精品解析：安徽合肥市蜀山区五十中学新校2025-2026学年度第二学期学情调研 七年级数学

安徽合肥市蜀山区五十中学新校2025-2026学年度第二学期学情调研七年级数学 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各实数中是有理数的是（ ） A. B. C. D. 2. “练练峰上雪，纤纤云表霓”，这是杜甫眼中的雪，单片雪花的质量只有0.00003kg左右，数据“0.00003”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如果，那么下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 对于实数a、b，定义运算“※”如下：，则下列关于的说法正确的是（ ） A. 平方根为 B. 立方根为 C. 算术平方根为4 D. 立方根为2 6. 如表中是给定的的值及与其对应的的值： 32 33 34 35 36 37 38 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 则由表格中的数据可知，的值的范围是（ ） A. 在3.4～3.5之间 B. 在3.5～3.6之间 C. 在3.6～3.7之间 D. 在3.7～3.8之间 7. 若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 小李同学制作了如图所示的卡片A类、B类、C类各2张，其中A、B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形．现要拼一个两边分别是和的大长方形，那么下列关于他所准备的C类卡片的张数的说法中，正确的是（ ） A. 够用，剩余1张 B. 不够用，缺1张 C. 不够用，缺2张 D. 够用，剩余2张 9. 某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只20元，茶杯每只5元，商店有两种优惠方法： （1）买一只茶壶送一只茶杯； （2）按总价的付款． 现有一顾客需购买4只茶壶，只（不少于4只）茶杯，要使选择优惠方法（2）比方法（1）更省钱，则至少为（ ） A. 33 B. 34 C. 35 D. 36 10. 已知实数x，y满足，则下列结论中正确的是（ ） A. 满足条件的值有两个整数 B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. __________． 12. “垃圾分类，从你我做起”．我校积极倡导垃圾分类，响应国家政策．计划制作一块长方形的宣传展板，宣传、倡导学生们化身“环保小卫士”．如图，这块宣传展板的长为，宽为，则此宣传展板的总面积为__________． 13. 已知，则代数式的值为______． 14. 若关于的不等式有且只有两个正整数解，则的取值范围为__________． 15. 如图1，把两个面积为1的小正方形沿着对角线剪开，将所得的四个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形，所得的面积为2的大正方形的边就是原先面积为1的小正方形的对角线，因此，可得小正方形的对角线长度为．某同学受此启发，把长为3、宽为2的两个长方形沿着对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼成如图2所示的大正方形，请你仿照上面的探究方法判断：__________（填“”或“”或“”）． 16. 已知实数a，b满足． （1）当时，则的取值范围为__________； （2）在（1）的条件下，实数m，x满足，若存在在的取值范围内，则的取值范围为__________． 三、解答题（本题共7小题，共52分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 20. 已知：的立方根是的算术平方根是3，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 21. 观察下列等式： ①； ②； ③； 请你根据上面材料解决以下问题： （1）写出式子⑤：（ ）×（ ） （2）探索规律：用含为正整数）的式子表示第n个式子，并说明它的正确性． （3）应用规律计算：__________． 22. 如图，甲长方形的两边长分别为，，面积为，乙长方形的两边长分别为，，面积为（其中为正整数）． （1）__________，__________（用含的多项式表示） （2）__________（填“”、“”或“”）； （3）有一正方形，其周长与甲长方形周长相等，面积为，则是否为固定的值？若是，请求出固定的值为多少？若不是，请说明理由． 23. 综合与实践 【背景】 夏季来临，某电器专卖店计划采购、两种型号的空调进行销售．两种空调的进价均为元／台． 【素材1】 已知型空调每台售价为元，型空调每台售价比型多元．该店曾经购进型台、型台，全部售出后总利润为元．（注：两种型号空调的售价此后保持不变） 【素材2】 现该店计划用元的资金购进这两种空调共台，且型空调的数量不少于型空调数量的倍．全部售出后，总利润不低于元． 【任务】 （1）求、两种型号空调的销售单价； （2）求型空调所有可能的进货台数； （3）在（2）的条件下，分别计算每种进货方案的总利润，并指出总利润最大的进货方案． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽合肥市蜀山区五十中学新校2025-2026学年度第二学期学情调研七年级数学 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各实数中是有理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据有理数的定义，逐一判断选项，即可． 【详解】A. 是无理数，不符合题意， B. 是无理数，不符合题意， C. =2，是有理数，符合题意， D. 是无理数，不符合题意， 故选C． 【点睛】本题主要考查实数的分类，熟练掌握有理数和无理数的概念，是解题的关键． 2. “练练峰上雪，纤纤云表霓”，这是杜甫眼中的雪，单片雪花的质量只有0.00003kg左右，数据“0.00003”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：数据“0.00003”用科学记数法表示为． 故选：D． 3. 如果，那么下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质对各选项进行判断． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴A，B，C不符合题意，D符合题意； 故选D 【点睛】本题考查了不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 4. 下列各式，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、，计算正确，符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、和不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意． 5. 对于实数a、b，定义运算“※”如下：，则下列关于的说法正确的是（ ） A. 平方根为 B. 立方根为 C. 算术平方根为4 D. 立方根为2 【答案】D 【解析】 【分析】先根据新定义的运算规则计算出的结果，再结合平方根，立方根和算术平方根的概念判断正确选项． 【详解】解：∵ ∴ ∴的平方根为，立方根为2，算术平方根为． 6. 如表中是给定的的值及与其对应的的值： 32 33 34 35 36 37 38 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 则由表格中的数据可知，的值的范围是（ ） A. 在3.4～3.5之间 B. 在3.5～3.6之间 C. 在3.6～3.7之间 D. 在3.7～3.8之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查估算无理数的大小，根据算术平方根的定义以及表格中的对应值可得，,进而得到，即可． 【详解】解：由表格中数值的对应值可得，，， ∴，同理可得， 又∵， ∴， 故选：C． 7. 若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】可通过方程组变形直接得到的表达式，再解一元一次不等式得到的取值范围． 【详解】解： 将得 整理得 两边同除以2得 ∵方程组的解满足 ∴ 解得 ． 8. 小李同学制作了如图所示的卡片A类、B类、C类各2张，其中A、B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形．现要拼一个两边分别是和的大长方形，那么下列关于他所准备的C类卡片的张数的说法中，正确的是（ ） A. 够用，剩余1张 B. 不够用，缺1张 C. 不够用，缺2张 D. 够用，剩余2张 【答案】B 【解析】 【分析】首先计算得到，然后比较求解即可． 【详解】解： ∴C类卡片3张， ∵小李同学制作了C类卡片2张， ∴他所准备的C类卡片的张数不够用，缺1张． 9. 某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只20元，茶杯每只5元，商店有两种优惠方法： （1）买一只茶壶送一只茶杯； （2）按总价的付款． 现有一顾客需购买4只茶壶，只（不少于4只）茶杯，要使选择优惠方法（2）比方法（1）更省钱，则至少为（ ） A. 33 B. 34 C. 35 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】分别表示出两种优惠方案的总费用，根据方案(2)更省钱列出不等式，求解得到的最小整数值即可. 【详解】解：∵顾客需购买4只茶壶，只（）茶杯， ∴优惠方法(1)的总费用为 ， 优惠方法(2)的总费用为 ， ∵方法(2)比方法(1)更省钱， ∴，化简得 ， 解得， ∵为正整数， ∴的最小值为 10. 已知实数x，y满足，则下列结论中正确的是（ ） A. 满足条件的值有两个整数 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据已知等式结合，求出和的取值范围，再逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得 ， 将y的范围代入， 得， 对选项A：∵ ，x的整数只有，共1个，A错误； 对选项B：∵ ，B错误； 对选项C：， ∵ ∴ ，即 ，C错误； 对选项D：， ∵， ∴，即 ，D正确． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. __________． 【答案】1 【解析】 【详解】解：． 12. “垃圾分类，从你我做起”．我校积极倡导垃圾分类，响应国家政策．计划制作一块长方形的宣传展板，宣传、倡导学生们化身“环保小卫士”．如图，这块宣传展板的长为，宽为，则此宣传展板的总面积为__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． ∴此宣传展板的总面积为． 13. 已知，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，代数式求值，先把变形为，然后利用整体代入求值即可，熟练掌握运算法则及整体代入是解题的关键． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式 故答案为：． 14. 若关于的不等式有且只有两个正整数解，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先表示出不等式的解集，再根据不等式只有两个正整数解，确定m的取值范围即可． 【详解】解：解得， 关于x的不等式有且只有两个正整数解， 其正整数解为和， ， ． 15. 如图1，把两个面积为1的小正方形沿着对角线剪开，将所得的四个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形，所得的面积为2的大正方形的边就是原先面积为1的小正方形的对角线，因此，可得小正方形的对角线长度为．某同学受此启发，把长为3、宽为2的两个长方形沿着对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼成如图2所示的大正方形，请你仿照上面的探究方法判断：__________（填“”或“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】根据大正方形面积空白部分面积个直角三角形的面积，通过计算得出的整数部分是3，即可解答求解． 【详解】解：大正方形面积为，空白部分面积为， 根据题意得：， 即， ∴（负值舍去）， ∵，即， ∴的整数部分是3， ∴， ∴． 16. 已知实数a，b满足． （1）当时，则的取值范围为__________； （2）在（1）的条件下，实数m，x满足，若存在在的取值范围内，则的取值范围为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据题意列得关于的不等式，解不等式即可； （2）根据题意列得关于的不等式，解不等式即可． 【详解】解：（1）已知实数，满足， 当时， ， 解得：； （2）在（）的条件下，实数，满足，若存在在的取值范围中， ， 解得：． 三、解答题（本题共7小题，共52分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 ； 【解析】 【分析】先利用多项式乘以多项式及单项式乘以多项式法则将原式展开，合并后得到最简结果，再代入计算即可求出值．熟练掌握运算法则及公式是解题的关键． 【详解】解：原式 当，时， 原式． 19. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】， 数轴如下图所示： 【解析】 【详解】解：， 解①，得． 解②，得． 则， 20. 已知：的立方根是的算术平方根是3，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据立方根和算术平方根的定义可求出a、b的值，估算出的取值范围可求出c的值； （2）根据（1）所求求出的值，再根据平方根的定义可得答案． 【小问1详解】 解：∵的立方根是的算术平方根是 ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵4的平方根为， ∴的平方根为． 21. 观察下列等式： ①； ②； ③； 请你根据上面材料解决以下问题： （1）写出式子⑤：（ ）×（ ） （2）探索规律：用含为正整数）的式子表示第n个式子，并说明它的正确性． （3）应用规律计算：__________． 【答案】（1）6；7 （2） 由题意可得规律为， 证明：∵， ， ∴； （3）1013 【解析】 【分析】（1）根据题目中的式子即可得到答案； （2）根据题题干中的式子总结出规律，再通过计算证明等式的左边等于右边即可； （3）根据（2）中的规律变形，再进行约分即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意可得，第⑤个式子是； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ． 22. 如图，甲长方形的两边长分别为，，面积为，乙长方形的两边长分别为，，面积为（其中为正整数）． （1）__________，__________（用含的多项式表示） （2）__________（填“”、“”或“”）； （3）有一正方形，其周长与甲长方形周长相等，面积为，则是否为固定的值？若是，请求出固定的值为多少？若不是，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）为定值9 【解析】 【分析】（1）由长方形的面积可得，； （2）利用作差法比较即可； （3）计算甲长方形的周长，得正方形的边长及面积，再计算即得答案． 【小问1详解】 解：根据题意得，， ； 【小问2详解】 解： ， n为正整数， ， ∴； 【小问3详解】 解：甲长方形的周长为， 周长为的正方形的边长为， 边长为的正方形的面积， ∴ ， ∴为定值9． 23. 综合与实践 【背景】 夏季来临，某电器专卖店计划采购、两种型号的空调进行销售．两种空调的进价均为元／台． 【素材1】 已知型空调每台售价为元，型空调每台售价比型多元．该店曾经购进型台、型台，全部售出后总利润为元．（注：两种型号空调的售价此后保持不变） 【素材2】 现该店计划用元的资金购进这两种空调共台，且型空调的数量不少于型空调数量的倍．全部售出后，总利润不低于元． 【任务】 （1）求、两种型号空调的销售单价； （2）求型空调所有可能的进货台数； （3）在（2）的条件下，分别计算每种进货方案的总利润，并指出总利润最大的进货方案． 【答案】（1）型空调销售单价为元，型空调销售单价为元 （2）型空调所有可能的进货台数是台，台，台 （3）三种进货方案的总利润分别为元，元，元；总利润最大的进货方案是购进型空调台，型空调台 【解析】 【分析】（1）根据总利润的等量关系列一元一次方程，求解得到两种空调的销售单价； （2）设B型空调进货台数为未知数，结合题目给出的数量限制和总利润限制列一元一次不等式组，结合台数为正整数得到所有可能结果； （3）写出总利润关于B型空调台数的表达式，分别计算各方案总利润，比较得到总利润最大的方案． 【小问1详解】 解：型空调销售单价为元，则型空调销售单价为 元． 由题意得    整理得   解得 则   答：A型空调销售单价为2300元，B型空调销售单价为2800元． 【小问2详解】 解：设购进B型空调台，则购进A型空调台． 两种空调总进价为 （元），满足不超过100000元的资金要求． 根据题意列不等式组   解第一个不等式得   解第二个不等式得 ，即   因为为正整数， 所以的取值为14，15，16 答：B型空调所有可能的进货台数为14台，15台，16台． 【小问3详解】 解：设总利润为元，由题意得   当时， （元），对应方案：购进A型空调36台，B型空调14台． 当时， （元），对应方案：购进A型空调35台，B型空调15台． 当时， （元），对应方案：购进A型空调34台，B型空调16台． 因为   所以总利润最大的方案为购进A型空调34台，B型空调16台 答：三种进货方案的总利润分别为22000元，22500元，23000元，总利润最大的进货方案是购进A型空调34台，B型空调16台． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $