广西柳州高级中学2025-2026学年度下学期高二期中考试数学试题

2025-2026学年度下学期高二期中考试数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号码填写在答题卡上。 2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效。 3.考试结束后，将答题卡交回 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 （x2, x≤0 1.设函数f(x)={ x+9-6,>0则ff-2)=( A.-1 8号 C.1 D.2 2.已知向量d=(-2,1,-1),=(4,-2,x),若d⊥，则实数x的值为() A.10 B.-10 C.2 D.-2 3.等比数列{an}中，a1十3ag=7,a2a4=2ag,则a5=() A.4 B.5 C.6 D.7 4.己知变量x,y的一组统计数据如下表所示.计算得两个变量线性相关，且y关于x的线性回归方程 为有=号x+2则实数a的值为(】 A.2 B.3 C.4 D.5 5.已知二项式(2x-1)的展开式中x3项的系数为() 0 4 A.80 B.-80 C.160 D.-160 6.同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件A为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件B为两枚骰子点数之和为8，则 P(BA)=() 5 1 A.36 c. D.18 7。已知点下是双曲线二-号=1Q>0)的右焦点，0是坐标原点，以OP为直径的圆与双曲线的一条渐近线交 5 于点A,若△AOF的面积为5，则该双曲线的离心率为() A.√2 B C.5 2 D.7 8.已知aeax≥1nc对Hx≥1恒成立，则实数a的取值范围是() A.[1,+∞) B.[0,+∞） C.[e,+o) D.[日，+m 二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分。 9.下列说法正确的是() A.利用x2进行独立性检验时，x的值越大，说明有更大的把握认为两个分类变量无关 B.在残差图中，残差点在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域的宽度越窄，其模型拟合效果越好 C.样本相关系数r的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度，当越接近1时，成对样本数据 的线性相关程度越弱 D.用决定系数R来比较两个模型的拟合效果，R越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好 .1… 10.已知函数f)=号2-2-3x-号则() A.3是f(x)的极小值点 B.f(x)在R上仅有1个零点 C.曲线y=f(x)在点(4，f(4)处的切线方程为5x-y-27=0 D.若a>-1,则f(x)在区间(-2，a)上存在最大值 11.某市以渤海湾畔、生态宜居”为发展理念，将“生态渤海”融入城市脉络，一位数学爱好者设计了“渤海明珠” 曲线C,其方程为x2+2+2x-2=0.对应的曲线如图（实线部分）： 对于曲线C,则下列结论正确的是() A.曲线C所围成的封闭区域面积等于2π一4 B.若直线y=kc与曲线C有唯一公共点，则k取值范围为[-1,1] C.由线C上恰好存在4个不同点到直线y=+受的距离为弓 D.曲线C上存在唯一的点P,使得点P到点(0,5)与到点(0，-5)的距离之差为4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.设随机变量X服从正态分布N(3,2),且P(X≥5.5)=0.2，若P(X≤m)=0.2,则m= 13.关于x的不等式ax2+bx+3>0的解集是(-1,3)，则实数a+b= 14.有n个编号分别为1,2，…，n的盒子，第1个盒子中有2个红球1个白球，其余盒子中均为1个红球1个白球，现 从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中 取到白球的概率是 ,从第n(n∈N个盒子中取到白球的概率是 (结果用n表示). 四、解答题：共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.(13分)己知等差数列{an}的前n项和为Sn,且3a2+a4=16,S5=25. )求数列Q}的通项公式2)设b,三。。求数列b,}的前n项和7 16.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，AP=AB, E为CD的中点， (1)求证：CD⊥平面PAE: (2)求平面PAE与平面PBC夹角的余弦值 ·2 1收、(15分)已知椭圆M二+芹-1>6>0)的短半轴长b=1,且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的 周长为6+4w2 (1)求椭圆M的方程： (2)设直线飞：x=y+t(不过右顶点)与椭圆M交于A,B两点，椭圆的右顶点为C,且CA·CB=0,求t的值. 18.(17分)己知函数f(x)=asinx-x+b(a,b均为正的常数). (1)若a=√2，求函数f(x)在区间(0，元)上的单调减区间： ②)设函数在亚=写处有极值。 ①对于一切x∈[0，受]，不等式f(o)>sinx恒成立，求6的取值范围： ②老函数儿)在区间(，2”))上是单调带函数求实效n的取位花国 ·3 19.(17分)2026年除夕夜，央视春节联欢晚会精彩上演，阖家团圆共贺新春。某中学课外实践活动小组在某区域内 通过一定的有效调查方式对“央视春节联欢晚会”当晚的收看情况进行了随机抽样调查.统计发现，通过手机收看的 占号，通过电视收看的占弓，其他为未收看者。 (1)从该地区中随机选取3人，用X表示这3人中通过电视收看的人数，求P(X≥2)： (2)若采用分层随机抽样方法从该地区被调查对象中抽取6人，我们知道，通过手机收看的人数有3人。现从这6人 中随机选出4人，用Y表示这4人中通过手机收看的人数，求Y的分布列和数学期望Y). (3)设该地区被调查对象共有6(m≥2，n∈N)人，不难知道通过手机收看的有3m人，通过电视收看的有2m人，未 收看的有n人.若从该地区被调查对象中不放回地随机选取3人，记事件A为“选取的3人中恰有1人用手机收看、1 人用电视收看、1人未收看”，其概率为P:若从该地区被调查对象中不放回地随机选取6人，记事件B为“选取的6人 中恰有2人用手机收看、2人用电视收看、2人未收看”，共概率为B,求骨，并比较号与1的大小，说明理由。 ·4■■■■ ■■■■ ■■■ 2025-2026学年度下学期高二期中考试数学试题 数学·答题卡 姓名： 班级： 考生条形码粘贴处 准考证号： 一、单选题（共40分） 1[A]B][C][D] 2A][B][CD] 3[A[B][C][D] 4[A][B][C][D] 5[A][B][CD] 6[A][B][C[D] 7 [A][B][C][D] 8 [A][B][C][D] 二、多选题（共18分) 9 [A][B][C][D] 10[A][B][C[D] 11[A]B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 14. 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 15题续答区 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18题续答区 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19题续答区 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）2025-2026学年度下学期高二期中考试数学试题 参考答案 题 2 3 5 6 7 8 9 10 号 11 答 B B A A D B C D BD AC ABD 案 x2, x≤0 1.B.因为函数f(x)= e+8-6,>0f-2》-f国=4+9-6=日 2.B.由于d⊥，则di=0,即-2×4+1×(-2)+(-1)×x=0,解得x=-10.故选：B 3.A.因为{an}为等比数列，所以a2a4=(ag)2=2ag,解得ag=2或ag=0(舍)，则a1=7-3ag=1,设公比为 g,则g=%=2,所以a=a9=2×2=4. 4、A由慰可知，五=1+2牛+1=多，则可-0+a4+7-1“:又伍，列在线性回归直线上，则可=号 4 4 4 ×多+2=星所以"生2=星放a=2故选：A 4 5.D.(2c-1)°的展开式的通项为T,+1=C6(2x)6(-1)”,令6-r=3,得r=3,故T+1=C(2x3(-1)3= -160x3,故展开式中x3的系数为-160. 6.B.同时投掷两枚质地均匀的骰子，设两枚骰子投出的点数构成有序数对(x,y),则总共有6×6=36种可 能，设事件A为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件B为两枚骰子点数之和为8，所以事件A包含的样本点个数 有3×6=-1s个，所以P(A)-器-号事件AB包含的基木事件有：35.(6.3).所以P氏(AB)=-5,所以 P(BIA)=P(AB)1 P(A) 1 2 7.C如图：由题有OA1AD,由双曲线性质有AF一。4F=b,O=C: bc 所以OA=a.所以5aoe=号0AAn=空=5， 所以b=10又双曲线方程票-号-1m>0,则a=n,-5. 所以心=m=20,则双曲线离心率6=台-+客=号 2 8.D.设f(x)=xlnc(x≥1)，则f'(x)=1+lnx>0故f(x)在[1，+oo)上牛网m. :aear≥lnx对Vx≥l恒成立，可等价变形为ace≥xlnc.:f(x)在(0，+oo)上单调递增，且aac>0,lnx≥ 0,.由axe≥lnx·e可得f(e)≥f(),可得er≥x两边取对数得ax≥lnr,即a≥ln对Yr≥1恒成立， g-号esg阳立-1是g-l2ug因-上知 x2 2 2x2 0得>e∴ge)在1，e)上单润递增，在(e,+om)上单调递减当gmx一ge-日 :a≥对V≥1恒成立，∴a≥gc)m=是，即实数a的取值范围是[是，+∞) 9.BD.利用x进行独立性检验时，x的值越大，说明有更大的把握认为两个分类变量相关，因此A错误； 在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高，因此B正确： 线性相关系数r的范围在-1到1之间，有正有负，相关有正相关和负相关， 相关系数的绝对值的大小越接近于1，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱，因此C选项错误； 用决定系数R来比较两个模型的拟合效果，R越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，D选项 正确 ·1 10.ACf'（x)=x2-2x-3=(x+1)(x-3),易得f(x)在(-∞，-1)，(3，+o∞)上单调递增，在(-1,3)上单调 递减，所以fx)在c=3处取得极大值，A正确： f-0=寸>0，f3)=-空<0，f)在上有3个零点，B错误： f'(4)=5,f4)=-7,故曲线y=f(x)在点(4，f4)处的切线方程为y-（-7)=5(x-4),即5x-y-27=0, C正确： f()=(c+(e-3),f()在x=-1处左增右减，故x=-1为极大值点，极大值f(-1)=青，f)在3， +∞)上单调递增，且c→+∞时，f(x)→+∞，所以f(c)在(-2，a)上不一定存在最大值，D错误， 11.ABD 对于A,先计算第一象限部分的弓形弧的面积，扇形弦长为2，半径为√2， 所以扇形的圆心角为受，所以第一象限部分的弓形的面积S=号×受×(2-专× (W2Y=-1, 所以曲线C所围成的封闭区域面积等于4（乏-1）=2-4，故A正确： 对于B,直线y=kx过原点，所以直线必和曲线C有一个交点， 再以第一象限为例，圆心（一1,1到直线y=k的距离d=一k-≥2， V1+k2 化简得(k-1≤0，即当k=1时直线与圆相切，同理可分析其它各个象限， 所以当k∈[-1,1]时，直线y=kx与曲线C有唯一公共点，故B正确： 对于C当直线y=十m与切线y=的链离为宁时，则滑=宁解得州=受或=一号故始好 2 存在3个不同点到直线=+受的距离为方，C错误： 对于D,因为点P到点(0,5)与到点(0，-5)的距离之差为4，所以点P在以(0,5)，(0，-5)为焦点，以实轴长 为4的双曲线的下支上，方程为兰-兰=1〔g≤-2).显然双曲线的一个实顾点(0，-2)在曲线C上且只有这一 个点，所以D正确. 12.0.5/号易知正态分布曲线关于u=3对称，且P(X≥5.5)=P(X≤m),则5.5m=3,所以m=0.5 2 13.1.因为关于x的不等式ax2+bx+3>0的解集是(-1,3)，所以-1,3是方程ax2+bx+3=0的两个根， 且a<0,所以-b=-1+3=2,3=-1×3=-3,解得a=-1,b=2,所以a+b=1, a 14. ，- 9 设事件A表示“从第i个盒子中取到白球”i=1,2.3,,n,则P(A,)=号，P(可)=1-P(A)=号， 所以P(A=PAA+PAA=PAP(AA+PAP(A国)=合×号+号×日-吉： 当n≥2时，P(4)=P(AP(4A-)+P(AP(AA=P(A)x号+[1-P(A]×号 }P4-+号， 所以P(A)-号-[P(4-2],又PA)-号=号-号=合则数列{P(A)-号}是以-吉为首 项，3为公比的等比数列，所以P(A)-3=日×（号=号×（号八，所以P(A)=号-号×（号”= 号(1-子)，即从第2个盒子中取到白球的概率是专，从第八个盒子中取到白球的概率是1-六)》 15.（1)an=2m-12)T.=2m+1 解：(1)设等差数列{am}的首项为a1,公差为d,(1分) ·2 则/3(a+ta+3d=16 5a+54d=25 ,3分解得任)5分) 因此通项公式为am=2n-1.(6分) 四将a=2-1代入b=2-可-号中.0分) 1 所以亚=1-+++=1-2n+1）F12分 1 即=2+113分) 16.(1)证明见解析(2)2T 7 解：(1)证明：连AC,底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，∴AC=AD,(1分) :AC=AD,DE=CE,∴.AE⊥CD,(3分) :PA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD,.PA⊥CD,(5分) :PA⊥CD,AE⊥CD,AE,PAC平面PAE,AE∩AP=A, (6分) .CD⊥平面PAE;(7分) (2)由(1)知CD⊥AE,又由AB∥CD,可得AB⊥AE,可得AB、AE、AP两两垂直， 令AB=2,可得AD=AP=2,AE=√3，ED=CE=1(9分) 以A为坐标原点，向量AB,A尼，AP方向分别为c、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系， 可得点A的坐标为(0,0,0)，点P的坐标为(0,0,2)，点B的坐标为(2,0,0)，点E的坐标为(0，√3,0)，点C的坐 标为(1，√3,0)， A店=(2,0,0)，BC=(-1,3,0),B=（-2,0,2),(10分) 由(1)可知AB为平面PAE的法向量，(11分) 设平面BCP的法向量为元=(c,,z),有 BCi=-+√5g=0,取0=5，y=1,z=5,可得元= BP.元=-2x+2z=0 (√5,1，√5)，(13分) 由A店m=2W3,=2=7,有c0s<4.i>=23=红，14分) 2X√7 7 平面PAE与平面PBC夹角的余弦值为2I.(15分) 7 1n.号+=12=号 解：(1)由于b=1,且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6+4√2， ∴.2a+2c=6+4W2(1分) 又a2-c2=b2=1,故a-c=1(3分).a=3,c=2W2,b=1,(5分) 所以椭圆M的方程为号+g=1:(6分) x-my+t 2由212=1消去得，(m2+9)w+2mty+-9=( 设A(1,),B(c2,2),则有△=4m2-4(m2+9)(t-9)>0,则m2-t+9>0, 2。s=809分 +功=- 因为CA·C元=0，由CA=(1-3,),C元=(2-3,2)，得(m1-3)(x2-3)+h2=0.(10分) 将m=m1+t,2=m+t代入上式，得(m2+1)y+m(t-3)(+)+(t-3)2=0.(11分) 将0代入相0m+1号+mt-9训-3)+t-=0化商符3#-27+36=0.B分 解得=号或老=3，(14分) 若1-3，则直线AB经过右顶点C3.0),此时不符合题意，所以1=号.15分) ·3 18.(1(于：2)①(1，+o):②0<m≤1 解：(1)a=√2时，函数f(x)=2sinx-x+b,求导函数可得：f'(x)=√2cosc-1(1分) 令f]<0,可得c<号z∈0，吾<<x两数的单调减区间为（任，x)(4分剂】 (2f'()=aCOS-1,由己知得：f(号)=0，“a=2,经检验知当a=2时函数在x=号处有极值 ∴.fx)=2sinx-x+b (6分) ①不等式f(c)>sinx可化为：b>x-sinx(7分) 记函数g)=x-sinx,e∈[0，]，g(c)=1-cosx≥0，(9分) 函数g)=x-sinx在xe[0,号]上是增函数，最大值为g(号)=5-1 (10分) .b>号-1，b的取值范围是（受-1，+o∞ (11分) ②油区间(m3,得：n1x>m号x所以m>0(2分例 令f回)=208m-1>0,可得2km-号<<2k+号，ke2 (13分) :函数在区间(”m号x,2gx)上是单调增函数”x≥2kx-吾且2x≤2kx+号 (15分) .6k≤m≤3k+1m>0,.3k+1>0,6k≤3k+1 .k=0 .0<m≤1. (17分) 19.()2:2)分布列见解析，E(Y)=2:3)R>B 解：（四由题意，X~B3,号），(1分) 而X可能取值为0.1,23，所以P(X≥2)=rX=2)+P(X-3)=C(号号+C号-7 (4分) (2)由题意，通过手机收看、通过电视收看、未收看者的比例为32：1， 所以抽取6人中通过手机收看有3人，通过电视收看有2人，未收看者有1人， 再从6人中随机选出4人，则其中通过手机收看人数Y可能值为1,2,3，(5分) (v-1)c r2=3) Co C C-5 (8分) 分布列如下： 1 2 3 P 3 5 5 5 (9分) y=1×古+2x是+3×号-2 (11分) (3)该地区共有6m个人，则通过手机收看、通过电视收看、未收看者人数分别为3m,2m,n, 随机选取3人，用手机收看、用电视收看、未收看各1人的概率为A=C,C.C Ci (12分) 随机选取6人，用手机收看、用电视收看、未收看各2人的概率为B= C.CC C8. (13分) m加骨-020 (15分) :2(3m-2)(6m-5)-5(3m-1)(m-1)=21m2-34n+15且n≥2，n∈N,设am=21n2-34n+15 构选函数f@)=21r2-34+15(e>1,对称轴是e=7,放fo)为递增函数，{o}为递增数列，当且仅当n =2时最小为a2=31>0,此时2(3m-2)(6m-5)>5(3m-1)(n-1) (16分) R-243m=26n->1(17分) B-53n-1)(m-1) ·4