湖南师大附中芙蓉中学等校2025-2026学年九年级下学期期中测试 数学(问卷)

九年级下学期期中测试 数学（问卷）2026.4 注意事项： 1.答题前，请先将自己的姓名、班级、考场号、座位号填写清楚； 2.必须在答卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3.答题时，请考生注意各大题号后面的答题提示； 4.请注意卷面，保持字体工整、笔迹清晰、卷面清洁； 5.答卷上不准使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6.本试卷时量120分钟，满分120分. 北 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四 圜 个选项中，只有一项符合题目要求) 1.把下列字母看作图形，是轴对称图形的是 2.2026年1月30日，长沙市统计局公布了2025年长沙经济运行情况.经 初步核算，2025年，长沙市实现地区生产总值约为15738亿元，同比增 长4.0%.将15738用科学记数法表示为 茶 A.1.5738×10 B.0.15738×105 封 C.15.738×103 D.1.5738×104 3.下列计算正确的是 A.a3Xa2=a B.a3+a3=a C.a3÷a=a2 D.(a2)3=a 4.长沙非物质文化遗产馆中有许多榫卯结构的作品，展现了古代匠人的精 湛技艺.燕尾榫是“万榫之母”，榫头呈梯形，形似燕尾.如图是燕尾榫正 面的榫头部分，它的主视图是 正面 数学试题(F)第1页（共8页） 5.如图，∠AOD=120°，CO⊥AO,OB是∠AOC的角平分线，则∠BOD的 大小为 A.60° B.65 C.75 D.85° A 第5题图 第6题图 6.如图，在⊙O中，⊙O的半径长为4√2，圆心O到AB的距离OE=4,则 弦AB的长为 A.8 B.8√2 C.4 D.4√2 7.若关于x的一元二次方程x2+6x十m=0有两个相等的实数根，则实数 m的值为 A.36 B.9或-9 C.-9 D.9 8.湖南花鼓戏是一种汉族戏曲剧种，因其独特的艺术魅力和深厚的文化底 蕴，深受大众喜爱.正面印有花鼓戏人物的两张卡片如图所示，它们除正 面外完全相同，把这两张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗 匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率是 A c n 9.已知一个圆锥的底面半径为5，母线长为10，则该圆锥的侧面积为 A.25π B.50π C.100π D.125元 10.《九章算术》方程篇记载道：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步， 今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”意思是，走路快 的人走100步的时候，走路慢的才走了60步；走路慢的人先走100步， 然后走路快的人去追赶，问走路快的人要走多少步才能追上走路慢的 人？设走路快的人要走x步才能追上走路慢的人，则下面所列方程正 确的是 A.t100=x B.x100 x 10060 60 100 C.+100x D.x+100 x 10060 60 100 数学试题(F)第2页（共8页） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.若√x一2026在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 12.分解因式：m2-4n2= 13.如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，如果光线与纸板右 下方所成的角∠1=72°，则光线与纸板左上方所成的角∠2的度数是 14.如图是可回收垃圾的标志，其形状为等边三角形，将这个图案绕着它的 中心旋转一定角度后与自身重合，则旋转的角度至少为 第13题图 第14题图 第15题图 第16题图 15.如图，在四边形ABCD中，AC=8,BD=12,E,F,G,H分别是边AB, BC,CD,DA的中点，则四边形EFGH的周长是 16.如图，正方形OABC的边长为a,顶点A,C分别在y轴，x轴的正半轴 上，正方形CDEF的边长为b,顶点F在x轴的负半轴上，若双曲线y =飞恰好同时经过点B和点E,则号的值是 三、解答题（本大题共9个小题，17,18,19题每小题6分，20,21题每小题 8分，22,23题每小题9分，24,25题每小题10分，共72分) 17.计算：3-3-2sin60°-(2)厂'+12. 2(x+1)<x+5, 18.解不等式组：寸2≥， 3 2 数学试题(F)第3页（共8页） 19.下面为某中学数学兴趣小组在完成项目“测量岳麓山主峰（禹王峰）的 高度”之后撰写的项目报告。 项目主题 测量岳麓山主峰（禹王峰）的高度 长沙“山水洲城”申遗工作正在持续推进中，岳麓山作为核心景观，其主 项目背景 峰（禹王峰）的精确高度是测绘工作的重要内容. 测量工具 测角仪 测量示意图 45 53 D 1.在距离禹王峰一定距离的地面C处放置测角仪，测得禹王峰山顶A 的仰角为45°； 测量过程 2.在与地面C处水平距离为525m的地面D处放置另一测角仪，测得 禹王峰山顶A的仰角为53°.(C,B,D在同一水平直线上) 请根据表中的测量数据，计算禹王峰AB的高度.（测角仪高度忽略不 计，参考数据：sin53号cos58号，an53号w2≈1.) 20.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，过点D作 DE⊥CB于点E,过点C作CF∥AB交DE的延长线于点F,连接 FB. (1)求证：四边形ACFD是平行四边形； (2)若CD=5,BC=8,求EF的长. 数学试题(F)第4页（共8页） 21.为了了解某市九年级学生每周课外阅读时长（单位：小时）的情况，随 机抽取了部分九年级学生进行调查，并将所收集的数据分组整理，绘制 了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图， ↑频数 200 160 B A:0≤t<1 150 D B:1≤t<2 100 20% 100F C:2≤t<3 50 50 40 C D:3≤t<4 E:4≤t<5 0 3 45t小时 根据图中信息，解答下列问题： (1)在这次调查活动中，一共抽取了多少名九年级学生？ (2)若该市有102000名九年级学生，请你估计该市九年级学生每周课 外阅读时长在“3≤t<4”范围内的人数. (3)每周课外阅读时长恰好在“2≤<3”范围内的九年级学生中有甲、 乙、丙、丁4人表现特别突出，现从4人中随机选出2人分享在线学 习心得，用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率。 数学试题(F)第5页（共8页） 22.随着新能源汽车的日益崛起，公共领域充电基础设施正不断建设中.某 停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩.已知甲型充电桩比乙型充电 桩的单价多0.4万元，用24万元购买甲型充电桩与用16万元购买乙 型充电桩的数量相等. (1)甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？ (2)该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共30个，且乙型充电桩 的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，求购买这批充电桩 所需的最少总费用？ 23.如图，PE为⊙O的切线，PO交⊙O于点D,以点P为圆心，PD的长为 半径画弧，交PE于点G. 图1 图2 (1)如图1，若sin∠P-号，求证：PG=GE, (2)如图2，若⊙O半径r=1,DP=OD,求阴影部分面积. 数学试题(F)第6页（共8页） 24.如图1，已知矩形OABC,以OA为直径作圆M,N在圆上运动(N不与 点O,A重合)，连接NO,NA,NB,NC,其中OA=6,AB=4. (1)当△NBC的面积最小时，求BN的长； (2)如图2，以点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设点V 横坐标为n. ①当线段BN与圆M相切时，求点N的坐标； ②将△NOC,△NOA,△NBA的面积分别记为S1,S2,S3,令y=S一 2S,S,在点N运动过程中，对任意满足条件的实数y都满足y<5号 恒成立，求实数t的取值范围. y M 0 图1 图2 数学试题(F)第7页（共8页） 25.定义：将函数图象C上的点的横坐标与纵坐标都变换为原来的k倍(k 为常数，≠0,1)，得到新的函数图象C2,则称C2为C的“倍函数”. 例如：对于C:y=2x十4，求它的“3倍函数”C2的解析式.求法：设C2 上的任意一点P(x,),则变换之前的点Q(,)在C的图象上， 则=2×十4，即y=2x+12,所以C的解析式为y=2x+12. (1)判断下列说法是否正确？