精品解析：江苏镇江市实验高级中学等校2025-2026学年高二下学期4月期中联考数学试卷

高二数学试卷 （卷面总分：150分 考试用时：120分钟） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（ ） A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D. 极差 【答案】A 【解析】 【分析】根据中位数、平均数、方差、极差的定义判断即可. 【详解】设9位评委评分按从小到大排列为． 对于A，原始中位数为，去掉最低分，最高分，后剩余， 中位数仍为，A正确． 对于B，原始平均数，后来平均数， 平均数受极端值影响较大，所以与不一定相同，B不正确. 对于C，，， 结合B选项易知，方差会改变，C不正确． 对于D，原极差，新极差，可能相等可能变小，D不正确． 2. 已知函数在处可导， 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的极限定义求解即可． 【详解】由，有，有. 故选：B. 3. 某高校外语系有8名志愿者,其中有5名男生,3名女生,现从中选3人参加某项测试赛的翻译工作,若要求这3人中既有男生,又有女生,则不同的选法共有(　　) A. 45种 B. 56种 C. 90种 D. 120种 【答案】A 【解析】 【分析】将人中既有男生又有女生分成两种情况：个男生个女生；个男生个女生.然后利用分步计数原理计算出两种情况的方法数，再相加求得总的选法数. 【详解】人中既有男生又有女生分成两种情况：个男生个女生；个男生个女生.“个男生个女生”的方法数有. “个男生个女生”的方法数有.故总的方法数有种.所以本题选A. 【点睛】本小题主要考查分类加法计数原理，考查分步乘法计数原理，属于基础题.对于比较复杂的计数问题，往往先通过分类的方法，将复杂的问题转化为几个较为简单的问题来计算.在计算每个简单的问题过程中，又是用分步计数原理来计算方法数.最后相加得到总的方法数. 4. 在如图所示的电路图中，开关闭合与断开的概率分别是和，闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用独立事件乘法公式结合对立事件概率公式计算求解. 【详解】灯亮的概率为. 5. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分,,,，讨论的正负号，排除A,C，比较的大小，排除D. 【详解】函数的定义域为， 当时，，当时，，故选项C错误， 当时，，当时，，故选项A错误， 且，， 因为，所以，故选项D错误. 只有B中图象符合题意， 故选：B. 6. 的展开式中x3y3的系数为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】求得展开式的通项公式为（且），即可求得与展开式的乘积为或形式，对分别赋值为3，1即可求得的系数，问题得解. 【详解】展开式的通项公式为（且） 所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为： 和 在中，令，可得：，该项中的系数为， 在中，令，可得：，该项中的系数为 所以的系数为 故选：C 【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题. 7. 若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算，然后等价于在（0，+∞）由2个不同的实数根，然后计算即可. 【详解】的定义域是（0，+∞）， ， 若函数有两个不同的极值点， 则在（0，+∞）由2个不同的实数根， 故，解得：， 故选：D. 【点睛】本题考查根据函数极值点个数求参，考查计算能力以及思维转变能力，属基础题. 8. 某市为全面了解社区居民生活需求、完善社区服务体系，选派6名志愿者到甲、乙、丙、丁四个社区开展社区走访调研活动，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方案共有（ ） A. 540种 B. 1560种 C. 2640种 D. 4800种 【答案】B 【解析】 【分析】根据组合和排列的定义，结合分组的不同分类讨论进行求解即可. 【详解】首先将6名志愿者分成4组，再分配到4个社区，可分为2种情况， 第一类：6名志愿者分成1，1，1，3， 分组方式有个； 第二类：6名志愿者分成，分组方式有个， 所以共种选派方案． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中3个白球、2个黑球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则（ ） A. “至少有一个白球”与“至少有一个黑球”是互斥事件 B. “都是白球”与“都是黑球”是互斥事件 C. “至少有一个白球”与“都是黑球”是对立事件 D. “第一次摸到的是白球”与“第二次摸到的是黑球”相互独立 【答案】BC 【解析】 【分析】根据互斥，对立事件与相互独立事件的定义逐个判断即可 【详解】对A，“至少有一个白球”与“至少有一个黑球”均包含“一个白球一个黑球”的情况，故A错误； 对B，“都是白球”与“都是黑球”不能同时发生，且不是对立事件，故为互斥事件，故B正确； 对C，“至少有一个白球”与“都是黑球”是对立事件，故C正确； 对D，事件“第一次摸到的是白球”的概率，事件 “第二次摸到的是黑球” 的概率，又，因为，故“第一次摸到的是白球”与“第二次摸到的是黑球” 不相互独立，故D错误； 故选：BC 10. 设函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的单调递增区间为 B. 曲线在处的切线方程为 C. 函数恰有两个极值点 D. 函数有唯一零点 【答案】ABD 【解析】 【详解】由求导得， 则时，，则在上单调递增， 时，，则在上单调递减，故A正确； 则有唯一极大值，无极小值点，故C错误； 又，故函数在处的切线方程为．故B正确； 当内，因，且在上单调递增，故在上有唯一零点， 当时，恒成立，此时函数无零点，即函数有唯一零点，故D正确． 11. 若，则下列选项正确的是（ ） A. 展开式中的二项式系数最大项为第3项和第4项 B. C. D. 当时，除以9的余数为1 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据二项式系数的性质，利用赋值法、求导法、二项式定理逐一判断即可. 【详解】对于A：由二项式展开式中的二项式系数为0，1，…，6， 所以时二项式系数最大，即第4项的二项式系数最大，故A不正确； 对于B：令，可得． 再令，得， 所以，所以B正确； 对于C：对两边求导， 得， 再令，得，所以C正确； 对于D：当时， ， 而， 即除以9的余数为1，所以D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则__________． 【答案】6或2 【解析】 【详解】由组合数的性质可知：或， 解得或2，经检验均满足题意. 13. 用种不同颜色的粉笔写黑板报，板报设计如图所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的粉笔，则该板报共有__________种不同的书写方案． 【答案】 【解析】 【分析】分别确定“英语角”、“语文学苑”、“理综世界”、“数学天地”这四个区域所用粉笔的颜色种数，利用分步乘法计数原理可得结果. 【详解】完成工作可分四步： 第一步，“英语角”用的粉笔颜色有种不同的选法； 第二步，“语文学苑”用的粉笔颜色不能与“英语角”用的粉笔颜色相同，有种不同的选法； 第三步，“理综世界”用的粉笔颜色与“英语角”和“语文学苑”用的粉笔颜色都不相同，有种不同的选法： 第四步，“数学天地”用的粉笔颜色只要与“理综世界”用的粉笔颜色不同即可，有种不同的选法． 由分步乘法计数原理知，该板报共有种不同的书写方案． 14. 已知函数的导函数为，且函数的图像经过点，则函数的表达式为______；若对任意一个负数，不等式恒成立，则整数的最小值为_____． 【答案】 ①. ②. 2 【解析】 【分析】利用待定系数法设，利用点(0，2)，求出c的值，即可得到f(x)的解析式；对任意一个负数x,不等式恒成立，转化为对x<0恒成立，构造函数，利用导数以及零点的存在性定义求解g(x)的最大值，即可得到答案. 【详解】由题意,可设. 因为函数f(x)的图像经过(0,2)点，则f(0)=2，即c=1，故. 对任意一个负数x,不等式恒成立,即对x<0恒成立. 令，则，， 令g"(x)=0，解得x=-ln2. 当x<-ln2时，g"(x)<0，故单调递减；当-ln2<x<0时,g"(x)>0,故单调递增. 又，，时， 故存在，使得. 当时，，则g(x)单调递增；当时，，则g(x)单调递减，所以当时, g(x)取得最大值g(x0). 因为中， ，， 故， 所以g(x)的最大值 当时, ，又整数，所以a的最小值为2. 故答案为：；2. 【点睛】恒（能）成立问题求参数的取值范围： ①参变分离，转化为不含参数的最值问题； ②不能参变分离，直接对参数讨论，研究的单调性及最值； ③特别地，个别情况下恒成立，可转换为（二者在同一处取得最值）. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 杭州亚运会期间，某大学有名学生参加体育成绩测评，将他们的分数单位：分按照，，，，分成五组，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求的值及这组数据的第百分位数； （2）按分层随机抽样的方法从分数在和内的学生中抽取人，再从这人中任选人，求这人成绩之差的绝对值大于分的概率． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为可求出的值，再利用百分位数的定义求这组数据的第百分位数即可； （2）利用古典概型的概率公式求解． 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，， 解得， 因为，， 所以这组数据的第百分位数位于，设其为， 则， 解得，即这组数据的第百分位数为； 【小问2详解】 由题可知，从分数在内的学生中抽取人，记为，， 则分数在内的学生中抽取人，记为，，，， 从中任选人，则所有可能结果有：，，，，，，，， ，，，，，，共个， 满足这人成绩之差的绝对值大于分的有，，，，，，，共个， 故所求的概率． 16. 已知的展开式中，前三项的二项式系数和为56． （1）求展开式中各项系数的和； （2）求展开式中的常数项． 【答案】（1）1 （2）180 【解析】 【分析】（1）根据二项式系数公式，结合赋值法进行求解即可； （2）利用二项式通项公式进行求解即可. 【小问1详解】 由题意知，或（舍去），所以，故令，可得展开式中各项系数的和为； 【小问2详解】 由于二项式的通项公式为， 令，求得． 故展开式中的常数项为． 17. 有这个数字，写出必要的步骤，用数字作答． （1）可以组成多少个无重复数字的三位数？ （2）可以组成多少个无重复数字且为偶数的三位数？ （3）可以组成多少个有重复数字三位数？ （4）可以组成多少个无重复数字且比1300大的四位数？ 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 百位不能为0，有种选择（）； 十位从剩余个数字选，有种选择； 个位从剩余个数字选，有种选择； 总数：. 【小问2详解】 偶数个位为0,2,4，分两类： ①个位为：百位种，十位种，共； ②个位为2或4：个位种，百位种，十位种，共； 总数：. 【小问3详解】 总三位数（可重复）：百位种，十位种，个位种，共； 无重复三位数为； 有重复数：. 【小问4详解】 千位为：百位需，有种（），剩余两位，共； 千位为：千位种，剩余三位，共； 总数：. 18. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，证明不等式：； （3）当时，不等式对在意恒成立，求实数b的取值范围． 【答案】（1）当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）证明:当时，，要证明：； 即证：，即证：， 设， 令，解得：， x 1 0 单调递减 0 单调递增 在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得最小值，， ．即：， ； （3） 【解析】 【分析】（1）直接求导，然后进行分类讨论即可； （2）式子变为，设，借助导数研究函数单调性，进而得到最值即可证明； （3）参变分离即证在上恒成立，转化为导数研究最值问题即可. 【小问1详解】 的定义域为， 当时，在上单调递减， 当时，令，解得：， 令，则在上单调递增． 令，则在上单调递减， 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意得：在上恒成立， 整理得：， 参变分离即证在上恒成立， 令，则只要证明的最大值即可． ． 令解得：， （列表如下） x + 0 - 单调递增 极大值 单调递减 在上单调递增，在上单调递减， ， 则实数b取值范围为. 【点睛】方法点睛：本题主要借助导数研究函数的单调性和极值最值.第一问需要对导数分类讨论；第二问需要构造新函数，转化为最值问题；第三问采取参变分离后构造新函数，求导讨论单调性，进而得到最值.考查分类讨论，转化思想，综合性较强，属于中档题. 19. 已知（且，）. （1）设，求中含项的系数； （2）化简：； （3）证明：. 【答案】（1）330；（2）； （3）……① 则函数中含项的系数为 因为……② ①-②得： 即 所以 函数中含项的系数为： 所以 【解析】 【分析】（1）根据表达式可知系数为，将改写成，利用组合数的性质：整理得到结果；（2）通过对求导可得，代入可求得，根据可化简得到结果；（3）等式左侧可看做中含项的系数；通过整理出，此时含项的系数为，即等式右侧；由此可知所证等式成立. 【详解】（1）由题意知： 所以中含项的系数为： （2） 两边求导得，令得到， 又且所求式子的通项为 （3）略 【点睛】本题考查二项式定理、组合数公式的综合应用问题，解题关键是在处理组合数的化简、证明问题时，常采用构造法逆用二项式定理、对二项展开式左右两端分别求导，从而得到符合题意的组合数；同时在解题过程中要注意组合数性质的应用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试卷 （卷面总分：150分 考试用时：120分钟） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（ ） A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D. 极差 2. 已知函数在处可导， 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 某高校外语系有8名志愿者,其中有5名男生,3名女生,现从中选3人参加某项测试赛的翻译工作,若要求这3人中既有男生,又有女生,则不同的选法共有(　　) A. 45种 B. 56种 C. 90种 D. 120种 4. 在如图所示的电路图中，开关闭合与断开的概率分别是和，闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 6. 的展开式中x3y3的系数为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 7. 若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 某市为全面了解社区居民生活需求、完善社区服务体系，选派6名志愿者到甲、乙、丙、丁四个社区开展社区走访调研活动，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方案共有（ ） A. 540种 B. 1560种 C. 2640种 D. 4800种 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中3个白球、2个黑球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则（ ） A. “至少有一个白球”与“至少有一个黑球”是互斥事件 B. “都是白球”与“都是黑球”是互斥事件 C. “至少有一个白球”与“都是黑球”是对立事件 D. “第一次摸到的是白球”与“第二次摸到的是黑球”相互独立 10. 设函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的单调递增区间为 B. 曲线在处的切线方程为 C. 函数恰有两个极值点 D. 函数有唯一零点 11. 若，则下列选项正确的是（ ） A. 展开式中的二项式系数最大项为第3项和第4项 B. C. D. 当时，除以9的余数为1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则__________． 13. 用种不同颜色的粉笔写黑板报，板报设计如图所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的粉笔，则该板报共有__________种不同的书写方案． 14. 已知函数的导函数为，且函数的图像经过点，则函数的表达式为______；若对任意一个负数，不等式恒成立，则整数的最小值为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 杭州亚运会期间，某大学有名学生参加体育成绩测评，将他们的分数单位：分按照，，，，分成五组，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求的值及这组数据的第百分位数； （2）按分层随机抽样的方法从分数在和内的学生中抽取人，再从这人中任选人，求这人成绩之差的绝对值大于分的概率． 16. 已知的展开式中，前三项的二项式系数和为56． （1）求展开式中各项系数的和； （2）求展开式中的常数项． 17. 有这个数字，写出必要的步骤，用数字作答． （1）可以组成多少个无重复数字的三位数？ （2）可以组成多少个无重复数字且为偶数的三位数？ （3）可以组成多少个有重复数字三位数？ （4）可以组成多少个无重复数字且比1300大的四位数？ 18. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，证明不等式：； （3）当时，不等式对在意恒成立，求实数b的取值范围． 19. 已知（且，）. （1）设，求中含项的系数； （2）化简：； （3）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $