盐城市北蒋实验学校2025--2026学年苏科版八年级数学下册 “五一节”假期作业四(第9章：因式分解)

盐城市北蒋实验学校八年级数学导学活动单 八年级数学·下册·五一节假期作业· 八年级数学“五一节”假期作业四(第9章：因式分解) 班级 姓名 作业时间 【基础练习】 1．（2026春•锡山区期中）下列各式中，从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1; B．x2﹣4y2＝（x﹣2y）（x+2y）; C．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9; D．x2+3x﹣4＝（x+4）（x﹣1）+x 2．（2026春•徐州期中）若a≠b，且a2﹣a＝3，b2﹣b＝3，则a+b的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1 3．（2025秋•常宁市期末）当m为自然数时，（4m+5）2﹣9一定能被下列哪个数整除（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 4．（2025秋•德城区期末）若k为自然数，则（2k+3）2﹣4k2的值总能（　　） A．被2整除 B．被3整除 C．被4整除 D．被6整除 5．（2026春•江北区校级期中）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．则在：①如果将它们按照从小到大的顺序依次排列，就会形成一组“和谐数列”：，，，则a1+a2+⋯+an一定是8的倍数；②若m﹣n＝11，则（m+7）（m﹣7）+n2﹣2mn不是“和谐数”；③m，n为正整数，且m＞n，若92﹣（m﹣n）2和m+n+1都是“和谐数”，则4mn也是“和谐数”．上述结论正确的个数是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 6．（2026春•宜兴市期中）多项式8x2y5﹣12x4y3的公因式为　 　 ． 7．（2026春•沛县期中）已知x+y＝7，xy＝12，则2x2y+2xy2的值是　 　 ． 8．（2026•东港区校级模拟）因式分解：2a2﹣18b2＝ 　 　 ，3ax2﹣6axy+3ay2＝ 　 ． 9．（2025秋•岳阳楼区期末）已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2﹣b2＝ac﹣bc，则△ABC的形状 是 　 　 三角形． 10．（2026春•锦江区校级月考）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且m﹣n＞1，则称这个正整数为“智慧优数”，例如，16＝52﹣32，16就是一个智慧优数，可以利用m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第4个智慧优数是　 　 ；在1至60的正整数中的智慧优数的个数是　 　 ． 11．（2026春•鼓楼区校级月考）因式分解： （1）a3﹣a； （2）4x（x﹣3y）+9y2； （3）4ab2﹣4a2b﹣b3； （4）（y2﹣1）2+6（1﹣y2）+9． 12．（2026春•仪征市期中）利用因式分解计算下列各题： （1）20262﹣20252； （2）1012﹣202×99+992． 13．（2026春•锡山区期中）（1）先分解因式，再求值：3x3y﹣12x2y2+12xy3，其中x＝2，； （2）已知a+b＝5，ab＝6，求a3b+2a2b2+ab3的值． 14．（2025秋•泰兴市期末）【观察】42﹣22＝12＝4×3；62﹣42＝20＝4×5；82﹣62＝28＝4×7；… 【发现】两个连续偶数的平方差是4的倍数． 【验证】（1）142﹣122的结果是4的　 　 倍； （2）设连续的两个偶数为2n，2n+2（n为整数）．试说明：2n+2与2n的平方差是4的倍数． 15．（2026春•沛县期中）已知k为正整数，试判断（2k+1）2﹣1能否被4整除，并说明理由． 16．（2025秋•衡水期末）新课标将劳动课程从综合实践活动课程中独立出来，旨在树德、增智、强体、育美．某校为培养学生的劳动能力，开辟了如图所示的劳动实践基地．下面是两块边长分别为m，n的正方形地块，它们的公共部分（图中阴影所示部分）不能使用，其面积为S，左边正方形能使用部分的面积为S左，右边正方形能使用部分的面积为S右，设两个正方形能使用部分的面积差为：S差＝S左﹣S右． （1）求S差的值（用含m，n的代数式表示），并对S差分解因式； （2）若S差＝56，且m+n＝14，分别求m，n的值． 【拓展提升】 17．（2026春•长清区月考）把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用．例1用配方法因式分解：a2+6a+8． 原式＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1＝（a+3﹣1）（a+3+1）＝（a+2）（a+4）． 例2若M＝a2﹣2ab+2b2﹣2b+2，利用配方法求M的最小值； a2﹣2ab+2b2﹣2b+2＝a2﹣2ab+b2+b2﹣2b+1+1＝（a﹣b）2+（b﹣1）2+1； ∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0，∴当a＝b＝1时，M有最小值1． 请根据上述自主学习材料解决下列问题： （1）用配方法因式分解：a2﹣12a+35； （2）若M＝a2﹣4a+2026，求M的最小值； （3）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2＝6a+8b+10c﹣50，求△ABC的周长． 八年级数学“五一节”假期作业四(第9章)参考答案与试题解析 班级 姓名 作业时间 【基础练习】 1．（2026春•锡山区期中）下列各式中，从左到右的变形属于因式分解的是（　B　） A．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1 B．x2﹣4y2＝（x﹣2y）（x+2y） C．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9 D．x2+3x﹣4＝（x+4）（x﹣1）+x 2．（2026春•徐州期中）若a≠b，且a2﹣a＝3，b2﹣b＝3，则a+b的值为（　D　） A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1 3．（2025秋•常宁市期末）当m为自然数时，（4m+5）2﹣9一定能被下列哪个数整除（　D　） A．5 B．6 C．7 D．8 解：（4m+5）2﹣9＝（4m+5+3）（4m+5﹣3）＝（4m+8）（4m+2）＝8（m+2）（2m+1）， ∴（4m+5）2﹣9一定能被8整除； 故选：D． 4．（2025秋•德城区期末）若k为自然数，则（2k+3）2﹣4k2的值总能（　B　） A．被2整除 B．被3整除 C．被4整除 D．被6整除 解：（2k+3）2﹣4k2＝（2k+3）2﹣（2k）2＝（2k+3+2k）（2k+3﹣2k）＝（4k+3）×3＝3（4k+3）， 因为k为自然数， 所以3（4k+3）总能被3整除， 所以（2k+3）2﹣4k2的值总能被3整除． 故选：B． 5．（2026春•江北区校级期中）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”． ①如果将它们按照从小到大的顺序依次排列，就会形成一组“和谐数列”：，，，则a1+a2+⋯+an一定是8的倍数； ②若m﹣n＝11，则（m+7）（m﹣7）+n2﹣2mn不是“和谐数”； ③m，n为正整数，且m＞n，若92﹣（m﹣n）2和m+n+1都是“和谐数”，则4mn也是“和谐数”． 则上述结论正确的个数是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 解：①观察“和谐数列”可知，设下标为n，则被减数的底数为2n+1，减数的底数为2n﹣1， 即an＝（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n， ∴a1+a2+…+an＝8×1+8×2+…+8×n＝8×（1+2+…+n）， ∴a1+a2+…+an是8的倍数；故①正确； ②（m+7）（m﹣7）+n2﹣2mn＝m2﹣49+n2﹣2mn＝（m﹣n）2﹣49＝（m﹣n）2﹣72， 当m﹣n＝11时，（m+7）（m﹣7）+n2﹣2mn＝72＝8×9， 若m﹣n＝11，则（m+7）（m﹣7）+n2﹣2mn是“和谐数”，故②错误； ③∵92﹣（m﹣n）2是“和谐数”，∴m﹣n＝7， ∵m+n+1是“和谐数”，∴m+n+1＝8k，即m+n＝8k﹣1，∴m＝4k+3，n＝4k﹣4， ∴4mn＝4（4k﹣4）（4k+3）＝8（8k2﹣2k﹣6）是“和谐数”，故③正确， 上述结论正确的个数是2， 故选：B． 6．（2026春•宜兴市期中）多项式8x2y5﹣12x4y3的公因式为　4x2y3 ． 7．（2026春•沛县期中）已知x+y＝7，xy＝12，则2x2y+2xy2的值是　168　 ． 8．（2026•东港区校级模拟）因式分解：2a2﹣18b2＝ 　2（a+3b）（a﹣3b）　 ，3ax2﹣6axy+3ay2＝ 　3a（x﹣y）2 ． 9．（2025秋•岳阳楼区期末）已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2﹣b2＝ac﹣bc，则△ABC的形状是 　等腰　 三角形． 解：∵a2﹣b2＝ac﹣bc，∴a2﹣b2﹣ac+bc＝0， （a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0， （a﹣b）（a+b﹣c）＝0， ∵a，b，c为△ABC的三边， ∴a+b﹣c≠0，∴a﹣b＝0，∴a＝b， ∴△ABC是等腰三角形， 故答案为：等腰． 10．（2026春•锦江区校级月考）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且m﹣n＞1，则称这个正整数为“智慧优数”，例如，16＝52﹣32，16就是一个智慧优数，可以利用m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第4个智慧优数是　16　 ；在1至60的正整数中的智慧优数的个数是　24　 ． 解：∵m﹣n＞1，m，n为正整数， ∴m﹣n≥2， ∴m≥n+2， 当m＝n+2时，由（n+2）2﹣n2＝4+4n，产生的智慧优数为：8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，56，60，64，68，72，76，80，…， 当m＝n+3时，由（n+3）2﹣n2＝9+6n，产生的智慧优数为：15，21，27，33，39，45，51，57，63，69，75，81，…， 当m＝n+4时，由（n+4）2﹣n2＝16+8n，产生的智慧优数为：24，32，40，48，56，64，72，80，…， 当m＝n+5时，由（n+5）2﹣n2＝25+10n，产生的智慧优数为：35，45，55，65，75，85，…， 当m＝n+6时，由（n+6）2﹣n2＝36+12n，产生的智慧优数为：48，60，72，84，…， 当m＝n+7时，由（n+7）2﹣n2＝49+14n，产生的智慧优数为：63，77，91，…， 当m＝n+8时，由（n+8）2﹣n2＝64+16n，产生的智慧优数为：80，96，…， 综上，将上述产生的智慧优数从小到大排列如下：8，12，15，16，20，21，24，27，28，32，33，35，36，39，40，44，45，48，51，52，55，56，57，60，63，64，65，68，69，…， ∴第4个智慧优数是16，在1至60的正整数中的智慧优数的个数是24个， 故答案为：16；24． 11．（2026春•鼓楼区校级月考）因式分解： （1）a3﹣a； （2）4x（x﹣3y）+9y2； （3）4ab2﹣4a2b﹣b3； （4）（y2﹣1）2+6（1﹣y2）+9． 解：（1）a3﹣a＝a（a2﹣1）＝a（a+1）（a﹣1）； （2）4x（x﹣3y）+9y2＝4x2﹣12xy+9y2＝（2x﹣3y）2； （3）4ab2﹣4a2b﹣b3＝﹣b（4a2﹣4ab+b2）＝﹣b（2a﹣b）2； （4）（y2﹣1）2+6（1﹣y2）+9＝（y2﹣1）2﹣6（y2﹣1）+9＝（y2﹣1﹣3）2＝（y2﹣4）2＝[（y+2）（y﹣2）]2 ＝（y+2）2（y﹣2）2． 12．（2026春•仪征市期中）利用因式分解计算下列各题： （1）20262﹣20252； （2）1012﹣202×99+992． 解：（1）20262﹣20252＝（2026+2025）×（2026﹣2025）＝4051×1＝4051； （2）1012﹣202×99+992＝1012﹣2×101×99+992＝（101﹣99）2＝22＝4． 13．（2026春•锡山区期中）（1）先分解因式，再求值：3x3y﹣12x2y2+12xy3，其中x＝2，； （2）已知a+b＝5，ab＝6，求a3b+2a2b2+ab3的值． 解：（1）3x3y﹣12x2y2+12xy3＝3xy（x2﹣4xy+4y2）＝3xy（x﹣2y）2； 因为x＝2，； 原式＝3×1×1＝3； （2）a3b+2a2b2+ab3＝ab（a2+2ab+b2）＝ab（a+b）2 因为a+b＝5，ab＝6， 所以原式＝6×52＝150． 14．（2025秋•泰兴市期末）【观察】42﹣22＝12＝4×3；62﹣42＝20＝4×5；82﹣62＝28＝4×7；… 【发现】两个连续偶数的平方差是4的倍数． 【验证】（1）142﹣122的结果是4的　13　 倍； （2）设连续的两个偶数为2n，2n+2（n为整数）．试说明：2n+2与2n的平方差是4的倍数． 解：（1）∵142﹣122＝196﹣144＝52＝4×13， ∴142﹣122的结果是4的13倍， 故答案为：13； （2）∵（2n+2）2﹣（2n）2＝[（2n+2）+2n][（2n+2）﹣2n]＝（2n+2+2n）（2n+2﹣2n） ＝（4n+2）×2＝8n+4＝4（2n+1）， ∴2n+2与2n的平方差是4的倍数． 15．（2026春•沛县期中）已知k为正整数，试判断（2k+1）2﹣1能否被4整除，并说明理由． 解：（2k+1）2﹣1＝（2k+1+1）（2k+1﹣1）＝（2k+2）•2k＝2（k+1）•2k＝4k（k+1）， ∵k、k+1为正整数， ∴4k（k+1）为4的倍数， ∴（2k+1）2﹣1能被4整除． 16．（2025秋•衡水期末）新课标将劳动课程从综合实践活动课程中独立出来，旨在树德、增智、强体、育美．某校为培养学生的劳动能力，开辟了如图所示的劳动实践基地．下面是两块边长分别为m，n的正方形地块，它们的公共部分（图中阴影所示部分）不能使用，其面积为S，左边正方形能使用部分的面积为S左，右边正方形能使用部分的面积为S右，设两个正方形能使用部分的面积差为：S差＝S左﹣S右． （1）求S差的值（用含m，n的代数式表示），并对S差分解因式； （2）若S差＝56，且m+n＝14，分别求m，n的值． 解：（1）通过观察图形，用大正方形面积减去重叠部分得到左侧图形面积，用小正方形面积减去重叠部分得到右侧图形面积．，， ∴＝m2﹣S﹣n2+S＝m2﹣n2； 分解因式为：S差＝（m+n）（m﹣n）； （2）∵S差＝S左﹣S右＝（m+n）（m﹣n）＝56，且m+n＝14， ∴m﹣n＝4， 解方程组：，解得． 【拓展提升】 17．（2026春•长清区月考）把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用．例1用配方法因式分解：a2+6a+8． 原式＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1＝（a+3﹣1）（a+3+1）＝（a+2）（a+4）． 例2若M＝a2﹣2ab+2b2﹣2b+2，利用配方法求M的最小值； a2﹣2ab+2b2﹣2b+2＝a2﹣2ab+b2+b2﹣2b+1+1＝（a﹣b）2+（b﹣1）2+1； ∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0，∴当a＝b＝1时，M有最小值1． 请根据上述自主学习材料解决下列问题： （1）用配方法因式分解：a2﹣12a+35； （2）若M＝a2﹣4a+2026，求M的最小值； （3）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2＝6a+8b+10c﹣50，求△ABC的周长． 解：（1）a2﹣12a+35＝a2﹣12a+36﹣1＝（a﹣6）2﹣12＝（a﹣6+1）（a﹣6﹣1）＝（a﹣5）（a﹣7）； （2）若M＝a2﹣4a+2026，则： M＝a2﹣4a+2026＝a2﹣4a+4+2026﹣4＝（a﹣2）2+2022， ∵（a﹣2）2≥0， ∴（a﹣2）2+2022的最小值为2022， 即M的最小值为2022； （3）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2＝6a+8b+10c﹣50， ∴a2+b2+c2﹣6a﹣8b﹣10c+50＝0， ∴（a2﹣6a+9）+（b2﹣8b+16）+（c2﹣10c+25）＝0， （a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0， ∵（a﹣3）2≥0，（b﹣4）2≥0，（c﹣5）2≥0， ∴a﹣3＝0，b﹣4＝0，c﹣5＝0， 解得a＝3，b＝4，c＝5， ∵a+b＝7＞5＝c， ∴△ABC的周长为a+b+c＝3+4+5＝12． 1 学科网（北京）股份有限公司 $