1.2.1 第2课时 平行四边形的对角线的性质&专题特训 过平行四边形对角线交点的直线问题及常见面积-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年八年级下册数学（湘教版·新教材）

参考答案 第1章四边形 1.1多边形 第1课时多边形及其内角和 1.C2.D3.114.C5.B6.18° 7.解：由图知135°+x°+(x+9)°+126°+120°+(2x-120)°=(6-2)×180°，解得x= 112.5. 8.解：(1)当0=360°时，360°=(n一2)×180°，解得n=4..甲的说法对，边数n为4.当 0=630°时，630°=(n一2)×180°，解得n=5.5.n为正整数，∴.乙的说法不对.(2)由题 意，得(n十x-2)×180°-(n-2)×180°=540°，解得x=3..x的值是3. 9.C10.D11.B 12.解：，AF∥CD,∴.∠CDB=∠F.五边形ABCDE是正五边形，CD=CB, ∠DCB=∠ABC=5-2X18D=108.∴∠CBD=∠CDB=号×(180-∠DCB)= 5 36.∴∠F=36°.∠ABD=∠ABC-∠CBD=72°.∴∠BAF=∠ABD-∠F=36. 13.解：∠A+∠C=∠GHF,∠B+∠D=∠HGE,∴.∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+ ∠F=∠GHF+∠HGE+∠E+∠F=360°. 14.15【变式题1】6或7 【变式题2】解：设新多边形的边数为n.由题意，得180°(n一2)=2160°，解得n=14. ·剪去一角有如图所示的三种剪法，剪完后新多边形的边数可以有三种情况：比原多 边形多一条边，相等，少一条边.∴.原多边形的边数为13或14或15. 第2课时多边形的外角和 1.D2.A3.B4.10 5.解：设∠D的外角为a.由题意，得a=360°-∠1-∠2-∠3=50°.∠D=180°- a=130°. 6.解：设这个多边形的边数是n.根据题意，得(n一2)·180°=2×360°，解得n=6.∴这 个多边形的边数是6. 7.C8.A9.B10.C11.224°12.32 13.解：(1)①④⑥(2)如图所示.（答案不唯一） ③ ⑤ 14.解：1520°=8×180°+80°=(10一2)×180°+80°，.该多边形的边数为10，多加 的外角的度数为80°. 15.解：(1)∠1十∠2=∠A+∠C.理由如下：：∠1+∠ABC+∠2+∠ADC=360°， ∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，∴.∠1+∠2=∠A+∠C.(2)∠C-∠A=2∠O. 理由如下：：BO,DO是∠CBE,∠CDF的平分线，∴.∠CDF=2∠FDO=2∠CDO, ∠CBE=2∠EBO=2∠CBO.由(1)可知∠FDO+∠EBO=∠A+∠O,∠CDF+ ∠CBE=2∠FDO+2∠EBO=∠A+∠C,.2∠A+2∠O=∠A+∠C.∴.∠C-∠A= 2∠0. 1.2平行四边形 1.2.1平行四边形的性质 第1课时平行四边形边、角的性质 1.C2.平行四边形3.45°4.C5.B6.B 一1 7.解：，四边形ABCD是平行四边形，∴.BC∥AD,BC=AD=5.∴∠D=∠FCE.,E 是CD的中点，DE=CE.∠AED=∠FEC,△ADE≌△FCE(角边角).FC= AD=5.,.BF=BC+FC=10. 8.C9.510.D11.A12.25°13.12 14.解：(1)，四边形ABCD是平行四边形，.AB∥CD.∠BAE=∠AED.,AE平分 ∠DAB,.∠DAE=∠BAE.∴.∠DAE=∠AED..AD=DE=5..EC=8,.CD= DE+EC=13..□ABCD的周长为2(AD+CD)=36.(2):AD=5,CD=13,AC= 12,∴.AD2+AC=CD.∴△ADC为直角三角形，即AC⊥AD..□ABCD的面积为 AD·AC=60. 15.证明：(1).四边形ABCD是平行四边形..AB∥CD.∴.∠CEF=∠2.由折叠的性 质，得∠1=∠CEF,∴∠1=∠2.(2)∠1=∠2，∴.GE=GF.由折叠的性质，得BF= BF.DE=BF,.DE=BF..AB∥CD,∴.∠DEG=∠EGF..EG∥BF,.∠EGF= (DE=B'F, ∠B'FG.∴.∠DEG=∠BFG.在△DEG和△BFG中，∠DEG=∠B'FG,∴.△DEG≌ GE=GF, △BFG(边角边)..DG=B'G. 专题特训！平行四边形与角平分线结合的有关问题 1.B2.B3.304.2【变式题1】4或2【变式题2】2或14 5.(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形，∴.AB∥CD..∠ABC+∠BCD=180°. :∠ABC,∠BCD的平分线交于边AB上的点E处，∠CBE=∠ABE=号∠ABC, ∠BCE=∠DCE=2∠BCD.·∠CBE+∠BCE=2（∠ABC+∠BCD)=9O ∴∠BEC=90°.∴BE⊥CE.(2)解：：四边形ABCD是平行四边形，.CD=AB=√3， AD=BC,AD∥BC.∴.∠AEB=∠CBE=∠ABE,∠DEC=∠BCE=∠DCE..AE= AB=√5，DE=CD=√5.∴.BC=AD=AE+DE=2√3.在Rt△BCE中，CE= √/BC2-BE2=3. 第2课时平行四边形的对角线的性质 1.B2.C3.A4.A5.9 【变式题】解：：四边形ABCD是平行四边形，.OA=OC.又：△OAB的周长比△OBC 的周长大3，.(AB+OA+OB)-(BC+OB+OC)=3..AB-BC=3.□ABCD的 周长是30，.AB+BC=15..AB=9. 6.证明：四边形ABCD是平行四边形，.OA=OC,OB=OD.E,F分别是OB,OD (OA=OC, 的中点，∴.OE=OF.在△AOE和△COF中，∠AOE=∠COF,∴.△AOE≌△COF(边 OE=OF, 角边)..AE=CF 7.C8.D9.510.2 11.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，，OB=OD,AD∥BC..∠BFO= ∠DEO,∠FBO=∠EDO.∴.△BFO≌△DEO(角角边)..OE=OF.(2)解：：四边形 ABCD是平行四边形，OB=OD=号BD=13,OA=OC=号AC=5.:ACLAB, ∠BAC=90°.∴.AB=V√OB2-OA=12.△BFO≌△DEO,.S△so=SADEO· Ss=S8aE十Sam十Sam=Sam=Sac=ZAB·AC=60, 12.解：(1)□ABCD是“倍线平行四边形”.理由如下：，四边形ABCD是平行四边形， 0A=0C=号AC=2,BD=20B.AB=BC,OB⊥AC.∠A0B=90.OB= √AB2-OA=6..BD=12.:AC=4,.BD=3AC..□ABCD是“倍线平行四边 形”.(2)：口ABCD是“倍线平行四边形”，BD=3AC,OB=号BD,OA=号AC. 2 ∴.OB=3OA.:AC⊥AB,.∠BAO=90°.∴.OB2-OA2=AB2,即9OA2-OA2= (2√2)2..OA=1(负值已舍去)..AC=2.∴BC=√AB2+AC=2√3. 专题特训过平行四边形对角线交点的直线问题 及常见面积模型【回归教材】 1.证明：：AC与BD是口ABCD的对角线，且相交于点O,.OA=OC.AD∥BC, ∴.∠MAO=∠NCO.又，∠AOM=∠CON,·△AOM≌△CON(角边角)..OM= ON..点O是线段MN的中点. 【变式题1】7【变式题2】2 2.13.124.①③④ 1.2.2平行四边形的判定 第1课时平行四边形的判定定理1,2 1.D2.D 3.证明：：四边形ABCD是平行四边形，AB∥CD,AB=CD.:E,F分别是边AB, CD的中点，∴AE=AB,CF=CD.∴AE=CR.四边形AECF是平行四边形. ∴.AF=CE (AB=CD, 4.证明：在△BEA和△DFC中，AE=CF,∴.△BEA≌△DFC(边边边)..∠EAB= BE=DF, ∠FCD.∴∠BAC=∠DCA.∴AB∥CD.又：AB=CD,∴.四边形ABCD是平行四边形. 5.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 6.证明：AB⊥BD,CD⊥BD,∴.∠ABD=∠CDB=90°.在Rt△ABD和Rt△CDB中， AD=CB,:R△ABD≌R△CDB(斜边、直角边).AB=CD.又：AD=BC四边 BD=DB, 形ABCD是平行四边形. 7.C8.D 9.解：(1)①证明：，∠B=∠AED,.DE∥BC.:AB∥CD,四边形BCDE为平行 四边形.②证明：·AE=BE,AE=CD,∴.CD=BE.AB∥CD,.四边形BCDE为 平行四边形.（任选一种即可）(2)由(1)得DE=BC=10,,AD⊥AB,AD=8,∴.AE= √/DE2-AD2=6. 10.证明：：四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴.∠ADB=∠CBD.,BE=DF, ,BE+EF=DF+EF,即BF=DE.又，BN=DM,∴△BNE≌△DMF(边角边)， △BFN≌△DEM(边角边)..NE=MF,NF=ME.∴.四边形MENF是平行四边形. 11.解：(1)6t2t8一2t或2t一8(2)AD∥BC,∴.当PD=QE时，以P,Q,E,D 为顶点的四边形是平行四边形.分两种情况讨论：当点Q在点E右侧，即0<<4时， 则6一t=8-2t,解得t=2;当点Q在点E左侧，即4<t<6时，则6一t=2t一8，解得t= 兰镲上所述，当1=2或=兰时，以点P,Q,E,D为顶点的四边形是平行四边形。 第2课时平行四边形的判定定理3 1.D2.OB=OD(答案不唯一) 3.平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∠ADO=∠CEO, 4.证明：CE∥AB,.∠ADE=∠CED.在△AOD和△COE中，∠AOD=∠COE, OA=OC, .△AOD≌△COE(角角边).∴.OD=OE.又，OA=OC,∴.四边形ADCE是平行四边形. 5.B 6.解：四边形ABCD是平行四边形.理由如下：在四边形ABCD中，∠A=36°，∠B= 144°，∠C=36°，.∠A=∠C,∠D=360°-∠A-∠B-∠C=144°.∠B=∠D..四 边形ABCD是平行四边形. —3第2课时 平行四主 A分点训练 。夯实基础 知识点平行四边形的对角线的性质 1.在□ABCD中，对角线AC,BD相交于点O. 若BD=8,则OD的长为 A.3 B.4 C.8 D.16 2.如图，□ABCD的对角线AC,BD交于点O, 则下列结论一定成立的是 () A.OA=OB B.OA⊥OB C.OA=OC D.∠OBA=∠OBC (第2题图) (第3题图) 3.如图，在□ABCD中，对角线AC,BD相交于 点O.若AC=6,BD=8,则AB长的取值范 围是 A.1<AB<7 B.2<AB<4 C.6<AB<8 D.3<AB<4 4.(长沙望城区期末)如图，在□ABCD中，对 角线AC,BD相交于点O,AC⊥BC,AB= 10,BC=8,则OB的长为 A.√73 B.6 C.7 D.√58 (第4题图) (第5题图) 5.如图，在□ABCD中，AC与BD相交于点 O,且AC+BD=12,AD=3,则△BOC的周 长为， 【变式题】如图，□ABCD的周长是30，AC, BD相交于点O,△OAB的周长比△OBC的 力形的对角线的性质 周长大3，求AB的长 6.如图，□ABCD的对角线AC,BD相交于点 O,E,F分别是OB,OD的中点，连接AE, CF.求证：AE=CF 易错点结合平行四边形性质判定全等三角 形的对数时考虑问题不全面而致错 7.如图，在□ABCD中，对角线AC,BD相交于 点O,分别过点A,C作BD的垂线，垂足分 别为E,F,则图中共有全等三角形() A.5对 B.6对 C.7对 D.8对 第1章四边形 8 B综合运用 ⊙提升能力 8.如图，在□ABCD中，对角线AC,BD相交于 点O,OE⊥AC,交CD于点E,连接AE.若 □ABCD的周长为28，则△ADE的周长为 A.28 B.24 C.21 D.14 9.如图，在□ABCD中，AC,BD交于点O,EF 过点O分别交AB,CD于点E,F.若AE=5, 则CF的长为 D B (第9题图) (第10题图) 10.如图，已知□ABCD与□EBFD的顶点A, E,F,C在同一条直线上，AC=14,EF= 10,则AE的长为 11.如图，已知□ABCD的对角线AC,BD相交 于点O,过点O的直线EF分别交AD,BC 于点E,F. (1)求证：OE=OF; (2)若AC⊥AB,AC=10,BD=26,求阴影 部分的面积. 9 数学八年级下册湘教版 C创新拓展 ⊙发展素养 12.新趋势新定义【问题情境】定义：如果一个 平行四边形一条对角线的长恰好等于另一 条对角线长的3倍，那么称这个平行四边 形为“倍线平行四边形”. 【数学思考】(1)如图①，在□ABCD中，若AB= BC=2√10，AC=4,试判断□ABCD是否为 “倍线平行四边形”，并说明理由； 【深入探究】(2)如图②，若口ABCD为“倍 线平行四边形”(BD>AC),且AC1 AB,AB=2√2，求BC的长， 习D B 图① 图② 专题特训 过平行四边形对角线交点的直线问题及常见面积模型 【回归教材】 类型①过平行四边形对角线交点的直线问题 类型2与平行四边形相关的常见面积问题 常见面积模型： 模型：过平行四边形对角线 交点的任意一条直线都被 该点平分，如图所示， s. S=S.=S=S S=S,S,=S4.S,=S6 1.（教材P11例4原题呈现)如图，在□ABCD S,+S,+S,=S,+S+ 中，对角线AC与BD相交于点O,过点O作 S.-3So 一条直线MN,分别交AD,BC于点M,N. S 求证：点O是线段MN的中点. S1+S2 51 S1+S3=S2十 S,-S0 2.（张家界永定区期中)如图，P是□ABCD的 边AB上任意一点，设△APD的面积为S1, △BPC的面积为S2,△CDP的面积为S3, 则S十S的值为 S: (第2题图) (第3题图) 3.(教材P18习题T7变式)（娄底期末）如图， 【变式题1】如图，□ABCD的对角线AC和 在□ABCD中，对角线AC,BD相交于点O, BD相交于点O,EF过点O且与BA,DC的 EF过点O,交AD于点F,交BC于点E.若 延长线分别相交于点E,F,AC=6,△AEO AB=6,AC=8,AD=10,则图中阴影部分的 的周长为10，则CF+OF的值为 面积是 4.如图，在□ABCD中，O是BD的中点，EF 过点O.有下列结论：①AB∥CD;②OE= DE;③∠A=∠C;④S四边形ABOE=S四边形CDOF, 其中正确的是 .(填序号) (变式题1图) (变式题2图) 【变式题2】如图，□ABCD的对角线AC,BD 相交于点O,直线EF过点O且与直线AB, CD相交于点E,F,□ABCD的面积为20， CD=10,BC=6,在直线EF绕点O旋转的过 程中，线段EF长的最小值为 第1章四边形 10