对的打“/”，错的打“×”； ①C:y=x的“3倍函数”是C2:y=3x;() ②Cy=是C:y=3的2倍函数，(） ③若C:y=a1x2十bx十c1是C2:y=a2x2+b2x+c2的“k倍函数”，则 =k.(） a2 (2)如图1，若t≠0，且二次函数y=x2一4x十t的顶点为A,与y轴的交 点为点B,二次函数y=x2一4x十1的“一1倍函数”的顶点为C,与y轴 的交点为点D.连接AB,BC,CD,DA.当四边形ABCD为矩形时，求 此矩形的面积； (3)如图2，抛物线C:y=一√3x2十23x的顶点为M,与x轴的正半 轴交于点V,C的“k倍函数”记作C2,C2的顶点为Q,点P是C2上一 点，若S△POM=S△MQ,且∠MQP=90°，当b>1时，求实数k的值. 图1 图2 数学试题(F)第8页（共8页） 九年级下学期期中测试 数学参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C A C A D C B 二、填空题 11.x≥2026 12.(m+2n)(m-2m) 13.72 14.120° 15.20 16,5-1 2 三、解答题 17.解：原式=3-月-2×9-2+25 =3-√5-√3-2+2W3 (4分) =l.… (6分) 2(x+1)<x+5,① 1棉号号@ 解不等式①，得x<3,… …(2分) 解不等式②，得x≤7，… (4分) .不等式组的解集为x<3.… (6分) 19.解：设AB=xm, 在Rt△ABC中，.'∠ABC=90°，∠ACB=45°， ∠CAB=∠ACB=45°，则BC=AB=xm.…(1分) 在Rt△ABD中，，∠ABD=90°，∠ADB=53°， ∴BD=AB tan∠ADB≈4xm, 3 …（3分) .CD=BC+BD=525 m, x+=525, 解得x=300, .AB=300m, 答：禹王峰AB的高度为300m.… (6分) 20.(1)证明：DE⊥CB, ∠DEB=∠ACB=90°， .DE∥AC,… …(2分) 又，CF∥AB,即CF∥AD, ∴.四边形ACFD是平行四边形.… .…(4分) (2)解：，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线， ..AB=2CD=10,BD=CD=5, 九年级数学参考答案(F)一1 BC=8, .AC=V√AB-BC=6, 四边形ACFD是平行四边形， ∴.DF=AC=6,… (6分) ,DE∥AC,BD=AD, ∴.DE是△ABC的中位线， &DE-2AC=3. ∴.EF=DF-DE=3.… …(8分) 21.解：(1)由题意得：100÷20%=500（名）， 答：在这次调查活动中，一共抽取了500名九年级学生.…(2分) (2)条形统计图中，D类的人数为：500-50一100-160-40=150（名）， 则估计该市九年级学生每周课外阅读时长在“3≤1<4"范围内的九年级学生共有102000×50=30600（名）， 500 答：估计该市九年级学生每周课外阅读时长在“3≤t<4”范围内的九年级学生共有30600名.…(5分) (3)画树状图如下： 开始 甲 丙 个 个 乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙 共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙的结果有2种， “恰好选中甲和乙的概率为26 21 ……… (8分) 22.解：(1)设乙型充电桩的单价是x万元，则甲型充电桩的单价是(x十0.4)万元 由题意裕9-数 解得x=0.8, 经检验，x=0.8是原方程的解，且符合题意，…… (4分) ∴.x+0.4=0.8+0.4=1.2, 答：甲型充电桩的单价是1.2万元，乙型充电桩的单价是0.8万元.(5分) (2)设购买甲型充电桩的数量为m个，则购买乙型充电桩的数量为(30一m)个， 由题意得30一m2m, 解得≥l0,…(6分) 设所需总费用为心万元， 由题意得=1.2m十0.8×(30-m)=0.4m十24，… (7分) .0.4>0, ∴心随m的增大而增大， ∴.当m=10时，=10×0.4+24=28， ∴.w的最小值为28万元， 此时，30-m=30一10=20， 答：购买甲型充电桩10个，乙型充电桩20个，所需最少总费用为28万元.…(9分) 23.解：(1)连接OE, 九年级数学参考答案(F)一2 ,PE为⊙O的切线，E为切点， ∴.PE⊥OE :在R△POE中，sin∠E0-8票-号， 设⊙O的半径OE=3.x,则OP=5x, 在Rt△POE中，由勾股定理得PE=√PO-OE=√(5x)一(3x)F=4x. (2分) 由题意可知PG=PD=OP一OD=2x, 则GE=PE-PG=2x, .PG=GE. … (4分) (2)在⊙O中，OD=OE 又.DP=OD ∴DP=OD=OE,OE=2OP, 又，△POE是直角三角形， .∠P=30°，∠POE=60°， ∴PE=OE tan 30=3, aSam=PEOE=写 2， …(6分) :S6m=30XxX1=交」 60×πX1= 360 一12，S影E= 360 6 (8分) ∴S,=SE-Sa8e-SamE-9-子 (9分) 24.解：(1)如图，分别过点M和，点N作BC的垂线，垂足分别，点F和E,连接MN, B 0 M SAN-BC.NE-3NE, ∴当NE最小时，S△c的值最小， NE>ME-MNMF-MN, ∴.当N在线段ME上，NE最小， 如图， E(F) 0 M ,四边形OABC为矩形， ∴.∠OAB=∠ABC=90°， .MF⊥BC, 九年级数学参考答案(F)一3 ∴.∠MFB=90°， ∴.四边形ABFM为矩形， ∴.MF=AB=4,BF=AM=3, ∴.NF=MF-MN=4-3=1, 在Rt△BNF中，BN=√BF+NF=√9+I=√IO. ……(3分） (2)①连接MN,BM,过点N作ND⊥OA交于点D. ∴.∠NDO=∠NDA=90°，∠NOD+∠OND=90°， .AO是圆M的直径， ∴.∠ONA=90°，即∠OND+∠DNA=90°， .∠NOD=∠DNA, .△OND∽△NAD, 架器 D ∴.DN2=OD·AD=n(6-n)=6-, 线段BN,BA分别与圆M相切于点N,A, ∴.BN=AB=4, .MA=MN, ∴.BM垂直平分AN, ∴.BM∥ON,∴.∠BMA=∠DON=∠DNA, ,∠NDA=∠BAM=90, .△AND△BMA, 器铝 0=6好”，pDN=3 4 4 又.DN2=6n-n, .6n-=9(6-)2 16 整理得25n-204n十324=0， 解得n-或n=6(舍)， 25 DN器， “点N坐标为（赞爱 ……(6分） ②如图，过点N作NP⊥OC,NQ⊥AB,垂足分别为点P,Q, 则NP=n,NQ=6-, :'.S-OCXNP-2n.S.-ABXNQ-2(6-D. 2 2 ( ∴.S1S3=4n(6-n)=24n-42. (OAXDN)-D--). .y=S号-2SS3=9(6n-n)-2(24n-4n)=-(n-3)2+9, ∴.当n=3时，yx=9, D M :对任意满足条件的实教y都满足y<5恒成立， 59. 2 八13.……………(（10分） 九年级数学参考答案(F)一4 25.解：(1)①×；②/；③×. (3分) (2)由题可知，点A(2,t-4),点B(0,t), 二次函数y=x2一4x十1的“-1倍函数”为y=一x2一4x一1， 易得点C(-2,3),点D(0,-1),CD=2√5， 直线CD斜率为-2，直线AD斜率为'。3， 当四边衫AD为矩形时如知=一1，即-2X号3--1，解得=4 ∴.，点A(2,0),点B(0,4),AD=√5， 此时满足AB=CD,AD=BC,AC=BD,四边形ABCD为矩形， .SE彩D=ADXCD=5X25=10.…(6分) (3)(i)如图，当k>1时， ,抛物线C2经过原点O,(k,W3k),(2k,0)三点， 抛物线C的解析式为y=一x+23., 由题可得O,M,Q三点共线，且顶点Q为(k,√3k), 如图，S△mM=S△a,.PN∥MQ, 过，点P作PG⊥x轴交于点G,过，点N作NE⊥MO交于点E, 由题意知△MNO是边长为2的正三角形，四边形QENP是矩形， ..OE=1,QE=NP=2k-1, LPNG-60,N(2-1). P(e+2受k-1D小： 9(e-1)=(+号}广+2(+) 解得k=9 2 …(8分） (i)如图，当<-1时， M' E'A 九年级数学参考答案(F)一5 ,抛物线C经过原点O,(k,√3k),(2k,0)三点， 6地物线C的解析式为y一72+23云 由题可知，O,M,Q三点共线，且顶点Q为(k,√3k), 作△MNO关于y轴对称的△MN'O,OE⊥MN'交于，点E', :'SAOM=SAnQ=S△N'Q, .MP∥MQ, 由题意可知四边形PQOE是矩形， ∴.PE=OQ=-2k,N'E'=1,PN'=-2k-1, 在Rt△PN'H中，∠PHN'=90°，∠PN'H=∠MN'O=60°， NH-PN-2,PH=9(-2-1D. 2 点P坐标(2，号2+1小， 92+1)=g22)+2(2). g. 综上所迷，k=土 ………………（10分) 九年级数学参考答案(F)一6