2026江苏南京市百家湖中学数学中考模拟卷

2026江苏南京市百家湖中学数学中考模拟卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 1．（本题2分）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（本题2分）今年春节期间，东海县纳入监测的家旅游景区、个乡村旅游点和家旅游度假区，共接待游客人次，较年春节假期增长．数据用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 3．（本题2分）设，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．（本题2分）已知（为任意有理数），则的大小关系为（　　） A． B． C． D．不能确定 5．（本题2分）已知点、是函数图象上的两个点，若，则（   ） A． B． C． D． 6．（本题2分）如图，四边形为的内接四边形，，平分，，，则的内心与外心之间的距离为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．（本题2分）若分式有意义，则x应满足的条件是______． 8．（本题2分）将因式分解为______． 9．（本题2分）计算：______． 10．（本题2分）已知方程的一个根是10，则它的另一个根是______． 11．（本题2分）若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是____________． 12．（本题2分）如图，在矩形中，，点E在边上，且，F是的中点，P是的中点，过点P作交于点Q，则的长为__________． 13．（本题2分）如图（1），点O在直线上，过O作射线，三角板的顶点与点O重合，边与重合，边在直线的下方．若三角板绕点O按的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第_________ 时，直线恰好平分锐角（图（2））． 14．（本题2分）如图，正方形中，为上一动点，过点作交边于点．点从点出发，沿方向移动，若移动的路径长为6，则的中点移动的路径长为______． 15．（本题2分）如图，矩形的边，，则的长为______． 16．（本题2分）如图，中，是中线，是高，，交于点． （1）__________°； （2）过点作交于点，若，则__________． 三、解答题（本大题共11小题，共88分） 17．（本题7分）计算与化简求值： (1)计算： (2)化简：． (3)先化简，再求值：，并从中选一个合适的数作为的值代入求值． 18．（本题7分）解方程或不等式组 (1)解方程：； (2)解不等式组：． 19．（本题8分）如图，在梯形中，，，，交于点E，若，求边的长． 20．（本题8分）中学生心理健康受到社会的广泛关注，为深入落实“健康第一”教育理念，某校开展心理健康教育专题讲座，就学生对心理健康知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图． 根据图中信息回答下列问题： (1)接受问卷调查的学生共有________人，条形统计图中m的值________，扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为________． (2)若该校共有学生1000人，根据上述调查结果，可以估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为________人． (3)若某班要从对心理健康知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加心理健康知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名男生的概率． 21．（本题7分）某商场为某品牌冰箱举办有奖促销活动，采取盒中摸球抽奖方式，规定：顾客每购买1台该品牌冰箱可获得1次抽奖机会，其中中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.3，中三等奖的概率为0.6．商场设计一个用2种颜色小球抽奖方案如下：在一个盒子中放入2个红球和3个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出2个球，摸到2个红球的顾客中一等奖，摸到2个白球的顾客中二等奖，摸到1红1白两个球的顾客中三等奖．商场设计的方案符合规定吗？为什么？（用列表或树状图说明） 22．（本题8分）四边形如图所示． (1)尺规作图：分别在，，边上作点E，F，G，使四边形是菱形；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，，，则菱形的面积为______． 23．（本题7分）操作实践 图案设计时常巧妙地运用图形变换，呈现数学独特的应用之美．采用不同的数学工具设计，又对我们提出了不同层次的数学思维要求． 