专题 条件概率与全概率公式讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

专题 条件概率与全概率公式 【题型】 1. 条件概率 2. 全概率公式 3. 贝叶斯公式 4. 事件的独立性与条件概率的关系 【知识点】 一、条件概率 1.定义 一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率． 注意：（1）条件概率中“”后面就是条件；（2）若，表示条件不可能发生，此时用条件概率公式计算就没有意义了，所以条件概率计算必须在的情况. 记忆方法： 如图 ，在A条件下B发生，相当于只看集合A,其中B发生就是 AB即AB 部分， 相当于把看作新的基本事件空间计算发生的概率，即． 2.性质 设P(A)>0，则 (1)P(Ω|A)＝1.(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．如下 C B A （3）设和B互为对立事件，则P(|A)+P(B|A)＝1． （4）相互独立事件：对于事件A，B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A，B是相互独立事件； 公式：，此时 注意：若，相互独立，则，也相互独立，于是 二、乘法公式 把条件概率公式P(B|A)＝变形得到乘法公式如下： 对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)为概率的乘法公式． 三、全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件 注意：（1）全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率计算，即运用了“化整为零”的思想处理问题． （2）什么样的问题适用于这个公式？所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式． B⊆Ω，有P(B)＝ P(Ai)P(B|Ai)，我们称该公式为全概率公式． 四、贝叶斯公式 （1）一般地，当且时，有 （2）定理若样本空间中的事件满足： ①任意两个事件均互斥，即，，； ②； ③，． 则对中的任意概率非零的事件，都有， 且 注意：（1）在理论研究和实际中还会遇到一类问题，需要根据试验发生的结果寻找原因，看看导致这一试验结果的各种可能的原因中哪个起主要作用，解决这类问题的方法就是使用贝叶斯公式．贝叶斯公式的意义是导致事件发生的各种原因可能性的大小． （2） 贝叶斯公式充分体现了，，，，，之间的转关系，即，，之间的内在联系． （3） 图形理解 【典型例题】 【例1】（24-25高二下·黑龙江鸡西·期中）已知，，，求和. 【变式1-1】（25-26高二上·广西·月考）抛掷一枚均匀的骰子，掷出点数是偶数记为事件A，掷出点数为4记为事件B，则______. 【变式1-2】某市场供应多种品牌的防毒面具，相应的市场占有率和优质率的信息如下表： 品牌 甲 乙 其他 市场占有率 优质率 在该市场中随机买一种品牌的防毒面具，记表示买到的防毒面具分别为甲品牌､乙品牌､其他品牌，记表示买到的防毒面具是优质品，则（    ） A． B． C． D． 【例2】2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况： ①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳； ②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，能站稳； ③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，能站稳. 则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（   ） A．0.9 B．0.91 C．0.92 D．0.93 【变式2-1】设是一个随机试验中的两个事件，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】质量调查发现，某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如下表： 品牌 甲 乙 其他 市场占有率 50% 30% 20% 优质率 95% 90% 70% 在该市场中任意购买一部智能手机，则买到的是优质品的概率为（    ） A． B． C． D． 【例3】（25-26高二上·广西桂林·期末）学校举行羽毛球、乒乓球和跳绳三项比赛，学生甲只能参加其中一项比赛，他参加羽毛球、乒乓球和跳绳比赛的概率分别为0.4、0.3、0.3，若他在羽毛球、乒乓球和跳绳比赛中获得冠军的概率分别为0.6、0.4、0.5，则该生获得冠军的概率为（   ） A．0.67 B．0.58 C．0.51 D．0.37 【变式3-1】（25-26高二上·江西·期末）某同学每天随机选择坐公交或骑车上学，若第一天坐公交，第二天坐公交的概率为0.6；若第一天骑车，第二天坐公交的概率为0.3．则该同学第二天坐公交上学的概率为________． 【变式3-2】（25-26高二上·安徽淮北·期末）2024年某地文旅部门积极探索政策，带动旅游消费，推出文旅一卡通旅游年卡，凡是购买文旅一卡通旅游年卡的市民可在合作影院免费观影两次.小明同学购买旅游年卡后，在家附近有甲、乙两家合作影院可供选择，小明第一次去甲、乙两家影院观影的概率分别为0.4和0.6.如果他第一次去甲影院，那么第二次去甲影院的概率为0.6，如果他第一次去乙影院，那么第二次去甲影院的概率为0.5.现已知小明同学第二次去了甲影院，则第一次去的是乙影院的概率为（    ） A． B． C． D． 【例4】（25-26高二下·全国·课堂例题）假定具有症状的疾病有三种，现从20000份患有疾病，，的病历卡中统计得到下列数字： 疾病 人数 出现症状人数 7750 7500 5250 4200 7000 3500 试问当一个具有S中症状的病人前来要求诊断时，他患有疾病的可能性是多少？在没有别的资料可依据的诊断手段情况下，诊断该病人患有这三种疾病中哪一种较合适？ 【变式4-1】团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.03，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性约为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高二下·福建福州·期中）随着互联网的发展，AI的出现为人们提供了很大的便利.某企业员工小唐撰写报告选择文心一言、豆包、DeepSeek的概率均为，而使用文心一言、豆包、DeepSeek出错的概率分别为、、，结果今天他的报告有误，在此条件下，他选择文心一言写报告的概率为（   ） A． B． C． D． 【强化练习】 一、单选题 1．（25-26高二下·全国·课后作业）若，则为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·全国·课堂例题）设，为两个事件，若，，则（   ） A． B． C． D． 3.已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·江西九江·期末）甲是某球队的替补球员，已知该球队的胜率为，每场比赛中甲上场的概率为，设甲上场的条件下该球队获胜的概率为，在该球队获胜的比赛中甲未上场的概率为，若，则甲上场且该球队获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 5．三个相同的盒子里分别放有两个黑球，一个黑球一个红球，两个红球，现从任意的盒子里随机取出一球，若该球为红色，则该盒剩下的另一球也是红色的概率为（    ） A． B． C． D． 6．某汽车4S店从甲乙丙三个车企分别采购同一款智能汽车500，400，100辆进行销售，甲乙丙三个车企生产的该智能汽车的智驾故障率分别为2%，3%，5%，某消费者从该4S店购买了一台此款智能汽车，在智驾过程中突然出现故障，则根据概率计算出甲乙丙三个车企应承担的责任比为（　　） A．2：3：5 B．10：12：5 C．5：12：10 D．5：4：1 7．假设某市场供应的笔记本电脑中，市场占有率和合格率如下表： 甲厂 乙厂 市场占有率 合格率 在该市场中随机购买一台笔记本电脑，已知买到的是合格品，则这台电脑是甲厂生产的概率为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·福建三明·期中）人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗“AI”，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.96，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；该鉴伪技术的误报率是0.02，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性约为（     ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知随机事件，满足，，，则下列说法正确的是(    ) A. B. C. D. 10．有3台车床加工同一型号的零件，第1台车床加工的次品率为5%，第2，3台车床加工的次品率均为6%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的30%，30%，40%，则（    ） A．任取一个零件，该零件是第1台车床加工的次品的概率为0.015 B．任取一个零件，该零件是次品的概率为0.058 C．如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为 D．如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为 11．（2026高三下·重庆·专题练习）为测试一种新药的有效性，研究人员对某种动物种群进行试验，从该试验种群中随机抽查了100只，得到如表数据（单位：只）： 发病 未发病 合计 使用药物 10 40 50 未使用药物 30 20 50 合计 40 60 100 从该动物种群中任取1只，记事件表示此动物发病，事件表示此动物使用药物，定义的优势，在发生的条件下的优势，则（    ） A．的估值为，的估值为 B．的估值为，的估值为 C．可化简为 D．可化简为 三、填空题 12.（25-26高三上·天津·月考）学习小组为了研究手机对学生学习的影响，对本学校学生手机使用情况统计分析有以下结果：若学生前一天没有玩手机，则接下来一天也不玩手机的概率为0.8，若学生前一天玩手机，接下来一天也玩手机的概率为0.7．已知一个学生第一天没玩手机，根据这个统计结果计算，那么他第二天玩手机的概率为___________．第三天不玩手机的概率为___________． 13.（24-25高二下·四川广元·期末）有2台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2台加工的次品率为，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2台车床加工的零件数分别占总数的，，现从加工出来的零件中任取一个零件，已知取到的零件是次品，则它取自第2台车床的概率是________． 14．（25-26高三上·天津西青·期末）某社区有“驿站取件”和“上门配送”两种快递服务方式，居民首次选择服务方式时，选择两种服务方式的概率均为0.5.已知：若首次选了“驿站取件”，第二次继续选择“驿站取件”的概率为0.7.若首次选了“上门配送”，第二次换选择“驿站取件”的概率为0.2.则居民第二次选择“驿站取件”的概率为_____________，若已知某居民第二次选择“驿站取件”，则他首次选择是“上门配送”的概率为_____________. 四、解答题 15．（2025高三·全国·专题练习）两批同种规格的产品，第一批占40%，次品率为5%；第二批占60%，次品率为4%．将两批产品混合，从混合产品中任取1件．已知取到的是合格品，求它取自第一批产品的概率． 16．（22-23高三上·山东潍坊·月考）从有3个红球和4个蓝球的袋中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回，记表示事件“第次摸到红球”，． (1)求第一次摸到蓝球的条件下第二次摸到红球的概率； (2)记表示，，同时发生的概率，表示已知与都发生时发生的概率． ①证明：； ②求． 17．（25-26高二下·全国·课堂例题）甲盒装有1个白球2个黑球，乙盒装有3个白球2个黑球，丙盒装有4个白球1个黑球，采取掷一个骰子决定选盒，出现1、2或3点选甲盒，4、5点选乙盒，6点选丙盒，在选出的盒里随机摸出一个球，经过秘密选盒摸球后，宣布摸得一个白球，求此球来自乙盒的概率． 18．（2025高三·全国·专题练习）一个袋子中有10个大小完全相同的小球，其中红球6个，绿球4个，每次从袋子中随机摸出1个球，且摸出的球不再放回． (1)对于事件，当时，求证：； (2)若某同学摸球三次，请利用（1）中的结论，求三次都摸到绿球的概率． 19．一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据： 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R． （ⅰ）证明：；（ⅱ）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 条件概率与全概率公式 【题型】 1. 条件概率 2. 全概率公式 3. 贝叶斯公式 4. 事件的独立性与条件概率的关系 【知识点】 一、条件概率 1.定义 一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率． 注意：（1）条件概率中“”后面就是条件；（2）若，表示条件不可能发生，此时用条件概率公式计算就没有意义了，所以条件概率计算必须在的情况. 记忆方法： 如图 ，在A条件下B发生，相当于只看集合A,其中B发生就是 AB即AB 部分， 相当于把看作新的基本事件空间计算发生的概率，即． 2.性质 设P(A)>0，则(1)P(Ω|A)＝1. (2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．如下 C B A （3）设和B互为对立事件，则P(|A)+P(B|A)＝1． （4）相互独立事件：对于事件A，B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A，B是相互独立事件； 公式：，此时 注意：若，相互独立，则，也相互独立，于是 二、乘法公式 把条件概率公式P(B|A)＝变形得到乘法公式如下： 对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)为概率的乘法公式． 三、全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件 注意：（1）全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率计算，即运用了“化整为零”的思想处理问题． （2）什么样的问题适用于这个公式？所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式． B⊆Ω，有P(B)＝ P(Ai)P(B|Ai)，我们称该公式为全概率公式． 四、贝叶斯公式 （1）一般地，当且时，有 （2）定理若样本空间中的事件满足： ①任意两个事件均互斥，即，，； ②； ③，． 则对中的任意概率非零的事件，都有， 且 注意：（1）在理论研究和实际中还会遇到一类问题，需要根据试验发生的结果寻找原因，看看导致这一试验结果的各种可能的原因中哪个起主要作用，解决这类问题的方法就是使用贝叶斯公式．贝叶斯公式的意义是导致事件发生的各种原因可能性的大小． （2） 贝叶斯公式充分体现了，，，，，之间的转关系，即，，之间的内在联系． （3） 图形理解 【典型例题】 【例1】（24-25高二下·黑龙江鸡西·期中）已知，，，求和. 【答案】， 【分析】根据条件概率公式，即可求解. 【详解】； 因为，所以. 【变式1-1】（25-26高二上·广西·月考）抛掷一枚均匀的骰子，掷出点数是偶数记为事件A，掷出点数为4记为事件B，则______. 【答案】 【分析】根据条件概率公式进行计算即可. 【详解】掷出点数是偶数记为事件，有3种情况：2，4，6，所以， 由于掷出点数为4记为事件，所以掷出点数是偶数且掷出点数为4的事件为， 所以，所以. 故答案为：. 【变式1-2】某市场供应多种品牌的防毒面具，相应的市场占有率和优质率的信息如下表： 品牌 甲 乙 其他 市场占有率 优质率 在该市场中随机买一种品牌的防毒面具，记表示买到的防毒面具分别为甲品牌､乙品牌､其他品牌，记表示买到的防毒面具是优质品，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用全概率公式求概率、计算条件概率 【分析】先求出，再应用互斥事件概率公式计算判断A，再应用条件概率公式计算判断B，D，应用全概率公式计算判断C. 【详解】由题意得， 因为与互斥，所以，所以A正确； ，所以B错误； ，所以C正确； ，所以D错误. 故选：AC. 【例2】2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况： ①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳； ②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，能站稳； ③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，能站稳. 则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（   ） A．0.9 B．0.91 C．0.92 D．0.93 【答案】D 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】根据全概率公式求解即可. 【详解】. 【变式2-1】设是一个随机试验中的两个事件，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、计算条件概率、利用全概率公式求概率 【分析】根据条件，可得，根据，代入数据，即可判断A的正误；由，可判断B的正误；根据条件概率公式，代入数据，可判断C的正误；根据概率加法公式，代入计算，可判断D的正误. 【详解】对于A：，所以． 又由，故A正确； 对于B：， 变形可得，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，则有， 故，故D正确， 故选：ACD 【变式2-2】质量调查发现，某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如下表： 品牌 甲 乙 其他 市场占有率 50% 30% 20% 优质率 95% 90% 70% 在该市场中任意购买一部智能手机，则买到的是优质品的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】根据题意结合全概率公式，即可求解. 【详解】设分别表示买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌，：是优质品， 则，，，且，，， 所以，由全概率公式可知， ． 故选：B 【例3】（25-26高二上·广西桂林·期末）学校举行羽毛球、乒乓球和跳绳三项比赛，学生甲只能参加其中一项比赛，他参加羽毛球、乒乓球和跳绳比赛的概率分别为0.4、0.3、0.3，若他在羽毛球、乒乓球和跳绳比赛中获得冠军的概率分别为0.6、0.4、0.5，则该生获得冠军的概率为（   ） A．0.67 B．0.58 C．0.51 D．0.37 【答案】C 【分析】根据已知条件，结合全概率公式、条件概率公式即可求出结果. 【详解】设“参加羽毛球比赛”，“参加乒乓球比赛”，“参加跳绳比赛”， 则. 设“获得冠军”，则. 由全概率公式 . 故选：C. 【变式3-1】（25-26高二上·江西·期末）某同学每天随机选择坐公交或骑车上学，若第一天坐公交，第二天坐公交的概率为0.6；若第一天骑车，第二天坐公交的概率为0.3．则该同学第二天坐公交上学的概率为________． 【答案】 【分析】利用全概率公式求解即可. 【详解】设事件表示第一天坐公交，事件表示第一天骑车，事件表示第二天坐公交， 则第一天坐公交和骑车的概率均为， 在第一天坐公交的条件下，第二天坐公交的概率为， 在第一天骑车的条件下，第二天坐公交的概率为， 所以，根据全概率公式，第二天坐公交概率为： ． 故答案为：. 【变式3-2】（25-26高二上·安徽淮北·期末）2024年某地文旅部门积极探索政策，带动旅游消费，推出文旅一卡通旅游年卡，凡是购买文旅一卡通旅游年卡的市民可在合作影院免费观影两次.小明同学购买旅游年卡后，在家附近有甲、乙两家合作影院可供选择，小明第一次去甲、乙两家影院观影的概率分别为0.4和0.6.如果他第一次去甲影院，那么第二次去甲影院的概率为0.6，如果他第一次去乙影院，那么第二次去甲影院的概率为0.5.现已知小明同学第二次去了甲影院，则第一次去的是乙影院的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设事件表示“第一次去甲影院”，事件表示“第二次去甲影院”，事件表示“第一次去乙影院”，事件表示“第二次去乙影院”， 所以，，，, 由全概率公式得, 【例4】（25-26高二下·全国·课堂例题）假定具有症状的疾病有三种，现从20000份患有疾病，，的病历卡中统计得到下列数字： 疾病 人数 出现症状人数 7750 7500 5250 4200 7000 3500 试问当一个具有S中症状的病人前来要求诊断时，他患有疾病的可能性是多少？在没有别的资料可依据的诊断手段情况下，诊断该病人患有这三种疾病中哪一种较合适？ 【答案】当一个具有S中症状的病人前来要求诊断时，他患有疾病的可能性是；病人患有疾病较为合理． 【分析】首先根据条件写出事件的概率和条件概率，再根据全概率公式和贝叶斯概率公式，即可求解. 【详解】以表示事件“具有中的某些症状”， 表示事件“患者患有疾病”，由于该问题观察的个数很多，用事件的频率作为概率的近似是合适的，由统计数字可知 ， ， ． 从而 ． 当一个具有S中症状的病人前来要求诊断时，他患有疾病的可能性是； 由贝叶斯公式得 ， ， ， 从而推测病人患有疾病较为合理． 【变式4-1】团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.03，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用贝叶斯公式求概率 【分析】根据给定条件，由贝叶斯公式代入计算，即可得到结果． 【详解】记“视频是AI合成”为事件，记“鉴定结果为AI”为事件B， 则， 由贝叶斯公式得：． 故选：B. 由贝叶斯公式得==. 【变式4-2】（24-25高二下·福建福州·期中）随着互联网的发展，AI的出现为人们提供了很大的便利.某企业员工小唐撰写报告选择文心一言、豆包、DeepSeek的概率均为，而使用文心一言、豆包、DeepSeek出错的概率分别为、、，结果今天他的报告有误，在此条件下，他选择文心一言写报告的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件设出事件，并根据全概率公式，贝叶斯概率公式，即可求解. 【详解】设事件为选择文心一言，事件为选择豆包，事件为选择DeepSeek，事件为报告有误， ，，，， 所有， . 故选：C 【强化练习】 一、单选题 1．（25-26高二下·全国·课后作业）若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，求解即可. 【详解】因为. 故选：A． 2．（25-26高二下·全国·课堂例题）设，为两个事件，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件概率公式计算求解. 【详解】． 故选：C. 3.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】由全概率公式计算即可． 【详解】 ． 故选：D． 4．（25-26高二上·江西九江·期末）甲是某球队的替补球员，已知该球队的胜率为，每场比赛中甲上场的概率为，设甲上场的条件下该球队获胜的概率为，在该球队获胜的比赛中甲未上场的概率为，若，则甲上场且该球队获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设“该球队获胜”为事件，“甲上场”为事件，根据得出，再利用全概率公式求出即可. 【详解】设“该球队获胜”为事件，“甲上场”为事件， 由题意知，，，即， 所以， 又因为，所以. 故选：B 5．三个相同的盒子里分别放有两个黑球，一个黑球一个红球，两个红球，现从任意的盒子里随机取出一球，若该球为红色，则该盒剩下的另一球也是红色的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率、计算古典概型问题的概率 【分析】根据全概率公式和条件概率的计算公式，即可得到答案. 【详解】记从 “放有两个黑球盒子”， “放有一个黑球一个红球盒子”， “放有两个红球盒子”中取出一球分别为事件，，， 则事件，，两两互斥，， 记“取出的球为红色”为事件B，则所求概率即为， 得到 ， 则， 故若该球为红色，则该盒剩下的另一球也是红色的概率为. 故选：D. 6．某汽车4S店从甲乙丙三个车企分别采购同一款智能汽车500，400，100辆进行销售，甲乙丙三个车企生产的该智能汽车的智驾故障率分别为2%，3%，5%，某消费者从该4S店购买了一台此款智能汽车，在智驾过程中突然出现故障，则根据概率计算出甲乙丙三个车企应承担的责任比为（　　） A．2：3：5 B．10：12：5 C．5：12：10 D．5：4：1 【答案】B 【知识点】利用贝叶斯公式求概率、利用全概率公式求概率 【分析】设事件 分别表示购买一辆汽车是甲、乙、丙车企生产的，事件 表示智驾出现故障，由贝叶斯公式得，，即可求解. 【详解】设事件 分别表示购买一辆汽车是甲、乙、丙车企生产的， 则 ， 事件 表示智驾出现故障， 则由全概率公式得 ， 由贝叶斯公式得，，， 所以甲乙丙要承担的责任比为. 7．假设某市场供应的笔记本电脑中，市场占有率和合格率如下表： 甲厂 乙厂 市场占有率 合格率 在该市场中随机购买一台笔记本电脑，已知买到的是合格品，则这台电脑是甲厂生产的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用贝叶斯公式求概率、利用全概率公式求概率、计算条件概率 【分析】由全概率公式，条件概率公式及贝叶斯公式可得. 【详解】用表示买到的电脑是甲厂生产的，表示买到的电脑是合格品， 则，，，， 由贝叶斯公式可知． 故选：B. 8．（24-25高二下·福建三明·期中）人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗“AI”，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.96，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；该鉴伪技术的误报率是0.02，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性约为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由贝叶斯公式代入计算，即可得到结果. 【详解】设A=“视频是“AI”合成”，设B=“鉴定结果为“AI””， 则， 由贝叶斯公式得： ， 故选：B． 二、多选题 9．已知随机事件，满足，，，则下列说法正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】AC  【解析】解：对于选项，，所以A正确； 对于选项，，，所以B错误； 对于选项，，所以C正确； 对于选项，，所以D错误． 故选：． 10．有3台车床加工同一型号的零件，第1台车床加工的次品率为5%，第2，3台车床加工的次品率均为6%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的30%，30%，40%，则（    ） A．任取一个零件，该零件是第1台车床加工的次品的概率为0.015 B．任取一个零件，该零件是次品的概率为0.058 C．如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为 D．如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为 【答案】AC 【知识点】利用贝叶斯公式求概率、利用全概率公式求概率、计算条件概率 【分析】运用概率乘法公式可判断A；根据全概率公式可判断B；由贝叶斯公式可判断CD. 【详解】记为事件“零件为第台车床加工”，记为事件“任取一个零件为次品”， 则，，， ，，， 对于A，即，故A正确； 对于B， ，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：ACD. 11．（2026高三下·重庆·专题练习）为测试一种新药的有效性，研究人员对某种动物种群进行试验，从该试验种群中随机抽查了100只，得到如表数据（单位：只）： 发病 未发病 合计 使用药物 10 40 50 未使用药物 30 20 50 合计 40 60 100 从该动物种群中任取1只，记事件表示此动物发病，事件表示此动物使用药物，定义的优势，在发生的条件下的优势，则（    ） A．的估值为，的估值为 B．的估值为，的估值为 C．可化简为 D．可化简为 【答案】AC 【详解】由列联表可知，， 所以，，故A正确、B错误． 已知，，则， 由条件概率公式，所以 ，故C正确、D错误． 三、填空题 12.（25-26高三上·天津·月考）学习小组为了研究手机对学生学习的影响，对本学校学生手机使用情况统计分析有以下结果：若学生前一天没有玩手机，则接下来一天也不玩手机的概率为0.8，若学生前一天玩手机，接下来一天也玩手机的概率为0.7．已知一个学生第一天没玩手机，根据这个统计结果计算，那么他第二天玩手机的概率为___________．第三天不玩手机的概率为___________． 【答案】 0.2 0.7 【分析】根据给出的条件概率，推出第二天、第三天的概率即可. 【详解】已知第一天没玩手机，则第二天玩手机的概率为； 第三天不玩手机分为两种情况： （1）第一天没玩手机第二天没玩手机第三天没玩手机，此时概率为； （2）第一天没玩手机第二天玩手机第三天没玩手机，此时概率为； 综上，第三天不玩手机的概率为. 故答案为：0.2；0.7. 13.（24-25高二下·四川广元·期末）有2台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2台加工的次品率为，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2台车床加工的零件数分别占总数的，，现从加工出来的零件中任取一个零件，已知取到的零件是次品，则它取自第2台车床的概率是________． 【答案】 【分析】由题意设出事件并写出其概率，根据条件概率公式以及全概率公式，可得答案. 【详解】设事件“取出一个零件，它是第台车床生产的”， 则其对立事件“取出一个零件，它是第台车床生产的”， 设事件“取出一个零件，它是次品”， 由题意可得，，，， ，. 故答案为：. 14．（25-26高三上·天津西青·期末）某社区有“驿站取件”和“上门配送”两种快递服务方式，居民首次选择服务方式时，选择两种服务方式的概率均为0.5.已知：若首次选了“驿站取件”，第二次继续选择“驿站取件”的概率为0.7.若首次选了“上门配送”，第二次换选择“驿站取件”的概率为0.2.则居民第二次选择“驿站取件”的概率为_____________，若已知某居民第二次选择“驿站取件”，则他首次选择是“上门配送”的概率为_____________. 【答案】 【分析】根据全概率公式以及贝叶斯公式即可求解. 【详解】设表示首次选“驿站取件”，则， 表示首次选“上门配送”，则， 表示第二次选“驿站取件”则， 根据全概率公式可得， 第二空根据贝叶斯公式可得. 故答案为：， 四、解答题 15．（2025高三·全国·专题练习）两批同种规格的产品，第一批占40%，次品率为5%；第二批占60%，次品率为4%．将两批产品混合，从混合产品中任取1件．已知取到的是合格品，求它取自第一批产品的概率． 【答案】0.397 【分析】根据全概率公式求出事件“取到合格品”的概率，再利用贝叶斯公式即可求出已知取到的是合格品，它取自第一批产品的概率. 【详解】设事件为“取到合格品”，事件为“取到的产品来自第i批”（，2）， 则，，，， 则． 已知取到的是合格品，它取自第一批产品的概率为： ． 16．（22-23高三上·山东潍坊·月考）从有3个红球和4个蓝球的袋中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回，记表示事件“第次摸到红球”，． (1)求第一次摸到蓝球的条件下第二次摸到红球的概率； (2)记表示，，同时发生的概率，表示已知与都发生时发生的概率． ①证明：； ②求． 【答案】(1) (2)①证明见解析，② 【分析】（1）所求概率为，由条件概率的公式计算. (2) ①由条件概率的公式计算推导可证, ②由①的结论,分类计算所求概率. 【详解】（1）由条件概率公式可得； 所以第一次摸到蓝球，第二次摸到红球的概率为； （2）①由条件概率乘法公式 可得， 由,可得, 所以 ②由①可得 = ，所以． 17．（25-26高二下·全国·课堂例题）甲盒装有1个白球2个黑球，乙盒装有3个白球2个黑球，丙盒装有4个白球1个黑球，采取掷一个骰子决定选盒，出现1、2或3点选甲盒，4、5点选乙盒，6点选丙盒，在选出的盒里随机摸出一个球，经过秘密选盒摸球后，宣布摸得一个白球，求此球来自乙盒的概率． 【答案】 【分析】根据贝叶斯概率公式和全概率公式，即可求解. 【详解】设摸出的球来自甲盒，摸出的球来自乙盒，摸出的球来自丙盒， 摸得白球， 则， ， 于是由贝叶斯公式可知白球来自乙盒的概率为． 18．（2025高三·全国·专题练习）一个袋子中有10个大小完全相同的小球，其中红球6个，绿球4个，每次从袋子中随机摸出1个球，且摸出的球不再放回． (1)对于事件，当时，求证：； (2)若某同学摸球三次，请利用（1）中的结论，求三次都摸到绿球的概率． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据全概率公式求解即可； （2）根据（1）中结论，由条件概率计算公式计算即可. 【详解】（1）因为，， 所以，得证． （2）记事件“第次摸到绿球”为． 由题意可知，，． 由（1）中结论， 可得． 答：求三次都摸到绿球的概率为． 19．一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据： 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R． （ⅰ）证明：；（ⅱ）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值． 【答案】见解析 【分析】（ⅰ）根据定义结合条件概率公式即可完成证明；（ⅱ）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值． 【详解】 （ⅰ）因为，所以 所以， (ii) 由已知，， 又，， 所以 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $