盐城市北蒋实验学校2025--2026学年苏科版八年级数学下册 “五一节”假期作业四(第9章：因式分解)

八年级数学“五一节”假期作业四(第9章：因式分解)

班级        姓名                  作业时间               

【基础练习】

1．（2026春•锡山区期中）下列各式中，从左到右的变形属于因式分解的是（　　）

A．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1;       B．x2﹣4y2＝（x﹣2y）（x+2y）; 

C．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9;       D．x2+3x﹣4＝（x+4）（x﹣1）+x

2．（2026春•徐州期中）若a≠b，且a2﹣a＝3，b2﹣b＝3，则a+b的值为（　　）

A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1

3．（2025秋•常宁市期末）当m为自然数时，（4m+5）2﹣9一定能被下列哪个数整除（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8

4．（2025秋•德城区期末）若k为自然数，则（2k+3）2﹣4k2的值总能（　　）

A．被2整除 B．被3整除 C．被4整除 D．被6整除

5．（2026春•江北区校级期中）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．则在：①如果将它们按照从小到大的顺序依次排列，就会形成一组“和谐数列”：，，，则a1+a2+⋯+an一定是8的倍数；②若m﹣n＝11，则（m+7）（m﹣7）+n2﹣2mn不是“和谐数”；③m，n为正整数，且m＞n，若92﹣（m﹣n）2和m+n+1都是“和谐数”，则4mn也是“和谐数”．上述结论正确的个数是（　　）

A．3 B．2 C．1 D．0

6．（2026春•宜兴市期中）多项式8x2y5﹣12x4y3的公因式为　        　 ．

7．（2026春•沛县期中）已知x+y＝7，xy＝12，则2x2y+2xy2的值是　      　 ．

8．（2026•东港区校级模拟）因式分解：2a2﹣18b2＝ 　        　 ，3ax2﹣6axy+3ay2＝           　 ．

9．（2025秋•岳阳楼区期末）已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2﹣b2＝ac﹣bc，则△ABC的形状

是 　     　 三角形．

10．（2026春•锦江区校级月考）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且m﹣n＞1，则称这个正整数为“智慧优数”，例如，16＝52﹣32，16就是一个智慧优数，可以利用m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第4个智慧优数是　     　 ；在1至60的正整数中的智慧优数的个数是　     　 ．

11．（2026春•鼓楼区校级月考）因式分解：

（1）a3﹣a；    （2）4x（x﹣3y）+9y2；    （3）4ab2﹣4a2b﹣b3；    （4）（y2﹣1）2+6（1﹣y2）+9．

 

 

 

12．（2026春•仪征市期中）利用因式分解计算下列各题：

（1）20262﹣20252；                            （2）1012﹣202×99+992．

 

 

 

13．（2026春•锡山区期中）（1）先分解因式，再求值：3x3y﹣12x2y2+12xy3，其中x＝2，；

（2）已知a+b＝5，ab＝6，求a3b+2a2b2+ab3的值．

 

14．（2025秋•泰兴市期末）【观察】42﹣22＝12＝4×3；62﹣42＝20＝4×5；82﹣62＝28＝4×7；…

【发现】两个连续偶数的平方差是4的倍数．

【验证】（1）142﹣122的结果是4的　     　 倍；

（2）设连续的两个偶数为2n，2n+2（n为整数）．试说明：2n+2与2n的平方差是4的倍数．

 

 

 

 

 

15．（2026春•沛县期中）已知k为正整数，试判断（2k+1）2﹣1能否被4整除，并说明理由．

 

 

 

 

 

16．（2025秋•衡水期末）新课标将劳动课程从综合实践活动课程中独立出来，旨在树德、增智、强体、育美．某校为培养学生的劳动能力，开辟了如图所示的劳动实践基地．下面是两块边长分别为m，n的正方形地块，它们的公共部分（图中阴影所示部分）不能使用，其面积为S，左边正方形能使用部分的面积为S左，右边正方形能使用部分的面积为S右，设两个正方形能使用部分的面积差为：S差＝S左﹣S右．

（1）求S差的值（用含m，n的代数式表示），并对S差分解因式；

（2）若S差＝56，且m+n＝14，分别求m，n的值．

 

 

 

 

 

 

【拓展提升】

17．（2026春•长清区月考）把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用．例1用配方法因式分解：a2+6a+8．

原式＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1＝（a+3﹣1）（a+3+1）＝（a+2）（a+4）．

例2若M＝a2﹣2ab+2b2﹣2b+2，利用配方法求M的最小值；

a2﹣2ab+2b2﹣2b+2＝a2﹣2ab+b2+b2﹣2b+1+1＝（a﹣b）2+（b﹣1）2+1；

∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0，∴当a＝b＝1时，M有最小值1．

请根据上述自主学习材料解决下列问题：

（1）用配方法因式分解：a2﹣12a+35；

（2）若M＝a2﹣4a+2026，求M的最小值；

（3）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2＝6a+8b+10c﹣50，求△ABC的周长．

八年级数学“五一节”假期作业四(第9章)参考答案与试题解析

班级        姓名                  作业时间               

【基础练习】

1．（2026春•锡山区期中）下列各式中，从左到右的变形属于因式分解的是（　B　）

A．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1     B．x2﹣4y2＝（x﹣2y）（x+2y） 

C．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9     D．x2+3x﹣4＝（x+4）（x﹣1）+x

2．（2026春•徐州期中）若a≠b，且a2﹣a＝3，b2﹣b＝3，则a+b的值为（　D　）

A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1

3．（2025秋•常宁市期末）当m为自然数时，（4m+5）2﹣9一定能被下列哪个数整除（　D　）

A．5 B．6 C．7 D．8

解：（4m+5）2﹣9＝（4m+5+3）（4m+5﹣3）＝（4m+8）（4m+2）＝8（m+2）（2m+1），

∴（4m+5）2﹣9一定能被8整除；

故选：D．

4．（2025秋•德城区期末）若k为自然数，则（2k+3）2﹣4k2的值总能（　B　）

A．被2整除 B．被3整除 C．被4整除 D．被6整除

解：（2k+3）2﹣4k2＝（2k+3）2﹣（2k）2＝（2k+3+2k）（2k+3﹣2k）＝（4k+3）×3＝3（4k+3），

因为k为自然数，

所以3（4k+3）总能被3整除，

所以（2k+3）2﹣4k2的值总能被3整除．

故选：B．

5．（2026春•江北区校级期中）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．

①如果将它们按照从小到大的顺序依次排列，就会形成一组“和谐数列”：，，，则a1+a2+⋯+an一定是8的倍数；

②若m﹣n＝11，则（m+7）（m﹣7）+n2﹣2mn不是“和谐数”；

③m，n为正整数，且m＞n，若92﹣（m﹣n）2和m+n+1都是“和谐数”，则4mn也是“和谐数”．

则上述结论正确的个数是（　　）

A．3 B．2 C．1 D．0

解：①观察“和谐数列”可知，设下标为n，则被减数的底数为2n+1，减数的底数为2n﹣1，

即an＝（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n，

∴a1+a2+…+an＝8×1+8×2+…+8×n＝8×（1+2+…+n），

∴a1+a2+…+an是8的倍数；故①正确；

②（m+7）（m﹣7）+n2﹣2mn＝m2﹣49+n2﹣2mn＝（m﹣n）2﹣49＝（m﹣n）2﹣72，

当m﹣n＝11时，（m+7）（m﹣7）+n2﹣2mn＝72＝8×9，

若m﹣n＝11，则（m+7）（m﹣7）+n2﹣2mn是“和谐数”，故②错误；

③∵92﹣（m﹣n）2是“和谐数”，∴m﹣n＝7，

∵m+n+1是“和谐数”，∴m+n+1＝8k，即m+n＝8k﹣1，∴m＝4k+3，n＝4k﹣4，

∴4mn＝4（4k﹣4）（4k+3）＝8（8k2﹣2k﹣6）是“和谐数”，故③正确，

上述结论正确的个数是2，

故选：B．

6．（2026春•宜兴市期中）多项式8x2y5﹣12x4y3的公因式为　4x2y3 ．