【源于生活】 爸爸和小明一起制作风筝，风筝是一个轴对称图形，有两根支撑的龙骨．一根所在直线是对称轴，称之为“主龙骨”，另一根与对称轴垂直，称为“副龙骨”．爸爸在一张纸上画好了风筝的轮廓，已知，“副龙骨”经过的中点，爸爸请小明独立完成以下操作（所有操作不写作法，保留作图痕迹）． (1)操作：请用圆规和无刻度的直尺在图中作出三角形风筝的“主龙骨”： (2)操作：请用圆规和无刻度的直尺在图中找到点； (3)操作：点是上一点，请在图中用无刻度的直角三角板画出“副龙骨”； 【数学思考】小明继续制作风筝，连接了和，发现和的交点恰好在“主龙骨”上，爱思考的小明在，上分别取、，使其关于对称．连接了和，也有同样的发现，小明立马跟爸爸分享了他的发现，爸爸说，能不能用你的新发现作出“主龙骨”？ (4)操作：如图，根据小明的发现，用不同于操作的方式，用圆规和无刻度的直尺作出“主龙骨“； 作为数学老师的爸爸思考片刻，提出，能不能仅用无刻度的直尺完成寻找龙骨的过程？小明立刻想到了借助网格，请和他一起完成： (5)操作：如图，在边长为的正方形网格中利用格点画出“主龙骨”； 【创新应用】 风筝制作好了，爸爸又给小明留了一道思考题： (6)操作：如图，点是正方形的边上一点，请利用无刻度的直尺在边上找一点，使． 24．（本题8分）一列货车从地出发，以的速度匀速驶往地，一段时间后，一列客车从地出发沿同一路线匀速驶往地，货车行驶后，在距地处与客车相遇．图中线段表示货车离地的距离与所用时间的关系． (1)求与的函数表达式； (2)若两车同时到达各自目的地 在同一平面直角坐标系中画出客车离地的距离与所用时间的函数关系的图像； 货车行驶多少小时两车相距． 25．（本题8分）阅读与思考：下面是某小组研究报告中的一部分，请认真阅读并按要求完成相应的任务． 关于“等腰梯形”的研究 定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．如图（1），梯形中，，若，则称四边形为等腰梯形． 根据定义，探索等腰梯形的性质，得到如下结论： 结论1：等腰梯形同一底上的两个内角相等， 即，． 证明：过点A作的平行线，交于点E， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴ …… 结论2：等腰梯形的对角线…… 任务： (1)请根据思路，完成结论1的完整证明过程； (2)如图（2），四边形是等腰梯形，其中，，对角线，交于点O．猜想，之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图（3），在中，，．若点Q是平面内一点，且以点M，N，P，Q为顶点的四边形是等腰梯形，则P，Q两点之间的距离为 ． 26．（本题9分）已知，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B． (1)如图，若抛物线经过点A，且与x轴的另一个交点为点C． ①求出这个二次函数的表达式； ②在抛物线上存在点P，使得平分，求点P的坐标； (2)把点B向右平移3个单位长度得到点D，若抛物线与线段只有一个公共点，求实数a的取值范围． 27．（本题11分）综合与实践：平行四边形纸片的折叠 (1)探究1：我们将如图（1）所示的平行四边形纸片沿过点的直线折叠，折痕交于点，点的对应点为，延长交于点．求证：． (2)探究2：我们将如图（2）所示的平行四边形纸片沿过点的直线折叠，折痕交于点，点的对应点恰好落在的中点处．猜想，之间的数量关系，并证明． (3)探究3：我们将如图（3）所示的平行四边形纸片沿过点的直线折叠，折痕交于点，点的对应点恰好落在线段上，过点作，交延长线于点，其中，，，求线段的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026江苏南京市百家湖中学数学中考模拟卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C A A A A B 1．C 【分析】根据同底数幂的乘法法则，整式的加减法则，幂的乘方法则，同底数幂的除法法则，逐一判断选项即可． 【详解】解：对各选项逐一分析： 选项A：根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ． ∴ A错误． 选项B：与不是同类项，不能合并， ∴ B错误． 选项C：根据幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘， ． ∴ C正确． 选项D：根据同底数幂除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减， ． ∴ D错误． 2．A 【分析】根据科学记数法的定义，需要将写成，且满足．将的小数点向左移动位，可得，符合，． 【详解】解：． 3．A 【分析】本题考查了整式的加减运算，配方法的应用，偶次方的非负性，掌握整式的加减运算法则，配方法，偶次方的非负性是解题的关键． 通过作差法和配方法比较与的大小，即可解答． 【详解】，， ， ， ， ，即． 故选：A． 4．A 【分析】本题可利用作差法比较代数式大小，结合整式加减运算和完全平方公式判断差的符号，即可得到M和N的大小关系． 【详解】解： ∵ ∴，即 ∴ 5．A 【分析】本题考查了一次函数的性质．由，利用一次函数的性质可得y随x的增大而减小，再结合，即可得出． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， 又∵， ∴， ∴． 故选：A． 6．B 【分析】作于，于，证明，推出，可证，得到，得到四边形是正方形，是对角线，作的内切圆，圆心为，为切点，连接，．由切线长定理可知，推出，由面积法可知内切圆半径为，在中，由勾股定理即可解决问题． 【详解】解：作于，于， 平分，，， ，， 又， ，即， 四边形为的内接四边形，， ，即， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 四边形是正方形，是对角线， ， 正方形的边长为， ， ， ， ， 作的内切圆，圆心为，为切点，连接，． 由切线长定理可知：， ， ， ， ， 即内切圆半径为， 在中，． 的内心与外心之间的距离为， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 7． 【分析】分式有意义的条件是分母不为零，据此求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得． 8． 【分析】本题考查了因式分解．先提取公因式，再利用完全平方公式对剩余多项式进行因式分解． 【详解】解： ． 9． 2 【分析】利用平方根的乘法性质，将两个平方根合并为一个平方根，再计算根号内的表达式． 本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式乘法法则是解决关键． 【详解】解：根据平方根的性质，， 所以 ， 计算 ， 因此 ． 故答案为：2． 10．2.5 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，设方程的另一个根是t，由根与系数的关系可得：，解方程即可得到答案． 【详解】解：设方程的另一个根是t， 由根与系数的关系可得：， 解得：， ∴方程的另一个根是2.5． 故答案为：2.5． 11．且 【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程是解题的关键． 解分式方程得，检验，将代入，解得，，由题意知，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：， ， 解得，， 检验，将代入，解得，， ∵分式方程的解为正数， ∴， 解得，， ∴m的取值范围为且， 故答案为：且． 12．/ 【分析】连接交于点，延长交于点，证明和以及，分别求得，，，据此计算即可求解． 【详解】解：连接交于点，延长交于点，如图， ∵矩形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 13．3或12 【分析】本题考查了角平分线的定义，解题的关键是分两种情况进行讨论，分别依据直线恰好平分锐角，得到三角板旋转的度数，进而得到的值． 【详解】解：设第时，直线恰好平分锐角， ， ， 当直线恰好平分锐角时，如图： ， 此时，三角板旋转的角度为， ； 当在的内部时，如图： 三角板旋转的角度为， ； 的值为：3或12． 故答案为：3或12． 14． 【分析】本题考查了正方形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理以及勾股定理，综合掌握以上性质和判定，并能熟练运用是解题关键．根据题意，画出运动后的M点位置，再根据三角形中位线定理即可求得． 【详解】解：连接，交于点O，连接，过P点作 垂足分别为E、F，延长FP，交于G， ∵正方形， ， ， ， 则四边形为正方形， ， ， ， ， 在和中 ， ， ； ∵正方形， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ∵正方形， ， O是中点， ， ， 在等腰三角形 中， ， ， ∵O是中点，M是中点， ． 故答案为：． 15．8 【分析】先判定是等边三角形，再根据矩形的性质求解即可． 【详解】解：因为矩形的边， 故， ， 故是等边三角形， 故 故的长为． 16． 60 【分析】（1）首先，取的中点G， 连接，根据是的中线，是的高， 得到，， 是的中位线，，  再根据， 得到，进而得，即可得出的度数； （2）由(1)知，， 设，则，， 再证得， 得到，即， 解方程并检验即可得出答案． 【详解】（1）解：如图1，取的中点G， 连接， ∵是的中线，是的高， ∴，， ∴， ∵的中点为G，是的中线， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图2，由（1）知，， 设，则，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，(舍去)， 经检验，是原方程的解， ∴． 17．(1) (2) (3)，当时，原式 【分析】（1）先计算算术平方根，零指数幂，负整数指数幂，再计算加减即可； （2）先对括号里的式子通分，对括号外的式子进行因式分解，然后把除法变成乘法运算，再化简求解即可； （3）先根据分式的混合运算法则进行化简，再代入一个使分式有意义的值，计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 原式 ； （3）解： ， ∵当或时，原分式无意义， ∴， 当时，原式． 18．(1) (2) 【分析】（1）使用一元二次方程的求根公式即可求解； （2）先分别求出每个不等式的解集，再根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小无处找”取两个解集的公共部分，即可得到不等式组的解集． 【详解】（1）解：方程为， 可得 ， ∴， 代入求根公式得 ， ∴ ； （2）解：不等式组 ， 解不等式①，得 ， 解不等式②，得 ， 因此不等式组的解集为 ． 19．7 【分析】先证明四边形是平行四边形，得到，再证明，得到，即可解答． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20．(1)80，16， (2)50 (3)恰好抽到2名男生的概率为． 【分析】（1）用“基本了解”的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用总人数减去其他项的人数，求出“了解很少”的人数；用乘以扇形统计图中“非常了解”部分所占的百分比即可； （2）用总人数1000乘以“不了解”的人数所占的百分比即可； （3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好抽到2名男生的结果数，然后利用概率公式求解． 【详解】（1）解：接受问卷调查的学生共有（人）， （人）， 扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为； 故答案为：80，16，； （2）解：根据题意得： （人）， 答：估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为50人； （3）解：由题意列树状图： 由树状图可知，所有等可能的结果有12种，恰好抽到2名男生的结果有2种， ∴恰好抽到2名男生的概率为． 21．商场设计的方案符合规定，理由见解析． 【分析】画出树状图，得出摸出2个球的所有等可能结果，分别计算出中一、二、三等奖的概率，再和规定的概率比较，判断方案是否符合规定即可． 【详解】解：商场设计的方案符合规定，理由如下： 记2个红球分别为红1，红2，3个白球分别为白1，白2，白3，画树状图如下： 由树状图知，共有20种等可能的结果，其中摸到2个红球的结果有2种， 因此，中一等奖的概率， 摸到2个白球的结果有6种， 因此，中二等奖的概率 ， 摸到1个红球1个白球的结果有12种， 因此，中三等奖的概率 ， 三个奖项的概率与题目规定的概率完全一致， 因此商场设计的方案符合规定． 22．(1)见解析 (2) 【分析】（1）作的角平分线，再作线段的垂直平分线，分别交于、于、于，顺次连接、、、，由垂直平分线性质得四边相等，故四边形为所求菱形； （2）在菱形中，平分，故，再利用勾股定理求出和，进而即可得，则可求出菱形的面积． 【详解】（1）解：作的角平分线，再作线段的垂直平分线，分别交于、于、于，顺次连接、、、，如图所示： （2）解：四边形是菱形，， ，，， ， ， ， ∴， ∵，， ∴， 在中，设，则， ， 可得， 解得（负值舍去）， ∴， 设，则， ， 可得， 解得， ， ． 23．(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 (4)见详解 (5)见详解 (6)见详解 【分析】本题考查轴对称图形的性质和特点，线段的垂直平分线的尺规作图方法，无刻度的直角三角板的作图方法等知识点． （1）根据轴对称图形的性质和特点，利用作线段垂直平分线的方法作线段的垂直平分线，即可得出答案； （2）利用作线段垂直平分线的方法作出线段的垂直平分线，直线交线段于点，点即为所求； （3）用无刻度的直角三角板过点作出的垂线，即可得出答案； （4）根据轴对称图形的性质和特点，在上分别截取，连接交于点，连接即可得出答案； （5）利用网格的特征解答即可； （6）根据轴对称图形的性质和特点，连接，，交于点，作关于对称的三角形即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，连接，分别以点、为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧在线段两侧各交于一点，过这两个交点作直线，直线过点，直线交线段于点，则线段即为三角形风筝的“主龙骨”； （2）解：如图，分别以点、为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧在线段两侧各交于一点，过这两个交点作直线，直线即为线段的垂直平分线，直线交线段于点，点即为线段的中点； （3）解：在（1），（2）作图的基础上，用无刻度的直角三角板，一直角边与重合，另一直角边过点，沿过点的直角边画线，作的垂线，并延长交于点，线段即为所求的“副龙骨”； （4）解：如图，在上分别截取，连接交于点，连接并延长交于点，即为所求的“主龙骨”； （5）解：如图，连接，由网格可得点即为线段的中点，连接，则线段即为所求“主龙骨”； （6）解：如图，连接，，交于点，连接并延长，交于点，点即为所求的点． 24．(1)； (2)图见解析；货车行驶小时或小时时，两车相距． 【分析】（）先求出两地总路程为，然后列出函数关系式即可； （）客车在货车出发后出发，从而得客车的函数表达式为当时，；当时，，然后画图像即可； 分两种情况：相遇前，客车出发后两车相距；相遇后，两车相距即可求解． 【详解】（1）解：货车速度，行驶的路程为， ∴两地总路程， ∴； （2）解：客车相关参数： 相遇后货车到达地的时间， ∴客车相遇后行驶也需，客车速度， 客车相遇前行驶的时间， ∴客车在货车出发后出发， 客车的函数表达式为： 当时，； 当时，， 图像：在平面直角坐标系中，货车图像为从到的线段；客车图像为从到的线段，如图： 分两种情况： 相遇前，客车出发后两车相距： ， 解得； 相遇后，两车相距： ， 解得， 答：货车行驶小时或小时时，两车相距． 25．(1)见解析 (2)，证明见解析 (3)，两点之间的距离为或 【分析】（1）过点A作的平行线，交于点E，则，再证明四边形是平行四边形，得出，结合题意可得，进而得出，再结合平行线的性质证明即可； （2）证明，即可得解； （3）分三种情况：当四边形是等腰梯形，，时，连接；当四边形是等腰梯形，，时，过点作于点，分别过点、作的垂线，垂足分别为点、；当作为底时，点和点重合，不存在等腰梯形；分别求解即可． 【详解】（1）证明：过点A作的平行线，交于点E， ， 则， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴等腰梯形同一底上的两个内角相等； （2）解：，证明如下： ∵四边形是等腰梯形，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：如图，当四边形是等腰梯形，，时，连接， ， ∵，由（2）可得等腰梯形的对角线相等， ∴； 如图，当四边形是等腰梯形，，时，过点作于点，分别过点、作的垂线，垂足分别为点、， ， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴； 当作为底时，点和点重合，不存在等腰梯形； 综上所述，，两点之间的距离为或． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、等腰梯形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 26．(1)①；② (2) 【分析】（1）①先求出抛物线与坐标轴的交点，再把点代入抛物线表达式求解即可； ②先求出，设直线交轴于点，证明，求出，再求出直线的表达式，然后与抛物线表达式联立求解点； （2）找出两个临界位置求解即可． 【详解】（1）解：①对于，当时，； 当时，，解得 ∴， ∵抛物线经过点A， ∴ 解得 ∴二次函数表达式为； ②令， 解得， ∴ 如图，设直线交轴于点， ∵平分， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 设直线， 则， 解得 ∴直线 与抛物线联立得， 解得或 ∴； （2）解：， ∴抛物线顶点为， ∵点向右平移3个单位长度得到点D， ∴， ∴顶点在线段上方， ∴当时，抛物线开口向上，抛物线与线段没有交点； 当时，抛物线经过点时，如图： 则， 解得 此时抛物线与轴交点为，即，在点上方； 当抛物线经过点时，如图： 此时， 解得， ∴要使得抛物线与线段只有一个公共点，实数a的取值范围为． 27．(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，则，根据折叠得出，等量代换得出，等边对等角即可得证； （2）取的中点，连接，则是的中位线，得出，即可得证； （3）勾股定理求得，同（1）的方法证明，在中，勾股定理求得，进而求得，根据，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平行四边形纸片 沿过点的直线折叠，折痕交于点， 点的对应点为，延长交于点， ∴， ∴， ∴． （2）解：， 如图，取的中点，连接， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴，， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵四边形是平行四边形，，， ， ∴，，， ∵，， 在中，， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， 又∵， ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $