精品解析：上海市华东师范大学第二附属中学2025-2026学年第二学期高二年级期中质量调研数学试卷

华东师范大学第二附属中学 2025学年第二学期高二年级期中调研数学试卷 （考试时间120分钟 满分150分） 命题人：徐艺萌 审题人：王海霞 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 函数在区间上的平均变化率为_____. 【答案】3 【解析】 【分析】根据平均变化率定义直接计算可得结果. 【详解】由题意可知函数在区间上的平均变化率为, 故答案为：3. 2. 已知，，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】由乘法公式. 3. 曲线在处的切线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】结合导数，利用切点和斜率求得切线方程. 【详解】由题可得,由于,， 所以曲线在处的切线方程为，即 4. 一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同．经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.25左右，则盒子中红球的个数约为______． 【答案】15 【解析】 【分析】根据频率与概率的关系得出概率，再据此即可列式求红球的个数. 【详解】设盒子中红球的个数为， 由摸到黑球的频率稳定在0.25左右知，摸到黑球的概率为0.25， 则， 解得， 即盒子中红球个数大约15个. 故答案为：15 5. 函数的驻点为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据驻点的定义，即可求解. 【详解】由于，令，解得：或 所以函数的驻点为或 6. 随机变量的概率密度函数，设，则__________. 【答案】0.3## 【解析】 【分析】使用正态分布的概率计算求解. 【详解】由题意可知，则, 所以. 7. 在某次数学兴趣小组交流活动中，四名男生与三名女生坐成一排，则三名女生两两不相邻的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】使用插空法求解. 【详解】三名女生两两不相邻的概率为：. 8. 某文艺团有10人，每人至少会唱歌或跳舞中的一种，其中7人会唱歌，4人会跳舞.从中选派两人，一人唱歌，另一人跳舞，则不同的安排方法共有__________种. 【答案】27 【解析】 【分析】按选派两人中有或没有既会唱歌又会跳舞的人分类计算. 【详解】由题意知，10人中有6人只会唱歌，3人只会跳舞，1人既会唱歌又会跳舞， 第一类：选派两人中没有既会唱歌又会跳舞的人：共有种， 第二类：选派两人中有既会唱歌又会跳舞的人：共有：种， 所以不同的安排方法共有种. 9. 现有两个罐子，1号罐子中装有3个红球､2个黑球，2号罐子中装有2个红球､3个黑球.现先从1号罐子中随机取出一个球放入2号罐子，再从2号罐子中取一个球，则从2号罐子中取出的球是红球的概率为___________. 【答案】 【解析】 【分析】设事件，由全概率公式求解即可. 【详解】设事件表示“从2号罐子中取出的球是红球”， 事件表示“从1号罐子中取出的球是红球”， 事件表示“从1号罐子中取出的球是黑球”， ， 则 . 故答案为：. 10. 已知 ，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】对原方程两边求导，然后令求得表达式的值. 【详解】对等式两边求导，得，令，则. 【点睛】本小题主要考查二项式展开式，考查利用导数转化已知条件，考查赋值法，属于中档题. 11. 若函数有3个零点，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【详解】有三个零点有三个解有三个解， 令，， 令，得或， 的单调递增区间有，， 令，得，在上单调递减，故的大致图象为 要想使得有三个解，必有，所以的取值范围是. 12. 在n维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标，其中．定义：在n维空间中的两点与的曼哈顿距离为，若在6维空间“立方体”中任取两个不同的顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由离散型随机变量的分布列步骤，数学期望公式即可求解． 【详解】对于的随机变量，在坐标与中有k个坐标值不同，剩下个坐标相同，此时对应情况数有种，所以， 则X的分布列为： X 1 2 … 6 P … 所以，， ． 故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分.第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 已知事件A，B为随机事件，则“A，B为对立事件”是“A，B为互斥事件”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据定义分析：互斥事件：满足，即两事件不能同时发生，对立事件：满足且（样本空间），不仅互斥，还“非此即彼”。 【详解】充分性：若是对立事件，必然满足互斥，即“对立事件”可推出“互斥事件”，充分条件成立， 必要性：互斥事件未必是对立事件，即“互斥事件”推不出“对立事件”，必要条件不成立， 综上，“ A, B 为对立事件”是“ A, B 为互斥事件”的充分不必要条件. 故选： A. 14. 现有6本不同的书，分给甲､乙每人各2本，分给丙､丁每人各1本，分配方法数有（ ）种 A. 2160 B. 1080 C. 360 D. 180 【答案】D 【解析】 【详解】先给甲选2本书：从6本中选2本，方法数为 ， 再给乙从剩余4本中选2本，方法数为 ， 最后剩余2本分给丙、丁各1本，方法数为 ， 根据分步乘法计数原理，总分配方法数为. 15. 甲乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜制，规定每一局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出随机变量的所有取值，求出对应概率，再根据期望与方差公式计算即可. 【详解】由题意，可取， ， ， 则， . 故选：D. 16. 已知函数的导函数为，，且在R上为严格增函数，关于下列两个命题的判断，说法正确的是（ ） ①“”是“”的充要条件； ②“对任意都有”是“在R上为严格增函数”的充要条件． A. ①真命题；②假命题 B. ①假命题；②真命题 C. ①真命题；②真命题 D. ①假命题；②假命题 【答案】C 【解析】 【分析】对于①，构造函数，结合题设，判断“”和“”之间的逻辑推理关系，可判断其真假；对于②，结合函数单调性，判断必要性；采用反证思想，结合题设推出矛盾，说明充分性成立，判断②的真假. 【详解】对于①： 设，，则， 因为在R上为严格增函数，故， 即，则在R上单调递增， 由于，故，即。 即； 当成立时，即， 由于在R上单调递增，故， 故“”是“”的充要条件，①为真命题； 对于②，当在R上为严格增函数时，由对任意，则都有成立； 当对任意都有时，假设在R上不为严格增函数， 即不恒大于等于0，即，使得， 由于在R上为严格增函数，故时，， 此时在上单调递减，且其图象为一个严格递减的凹型曲线， 故当趋近于负无穷时，的值将趋近于正无穷大， 这与对任意都有矛盾， 则假设不成立，即“在R上为严格增函数”成立， 即“对任意都有”是“在R上为严格增函数”的充要条件，②为真命题， 故选：C 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是判断②中命题的充分性成立，解答时采用反证思想，推得矛盾，说明充分性成立. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 学校要从10名候选人中选3名同学组成学生会，已知有4名候选人来自甲班，其余6名同学来自除甲班外的其他互不相同的6个班．假设每名候选人都有相同的机会被选到． （1）求甲班恰有2名同学被选到的概率； （2）求选到的3名同学是来自互不相同的班级的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用排列组合和古典概型的概率公式直接计算； （2）利用排列组合和古典概型的概率公式直接计算. 【小问1详解】 设选到的3人中甲班同学的人数为X，∴. 【小问2详解】 设“选到的3名同学是来自互不相同的班级”为事件A， 则有可能1个同学来自甲班，2个同学来自其他班，有种； 也有可能3个同学都来自其他班，有种； 则， 所以选到的3名同学是来自互不相同的班级的概率为. 18. 已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为5:2. （说明：二项式系数指组合数，.） （1）求的值，并求展开式中所有的有理项； （2）求展开式中系数最大的项. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由题意得:，解得. 二项式第项展开式的通项公式为 ， 当为整数时，该项为有理项，因为且， 所以，时，， 时，， 时，. 所以，展开式中所有的有理项为. 【小问2详解】 设展开式中系数最大的项是第项， 则有，解得，即， 因为，所以，即展开式中最大的项是第5项， . 19. 已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）求在上的最小值. 【答案】（1） 在 上单调递减，在 上单调递增 （2） 【解析】 【分析】（1）当时，对函数求导，讨论导数符号，以此确定函数的单调区间； （2）对函数求导，根据导函数零点与区间的位置关系分类讨论，求出函数在区间上的最小值． 【小问1详解】 函数 的定义域为 ， 求导： ， 当 时，，故 ，函数 单调递减； 当 时，，故 ，函数 单调递增， 因此， 在 上单调递减，在 上单调递增． 【小问2详解】 函数 ，定义域为 ，求导得： ， 根据 的取值范围，分三种情况讨论： 当 时：在区间上，，故 ， 在上单调递增， 最小值为： ； 当 时：当 时，，， 单调递减； 当 时，，， 单调递增， 最小值为： ； 当 时：在区间上， ，故 ， 在上单调递减， 最小值为： ． 综上，最小值函数为：． 20. 某公司组织两部门的50名员工参加技术培训. （1）此次技术培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自A部门．从这6名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自A部门的人数，求的分布列和数学期望； （2）此次技术培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格. （ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率： （ⅱ）经预测，开展此次技术培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司两部门培训后的年利润（公司年利润员工创造的利润－其他成本和费用）. 【答案】（1）分布列见解析，1 （2）（ⅰ）；（ⅱ）1100万元． 【解析】 【分析】（1）服从超几何分布，利用即可求解； （2）（ⅰ）记 “每位领导经过培训合格”， “每位员工第轮培训达到优秀”（），利用即可求解； （ⅱ）记两部门开展培训后合格的人数为，则，求出合格人数的数学期望，即可求解 【小问1详解】 的所有可能取值为0，1，2，且服从超几何分布．， ，．的分布列为 0 1 2 的数学期望． 【小问2详解】 （ⅰ）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”， ，根据概率加法公式和事件相互独立定义得， ．即每位员工经过培训合格的概率为． （ⅱ）记两部门开展培训后合格的人数为，则， 则（万元）， 即估计两部门的员工参加培训后为公司创造的年利润为1100万元． 21. 对于函数，记.如果是满足的最小正整数，则称是函数的“最小导周期”. （1）已知，证明：对任意的最小导周期为4； （2）设，若函数的最小导周期为2，记，当实数a，b变化时，求的最小值； （3）设，若函数满足对恒成立，且存在使得，试用表示，并证明. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据“最小导周期”的定义即可证明； （2）由题意有对任意实数恒成立，令，得，令，得，根据的取值验证函数的最小导周期为即可得，由可视为点与点之间的距离，利用数形结合即可求解； （3）记，由在上恒成立及存在使，可知是函数的极大值点，即，，解得，由，得，由得，又，即，即得证. 【小问1详解】 证明：因为， ， ， ， 所以，对任意实数，都有. 即最小导周期为4. 【小问2详解】 ，， 由题意知，对任意实数恒成立， 令，则，即， 令，则，则， 所以或. 若，则，，最小导周期不是，矛盾； 若，则，，，最小导周期为，符合要求，所以. 可视为点与点 之间的距离，当实数变化时，点在直线上运动，点在曲线上运动， 因此所求最小值可转化为曲线上的点到直线距离的最小值， 而曲线在直线上方，平移直线使其与曲线相切， 则切点到直线的距离即为所求. 设切点，，切线斜率，得，切点为， 点到直线距离. 即的最小值为. 【小问3详解】 ，， 记，即. 由在上恒成立及存在使， 可知是函数的极大值点，于是， 则①， 又，则②， 由①②得，则. 又因为， 所以，由得， 又因为， 所以， 有，于是， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华东师范大学第二附属中学 2025学年第二学期高二年级期中调研数学试卷 （考试时间120分钟 满分150分） 命题人：徐艺萌 审题人：王海霞 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 函数在区间上的平均变化率为_____. 2. 已知，，则__________. 3. 曲线在处的切线方程为__________. 4. 一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同．经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.25左右，则盒子中红球的个数约为______． 5. 函数的驻点为__________. 6. 随机变量的概率密度函数，设，则__________. 7. 在某次数学兴趣小组交流活动中，四名男生与三名女生坐成一排，则三名女生两两不相邻的概率为__________. 8. 某文艺团有10人，每人至少会唱歌或跳舞中的一种，其中7人会唱歌，4人会跳舞.从中选派两人，一人唱歌，另一人跳舞，则不同的安排方法共有__________种. 9. 现有两个罐子，1号罐子中装有3个红球､2个黑球，2号罐子中装有2个红球､3个黑球.现先从1号罐子中随机取出一个球放入2号罐子，再从2号罐子中取一个球，则从2号罐子中取出的球是红球的概率为___________. 10. 已知 ，则_____. 11. 若函数有3个零点，则实数的取值范围为__________. 12. 在n维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标，其中．定义：在n维空间中的两点与的曼哈顿距离为，若在6维空间“立方体”中任取两个不同的顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离，则______． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分.第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 已知事件A，B为随机事件，则“A，B为对立事件”是“A，B为互斥事件”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 14. 现有6本不同的书，分给甲､乙每人各2本，分给丙､丁每人各1本，分配方法数有（ ）种 A. 2160 B. 1080 C. 360 D. 180 15. 甲乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜制，规定每一局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，则（ ） A. B. C. D. 16. 已知函数的导函数为，，且在R上为严格增函数，关于下列两个命题的判断，说法正确的是（ ） ①“”是“”的充要条件； ②“对任意都有”是“在R上为严格增函数”的充要条件． A. ①真命题；②假命题 B. ①假命题；②真命题 C. ①真命题；②真命题 D. ①假命题；②假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 学校要从10名候选人中选3名同学组成学生会，已知有4名候选人来自甲班，其余6名同学来自除甲班外的其他互不相同的6个班．假设每名候选人都有相同的机会被选到． （1）求甲班恰有2名同学被选到的概率； （2）求选到的3名同学是来自互不相同的班级的概率． 18. 已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为5:2. （说明：二项式系数指组合数，.） （1）求的值，并求展开式中所有的有理项； （2）求展开式中系数最大的项. 19. 已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）求在上的最小值. 20. 某公司组织两部门的50名员工参加技术培训. （1）此次技术培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自A部门．从这6名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自A部门的人数，求的分布列和数学期望； （2）此次技术培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格. （ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率： （ⅱ）经预测，开展此次技术培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司两部门培训后的年利润（公司年利润员工创造的利润－其他成本和费用）. 21. 对于函数，记.如果是满足的最小正整数，则称是函数的“最小导周期”. （1）已知，证明：对任意的最小导周期为4； （2）设，若函数的最小导周期为2，记，当实数a，b变化时，求的最小值； （3）设，若函数满足对恒成立，且存在使得，试用表示，并证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $