第4章 立体几何初步（复习课件）数学湘教版必修第二册

单元复习课件 第4章 立体几何初步 湘教版必修第二册·高一 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.系统梳理柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能准确识别、分类各类空间几何体，熟练掌握斜二测画法的作图步骤； 3. 熟记空间几何体的表面积和体积公式，能结合几何体的结构特征进行表面积、体积的计算与最值求解；掌握等体积法求点面距离的思想方法；理解几何体的外接球、内切球问题的处理策略。 2. 掌握平面的基本性质，能规范使用符号语言、图形语言、文字语言描述空间点、线、面的位置关系； 4. 熟练掌握空间线线、线面、面面平行 / 垂直的判定定理与性质定理，能完成文字、符号、图形语言的相互转化，能独立完成基础证明题的推理书写. 单元学习目标 本章数学本质 从空间直观感知出发，通过抽象概括、逻辑推理，建立空间点、线、面的位置关系体系，研究空间几何体的结构特征、度量性质（表面积、体积），实现 “形” 与 “数” 的结合，培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。其数学本质体现在以下三个维度： 1. 空间观念的建立 从二维平面思维拓展到三维空间思维，经历“实物感知—图形表征—语言描述—逻辑推理”的认知过程。本章是学生第一次系统学习空间几何，关键是建立空间想象能力，能够“眼中无图，心中有图”。 本章数学本质 2. 几何结构的认识 立体几何研究的是空间图形的形状、大小与位置关系。 本章围绕两大主线展开： 度量关系：几何体的结构特征→表面积→体积 位置关系：点、线、面的平行与垂直→判定与性质 本章数学本质 3. 转化思想的渗透 本章的思维精髓是三维问题二维化： 空间角转化为平面角（异面直线所成角、线面角、二面角） 空间距离转化为平面距离（点面距离、线面距离） 空间图形的计算转化为平面图形的计算（截面、展开图） 单元知识图谱 1.多面体和旋转体 (1)多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。 围成多面体的各个多边形叫做多面体的面； 相邻两个面的公共边叫做多面体的棱； 棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 如：六棱柱、长方体、三棱锥、棱台 (2)旋转体：由封闭的旋转面围成的几何体。 旋转面：由一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的曲面。 如：圆锥、圆柱、圆台、球 考点串讲 2.几何体的特征---棱柱 (1)棱柱：①底面互相平行；②侧面都是四边形；③侧棱互相平行， 底面 侧面 侧棱 顶点 A B C D E F A B C D E F ①侧棱：相邻侧面的公共边。 ②底面为n边形的棱柱叫n棱柱，如三棱柱、四棱柱； 底面为正n边形的棱柱叫正n棱柱，如：正四棱柱底面为正方形. ③棱柱用底面各顶点的字母来表示， 如：三棱柱ABC-A’B’C’ 正/长方体ABCD-A’B’C’D’ ④分类：直棱柱 斜棱柱 (侧棱均与底面垂直) (侧棱均与底面不垂直) ⑤棱柱被一平行与底面的平面截后的两部分仍然是棱柱 ⑥平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱。 考点串讲 2.几何体的特征---棱锥 ①棱锥用顶点和底面各顶点的字母来表示: 如: 三棱锥S-ABC、四棱锥 S-ABCD. ②n棱锥：底面为n边形的棱锥，如三棱锥、四棱锥； 正n棱锥：底面为正n边形，侧面是全等的等腰三角形. (侧棱相等) 如：正四棱锥的底面为正方形，侧面是全等的等腰三角形 ③正三棱锥： 正四面体： 底面为正三角形，侧面为等腰三角形； 底面和侧面为全等的正三角形. (2)棱锥：①底面是多边形；②侧面是有一个公共顶点的三角形 从正棱锥的顶点向底面引垂线，该垂线必过底面的中心。 考点串讲 2.几何体的特征---棱台 (3)棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥， 底面与截面间的部分叫做棱台. 原棱锥的底面叫做棱台的下底面； 截面叫做棱台的上底面； 其余各面叫做棱台的侧面； ②各侧棱延长后必交于一点； ①两底面平行且相似；各侧面是梯形. ③棱台用底面各顶点的字母来表示， 如：四棱台ABCD-A’B’C’D’ 考点串讲 2.几何体的特征---圆柱 (4)圆柱：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱. 圆柱的轴：旋转轴； 圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面； 圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面； 圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边。 圆柱用旋转轴的字母表示，如：圆柱OO' 考点串讲 2.几何体的特征---圆锥 (5)圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。 无论旋转到什么位置，直角三角形的斜边即为圆锥侧面的母线. 圆锥用旋转轴的字母，如：圆锥SO 底面 母线 侧面 轴 S O 考点串讲 2.几何体的特征---圆台 (6)圆台：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面间的部分叫做圆台。如图，记作圆台OO’ 各母线的延长线与轴交于一点。 轴截面是全等的等腰梯形。 考点串讲 2.几何体的特征---球 (7)球体：以半圆周的直径所在直线为旋转轴旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫球体，简称球. 如图，记作球O. D · O C M A B 球心：半圆的圆心； 球的半径：连接球心和球上任意一点的线段； 球的直径：连接球面上两点且过球心的线段。 用任一平面截球，所得截面恒为圆。 考点串讲 2.几何体的特征 棱柱、棱台、棱锥关系图 圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示． 考点串讲 3.几何体的体积、表面积公式 考点串讲 4.斜二测画法和直观图 (1)画水平放置的平面图形的直观图 在已知图形中取相互垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O. 画直观图时，把它们画成对应的x'轴和y'轴，两轴相交于点O'， 且使∠x'O'y'=45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面； 已知图形中平行于x轴或者y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴的线段(平行关系不变)； 已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度变为原来的一半； 已知图形 直观图 考点串讲 (2)空间几何体直观图的画法： 与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴； 平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面； 已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变． 成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线． ②原图中相等的角或线段在直观图中不一定相等； ③平行的线段在直观图中仍平行， 垂直的线段在直观图中不一定垂直. 4.斜二测画法和直观图 考点串讲 5.空间中点、直线、平面的关系 点A： 直线a： 平面α： 基本元素 点的集合 点的集合 (1)点与直线的位置关系： (2)点与平面的位置关系： A B A B l m (3)直线与平面的位置关系： ①直线l在平面α内：直线l上的所有点都在平面α上. ②直线l与平面α相交：直线l与平面α只有一个公共点A.　 ③直线l与平面α平行：直线l与平面α没有公共点.　 l l A l 考点串讲 (4)直线与直线的位置关系： 相交直线 （有1个公共点） 平行直线 （无公共点） a b o a b (不同在任何一个平面内) (5)平面与平面的位置关系： 5.空间中点、直线、平面的关系 考点串讲 基本事实2.若一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. α l A B 作用：证明线在面内. 基本事实3.若两个不重合的平面有一个公共点，那么这两个平面有且只有 一条过该点的公共直线。 作用：证明点共线、线共点. 基本事实1.不共线的三点确定一个平面. 证:P,Q,R三点共线 证:AB,CD,l三线共点 推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 5.空间中点、直线、平面的关系 考点串讲 三个平面能把空间分成4或6或7或8部分. 5.空间中点、直线、平面的关系 考点串讲 5.空间中点、直线、平面的关系 注：① 线线平行 线面平行 ② 线面平行 线线平行 考点串讲 面面平行 线线平行 (1)基本事实4 a∥b，b∥c， a∥c. (2)平面几何法 三角形与梯形中位线、平行四边形的性质、 平行线分线段成比例定理等. (3)定义法 两条直线在同一平面内且没有公共点. b α 线面平行 O 5.空间中点、直线、平面的关系 考点串讲 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行, 则该直线与此平面平行. 1. 线面平行的判定定理 a b b  a, a  a, b//a, ⇒ b∥a. 2. 线面平行的性质定理 a 5.空间中点、直线、平面的关系 考点串讲 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行, 则该直线与此平面平行. 1. 线面平行的判定定理 a b b  a, a  a, b//a, ⇒ b∥a. 2. 线面平行的性质定理 一条直线与一个平面平行, 则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行. l∥a, l  b, b∩a = m ⇒ l∥m. a l a m b 5.空间中点、直线、平面的关系 考点串讲 1. 文字语言：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 2. 符号语言：　 a b P 证题思路：要证明两平面平行，关键是在其中一个平面内找出两条相交直线分别平行于另一个平面. 线面平行面面平行 5.空间中点、直线、平面的关系 考点串讲 1. 文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． 2. 符号语言：　 图形语言： 简述为：面面平行线线平行 5.空间中点、直线、平面的关系 考点串讲 5.空间中点、直线、平面的关系 注：① 线线垂直 线面垂直 ② 线面垂直 线线垂直 考点串讲 面面垂直 线线垂直 线面垂直 O • α b a a′ 5.空间中点、直线、平面的关系 考点串讲 记作： 如果直线 l 和平面α内的任意一条直线都垂直，则称直线 l 和平面α垂直. A B C B′ C′ α 直线和平面垂直的判定定理 一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直. 线不在多，相交则灵 5.空间中点、直线、平面的关系 考点串讲 性质1：若a⊥α，m⊂α， 性质2：若a⊥α，b⊥α， 直线与平面垂直的性质定理： 垂直于同一平面的两条直线平行. 性质3：若α//β，l⊥α， α β 则a⊥m. 则a//b. (性质定理) 则l⊥β. 5.空间中点、直线、平面的关系 考点串讲 5.空间中点、直线、平面的关系 考点串讲 立体几何中证明直线与直线平行的常用方法 1.平行四边形对边平行 2.三角形、梯形中位线平行于底边 3.基本事实4（平行线的传递性） 4.直线与平面平行的性质定理 5.平面与平面平行的性质定理 6.直线与平面垂直的性质定理 5.空间中点、直线、平面的关系 考点串讲 2.线面距离 1.点面距离 3. 面面距离 α α β 6.空间中的距离 考点串讲 36 空间角 异面直线所成的角 线面角 二面角 (及二面角的平面角) 6.空间角 考点串讲 求三棱锥的体积时，有时要用到顶点和底面的转化，即等体积法(换底法)； 球的切接问题要将空间几何图形割补转化为长方体、正方体、三棱柱等，转化为特殊几何体的外接球问题； 位置关系的证明时，通常需要线线平行、线面平行、面面平行的互相转化，或线线垂直、线面垂直、面面垂直的互相转化； 空间角的求解转化到三角形中的平面角求解 7.转化策略 考点串讲 题型01 空间几何体的结构与直观图问题 D 题型剖析 题型01 空间几何体的结构与直观图问题 D 题型剖析 题型01 空间几何体的结构与直观图问题 B 题型剖析 题型01 空间几何体的结构与直观图问题 B 题型剖析 题型剖析 43 题型02 空间几何体的表面积与体积计算 A 题型剖析 题型02 空间几何体的表面积与体积计算 C 题型剖析 题型02 空间几何体的表面积与体积计算 ACD 题型剖析 题型02 空间几何体的表面积与体积计算 A 题型剖析 题型02 空间几何体的表面积与体积计算 D 题型剖析 题型剖析 49 题型03 点、线、面位置关系 的符号表示与推理 题型剖析 ABD 题型03 点、线、面位置关系 的符号表示与推理 题型剖析 AC 题型03 点、线、面位置关系 的符号表示与推理 题型剖析 题型剖析 53 题型04 空间平行关系的证明 四边形EFGH是菱形 四边形EFGH是正方形 题型剖析 题型04 空间平行关系的证明 题型剖析 题型剖析 56 题型05 空间垂直关系的证明 D 题型剖析 题型05 空间垂直关系的证明 D 题型剖析 题型05 空间垂直关系的证明 题型剖析 题型剖析 60 题型06 空间角的寻找与计算 A 题型剖析 题型06 空间角的寻找与计算 题型剖析 题型06 空间角的寻找与计算 题型剖析 题型剖析 64 题型07 立体几何综合问题 （折叠、截面、存在性） 题型剖析 题型07 立体几何综合问题 （折叠、截面、存在性） 题型剖析 题型07 立体几何综合问题 （折叠、截面、存在性） 题型剖析 题型07 立体几何综合问题 （折叠、截面、存在性） 题型剖析 题型07 立体几何综合问题 （折叠、截面、存在性） 题型剖析 题型剖析 70 题型08 立体几何与其他知识的综合应用 题型剖析 题型08 立体几何与其他知识的综合应用 题型剖析 题型剖析 73 D 针对训练 A 针对训练 C 针对训练 D 针对训练 C 针对训练 BD 针对训练 BC 针对训练 (BCD) 针对训练 ACD 针对训练 BD 针对训练 2 针对训练 针对训练 针对训练 针对训练 针对训练 针对训练 图 1 图 2 针对训练 图 1 图 2 针对训练 针对训练 针对训练 针对训练 针对训练 1、本章知识结构 课堂总结 96 课堂总结 课堂总结 感谢聆听! 几何体 表面积 体积 圆柱 S＝2πr2+2πrh V＝πr2h 棱柱 各个面之和(视具体情况) V＝Sh 圆锥 S＝πr2+πrl V＝eq \f(1,3)Sh＝eq \f(1,3)πr2h＝eq \f(1,3)πr2eq \r(l2－r2) 圆台 S＝πreq \o\al(2,1)＋πreq \o\al(2,2)+π(r1＋r2)l V＝eq \f(1,3)(S上＋S下＋eq \r(S上S下))h(棱台也适用) 球 S＝4πR2 V＝eq \f(4,3)πR3 题型特征： 以实物、三视图、直观图为背景，考查几何体的识别、结构特征应用、斜二测画法的作图与还原。 解题方法： 1、识别几何体：紧扣柱、锥、台、球的本质特征，排除干扰特征； 2、斜二测画法还原：根据 “x 轴长不变，y 轴长加倍，角度还原为 90°” 还原原图； 3、三视图与直观图转化：先由三视图确定几何体的结构特征，再画直观图或计算度量。 题型特征： 考查单一几何体、组合体、切割体的表面积和体积计算，常结合三视图、直观图出题，部分涉及最值问题。 解题方法： 1. 公式法：熟记各类几何体的表面积、体积公式，直接代入计算； 2. 分割法：将组合体分割为若干个基本几何体，分别计算后求和； 3. 补形法：将不规则几何体补为基本几何体（如补台为锥、补棱锥为棱柱），利用整体减部分求解； 4. 等体积法：更换几何体的底面和高，简化体积计算（如线面平行时，直线上任意一点到平面的距离相等）。 例3-1． 根据下图，填入相应的符号：           平面，          平面，           平面，          平面， 平面          平面． 题型特征： 考查平面基本性质的应用，符号语言、图形语言、文字语言的相互转化，线线、线面、面面位置关系的判定。 解题方法： 1. 符号语言规范：紧扣元素与集合、集合与集合的关系，准确使用符号系统描述位置关系； 2. 平面基本性质应用：利用基本事实 3 找两个平面的交线，利用推论确定平面； 3. 位置关系判定：根据定义和定理，结合图形进行直观判断和逻辑推理。 题型特征： 考查线面平行、面面平行的证明，常以棱柱、棱锥为载体，需结合判定定理和性质定理进行推理。 解题方法： 、线面平行证明：找线线平行（核心），通过中位线定理、平行四边形性质、公理 4、面面平行性质等找平面内与已知直线平行的直线； 、面面平行证明：找线面平行（核心），在一个平面内找两条相交直线，分别证明这两条直线平行于另一个平面； 、平行关系的转化：线线平行⇨线面平行⇨面面平行，利用性质定理实现逆向转化。 题型特征： 考查线面垂直、面面垂直的证明，是立体几何的核心题型，常与平行关系结合，以棱柱、棱锥、棱台为载体。 解题方法： 、线面垂直证明：找线线垂直（核心），在平面内找两条相交直线，分别证明已知直线与这两条直线垂直（常利用勾股定理、等腰三角形三线合一、线面垂直性质、面面垂直性质）； 、面面垂直证明：找线面垂直（核心），证明一个平面内的一条直线垂直于另一个平面； 、垂直关系的转化：线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直，利用性质定理实现逆向转化。 空间角 范围 几何核心 异面直线角 (0, ] 平移相交取锐角 线面角 [0,] 垂线 + 射影 二面角 [0,π] 棱上双垂线 解题方法： 寻找角的一般流程 识图：看清几何体结构，标出所有已知长度、垂直关系。 定目标：明确所求是哪类空间角，范围是多少。 作辅助线：平移平行线、作垂线、找射影，将空间角转化到平面图形中。 计算：在所作的平面三角形中，解直角三角形或利用正余弦定理。 题型特征： 融合空间几何体的度量、位置关系证明、空间角求解，综合性强，对逻辑推理和空间想象能力要求高。 解题方法： 折叠问题：抓不变量，折叠前后线段的长度、垂直关系（如折叠前的垂直于折痕的线段，折叠后仍垂直）保持不变，以此为突破口建立空间位置关系； 截面问题：依据平面基本性质，作平行线或相交线确定截面与几何体各面的交线，形成截面图形，再结合几何特征计算； 存在性问题：假设存在，推理论证，根据题意设出点、线的位置，结合判定定理、度量公式进行推理，若推出矛盾则不存在，反之则存在并确定位置。 解题方法： 与函数结合：体积表面积的最值问题（如三棱锥体积的最大值、组合体表面积的最小值），需结合函数单调性或基本不等式求解； 与动点轨迹结合：空间动点的轨迹判定（如线段、圆弧），需结合平行垂直关系分析轨迹特征； 与实际问题结合：几何体的体积表面积在实际生活中的应用（如氧气瓶、打印模型），需建立数学模型，将实际问题转化为几何问题。 思想方法提炼 立体几何的核心思想是空间问题平面化，解题时要善于利用几何体的结构特征，作辅助线/面，将空间的角、距离、位置关系转化为平面几何问题求解，同时注重利用长方体模型，让直观想象和逻辑推理成为解决立体几何问题的核心能力。 转化与化归：空间问题转化为平面问题，位置关系相互转化 分类讨论：几何体分类、位置关系分类 数形结合：图形语言与符号语言的互译 割补法：求体积、表面积的常用技巧 $