2<2AD<8..1<AD<4. 13.解：(1)=(2)如图①，EF即为所求.(3)如图②，MN即为所求.（答案不唯一） 图① 图②@ 1.4三角形的中位线定理 1.B2.D3.B 4.解：∠ACB=90,AB=10,CD为中线，∴CD=号AB=5.:F为DE的中点， BE=BC,∴BF是△CDE的中位线.BF= 2cD=2.5 4 5.C6.C 7.证明：在△ABD中，E,H分别是AB,BD的中点，∴EH∥AD,EH=AD.同理得 FG/AD,FG=AD,∴EH∥FG且EH=FG.:四边形EFGH是平行四边形. 8.B9.C10.8 1.(I)证明：D,E分别是AB,AC中点，DE∥BC,DE=号BC.:CF=号BC, DE=CF.(2)解：由(1)知，DE∥BC,DE=CF,∴.四边形DEFC是平行四边形..CD= EF.,D为AB的中点，等边三角形ABC的边长是2，AD=BD=1,CD⊥AB,BC= 2.∴.EF=CD=√BC-BD=√3. 12.解：DE∥BC,DE=号BC证明如下：过点C作CF∥AB,与DE的延长线交于点 F,∴∠ADE=∠F.D,E分别是AB,AC的中点，∴.BD=AD,AE=CE.在△ADE和 ∠ADE=∠F, △CFE中，∠AED=∠CEF,∴.△ADE≌△CFE(角角边).∴.AD=CF,DE=EF= AE=CE, DR.CF/∥BD,BD=CR四边形DBCF是平行四边形.∴DF/BC,DF=BC又 DE-DF,∴DE/BC,DE-BC 专题特训构造三角形中位线的四种常用技巧 1.B2.号3.C【变式题1】6【变式题274.C5.46.B 7.1<EF<4【变式题】号 1.5矩形 1.5.1矩形的性质 1.C2.B3.C4.25.45 6.解：：∠AOD=120°，∴∠AOB=180°-∠AOD=60°.四边形ABCD是矩形， ∴.∠ABC=90°，AC=BD=2OA=2OB.∴.△AOB是等边三角形..∴.OA=OB=AB=2. .BD=AC=2OA=4..BC=√AC-AB=25.∴.SE形ABCm=AB·BC=2X23=4V5. 7.(I)证明：四边形ABCD是矩形，∴.AB=CD,∠B=∠C=90°.在△ABE和△DCF I∠BAE=∠CDF, 中，3AB=DC, ∴·△ABE≌△DCF(角边角).(2)解：，△ABE≌△DCF,∴.AE= t∠B=∠C, DF=13.在Rt△ABE中，BE=√AE-AB=5. 8.50°9.B10.45°11.912.15° 13.(1)证明：四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC,∠B=∠ADC=90°..∠AEB= ∠DAF.又DF⊥AE,∠DFA=90°=∠B.又，AD=AE,△ADF≌△EAB(角角 边)..DF=AB.(2)解：由(1)知∠DFA=90°，.∠DAF+∠ADF=90°.，∠ADC= 90°，即∠ADF+∠FDC=90°，.∠DAF=∠FDC=30°..在Rt△ADF中，AD= 2DF.由(1)知DF=AB,∴.AD=2AB=8. 14.(1)证明：四边形ABCD是矩形，M,N分别是AB,CD的中点，.MN∥BC∥ AD..∠CBN=∠MNB.:∠PNB=3∠CBN,.∠PNM=2∠CBN.(2)解：连接 AN.易得∠ANM=∠MNB.:'AD∥MN∥BC,.∠PAN=∠ANM,∠CBN= ∠MNB.∴∠ANM=∠CBN.∴.∠PNM=2∠CBN=2∠ANM.∴∠ANM=∠ANP. ∠PAN=∠ANP.AP=PN.CD=AB=4,M,N分别为AB,CD的中点，∴.DN= 2.设PN=AP=x,则PD=6-x.在Rt△PDN中，PD2+DN2=PN2,.(6-x)2+ 2=,解得x=9∴AP-9 5 专题特训矩形中的折叠问题 1.B 2.(1)证明：四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC..∠DAC=∠ACB.由折叠的性质， 得∠ACB=∠ACE,∴∠DAC=∠ACE.∴AE=CE.△ACE是等腰三角形.(2)解： :四边形ABCD是矩形，.AD=BC=16,CD=AB=8,∠D=90°.：CE=AE,DE= AD-AE=16-AE,∴.在Rt△CDE中，CE2=DE2+CD2,即AE2=(16-AE)2+82. AE=10.Sam=2AECD=号×10X8=40 3.A4.√25.9或25 6.解：(1)由折叠的性质，得∠DEF=∠BEF.四边形ABCD是矩形，.AD∥BC, ∠ABC=9O°.∴.∠DEF=∠BFE=∠BEF,∠EBF=∠ABC-∠ABE=72°.∴∠BFE= 2(180°-∠EBF)=54,(2)设AE=x,则BE=DE=8-x,在R△ABE中，AE+AB BE,即十6=(8-P,解得x=子AE=子 1.5.2矩形的判定 1.C2.12 3.证明：，AB∥CD,∠BAD=90°，∴·∠D=180°-∠BAD=90°.在△ABC中，AB=5, BC=12,AC=13,∴.AB2+BC=AC.∴.△ABC是直角三角形，且∠B=90°.∴∠BAD= ∠D=∠B=90°.∴.四边形ABCD是矩形. 4.AC=BD(答案不唯一)5.4 6.证明：：OA=OC,OB=OD,.四边形ABCD是平行四边形.，∠AOB=∠OAD+ ∠ADO=2∠OAD,∴.∠OAD=∠ADO..OA=OD.∴.AC=BD.∴.四边形ABCD是 矩形. 7.C8.D9.A 10.答案不唯一，如：(1)解：①(2)证明：四边形ABCD为平行四边形，.AB∥DC, (AB=DC, AB=DC..∠A+∠D=180°.在△ABM和△DCM中， ∠1=∠2，.△ABM≌ BM=CM, △DCM(边角边)..∠A=∠D=90°..□ABCD为矩形. 11.证明：(1)CE∥BF,.∠BFD=∠CED.D是边BC的中点，∴BD=CD. ,∠BDF=∠CDE,∴△BDF≌△CDE(角角边).(2)由(I)知△BDF≌△CDE,∴.DF= DE=ER.又：BD=CD,四边形BFCE是平行四边形.DE=合BC,EF=BC. .四边形BFCE是矩形. 12.解：(1)四边形EFGH是矩形.理由如下：由折叠的性质可知∠AFE=∠EFK, ∠BPG=∠KFG.∴∠EPG-∠EFK+∠KFG=合（∠APK+∠BFK)=9O同理可 得∠FGH=∠EHG=90°..四边形EFGH是矩形.(2)如图，点M即为所求。 1.6菱形 1.6.1菱形的性质 1.D2.C3.A4.8 5.(I)证明：：四边形ABCD是菱形，AD=CD.:S菱形ABCD=AD·BE=CD·BF, .BE=BF.(2)解：BE⊥AD,∴∠BED=90°..∠A=∠BED-∠ABE=80°.四 边形ABCD是菱形，AB=AD.∠ABD-号(180°-∠A)=50.∠EBD= ∠ABD-∠ABE=40°. 6第2课时 平行四 A分点训练 。夯实基础 知识点①对角线互相平分的四边形是平行 四边形 1.下列条件能判定四边形是平行四边形的是 A.对角线互相垂直 B.对角线相等 C.对角线互相垂直且相等 D.对角线互相平分 2.新趋势半开放性题)如图，四边形ABCD中， OA=OC,要使四边形ABCD为平行四边 形，需添加一个条件是： .（填一 个即可) (第2题图) (第3题图) 3.如图，延长△ABC的中线AD至点E,使DE= AD,连接BE,CE,则四边形ABEC的形状 为 ,依据的定理是 4.如图，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥ AB,DE交AC于点O,且OA=OC,连接AE.求 证：四边形ADCE是平行四边形. 13 数学八年级下册湘教版 边形的判定定理3 知识点2两组对角分别相等的四边形是平 行四边形 5.下列给出的四边形ABCD中∠A,∠B,∠C, ∠D的度数之比，其中能够判定四边形ABCD 是平行四边形的是 A.1:2:3:4 B.2:3:2:3 C.2:2:3:4 D.1:2:2:1 6.在四边形ABCD中，∠A=36°，∠B=144°， ∠C=36°，四边形ABCD是平行四边形吗？ 请说明理由 易错点对平行四边形的判定方法掌握不全 面而致错 7.如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD 相交于点O,且OA=OC.添加下列条件： ①OB=OD;②AD=BC;③AD∥BC; ④∠BAD=∠BCD.其中能判定四边形 ABCD是平行四边形的有 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 B综合运用 。提升能力 8.如图，在△ABC中，AB=AC=5,点E,F,D 分别在边AC,BC,AB上.若∠A=∠DFE, ∠ADF=∠AEF,则四边形AEFD的周 长是 ( ) A.10 B.15 C.18 D.20 (第8题图) (第9题图) 9.如图，在四边形ABCD中，AD=12,对角线 AC,BD交于点O,∠ADB=90°，OD=OB=5, AC=26,则四边形ABCD的面积为 10.如图，在四边形ABCD中，AC,BD相交于 点E,AE=CE,点F在BD上，连接AF, CF,AF∥BC. (1)求证：四边形ABCF是平行四边形； (2)若BC=CD,∠ABD=90°，AB=3,EF= 1,求AD的长. C创新拓展 。发展素养 11.新趋势动手操作（教材P16例7变式）如 图，在□ABCD中，AP⊥BD于点P.请用 尺规作图在BD上求作一点Q,连接AQ, CQ,PC,使四边形APCQ是平行四边形 (1)某数学小组经过讨论，得到如下两种作 法，请选择其中一种作法说明其正确性。 作法一 作法二 连接AC交BD于 在BD上作DQ= 作图 点O,在OD上作 BP,则点Q即为 步骤 OQ=OP,则点Q 所求 即为所求 作图 痕迹 我选择作法 ,请说明理由. (2)请你用不同于(1)中的尺规作图法求作 出点Q.(保留作图痕迹，不写作法) 提示 请完成阶段小测（一）[1.1~1.2] 第1章四边形14